高中数学必修5《等差数列求和公式》教学设计

《等差数列求和公式》教学设计

知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。

过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。

情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n 项和公式是重点。获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。

教学策略：用游戏的方法调动学生的积极性教学用具：flash ，ppt课堂系统部分：整节课分为三个阶段：

问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段

问题呈现1：有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。

问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一袋金币是假的？

S = 10 + 9 + + 2 + 1 2S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11⨯10=110110S ==552动画演示：

由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出

的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么

电子秤显示的数据应该是： (两) 55⨯2=

110

而实际显示的的数字是：102（两）

可见比全是真币时少了8两

又因为，每个假币比真币轻1两

所以，可知在电子秤上有8个假币

那么，第8袋全是假币。

设计说明：

这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。

动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式

承上启下，探讨高斯算法.

问题呈现2：

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国

皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大

理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七

大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝

石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，

可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,

, 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让

, 将两个三角形拼成平行四边形.

(1+21) ⨯21s = 212

设计说明：

•源于历史，富有人文气息.

•图中算数，激发学习兴趣.

这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础.

探究发现：

问题3：如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?

由前面的例子，不难用逆序相加法推出

s n =a 1+a 2+a 3+ +a n s n =a n +a n -1+a n -2+ +a 1 n (a 1+a n ) ∴s n = 2

设计说明：

在前面两个问题的基础上，问题呈现3提出了等差数列求和公式的推导，鼓励学生利用“逆序相加”的数学方法推导公式。

探究发现：

a 1(m ) ，下底长为a n (m ) ，高为n (m ) ，求这个梯形的面积为多少平方米？

面积公式：

1n S =2

设计说明：

利用梯形的面积公式，帮助学生记忆等差数列的求和公式，让学生对于“数形结合”的理解更加深一层。 n (a +a )

探究发现：

问题4 已知首相a 1, 相数n , 公差d

如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?

复习回顾:等差数列通项公式:a n =a 1+(n -1)d

n (a 1+a n ) 公式1S n =2

n [a 1+a 1+(n -1)d ]n (a 1+a n ) S n == 22

n ⎡2na 1+n (n -1)d ⎡2a 1+(n -1)d ⎡⎡== 22

n (n -1) 公式2S n =na 1+d 2

根据等差数列求和公式1和等差数列通项公式, 推出等差数列公式2

公式应用

•根据题目选用公式

•利用通项求中间量

•依据条件变用公式

例题1：

2008年北京奥运会的体育馆已初步建成，其中有一块地的方砖成扇形铺开，有人数了第一排的方砖个数为10个，最后一排的方砖个数为2008个，而且一共有36排，问这一块地的方砖有多少块？

本例提供了许多数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

通过两种公式的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。

例题2：

2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒，已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是2个，后面每一排比前一排多3个，一共有78排，问这个人体内的病毒数有多少个？

本例已知首项，公差和项数，引导学生使用公式2。

事实上，根据提供的条件再与公式对比，

便不难知道应选公式。

例题3：

甲从A 地出发骑车去B 地，前1分钟他骑了了400米，后来每一分钟都比前

一分钟多骑5米，当他到达B 地时的那一分钟内骑了500米，问A 地和B 地之间的距离？

本例题欲求AB 间的距离，实质求甲共骑了多少米。已知首项400，公差为5和末项为500，可求出项数为21，然后引导学生使用公式1。

本题需要用到通项公式求项数，作为中间的桥梁。

例题4：

等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54 ？

本例题已知公差为4，首相为－10，前n 项和为54，欲求项数n ，于是变用公式2。

n (n -1)4 54＝－10n +解得：n =-3或