椭圆的参数方程(含答案)
椭圆的参数方程
图1-2
故当 sin(
) 1时，d 取得最小值
方法二:把直线 l 平移至l ' ,l '与椭圆相切, 此时的切点 P 就是最短距离时的点. 即设：
l
y
l'
l ': x y m 0
P
O
x y m 0 由 2 x 2 y 1 3
m 2
解：因为点P（x,y)在椭圆 ：
椭圆参数方程的应用
x =2cosθ (θ为参数) y = sinθ
x y2 1 上，可设 4
2
O
A
x
则|AP|=
2 2 (2 cos 1)2 (sin )2 = 3(cos - )2
2 当cosθ= 时，|AP| min = 3
6 3
3
3
4 5 此时,x= ,y= 3 3 4 5 6 ± 即当点P的坐标为 （ ）时， |AP| min = 3 3 3
o
F1
x
参数方程: x b cos (为参数) y a sin
课堂练习
1. 将下列参数方程化为普通方程,普通方程化 为参数方程:
x 6 cos x 3cos (为参数) （） 1 { y 2sin (为参数） (2) y 8 sin
联想到
B
O
A M
N
x
sin 2 cos 2 1
x2 y 2 2 1 2 a b
将两个方程变形，得： 所以有：
x cos a
y sin b
由此可知,点M的轨迹是椭圆. 我们把方程
2 2 x y x a cos 2 1(a b o) 2 叫做椭圆 ( 为参数 ) a b
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析)
《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-． 所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠A Q B ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九 例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
椭圆参数方程
2、求定点(2a,0)和椭圆{
Hale Waihona Puke x = a cos θ y = b sin θ
(θ为参数)上各
点连线的中点轨迹方程。
解：设定点与椭圆上的点连线的中点为M ( x, y ) 2a + a cos θ x= 2 则{ (θ为参数) b sin θ y= 2 ( x − a) 2 y 2 上述的方程消去参数，得 + 2 =1 2 a b 4 4
x 9
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos α ,2sin α ) S⊳ ABC 面积一定 , 需求 S⊳ ABP 最大即可 即 求 点 P 到 线 AB的 距 离 最 大 值
x 线 AB的 方 程 为 3 + y 2
= 1 ⇒ 2x + 3y − 6 = 0 =
6 13
d =
| 6 cos α + 6 sin α − 6 | 2 2 + 32
y
分析1：设P ( ± 8 − 8y 2 , y ),
则d = | ± 8 − 8y 2 − y + 4 | 2
O x
分析2：设P( 2 2 cos φ, sin φ),
则d = | 2 2 cos φ − sin φ + 4 |
P
2 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求 小结：借助椭圆的参数方程， 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
思考： 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数 x y x, y满足 + = 1的前提下，求出z = x − 2 y的 25 16 最大值和最小值吗？
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析]
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《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b ，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49s i n 3s i n34222+--=θθb b b 3421s i n 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b ，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ，将22222y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b cab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα ∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα， ∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+= ∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
椭圆的参数方程
y
x0 y0
a cos b sin
(为参数)
y
B O
Aφ
M
Nx
做一做1 椭圆
=3 =2
2cos 3sin
,
(φ为参数)的焦距是
26
.
例2
x2 已知椭圆的方程为：25
y2 16
1
，求椭圆内接矩形的最大面积。
做一做2
已知椭圆的方程为：
x2 16
y2 12
1
，
p是椭圆上的一点；
椭圆的参数方程
复习回顾：
圆的标准方程
圆的参数方程
x2 y2 r2
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
x
y
x0 y0
r cos r sin
,
(为参数）
参数
消去参数
普通
方程
方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
代入参数关系
（1）把椭圆的普通方程化为参数方程； （2）求p到直线x-2y-12=0的距离的范围，并求出距离最小的p的坐标.
课堂小结
椭圆的标准方程: 椭圆的参数方程:
x2 y2 1
a2 b2
x y
a b
cos sin
(
是参数)
椭圆的参数方程中参数 的几何意义:
是∠AOX= ,不是∠MOX=φ.
椭圆的参数方程
2
2
(1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 2=1(a>b>0)的一个参
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为(x －h )2a 2＋(y －k )2b 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝h ＋a cos φy ＝k ＋b sin φ(φ是参数)．1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ2y ＝cos θ(θ为参数)的一个焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎪⎫32，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选C.椭圆的普通方程为x 2＋(2y )2＝1，即x 21＋y 214＝1.c 2＝a 2－b 2＝1－14＝34，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，0.故选C. 2．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数，0≤φ<2π)的离心率为( )A.23 B ．35C.32D ．53解析：选A.由⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos φy 5＝sin φ，所以x 29＋y 25＝1，所以a ＝3，b ＝5，c ＝2，e ＝23.3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的最大距离为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选C.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的距离为4cos 2θ＋sin 2θ＝1＋3cos 2θ≤2，当且仅当cos θ＝±1时，取得最大值．故选C.4．椭圆x 24＋y 22＝1的参数方程是____________；椭圆(x －1)225＋(y ＋1)216＝1的参数方程是____________．解析：因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))，所以x 24＋y 22＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝2sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))，同样可知(x －1)225＋(y ＋1)216＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))．答案：⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝2sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))利用椭圆的参数方程求最值(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为()3cos α，sin α.因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝||3cos α＋sin α－42＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.(1)对于椭圆和圆上的动点M (x ，y )，求目标函数z ＝f (x ，y )的最值问题，均可利用参数方程表示动点坐标把目标函数转化成关于参数的三角函数，然后利用三角函数有界性求其最值．(2)利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1.已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值．解：椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)．代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85)．所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89. 2．已知椭圆x 225＋y 216＝1，点A 的坐标为(3，0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ(θ为参数)．设P (5cos θ，4sin θ)，则 |PA |＝(5cos θ－3)2＋(4sin θ)2＝9cos 2θ－30cos θ＋25＝(3cos θ－5)2＝|3cos θ－5|≤8， 当cos θ＝－1时，|PA |最大．此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5，0)．利用椭圆的参数方程求轨迹方程已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程，并说明它是什么图形．[解] 由题意知A (6，0)、B (0，3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ. 消去参数θ得到(x －2)24＋(y －1)2＝1.此即为动点G 的轨迹方程，它表示中心在点(2，1)，对称轴平行于坐标轴，长半轴长为2，短半轴长为1的椭圆．(1)本题也可用代点转移法求解，即设G (x ，y )，C (x 1，y 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋x 13y ＝0＋3＋y 13即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x －6y 1＝3y －3，因为C (x 1，y 1)在椭圆x 236＋y 29＝1上，所以x 2136＋y 219＝1，所以(3x －6)236＋(3y －3)29＝1即(x －2)24＋(y －1)2＝1.(2)对比两种解法，可知利用参数方程求解更简单易行．1.已知椭圆方程是x 216＋y 29＝1，点A (6，6)，P 是椭圆上一动点，求线段PA中点Q 的轨迹方程．解：设P (4cos θ，3sin θ)，Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋62，y ＝3sin θ＋62，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋3，y ＝32sin θ＋3(θ为参数)．所以9(x －3)2＋16(y －3)2＝36，即为所求．2．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1.即为线段F 1P 的中点的轨迹方程．利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题在平面直角坐标系中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos β，y ＝sin β(β为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0，α∈[0，2π))．(1)把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程．(2)设射线l 与椭圆C 相交于点A ，把射线l 绕极点逆时针旋转90°得到射线OB ，与椭圆C 相交于点B ，试确定1|OA |2＋1|OB |2是否为定值．若为定值，求出此定值，若不为定值，请说明理由．[解] (1)因为椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos β，y ＝sin β(β为参数)，所以椭圆C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 22＋y 2＝1，可得ρ2cos 2 θ2＋ρ2sin 2 θ＝1，化简得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2.(2)由(1)得椭圆的极坐标方程可化为ρ＝21＋sin 2θ，在极坐标系中，可设A (ρ1，α)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，α＋π2，将A ，B 坐标分别代入ρ＝21＋sin 2θ中，有ρ1＝21＋sin 2α，ρ2＝21＋cos 2α，所以1ρ21＝1＋sin 2 α2，1ρ22＝1＋cos 2α2，则1ρ21＋1ρ22＝32，即1|OA |2＋1|OB |2＝32. 故1|OA |2＋1|OB |2为定值32. 利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．证明：设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1)． 则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.所以|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.所以|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．1．椭圆参数方程中参数的几何意义椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ有明确的几何意义，对于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，φ称为该椭圆的离心角，φ的最大范围是R ，最小范围是[0，2π)．如果φ的范围比[0，2π)还小，那么该参数方程表示的图形不是一个椭圆而是椭圆的一部分．2．椭圆参数方程的推导过程如图以坐标原点为圆心，分别以a ，b (a >b >0)为半径画两个同心圆，角φ(0≤φ<2π)的终边分别交两圆于A 、B ，作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x 轴于B 1，BM ⊥AA 1于M .设M (x ，y )，由三角函数定义可知x ＝OA 1＝|OA |cos φ＝a cos φ，y ＝A 1M ＝B 1B ＝|OB |sin φ＝b sin φ，于是得动点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)．3．椭圆参数方程和普通方程的互化互化的依据是sin 2φ＋cos 2φ＝1，由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ可得⎩⎪⎨⎪⎧xa ＝cos φyb ＝sin φ，于是两式平方相加得到普通方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，由普通方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x a ＝cos φ，yb＝sin φ就能化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ.4．椭圆的参数方程不是唯一的对于同一个椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，选取离心角作为参数可求得参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)，若选取其他量作为参数，也可求得相应的参数方程，只是参数的几何意义就不明确了，例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sinφ2y ＝b cos φ2(φ为参数)也是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的一个参数方程．1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，此椭圆上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫532，2，则P 点的离心角为( )A.π3 B ．π6 C ．2π3 D ．5π6解析：选B.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫532，2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32sin θ＝12， 又0≤θ<2π，所以θ＝π6.2．已知P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点M 的轨迹方程是____________．解析：设P (4cos θ，22sin θ)，M (x ，y )，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋4cos θ2y ＝0＋22sin θ2即⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)， 消去θ得动点M 的轨迹方程是x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝13．椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t y ＝－2＋2sin t，(t 为参数)，点P 为椭圆上对应t ＝π6的点，求直线OP 的斜率．解：当t ＝π6时，x ＝1＋3cos π6＝1＋332，y ＝－2＋2sin π6＝－1.所以直线OP 的斜率k ＝yx＝－11＋332＝4－6323. [A 基础达标]1．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝2sin φ，(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ，(φ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9cos φy ＝4sin φ，(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝9sin φ，(φ为参数)解析：选B.把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为x 24＋y 29＝1，则b ＝2，a ＝3，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝(A ．πB ．π2C ．2πD ．32π解析：选A.因为点(－a ，0)中x ＝－a ，所以－a ＝a cos θ， 所以cos θ＝－1，所以θ＝π. 3．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A. 3 B ．－33C ．2 3D ．－2 3 解析：选C.点M 的坐标为(1，23)，所以k OM ＝2 3.4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ， 得x ＋y －2＝0(－1≤x ≤0，1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.可知两曲线交点有1个．5．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3，4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22C ．(－3，4)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 解析：选D.因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34.所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.6．设点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，则点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离分别为______，______．解：设P (4cos θ，3sin θ)， 则d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－245，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2)． 答案：125(2＋2) 125(2－2) 7．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝4sin t ，(t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN 的斜率为________． 解析：当t ＝π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，即M (1，23)，同理N (3，2)．k MN ＝23－21－3＝－2.答案：－28．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ<2π)恒有公共点，则b 的取值范围是____________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .因为恒有公共点，所以方程有解．令f (θ)＝b ＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ－φ)(tan φ＝12)．所以－25≤f (θ)≤2 5. 所以－25≤b ≤2 5. 答案：[－25，2 5 ]9．如图，由椭圆x 24＋y 29＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．解：椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)， 所以设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2cos θ2＝2cos θ，y ＝3sin θ2，消去θ，得x 24＋4y 29＝1，即为所求的轨迹方程． 10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α，(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)． 因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. [B 能力提升]11．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a >b >0，θ为参数)上一点M 与两焦点F 1、F 2所成角为∠F 1MF 2＝α.求证：△F 1MF 2的面积为b 2tan α2. 证明：因为M 在椭圆上，所以由椭圆的定义，得：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，两边平方，得|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝4a 2.在△F 1MF 2中，由余弦定理，得|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos α＝|F 1F 2|2＝4c 2. 由两式，得|MF 1||MF 2|＝b 2cos 2α2.故S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|sin α＝b 2tan α2. 12．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴正半轴交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP (O 为坐标原点)，求离心率e 的取值范围．解：由题意知A (a ，0)，若存在点P ，使OP ⊥AP ，则点P 必落在第一或第四象限，故根据椭圆的参数方程可设P (a cos φ，b sin φ)，0<φ<π2或3π2<φ<2π. 因为OP ⊥AP ，所以k OP ·k AP ＝－1，即b sin φa cos φ·b sin φa cos φ－a＝－1. 所以b 2sin 2φ＋a 2cos 2φ－a 2cos φ＝0，即(a 2－b 2)cos 2φ－a 2cos φ＋b 2＝0.解得cos φ＝b 2a 2－b 2，或cos φ＝1(舍去)．由0<φ<π2或3π2<φ<2π，得0<cos φ<1， 所以0<b 2a 2－b 2<1，把b 2＝a 2－c 2代入， 得0<a 2－c 2c 2<1，即0<1e 2－1<1，解得22<e <1. 13．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．14．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3. (1)求曲线C 1，C 2的方程．(2)若点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1)将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ， 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 故曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1， 由题意设圆C 2的半径为R ，则方程为(x －R )2＋y 2＝R 2，由D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3， 直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32代入(x －R )2＋y 2＝R 2得R ＝1，故圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)因为点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上， 所以ρ21cos 2θ4＋ρ21sin 2θ＝1， ρ22cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π24＋ρ22sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝1， 即ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1， 所以1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ4＋sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋cos 2θ＝54.。
选修4-4椭圆的参数方程(精)
y
MB 2 pt22 x,2 pt2 y ,
A
M
且A, M , B三点共线,所以
O
x
x 2 pt12 2 pt2 y
y 2 pt1 2 pt22 x ,
B
化简,得yt1 t2 2 pt1t2 x 0 ⑩ 图213
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点 则A =Bta2（ 的 ans横 ec坐b标.为taxnB=）a2（. sec tan）.
点的两动点 ,且 OA OB,
OM AB 并与AB 相交于 点M ,求点M的轨迹方程.
看点M运动形成轨迹的过程.
B
图2 13
解 根据条件,设点M , A, B
的坐标为x, y, 2 pt12,2 pt1 ,
2 pt22,2 pt2 t1 t2,且t1 t2 0,则OM x, y,
第二章 参数方程 y 抛物线的参数方程
如图2 12,设抛物线的普通方
Mx, y
程为y2 2 px ⑤
其中p表示焦点到准线的距离. O
x
设M x, y为抛物线上除顶点
外任意一点,以射线OM 为终
边的角记作.
显然,当在
2
,
2
内变化时,
图2 12
点M在抛物线上运动, 并且对于的每一个值, 在
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
椭圆的参数方程
• 1．椭圆的参数方程
普通方程 ax22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
参数方程
x＝ acos φ y＝ bsin φ
(φ为参数)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ为参数)
2．中心在（m,n）的
椭
圆
x－m2 a2
＋
y－n2 b2
的矩形的长和宽及其最大面积．(如图)
解析：
已知椭圆
x2 9
＋y42
＝1的参数方程为
x＝3cosφ， y＝2sinφ
(φ
为参数)，设P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点．
则P点的坐标是P(3cosφ，2sinφ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4·3cosφ·2sinφ＝12sin2φ
当sin2φ＝1，即φ＝45°时，面积S有最大值12，
• ①通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标；
• ②将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 性质及变换公式帮助求解诸如最值、参数取值范围等问题．
• (2)设出C的坐标为(6cosθ，3sinθ)； • (3)由重心公式可得G坐标； • (4)消去参数θ，即得G轨迹方程．
[解题过程] 由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆 上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设 为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
(2)利用 asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)化简，运用三角 函数的有界性求最值．
例1在椭圆 x 2 y 2 1上求一点M，使点M到直线x 2 y 10 0 94
的距离最小，并求出最小距离
(完整word版)椭圆的参数方程(含答案)
椭圆的参数方程 教学目标：1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：椭圆的参数方程。
教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.教学方式：讲练结合，引导探究。
教学过程：一、复习焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)y x a b a b+=>> 二、椭圆参数方程的推导1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程因为22()()1xy a b +=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有||cos cos x OA a ϕϕ==， ||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩ 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
()ϕ为参数在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。
思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y rsin x θθ=⎧⎨=⎩ 中参数θ的意义类似吗？ 由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。
椭圆的参数方程
.
复习
椭圆的标准方程 1.焦点在x轴上的椭圆的标准方程:
x y 2 1(a b 0) 2 a b 2.焦点在 y轴上的椭圆的标准方程:
2 2
y x 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
讲授新课
椭圆的参数方程：
x y （a>b>0） 椭圆的标准方程： 2 2 1 a b
2
2
答案：x+y的最大值为2，最小值为-2
课堂小结（1） 椭圆的参数方程
椭圆的标准方程： 2 2 x2 y 2 x y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 （或 2 2 1） 2 a b b a 椭圆的参数方程：
x a cos y b sin
x b cos (或 ) y a sin
x b cos 2 （φ 为参数） 0, y a sin
例1、将下列普通方程化为参数方程
x2 y2 (1) 1 4 9
x2 y2 (2) 1 25 16
,y=3sin ,所以椭圆的 解（1）由于x=2cos 2 2 普通方程 (1) x y 1 的参数方程为
4 3 4 3 4 ( cos sin ) ,令 cos , 5 5 5 3 则 sin ，则x+2y= 5 sin( )
2 2
5
因为 1 sin( ) 1 ，所以x+2y最大值为5 ； 最小值为-5.
y 1 上的动点， 练习: 已知点P(x,y)是椭圆 x 3 求 x+y的最大值和最小值 .
解：设M（x, y), 是以Ox为始边，OA为终边的正角，
x ON OA cos, y NM OB sin ,
高三复习数学471_椭圆的参数方程(有答案)
4.7.1 椭圆的参数方程一、解答题。
1. 把下面参数方程化为普通方程，把普通方程化为参数方程x 216+y 29=1；{x =2cos θ,y =sin θ.2. 把下面参数方程化为普通方程，把普通方程化为参数方程． {x =2+4cos θ,y =1−3sin θ.(x+1)24+(y−2)29=1．3. 已知实数x ，y 满足x 225+y 216=1，求目标函数z =x −2y 的最大值与最小值．4. 椭圆x 29+y 24=1上一动点P (x,y )与定点A (a,0)(0<a <3)之间的距离的最小值为1，求a 的值．5. 经过点M (2,1)作直线l ，交椭圆x 216+y 24=1于A ，B 两点，如果M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．6. （2018·全国Ⅱ卷，22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =4sin θ(θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =2+t sin α（t 为参数）．求C 和l 的直角坐标方程；若曲线 C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．7. 已知椭圆x 24+y 2=1上任一点M （除短轴端点外）与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|⋅|OQ|为定值．8. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP，求该椭圆的离心率e的取值范围．9. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________ __________________________________参考答案与试题解析 4.7.1 椭圆的参数方程一、解答题。
椭圆的参数方程(2)
x y （ 3） 1 4 9
2
2
（ 4） x
y
16
1
x 2 3 cos , 2 .曲 线 ( 为 参 数 ) 的 焦 距 是 y 3 2 sin .
。
例1、在椭圆
x
2
y
2
1 上求一点M，使M到直线
9
Y
4
x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。
y B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X X
分别用两种方法做： 1、直接用普通方程求解； 2、用参数方程求解，体会参数方程的作用。
练习
x cos , ( 为 参 数 ), 3. 线 的 参 数 方 程 曲 2 y s in .
2
则此曲线是(
A 椭圆 C 线段
)
B 椭圆的一部分 D 直线
x
2
说明：
y
2
探究：P29
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
y A
B
o
•
M x
思考：P27，28
类比圆的参数方程中参数的意义， 椭圆的参数方程中参数的意义是什么？ 与圆的参数方程的参数类似吗？
为点M的旋转角；
这是中心在原点O，焦点 圆： 在x轴上的椭圆的参数方程。
椭圆： 为 点 M 的 离 心 角 。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1椭圆的一个顶点为02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A 为长轴端点时，2a ，1b ，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A 为短轴端点时，2b ，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222cac∴223a c，∴3331e．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01y x交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222yax ，由101222yaxy x ，得021222xa x a ，∴222112a a x x x M，2111ax y MM ，4112ax y k MM OM，∴42a，∴1422yx为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522y x上不同三点11y x A ，，594，B ，22y x C ，与焦点04，F 的距离成等差数列．（1）求证821x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5a ，3b ，4c ．由圆锥曲线的统一定义知：ac x caAF 12，∴ 11545x ex a AF ．同理2545x CF ．∵ BF CFAF2，且59BF，∴ 51854554521x x ，即821x x ．（2）因为线段AC 的中点为2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为42212121xy y x x y y y．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为00，x ，代入上式，得21222124x x y y x 又∵点11y x A ，，22y x B ，都在椭圆上，∴ 212125259x y 222225259x y ∴ 21212221259x x x x y y．将此式代入①，并利用821x x 的结论得25364x ∴ 454059x k BT．典型例题五例5已知椭圆13422y x，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设11y x M ，，由已知条件得2a，3b，∴1c，21e ．∵左准线l 的方程是4x，∴14x MN．又由焦半径公式知：111212x ex a MF ，112212x ex a MF ．∵212MF MF MN ，∴11212122124x x x ．整理得048325121x x ．解之得41x 或5121x ．①另一方面221x ．②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设sin3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为2121xk y ．代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxk kxk ．由韦达定理得22212122kkkx x ．∵P 是弦中点，∴121x x ．故得21k ．所以所求直线方程为0342y x ．分析二：设弦两端坐标为11y x ，、22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y ．解法二：设过2121，P 的直线与椭圆交于11y x A ，、22y x B ，，则由题意得④1.③1②12①12212122222121y y x x y x yx ，，，①－②得0222212221yyxx．⑤将③、④代入⑤得212121x x y y ，即直线的斜率为21．所求直线方程为0342y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点62，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222by ax 求出1482a ，372b ，在得方程13714822yx 后，不能依此写出另一方程13714822xy ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222by ax 或12222bx ay ．由已知b a2．①又过点62，，因此有1622222ba或1262222ba．②由①、②，得1482a，372b或522a，132b．故所求的方程为13714822yx或1135222xy ．（2）设方程为12222by ax ．由已知，3c ，3c b ，所以182a．故所求方程为191822yx ．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222by ax 或12222bx ay ．典型例题八例8椭圆1121622yx的右焦点为F ，过点31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM1均可用此法．解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl ：．过A 作l AQ ，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2．显然MF AM 2的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3My ，且M 在椭圆上．故32M x ．所以332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2中的“2”的处理．事实上，如图，21e，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为.sin cos 3yx ，设椭圆上的点的坐标为sincos 3，，则点到直线的距离为263sin226sin cos3d．当13sin时，22最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23e，已知点230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222by ax ，其中0b a 待定．由222222221ab ab a ac e 可得2143112eab ，即b a 2．设椭圆上的点y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222yyby a yxd34213493342222byyyb其中b yb．如果21b，则当b y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得22237b，由此得21237b，与21b矛盾．因此必有21b 成立，于是当21y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得34722b ，可得1b ，2a．∴所求椭圆方程是11422yx．由21y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点213，，点213，到点230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是sincos b ya x ，其中0b a ，待定，20，为参数．由22222221ab ab aac e可得2143112eab ，即b a 2．设椭圆上的点y x ，到点230，P 的距离为d ，则22222223sin cos23b a yxd49sin3sin34222b b b 3421sin3222bbb 如果121b ，即21b，则当1sin 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得22237b，由此得21237b ，与21b矛盾，因此必有121b成立．于是当b 21sin 时2d （从而d ）有最大值．由题设知34722b，∴1b ，2a．∴所求椭圆的参数方程是sincos 2yx ．由21sin，23cos ，可得椭圆上的是213，，213，．典型例题十一例11设x ，R y，x y x 63222，求x yx 222的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222与椭圆方程的结构一致．设m xyx222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222，得123492322y x可见它表示一个椭圆，其中心在023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x 222，则1122m yx 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为11mm ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11m ，此时0m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41m ，∴15m ．∴x yx222的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12已知椭圆012222baby axC ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ，求证：不论a 、b 如何变化，120APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120AQB，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB 和AQB 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x，b y，根据120AQB得到32222ayxay ，将22222y ba ax代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设0，c F ，0，a A ，0，a B ．abc P b a ya xb cx 2222222，于是a c a bk AP 2，aca b k BP2．∵APB 是AP 到BP 的角．∴2222242221tan ca ac a ba c ab ac a bAPB∵22ca∴2tan APB 故3tanAPB∴120APB ．（2）设y x Q ，，则ax y k QA ，ax y k QB．由于对称性，不妨设0y，于是AQB 是QA 到QB 的角．∴22222221tan ayxay ax y a x yax yAQB∵120AQB ，∴32222ayxay 整理得023222ay ayx∵22222yba ax∴0213222ay yba ∵0y ，∴2232caby∵b y ，∴bcab 2232232c ab，222234cca a ∴04444224a c a c，044324e e ∴232e或22e （舍），∴136e ．典型例题十三例13已知椭圆19822y kx 的离心率21e，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82ka，92b ，得12k c．由21e，得4k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92a ，82kb ，得k c12．由21e，得4191k，即45k ．∴满足条件的4k 或45k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222by bx上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(b，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222by bx，得b a 2，b c 3，23e．由椭圆定义，b a PF PF 4221，得b b b PF bPF 34421．由椭圆第二定义，e d PF 11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF 22，2d 为P 到右准线的距离，23ac e，∴b ePF d 33222．又椭圆两准线的距离为b c a 33822．∴P 到左准线的距离为b bb32332338．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆.sin 32,cos 4yx (为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3POx，求P 点坐标．分析：利用参数与POx 之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(P ，由P 与x 轴正向所成角为3，∴cos4sin 323tan，即2tan ．而0sin ，0cos，由此得到55cos，552sin ，∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222by a x )0(ba 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex ar ，02ex ar ．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线caxl 2：的距离，cax PQ 2，由椭圆第二定义，e PQPF 1，∴01ex a PQe r ，由椭圆第一定义，0122ex ar ar ．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA 的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2)求223PF PA的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62a ，)0,2(2F ，22AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221aPF PF ，22AF PF PA ，∴26222211AF aAF PF PF PF PA，等号仅当22AF PF PA时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA ，∴26222211AF aAF PF PF PF PA，等号仅当22AF PF PA时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02y x，解方程组4595,0222yxy x 得两交点)2141575,2141579(1P 、)2141575,2141579(2P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA取最小值26，P 点与2P 重合时，2PF PA取最大值26．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3a，2c ，∴32e．由椭圆第二定义知322ePQPF ，∴223PF PQ，∴PQ PAPF PA223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29x．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18(1)写出椭圆14922yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1)sin2cos 3y x )(R ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(为矩形在第一象限的顶点，)2(，则122sin 12sin 2cos 34S 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF 的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222by ax （0ba ），),(11y x P （01y ）．思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212PFPF PFPFK K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F ，)0,(2c F ，化简可得03233212121ccy y x ．又1221221by ax ，两方程联立消去21x 得0323412212bcy b y c ，由],0(1b y ，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF 的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF ，12ex a PF ，在21F PF 中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x ，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF 的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221求解．解：(法1)设椭圆方程为12222by ax （0ba），),(11y x P ，)0,(1c F ，)0,(2c F ，0c，则11ex a PF ，12ex a PF ．在21F PF 中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a cex a ex a ，解得2222134eacx．(1)∵],0(221a x ，∴2222340a eac ，即0422ac．∴21a c e．故椭圆离心率的取范围是)1,21[e ．(2)将2222134eacx 代入12222by ax 得24213cby ，即cby 321．∴22213332212121b cbcy F F S FPF ．即21F PF 的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF 1，n PF 2，12F PF ，21F PF ，则120．(1)在21F PF 中，由正弦定理得60sin 2sin sinc n m ．∴60sin 2sinsinc n m ∵a n m 2，∴60sin 2sinsin2c a ，∴2cos2sin260sin sinsin 60sin a c e212cos 21．当且仅当时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[e ．(2)在21F PF 中，由余弦定理得：60cos 2)2(222mn n m c mnnm22mnn m 3)(2∵a nm 2，∴mn a c 34422，即22234)(34b c a mn．∴23360sin 2121b mn SF PF ．即21F PF 的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF 的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20椭圆12222by ax )0(ba与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是sincos b ya x )0(ba，则椭圆上的点)sin ,cos (b a P ，)0,(a A ，∵AP OP，∴1cossin cossin aa b a b ，即0coscos)(22222ba b a，解得1cos或222cosb ab ，∵1cos1∴1cos （舍去），11222bab，又222cab∴2022ca ，∴22e，又10e ，∴122e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP．如何证明？。
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)典型例题一已知椭圆的一个顶点为A(2.0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置。
解：（1）当A(2.0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2/1=1；（2）当A(2.0)为短轴端点时，b=2，a=4，椭圆的标准方程为：x^2/16+y^2/4=1.说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况。
典型例题二一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率。
解：设椭圆长轴长为2a，焦点到准线的距离为c，则2c/3=a，即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2，代入c=3a/2中得到9a^2/4=a^2-b^2，化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2.说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比。
二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可。
典型例题三已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程。
解：由题意，设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1，直线方程为y=1-x。
将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1，化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1)，则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2]，其中x2为方程(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。
由OM的斜率为0.25可得到y1=0.25x1.又因为M在直线x+y-1=0上，所以有y1=1-x1.解以上两个方程可得到M的坐标为(4/5.1/5)。
【同步练习】2020人教A版选修4-4课后练习本《椭圆的参数方程》含答案解析)
2020人教A 版选修4-4课后练习本：椭圆的参数方程一、选择题1.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221 C.29 D ．2292.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．圆的一部分B ．抛物线的一部分C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分3.曲线C: ⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝5sin α(α为参数)的离心率为( )A ．23B ．35C ．32D ．534.点P(x ，y)是椭圆2x 2＋3y 2=12上的一个动点，则x ＋2y 的最大值为( )A ．22B ．22C ． 6D ．4 5.双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的一个焦点为 ( )A ．(3,0)B ．(4,0)C ．(5,0)D ．(0,5)6.当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )A ．点(2，3)B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π27.椭圆x 29＋y24=1上的点到直线x ＋2y －4=0的距离的最小值为( )A ．55B ． 5C ．655D ．08.若P(x ，y)是椭圆2x 2＋3y 2=12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( ) A ．2 6 B ．4 C.2＋ 6 D ．2 2二、填空题9.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1=0，则曲线C 1与C 2的交点的个数为 .10.点P(x ，y)在椭圆x 24＋y 2=1上，则x ＋y 的最大值为 .11.已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN 的斜率为________．12.已知P 是椭圆x 216＋y28=1上的动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点M 的轨迹方程是________．三、解答题13.已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1=0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．14.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4=0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．答案解析1.答案为：B ；解析：消去参数θ得椭圆方程为：x 24＋y225=1，所以a 2=25，b 2=4，所以c 2=21，所以c=21，所以2c=221.2.答案为：B ；解析：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为x 2=y(0≤y≤2)，表示抛物线的一部分．3.答案为：A ；解析：由题设得x 29＋y 25=1，∴a 2=9，b 2=5，c 2=4.∴e=c a =23.故选A ．4.答案为：A ；解析：椭圆方程为x 26＋y24=1，设P(6cos θ，2sin θ)，则x ＋2y=6cos θ＋4sin θ=22sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝64， 故x ＋2y≤22.x ＋2y 的最大值为22.5.答案为：C ；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝4tan φ得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝1cos φ，y 4＝tan φ，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42=1cos 2φ－tan 2φ=1， 即双曲线方程为x 29－y216=1，焦点为(±5,0)．故选C ．6.答案为：B ；解析：把四个选项代入P 点检验，只有B 符合．7.答案为：A ；解析：可设椭圆x 29＋y24=1上的点为(3cos θ，2sin θ)，该点到直线x ＋2y －4=0的距离d=|3cos θ＋4sin θ－4|1＋4=θ＋φ－4|5≥15=55.故选A ．8.答案为：D ；解析：椭圆为x 26＋y24=1，设P(6cos θ，2sin θ)，x ＋22y=6cos θ＋2sin θ=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2 2.9.答案为：2；解析：由题意，曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)可化为一般方程x 24＋y23=1，直线C 2的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＋1=0可化为普通方程x －y ＋1=0.联立两个方程，消去y 可得x 24＋＋23=1，即7x 2＋8x －8=0.因为Δ=82＋4×7×8>0，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．10.答案为： 5.解析：由已知可得椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，则x ＋y=2cos α＋sin α=5sin (α＋φ)(tan φ=2)，∴(x ＋y)max = 5.11.答案为：－2；解析：当t=π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，即M(1，23)，同理N(3，2)．k MN =23－21－3=－2.12.答案为：x 24＋y22=1；解析：设P(4cos θ，22sin θ)，M(x ，y)，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋4cos θ2，y ＝0＋22sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ得动点M 的轨迹方程是x 24＋y 22=1.13.解：由题意知直线和椭圆方程可化为x ＋y －1=0，①x 24＋y 2=1，② ①②联立，消去y 得5x 2－8x=0，解得x 1=0，x 2=85.设直线与椭圆交于A ，B 两点，则A ，B 两点的直角坐标分别为(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB|=⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852=825， 故所求的弦长为825.14.解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4=0， 所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d=|3cos α－sin α＋4|2=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6=－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
椭圆的参数方程
O x
思考： 点M的轨迹是什么？
思考：
（ 1）当半径OA绕点O旋转一周时，
规定：的范围 0.2
（2）点M的轨迹的参数方程是什 么？
典型例题
x y 例1、在椭圆 1上求一点M, 使点M到 9 4 直线x 2 y 10的距离最小，并求出最 小距离。
2 2
当堂练习
1、中心在圆点，焦点在x轴的椭圆的参数方程
O
y
AHale Waihona Puke B M(x,y)x
设以Ox为始边，OA为终边的角为 点M的坐标是（x, y） , 那么点A的横坐标（） 点B的纵坐标为（）
理解参数的意义
（称为点M的离心角）。
y
参数是点M所对应的圆的 OA(或OB)的旋转角
A
B M(x,y)
点A，B均在角的终边上， 由三角函数的定义得： x y
类比：中心在圆点，焦点在y轴的椭圆的参数方程
2、参数 的意义是什么
椭圆的参数方程
定
义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y M F2 x
y M x
F1
图
形
F1 O
O
F2
方 范
程 围
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|x| a |y| b (c,0)、(c,0)
引例：设x a cos, (为参数) x2 y2 求椭圆 2 2 1(a b 0)的参数方程 a b
理解参数的意义
以原点O为圆心，a , b（a b 0）为半径 分别做两个同心圆。 设A为大圆上的任一点，连 接OA， 与小圆交于点B。 过点A, B分别做x轴, y轴的垂线， 两垂线交于点M
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椭圆的参数方程
教学目标：
1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；
2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分
析问题和解决问题的能力。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：椭圆的参数方程。
教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.
教学方式：讲练结合，引导探究。
教学过程：
一、复习
焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b
+=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22
221(0)y x a b a b
+=>> 二、椭圆参数方程的推导
1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程
因为22()()1x
y a b +=，又22
cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩
，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义
问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径
作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当
半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.
解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ
的终边上，由三角函数的定义有
||cos cos x OA a ϕϕ==， ||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是
a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩ 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
()
ϕ为参数
在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。
思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y rsin x θθ=⎧⎨=⎩ 中参数θ的意义类似吗
由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。
参数θ是半径OM 的旋转角。
3. 焦点在y 轴上的椭圆的参数方程
2222y 1,b a x += 三、例题分析
例1.把下列普通方程化为参数方程.
变式： 把下列参数方程化为普通方程
例2. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>,求椭圆内接矩形面积的最大值. 解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(cos ,sin )a b θθ
4cos sin 2sin 22S a b ab ab θθθ=⋅=≤矩形
()224
k k Z S ab ππθ∴=+∈=矩形当时，最大。
所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab
cos y a sin x b ϕϕ
=⎧⎨=⎩()
θ为参数22(1)149x y +=22
(2)116y x +=2264100(4)1
y x +=22925(3)1y x +={2cos (1)3sin x y θθ
=={cos (2)4sin x y θθ==3cos (4)5sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩8cos (3)10sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩
22
1210094
x
y M M
x y +=+-=在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求例3、出最小距离
解：因为椭圆的参数方程为3cos y 2sin x ϕϕ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）
所以可设点M 的坐标为(3cos ,2sin )ϕϕ。
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为
222(,)23122P x y x y x y +=+变式、设是椭圆上的一个动点，求的取值范围。
22
1,64
6{(02)2sin 264sin 22)
cos()[1,1]
2[22,22]
x y x y x y x y θ
θθπθθθθϕθϕ+==≤<=+=+=--∈-∴+∈-解：椭圆的方程可化为它的一个参数方程为
为参数，
四、课堂练习
4cos {()()3
1x P y OP O P θ
θθπ==是椭圆为参数上一点，且在第一象限，
为原点的倾斜角、为，则点的坐标为
(2,3),A B 、
(4,3)C D 、、 答案：
B 22tan 33sin 2cos sin cos 1,cos 55
4cos OP OP y OP k k x P x y ππθθ
θθθθθθ∴=====∴=+=∴======解：的倾斜角为又且点在第一象限从而有
2224cos 2sin 3cos 0,()____________________?2.x y x y θθθθ+--+=已知圆的方程为为参数，
那么圆心的轨迹的普通方程为
222222
24cos 2sin 3cos 0(2cos )(sin )1
2cos {()1sin 4
x y x y x y x x y y θθθθθθθθ+--+=-+-==+==解：方程，可以化为所以圆心的参数方程为为参数，化为普通方程是
五、课堂小结：
本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题， 1. 椭圆19
162
2=+y x 的内接矩形的最大面积是__________________. 2. 已知A 、B 是椭圆14
92
2=+y x 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大
.
3、 已知实数x 、y 满足，求116
252
2=+y x z ＝x ＋2y 的最大值与最小值。