贝塞尔曲线和B样条曲线(优质参考)
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
CAD中的贝塞尔线和样条线绘制方法
CAD中的贝塞尔线和样条线绘制方法贝塞尔线和样条线是CAD软件中常用的曲线绘制方法，它们可以绘制出平滑、曲率连续的曲线。
下面将介绍如何在CAD中使用贝塞尔线和样条线进行绘制。
一、贝塞尔线的绘制方法贝塞尔线是利用若干个控制点来描述曲线的一种方法。
通过调整这些控制点的位置和数量，可以绘制出不同形状和弯曲程度的曲线。
1. 选择“绘图”工具栏中的“曲线”命令，或者使用快捷键“bc”来激活贝塞尔线绘制工具。
2. 在绘图区域点击鼠标左键来确定第一个控制点的位置。
3. 接着点击鼠标左键描绘出曲线的形状，通过不断点击鼠标来添加更多的控制点。
4. 如果需要调整控制点的位置，可以使用“移动”或“旋转”工具来进行操作。
5. 绘制完成后，按下回车键或者点击鼠标右键来结束绘制。
二、样条线的绘制方法样条线是一种能够光滑地连接多个控制点的曲线。
它比贝塞尔曲线更加平滑且自然。
1. 选择“绘图”工具栏中的“样条”命令，或者使用快捷键“sc”来激活样条线绘制工具。
2. 在绘图区域点击鼠标左键来确定第一个控制点的位置。
3. 接着点击鼠标左键描绘出曲线的形状，通过不断点击鼠标来添加更多的控制点。
4. 如果需要调整控制点的位置，可以使用“移动”或“旋转”工具来进行操作。
5. 绘制完成后，按下回车键或者点击鼠标右键来结束绘制。
三、贝塞尔线和样条线的优劣比较贝塞尔线和样条线各有其优点和适用场景。
1. 贝塞尔线的优点在于其控制点的数量较少，绘制简单，适合绘制相对简单的曲线。
2. 样条线的优点在于其曲线平滑，过渡自然，更适合绘制较复杂的曲线。
3. 在实际应用中，根据需要选择使用贝塞尔线还是样条线，或者结合两者的特点进行绘制。
综上所述，贝塞尔线和样条线是CAD软件中常用的曲线绘制方法。
通过掌握它们的用法，可以轻松绘制出平滑、曲率连续的曲线，满足各种绘图需求。
希望本文能帮助读者更好地使用CAD软件进行贝塞尔线和样条线的绘制。
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为：
B0，3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1，3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2，3 = 3t2 - 3t3 =
（2）通过控制点即顶点直观而方便地调整曲线的形状， （3）仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
三 贝塞尔曲线举例 曲线仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
四 贝塞尔曲线的性质：
1 该曲线由一组多边形折线的多个顶点唯一地定义出来。
多边形折线又称特征多边形，顶点又称为控制点。
2 在多边折线的各个顶点中，只有第1点和最后1点在曲线上。
1 n!
nk j0
(1)
j
j (t n k j)n (0 t 1, k 0,1, n)
n1
P’(0) B2
2 例：n=3,m=1,
B1
P’(1)
表示有5个顶点， 能画出两段3次曲线
B02
B3
B0
P’’(0) P’’(1)
B4
3 n次B样条曲线
连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。
j 0
j (t 2 j)2 1 (t 1)2
3
2
F1,2 (t)
1 2
(2t
2
2t
1)
t F2,2 (t)
1 2
2
因此，二次 B 样条曲线的分段表达式可以写成如下的形式：
Pi (t) F0,2 (t)Pi F1,2 (t)Pi1 F2,2 (t)Pi2
b样条、Besier曲线介绍
Ruilan Song 08221048
2011年6月27日 计算机辅助设计与制造
参数化曲线曲面表达的特点 举例
Bezier曲线的作用及特点 曲线的作用及特点
举例
B样条曲线的作用及特点 样条曲线的作用及特点
举例
2
参数化曲线曲面表达的特点
参数函数描绘同一条曲线或一个曲面可以有多种形式一条曲线C（u）可由 参数u来分段，同样，曲面可由参数u和v的不同值域来分片 （l）曲线和曲面的控制点以及节点 ） （2）多值性 ） （3）几何不变性 ） （4）全局或局部控制 ） （5）缩小变化特性 ） （6）连续性的阶 ）
3
举例
多值性 ：一条曲线或曲面往往不是一个坐标的单值函数
一般不希望给定的函数带有多值性
全局控制性： 一个已存在的曲线或曲面上修改某个控制点时，曲
4
线或曲面只在控制点附近的区域改变形状，也可能整个形状都被改 变如图2．3所示
举例
缩小变化特性：
有些数学表示往往不是平滑而是放大由 控制点所描绘的曲线中的细小不规则处 。另有一些则正好相反，它总是平滑所 给定的控制点。如图2．4所示，图中（a ）在曲线上产生高阶振荡，而（b）则使 曲线失去圆滑性。这两种情况在工程上 都不理想，如果用（a）这种情况所形成 的几何形状来做数控加工的话，很可能 会出现载刀的情况（铣刀轨迹跌落）， 造成机床和工件的损坏，或者可能产生 过切现象（Undercut），得不到理想的加 工形状 5
Bezier曲线的特点及作用 曲线的特点及作用
特点：
•端点性质，即端点有什么性质，终点就有什么性质 •端点切矢性，在始点和终点处的切线方向是与Bezier控制多边形 Bezier 的第一边及最后一边的走向一致 •凸包性，即Bezier曲线均落在由它的控制点形成的凸壳内 •对称性，不是指形状对称，而是指控制点的位置，即改变控制点 的位置指示改变了其排序而不改变形状
第2章贝齐尔曲线和B样条曲线
到了70年代， 到了 年代，法国雷诺汽车公司的工程师贝 年代 齐尔（ 齐尔 （ Bezier） 创造出一种适用于几何体外形设 ） 计的新的曲线表示法。这种方法的优越性在于： 计的新的曲线表示法。这种方法的优越性在于： 对于在平面上随手勾画出的一个多边形（ 对于在平面上随手勾画出的一个多边形（称为特 征多边形） 只要把其顶点坐标输入计算机， 征多边形），只要把其顶点坐标输入计算机，经 过不到一秒钟的计算，绘图机就会自动画出同这 过不到一秒钟的计算， 个多边形很相像、又十分光滑的一条曲线。 个多边形很相像、又十分光滑的一条曲线。这种 方法被人们称为贝齐尔(Bezier)方法 以下 统称为 方法(以下 方法被人们称为贝齐尔 方法 以下统称为 Bezier方法 。 方法)。 方法
(1) 首先要确定全部的型值点 i(i=0， 首先要确定全部的型值点P ， 1，…，n)。 由于 i(i=0，1，…，n)是平面 ， ， 。 由于P ， ， ， 是平面 上的点， 可通过定义二维数组向P 上的点 ， 可通过定义二维数组向 i(i=0， ， 1，…，n)赋坐标值。 ， ， 赋坐标值 赋坐标值。 (2) 用直线连接型值点 i(i=0,1,…,n)， 用直线连接型值点P ， 画出控P 给定 一 组初 始型值 点 i(i=0,1,…，n)， ， ， 将它们按次序连接为折线段， 将它们按次序连接为折线段 ， 称为控制多 边形。我们称
样条曲线。 为 m 次 B 样条曲线 。 它是对参数 t 具有 m-1 阶 次多项式。 连续导数的分段m次多项式。
图2-5
一次B样条曲线 1(t) 一次 样条曲线S 样条曲线
图2-1Bezier曲线
称为n次 多项式的基函数， 称为 次Bernstein多项式的基函数， 多项式的基函数 Bezier曲线就是以此为基础构造出来的。 曲线就是以此为基础构造出来的。 曲线就是以此为基础构造出来的
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
Bezier&BSpline_曲线
1 1 P0 p (t ) [t 1] P 1 0 1
Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线
n 2, 控制点序列: P0 , P1 , P2 p(t ) Pi Bi , 2 (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
Bezier曲线的拼接
两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0
重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。
Bezier曲线的生成
Bezier曲线的缺点
1、特征多边形的顶点个数n+1决定了Bezier曲线的阶 次，即只能生成n次曲线，不灵活。 2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的 控制明显减弱。 3、 由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲 线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变 任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线 做局部修改成为不可能。
Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、 变差缩减性
(1)对称性 : * 取P i P n i ( 2)凸包性 i 0,1, , n
*
有C * (t ) P i Bi , n (t ) P i Bi , n (t ) C (t )
i 0 i 0
n
n
B
i 0 n
n
i ,n
(t ) 1, 且Bi , n (t ) 0
n
(3)几何不变性
ua P ) i Bi , n (t ) P i Bi , n ( ba i 0 i 0 ( 4)变差缩减性
Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线
n 1, 控制点序列: P0 , P 1 p (t ) Pi Bi ,1 (t ) P0 (1 t ) P t [0,1] 1t
nurbs曲线和贝塞尔曲线
nurbs曲线和贝塞尔曲线
NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline，非均匀有理B样条曲线）是一种用于描述曲线和曲面的数学模型，在计算机图形学领域得到了广泛应用。
NURBS曲线由一系列控制点、权重和节点向量组成。
NURBS曲线相比于其他曲线模型具有以下特点：
1. 非均匀性：NURBS曲线的节点向量可以非均匀地分布，使得曲线在不同区域有不同的曲率和细节。
2. 有理性：NURBS曲线的控制点可以有不同的权重值，这使得曲线可以具有更多的灵活性和控制性。
3. 兼容性：NURBS曲线可以与其他几何对象（如直线、圆、曲面等）进行无缝连接和平滑过渡。
贝塞尔曲线（Bézier curve）是另一种常用的曲线模型，最早由法国工程师Pierre Bézier在20世纪50年代提出。
贝塞尔曲线也由一系列控制点来定义，通过调整这些控制点的位置和权重，可以实现曲线的形状和曲率变化。
贝塞尔曲线相比于NURBS曲线具有以下特点：
1. 受限性：贝塞尔曲线的形状受控制点的位置限制，难以实现复杂曲线的定义。
2. 难以编辑：贝塞尔曲线的形状调整需要重新调整控制点的位置，较为繁琐。
3. 简单性：贝塞尔曲线的数学计算较为简单，适用于一些简单的曲线绘制任务。
总结来说，NURBS曲线相对于贝塞尔曲线拥有更大的灵活性和控制性，适用于绘制复杂曲线和曲面；而贝塞尔曲线相对简单，适用于一些简单曲线绘制任务。
opencascade b样条曲线生成贝塞尔曲线
文章标题：从OpenCASCADE到B样条曲线生成贝塞尔曲线：深度探索一、引言在计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学领域，曲线生成一直是一个重要的主题。
opencascade是一个开源的CAD内核，它提供了丰富的曲线曲面生成功能。
而B样条曲线是其中的重要概念之一，它可以用来生成贝塞尔曲线，这在实际应用中具有广泛的价值。
二、opencascade简介opencascade是一个强大的CAD内核，它提供了丰富的几何建模和曲面重建功能。
通过opencascade，我们可以进行复杂的几何计算和曲面修复，为工程设计和制造提供了强大的支持。
其中，曲线生成是opencascade功能的重要组成部分，它可以帮助我们创建各种类型的曲线并进行精确的控制。
三、B样条曲线基础B样条曲线是一种经典的数学曲线模型，它通过一系列的控制点和权重进行定义。
在opencascade中，B样条曲线的生成和编辑都是非常灵活和强大的。
通过调整控制点和权重，我们可以实现对曲线形状的精细控制，从而满足不同的工程需求。
四、贝塞尔曲线应用贝塞尔曲线是一种特殊的曲线类型，它通过一系列的控制点来定义曲线形状。
在实际应用中，贝塞尔曲线具有良好的数学性质和几何特征，因此被广泛应用于CAD、动画和图形设计等领域。
opencascade的B 样条曲线可以方便地生成贝塞尔曲线，从而为各种工程应用提供了强大的支持。
五、深入探讨B样条曲线生成贝塞尔曲线5.1 B样条曲线的定义和性质在opencascade中，B样条曲线是通过一系列的控制点、权重和节点参数进行定义的。
这些参数之间复杂的关系决定了曲线的光滑性、几何特征和曲率连续性。
通过深入理解B样条曲线的数学原理，我们可以更好地掌握曲线生成的控制方法和技巧，从而达到更高的设计精度和效果。
5.2 B样条曲线的编辑和调整在实际工程设计中，曲线的编辑和调整是非常常见的需求。
opencascade提供了丰富的曲线编辑功能，包括控制点的移动、曲线的拉伸和旋转等操作。
b样条和贝塞尔曲线
b样条和贝塞尔曲线
B样条和贝塞尔曲线是两种不同的曲线拟合方法。
1. B样条曲线（B-spline）
B样条曲线是一种基于小块多项式的曲线拟合方法。
它可以用于平滑曲线的绘制，因为它不需要通过所有的点，而是需要通过一部分的点并通过这些点的连线来连接所有的点。
B样条的优点在于它具有局部控制能力，就是当我们修改其中一个控制点的位置时，只会影响到该点附近的曲线，而不会影响到整个曲线。
2. 贝塞尔曲线（Bezier curve）
贝塞尔曲线也是一种基于小块多项式的曲线拟合方法。
它通过控制点来绘制曲线，当控制点发生变化时，曲线的形状也会发生变化。
贝塞尔曲线的优点在于它简单易懂，可以在不需要大量计算的情况下绘制平滑曲线。
虽然这两种曲线拟合方法都基于小块多项式，但它们各自有不同的优点和适用场合。
B样条曲线更适用于需要局部控制的情况下，而贝塞尔曲线更适用于需要简单易懂的情况下。
贝塞尔曲线和B样条曲线
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
计算机形学曲线与曲面的生成与绘制算法
计算机形学曲线与曲面的生成与绘制算法计算机形学中的曲线与曲面生成与绘制算法是图形学领域中的关键技术之一。
利用算法可以生成各种各样的曲线与曲面，用于创建、编辑和渲染三维模型。
本文将介绍几种常见的曲线与曲面生成与绘制算法。
一、贝塞尔曲线与贝塞尔曲面算法贝塞尔曲线与贝塞尔曲面是计算机形学中最常用的曲线与曲面表示方法之一。
贝塞尔曲线与曲面基于一组控制点，通过调整这些控制点的位置和权重，可以生成平滑且可控制形状的曲线与曲面。
1. 贝塞尔曲线算法贝塞尔曲线算法通过使用插值多项式来定义曲线。
一阶贝塞尔曲线由两个控制点定义，而二阶贝塞尔曲线则需要三个控制点。
一般而言，n阶贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
通过调整控制点的位置和权重，可以生成不同形状的贝塞尔曲线。
2. 贝塞尔曲面算法贝塞尔曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。
类似于贝塞尔曲线，贝塞尔曲面也是通过在空间中插值来生成的。
通过调整控制点的位置和权重，可以创造出各种形状的曲面。
贝塞尔曲面常用于建模和渲染三维物体。
二、B样条曲线与曲面算法B样条曲线与曲面是另一种重要的曲线与曲面表示方法。
与贝塞尔曲线相比，B样条曲线具有更高的灵活性和平滑性。
B样条曲线通过使用基函数的加权和来定义曲线。
不同的基函数产生不同的曲线形状。
1. B样条曲线算法B样条曲线算法中，每个控制点都有一个与之关联的基函数，通过调整控制点的位置和权重，可以改变曲线的形状。
B样条曲线可以用于在三维空间中创建平滑的曲线，被广泛应用于计算机辅助设计和动画制作等领域。
2. B样条曲面算法B样条曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。
B样条曲面通过在两个方向上使用基函数的加权和来定义曲面。
通过调整控制点的位置和权重，可以实现曲面的形状调整。
B样条曲面广泛应用于计算机辅助设计、虚拟现实和游戏开发等领域。
三、其他曲线与曲面生成与绘制算法除了贝塞尔曲线和B样条曲线，还存在其他一些曲线和曲面生成与绘制算法，如NURBS曲线与曲面算法、Catmull-Rom曲线与曲面算法等。
曲线插值算法
曲线插值算法一、概述曲线插值算法是一种数学方法，用于在给定的控制点之间生成平滑的曲线。
该算法可以应用于各种领域，如计算机图形学、CAD和工程设计等。
曲线插值算法通过计算控制点之间的曲线来创建平滑的曲线，并且可以根据需要进行调整。
二、常见的曲线插值算法1. 贝塞尔曲线插值算法贝塞尔曲线插值是一种基于控制点的方法，它通过连接多个控制点来生成平滑的曲线。
该方法使用贝塞尔函数来计算两个相邻控制点之间的曲线。
这种方法通常用于计算机图形学中，用于绘制二维和三维图像。
2. 样条曲线插值算法样条曲线插值是一种基于函数逼近的方法，它通过拟合多项式函数来生成平滑的曲线。
该方法使用分段多项式函数来连接相邻控制点，并且保证函数在连接处连续可导。
这种方法通常用于CAD和工程设计中。
3. B样条曲线插值算法B样条曲线插值是一种基于参数化表示的方法，它通过计算参数化函数来生成平滑的曲线。
该方法使用B样条基函数来计算控制点之间的曲线，并且可以通过调整参数来改变曲线的形状。
这种方法通常用于计算机图形学和CAD中。
三、贝塞尔曲线插值算法详解1. 原理贝塞尔曲线插值是一种基于控制点的方法，它通过连接多个控制点来生成平滑的曲线。
该方法使用贝塞尔函数来计算两个相邻控制点之间的曲线。
贝塞尔函数是一种多项式函数，它可以用于生成平滑的曲线。
2. 计算公式在贝塞尔曲线插值中，每个控制点都有一个权重系数，称为贝塞尔权重。
假设有n个控制点，第i个控制点的坐标为(Pi, Qi)，则第i个控制点的贝塞尔权重为Bi(n,t)，其中t是一个0到1之间的参数。
当t=0时，Bi(n,t)等于1；当t=1时，Bi(n,t)等于1；当0<t<1时，Bi(n,t)可以通过递归公式计算得出：Bi(n,t)= (1-t)*Bi-1(n-1,t)+t*Bi(n-1,t)对于两个相邻的控制点Pi和Pi+1，它们之间的曲线可以用下面的公式计算得出：P(t)= (1-t)*Pi+t*Pi+1其中，t是一个0到1之间的参数。
unity2d曲线公式
unity2d曲线公式
Unity2D曲线公式是在Unity引擎中用于创建平滑曲线的数学公式。
它可以用于模拟物体的运动轨迹、实现特定的游戏效果以及进行路径插值等操作。
下面是一些常见的Unity2D曲线公式的介绍：
1. 贝塞尔曲线公式：
贝塞尔曲线是一种常见的曲线类型，在Unity中可以使用BezierCurveTo方法来创建贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线由若干个控制点决定，可以创建平滑的曲线形状，用于实现游戏中的路径动画等效果。
2. B样条曲线公式：
B样条曲线是另一种常见的曲线类型，在Unity中可以使用Spline插件来创建B样条曲线。
B样条曲线可以通过调整控制点来创建平滑的曲线，适用于创建物体的运动轨迹或路径动画。
3. Hermite曲线公式：
Hermite曲线是一种插值曲线，用于通过给定的控制点和切线向量来生成平滑的曲线。
在Unity中，可以使用Vector2.SmoothDamp方法来创建Hermite曲线。
Hermite曲线的优点是可以通过调整切线向量来控制曲线的形状和速度变化。
4. Catmull-Rom曲线公式：
Catmull-Rom曲线是一种用于路径插值的曲线，可以通过给定的控制点来生成平滑的路径。
在Unity中，可以使用CatmullRom插件来创建Catmull-Rom曲线。
Catmull-Rom曲线常用于生成物体的路径，实现平滑的运动效果。
以上是几种常见的Unity2D曲线公式，它们可以帮助我们在游戏开发过程中实现各种平滑的曲线效果。
通过合理使用这些曲线公式，我们可以创建出令人印象深刻的游戏动画和交互效果。
blender曲线类型
Blender曲线类型
Blender中的曲线类型主要有以下几种：
1. 曲线（Curve）：表示一系列点的集合，可以通过调整点的位置和控制点来创建曲线。
2. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：一种由控制点和中间点组成的曲线类型，可用于创建平滑的曲线形状。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Splines）：一种基于贝塞尔曲线的高级曲线类型，可以通过调整控制点和权重来创建更复杂的曲线形状。
4. 样条曲线（Spline Curve）：一种由一系列曲线段组成的曲线类型，可用于创建平滑的曲线形状，并且可以在曲线段之间创建光滑的过渡。
5. 圆弧（Arc）：表示一个圆形路径，可以通过调整弧度和半径来创建不同形状的圆弧。
6. 椭圆（Ellipse）：表示一个椭圆形路径，可以通过调整长轴和短轴的长度来创建不同形状的椭圆。
7. 多边形（Polygon）：由多个线段组成的路径，可以用于创建复杂的多边形形状。
以上是Blender中常见的曲线类型，每种曲线类型都有其独特的特点和用途，可以根据需要选择不同的曲线类型来创建所需的形状。
离散点拟合曲线,Bezier,B样条
§2 贝塞尔曲线
n次Bezier曲线参数矢量方程的一般形式：
xi 其中：Pi（i=0 ,1 , … , n）为n+1个平面离散点，P i y ; i n ! i i i ( n i ) B ( t ) C t ( 1 t ) ， Cn i , n n
i!(n i)!
P2
P1
P3
P2
P1
P3
P4
P5
两条曲线段在连接点P3处，并非光滑，需对该点进行 光滑处理。在光滑处理时，达到什么标准为“光滑”呢？ 给出2个一般标准：
§1 概述
1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等（相同的 切线），或者说一阶导数连续，即 pj 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 1连续。 2. C 2连续 在连接点 pj 处，不仅两曲线段的切线斜率相同，而 且切线斜率的变化率也相同，即 ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p 及 j j j j
贝塞尔曲线和B样条曲线
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
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§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
)()()()()(3,333,223,113,00t B p t B p t B p t B p t p +++=其中：3230303,0331)1()1()!03(!0!3t t t t t t B -+-=-=-⋅⋅-=-3221313,1363)1(3)1()!13(!1!3t t t t t t t B +-=-=-⋅⋅-=-32122323,233)1(3)1()!23(!2!3t t t t t t B -=-=-⋅⋅-=-33333,3)1()!33(!3!3t t t B =-⋅⋅-=-33232132032)33()363()331()(p t p t t p t t t p t t t t p +-++-+-+-=[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=32102300010033036313311)(p p p p t t t t p 10≤≤t 贝塞尔曲线特点：1.n 个顶点定义n-1次曲线，当顶点数较大时，拟合的曲线阶次太高。
2.任一顶点对整条曲线的形状都有关系，不利于局部修改。
二、B 样条曲线用B 样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。
1.数学表达式通常，给定m+n+1个顶点),,1,0(n m i p i +=K 可以定义m+1段n 次参数函数为：)()(0,,t F p t p nk n k k i n i ∑=+= （10≤≤t ），),,1,0(m i K =其中)(,t F n k 为B 样条分段混合函数，形式为：)()1(!1)(01,j k n t C n t F kn j j n j n k --+-=∑-=+• 段数、次数 段数=节点数-次数，每段曲线与n+1个点有关；• )!(!!n m n m C n m-=2.二次B 样条曲线 n=2,k=0,1,2n i n i n i i F p F p F p t p ,22,11,0)(++++=∑-=--+-=02023,0)02()1(!21j j j nj t C F 2222120)1(21)!23(!2!3)1()1()!13(!1!3)1()2()!03(!0!3)1[(21-=--++--++--=t t t t∑-=--+-=120232,1)12()1(21j j j j t C F )122(21])11()!13(!1!3)1()1()!03(!0!3)1[(2122120++-=-+--++--=t t t t22000232,221)!13(!1!3)1(21)22()1(21t t j t C F j j j =--=--+-=∑= 2212221)122(21)1(21)(+++++-+-=i i i i p t p t t p t t p 21)12()1()(++++-+-='i i i i tp p t p t t p)(21)0(1++=i i p p p )(21)1(21+++=i i p p pi i p p p -='+1)0(12)1(++-='iippp})]1()0([21{21)21(1+++=ipppp)0()1()21(ppp-='3.三次B样条曲线n=3, k=0, 1, 2, 333,323,213,13,033,)()(BFBFBFBFtFptpkkkii+++==∑=+其中∑-=+--+-=knjnjnjkjkntCF13,)()1(!31，)3,2,1,0(=lBl称为特征多边形。
∑=-+-=3343,0)3()1(!31jjj jtCF3332313)!34(!3!4)1()1()!24(!2!4)1()2()!14(!1!4)1()3()!4(!0!4)1[(61tttt--++--++--++--=)133(6123+-+-=ttt∑=--+-=2343,1)13()1(!31jjj jtCF)463(61)!24(!2!4)1()1()!14(!1!4)1()2()!4(!0!4)1[(612332313+-=--++--++--=ttttt∑=--+-=1343,2)23()1(!31jjj jtCF。