人教版数学九年级上册二次函数ppt课件
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
人教版九年级上册数学二次函数课件
当a=0时，这个函数不是 二次函数，有可能是一次函数.
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
和一次项同时提取公因数a，再进行配方会更简便.
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
人教版九年级数学上册二次函数课件(共15张)
1、y =6x2
2、
3、y=20x2+40x+20 上述问题中的函数解析式具有
哪些共同的特征?
化简后具有y=ax²+bx+c 的情势.
(a,b,c是常数, a≠0 )
二次函数概念
我们把形如y=ax²+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函 数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
(1)写出y关于x的 函数关系式. (2)当x=3时,矩形 的面积为多少?
x
2、已知二次函数 y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值 为 -5, 求这个二次函数 的解析式.
课堂小结
a≠0
y=ax²+bx+c
二次项 系数
一次项 系数
常数项
每个队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲
队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，
所以比赛的场次数
.即
.
上式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于 n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后 两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所 定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?
这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 20(1+x)t，
再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年 后的产量 y=20(1+x)2 ， 即 y=20x2+40x+20 .
上式表示两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y 是x的函数.
人教版九年级数学上册：22.1.1 二次函数 课件(共21张PPT)
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函 数的解析式.
22.1.1 二次函数
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2。一次函数、正比例函数的定义 是什么？
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最 高点时的高度？
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(1)圆的面积 y ( cm 2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)_+k的图象和性质》第1课时 课件(共22张PPT)
复习回顾
二次函数 =
>0
的图像和性质
<0
图像
开口方向
对称轴
顶点
<0
增减性
>0
开口大小
向上
向下
轴
轴
(0,0) (0,0) 最低点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,0) (0,0) 最高点
随 的增大而减小
随 的增大而增大
随 的增大而增大
随 的增大而减小
越大，开口越小
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
1 在同一个直角坐标系中画出 1 = 22，2 = 22 + 1，3 = 22 − 1 的图象.
1. 列表
1 =
···
2
2
2 = 22 + 1
3 =
2
2
−1
−2 −1.5 −1 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
(0, ) 最高点
函数性质
最值
有最小值是
有最大值是
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
6 抛物线 = 2 + 的性质.
图像从左至右 在对称轴左侧
的变化趋势 在对称轴右侧
增减性
>0
<0
下降
上升
上升
下降
>0
<0
<0
随 的增大而减小 随 的增大而增大
二次函数 =
>0
的图像和性质
<0
图像
开口方向
对称轴
顶点
<0
增减性
>0
开口大小
向上
向下
轴
轴
(0,0) (0,0) 最低点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,0) (0,0) 最高点
随 的增大而减小
随 的增大而增大
随 的增大而增大
随 的增大而减小
越大，开口越小
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
1 在同一个直角坐标系中画出 1 = 22，2 = 22 + 1，3 = 22 − 1 的图象.
1. 列表
1 =
···
2
2
2 = 22 + 1
3 =
2
2
−1
−2 −1.5 −1 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
(0, ) 最高点
函数性质
最值
有最小值是
有最大值是
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
6 抛物线 = 2 + 的性质.
图像从左至右 在对称轴左侧
的变化趋势 在对称轴右侧
增减性
>0
<0
下降
上升
上升
下降
>0
<0
<0
随 的增大而减小 随 的增大而增大
《二次函数》PPT优秀课件
说一说以上二次函数解析式的各项系数.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)
1.y=x2 8x 7
2.y=-2x2 9x 17
3.y=mx2 kx-4k2
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
b 2a
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
y
左同右异
o
x
练习：
1.若抛物线yax2 bxc的图象如图，说出a，b，
c的符号。
2.若抛物线yax2 bxc经过原点和第一二三
象限，则a，b，c的取值范围分别是
3.若抛物线yax2 bxc的图象
如图所示，则一次函数y=ax+bc
的图象不经过
。y
。 y ox
o 图1
x 图2
y abc 0 （ 4 ） 与 直 线 x1 交 点 y a b c 0
y a b c 0
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4acb2 4a
人教版数学九年级上册第二十二章二次函数课件22.1.1二次函数(共32张ppt)
∴点P(2
020a,2
020-a)的坐标为
2
1 020
,2
020,∴点P关于y轴的对称点是 -
2
1 020
,2
020
.
故选B.
3.(2019湖北荆门沙洋期中)如图,用一段长为40 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园ABCD,墙长为18 m,设AD的长为x m,菜园ABCD的面积为y m2,则y关于自变量x
资源拓展
1.(2020广东阳江江城期中,4,★★☆)对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的
是( )
A.y=mx2+3x-1
B.y=(m-1)x2
C.y=(m-1)2x2
D.y=(-m2-1)x2
答案 D 选项A,当m=0时,不是二次函数;选项B,当m=1时,m-1=0,不是二次函数; 选项C,当m=1时,(m-1)2=0,不是二次函数;选项D,当m取任意实数时,-m2-1≠0,是二次 函数.故选D.
2.函数y=(a-1) xa21+x-3是二次函数时,点P(2 020a,2 020-a)关于y轴的对称点是 ( )
A.
2
1 020
,2
020
C.
2
1 020
,-2
020
B.
-
2
1 020
,2
020
D.(2 019,2 020)
答案 B ∵y=(a-1)xa21 +x-3是二次函数,∴a2+1=2且a-1≠0,解得a=-1,
人均可支配收入为y万元,平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为
x,则y与x之间的函数表达式是
.
答案 y=0.75(1+x)2
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计费为每平方米800元，设矩形－边长为x（m） ，面积 为S(m2)．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取 值范围
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用．
板书
课题： 22.1.1二次函数
学习目标:
（1）知道二次函数的一般形式;会利用二次函数的概念分析解题。
，
a是
，b是
，c是
。
思考：判断一个函数是二次函数的关键是什么？
a ≠0
在y=ax2+bx+c (a ≠0)中当b=0或c=0的时候，它还是 二次函数吗？
你可以列举几个二次函数吗？
问题2：将二次函数y=-2(x+3)2-6化成一般形 式，并指出a、b、c的值。
（四）巩固练习
1、下列函数中,哪些是二次函数?
人教版数学九年级上册二次函数ppt课 件
22.1.1 二次函数
人教版数学九年级上册二次函数ppt课 件
学习目标
(1)知识技能：1、结合具体情境体会二次函数的意义，理解
二次函数的有关概念。
2、能够表示简单变量之间的二次函数关系。
(2)数学思考：经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二 次函数是刻画现实世界的一个的数学模型。
（1）y=x2 ， (2)y=-x-2 ， (3)y=x(1-x) ， (4)y=(x-1)2-x2
2、y=mx2+nx+p(其中m、n、p为常数)是二次函数的条件是（ ）
A、mnp=0 B、mnp≠0 C、m≠0 D、n≠0或p≠0
3、把函数y=(x+1)(x-2)化成一般形式，写出各项系数。
为
。
1、以小组为单位在对预习情况和预习检测结果 汇报；主要讨论交流课本中问题1、问题2，并 讨论相互解决存在问题。
2、对出现的共同性问题、预设问题组织研讨。
问题：将二次函数y=-2(x+3)2-6化成一般形式， 并指出 a、b、c的值。
归纳总结：
一般地，形如
(其中a,b,c是常数，
a
0)的函数，叫做二次函数。其中x是
(3)解决问题：能二应次用函二数次解函决数简的单相数关学知问识题解。决简单的实际问题；会利用
(4)情感态度：1、体会数学与人 们生活的联系。 2、在探究二次函数的学习生活中，体会通过探究得到发展的 乐趣。
预习导学：
阅读课本P27-P29内容，并按展示的5个题纲预习、思考 并自查。
（2）列二次函数达式解决实际问题。
1、二次函数的定义：
如：①y=3x2
②m=-2n2+ n
③y=20x2+15x-10
2、一般形式：y=ax2+bx+c（a,b,c都是常数，且a≠0）
（其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项）
谢谢大家！
4、关于x的函数
是二次函数, 求m的值.
5、某机械公司第一月销售50台，第三月销售y台与月平均增长率 x之间的关系式。
（四）巩固练习
4、关于x的函数 求m的值.
是二次函数,
思考：仅仅是X的指数等于2就可以了吗？
结论：既要满足X的指数要等于2， 同时也要满足二次项系数a≠0.
（五）课堂小结
（1）看看章前引言，体会本章的知识特点。
（2）将问题1、问题2弄清楚。
（3）回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般 形式是怎么样的？
（4）什么叫二次函数？你能写出一个二次函数吗？
（5）二次函数的一般形式是什么？请你指出二次项、一次 项及二次项系数、一次项系数和常数项；最后用一个具体 的例子说明。
3、预习检测
（1）下列函数中，哪些是二次函数？
①y=3x-1 ②y=3x2 ③y=3x3+2x2 ④y=2x2-2x+1
⑤y=x-2+x ⑥y=x2-x(1+x)
（2）在半径为5cm的圆面上，从中挖去一个半径为xcm的圆面，
剩下的圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为
。
（3）正方体的棱长是x，表面积是y，写出y关于x的函数关系式
1、这节课我有什么收获？还有什么困惑？
2、我最感兴趣的地方是
；
3、我想进一步研究的问题是
。
作业 A组：
1、下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A、xy+x2=1 B、x2+y-2=0 C、y2-ax=-2 D、x2-y2+1=0
2、下列各式中，不是二次函数的是（ ）
A、y=1- x2 B、y=2(x-1)2+4 C、y= (x-1)(x+4) D、y=(x-2)2-x2
3、若
是二次函数，则m=
。
4、一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为是x，则两年后这 台机器的价位约为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A、y=60(1-x)2 B、y=6(1-x)2 C、y=60-x2 D、y=60(1+x)2
5、一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间 的函数关系式
B组： 如图,在△ABC,∠B=900,AB=12㎜，,BC=24㎜，动点
P从点A开始沿边AB向 B以 2 mm/s的速度移动， 动点Q从点 B开始沿边 BC向C以4mm/s的速度移动， 如果 P、Q分别从A、B同时出发，求△PBQ的面 积S与出发时间t的函数关系式及t的取值范围．
课后拓展延伸 某广告公司设计一幅周长为14m的矩形广告牌，广告设
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取 值范围
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用．
板书
课题： 22.1.1二次函数
学习目标:
（1）知道二次函数的一般形式;会利用二次函数的概念分析解题。
，
a是
，b是
，c是
。
思考：判断一个函数是二次函数的关键是什么？
a ≠0
在y=ax2+bx+c (a ≠0)中当b=0或c=0的时候，它还是 二次函数吗？
你可以列举几个二次函数吗？
问题2：将二次函数y=-2(x+3)2-6化成一般形 式，并指出a、b、c的值。
（四）巩固练习
1、下列函数中,哪些是二次函数?
人教版数学九年级上册二次函数ppt课 件
22.1.1 二次函数
人教版数学九年级上册二次函数ppt课 件
学习目标
(1)知识技能：1、结合具体情境体会二次函数的意义，理解
二次函数的有关概念。
2、能够表示简单变量之间的二次函数关系。
(2)数学思考：经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二 次函数是刻画现实世界的一个的数学模型。
（1）y=x2 ， (2)y=-x-2 ， (3)y=x(1-x) ， (4)y=(x-1)2-x2
2、y=mx2+nx+p(其中m、n、p为常数)是二次函数的条件是（ ）
A、mnp=0 B、mnp≠0 C、m≠0 D、n≠0或p≠0
3、把函数y=(x+1)(x-2)化成一般形式，写出各项系数。
为
。
1、以小组为单位在对预习情况和预习检测结果 汇报；主要讨论交流课本中问题1、问题2，并 讨论相互解决存在问题。
2、对出现的共同性问题、预设问题组织研讨。
问题：将二次函数y=-2(x+3)2-6化成一般形式， 并指出 a、b、c的值。
归纳总结：
一般地，形如
(其中a,b,c是常数，
a
0)的函数，叫做二次函数。其中x是
(3)解决问题：能二应次用函二数次解函决数简的单相数关学知问识题解。决简单的实际问题；会利用
(4)情感态度：1、体会数学与人 们生活的联系。 2、在探究二次函数的学习生活中，体会通过探究得到发展的 乐趣。
预习导学：
阅读课本P27-P29内容，并按展示的5个题纲预习、思考 并自查。
（2）列二次函数达式解决实际问题。
1、二次函数的定义：
如：①y=3x2
②m=-2n2+ n
③y=20x2+15x-10
2、一般形式：y=ax2+bx+c（a,b,c都是常数，且a≠0）
（其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项）
谢谢大家！
4、关于x的函数
是二次函数, 求m的值.
5、某机械公司第一月销售50台，第三月销售y台与月平均增长率 x之间的关系式。
（四）巩固练习
4、关于x的函数 求m的值.
是二次函数,
思考：仅仅是X的指数等于2就可以了吗？
结论：既要满足X的指数要等于2， 同时也要满足二次项系数a≠0.
（五）课堂小结
（1）看看章前引言，体会本章的知识特点。
（2）将问题1、问题2弄清楚。
（3）回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般 形式是怎么样的？
（4）什么叫二次函数？你能写出一个二次函数吗？
（5）二次函数的一般形式是什么？请你指出二次项、一次 项及二次项系数、一次项系数和常数项；最后用一个具体 的例子说明。
3、预习检测
（1）下列函数中，哪些是二次函数？
①y=3x-1 ②y=3x2 ③y=3x3+2x2 ④y=2x2-2x+1
⑤y=x-2+x ⑥y=x2-x(1+x)
（2）在半径为5cm的圆面上，从中挖去一个半径为xcm的圆面，
剩下的圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为
。
（3）正方体的棱长是x，表面积是y，写出y关于x的函数关系式
1、这节课我有什么收获？还有什么困惑？
2、我最感兴趣的地方是
；
3、我想进一步研究的问题是
。
作业 A组：
1、下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A、xy+x2=1 B、x2+y-2=0 C、y2-ax=-2 D、x2-y2+1=0
2、下列各式中，不是二次函数的是（ ）
A、y=1- x2 B、y=2(x-1)2+4 C、y= (x-1)(x+4) D、y=(x-2)2-x2
3、若
是二次函数，则m=
。
4、一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为是x，则两年后这 台机器的价位约为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A、y=60(1-x)2 B、y=6(1-x)2 C、y=60-x2 D、y=60(1+x)2
5、一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间 的函数关系式
B组： 如图,在△ABC,∠B=900,AB=12㎜，,BC=24㎜，动点
P从点A开始沿边AB向 B以 2 mm/s的速度移动， 动点Q从点 B开始沿边 BC向C以4mm/s的速度移动， 如果 P、Q分别从A、B同时出发，求△PBQ的面 积S与出发时间t的函数关系式及t的取值范围．
课后拓展延伸 某广告公司设计一幅周长为14m的矩形广告牌，广告设