14.2勾股定理的应用2
勾股定理的应用(2)
勾股定理的应用(二) 班级 姓名 学号教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。
发展学生的分析问题能力和表达能力。
3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。
积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。
重 难 点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用教学过程（一）创设情景，引入新课；这些图形都有什么共同特征？几组勾股数.3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1；.图1中的x 等于多少?图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正在数轴上画出表示5的点在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? （四）实践探索，揭示新知2；图1x 11z y 11x图2例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。
（五）尝试应用，反馈矫正2如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。
如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。
（六）实践探索，揭示新知3；如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？ （七）尝试应用，反馈矫正1如图9，在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用）（八）归纳小结，巩固提高 （九）布置作业D CBA图6图9D CBA。
勾股定理的应用(二)
用勾股定理建立方
C
AC+CD=AB+BD=30米
程，关键是找出三
边的关系，能用同 x
一个未知数表示未 D 知边。
30-x
10米
┏
B
A
20米
作业：书本P60练习第1、2题; 习题14.2第2、4题。 校本：勾股定理应用（二）
补充：儿童游乐园有一秋千，在平衡位置时，下端A离地面
距离AE为0.6米，当秋千荡到OA1位置时，下端A1离平衡位 置的水平距离A1B等于2.4米，A1离地面距离A1F为1.4米，求 秋千OA的长。
分析:(1)CF+BF=AF+FB=8
设BF=X,则CF=8-x
D
在RtΔCBF中，由勾股定理得
X 2 42 (8 X )2
解得X 3
E
3
C
O
X
4
21
SΔBCF=1／2 BF●CB=6 A
F
8-x B
(2)在RtΔABC中，由勾股定理易求AC＝ 80
在RtΔOFC中，由勾股定理易求得OF= 5
O
A
2.4米
B
A1
0.6米 A
1.4米
D
B
C
E
F
选做：如图，在△ABC中，AB=AC, D点在CB延长线上.
求证：AD2-AB2=BD·CD
（提示：作高构造直角三角形）
补充：如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在
一起,EF为折痕。若AB=8,BC=4.
(1)求△BFC 面积。 (2)试求以折痕EF为边长的正方形面积。
L
而两个直角边分别是2，3 B
那斜边一定是 13
勾股定理的实际运用
勾股定理的实际运用一、勾股定理内容回顾勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别为和，斜边长度为，那么。
二、勾股定理实际运用的常见类型1. 工程测量中的应用测量建筑物高度例如，想要知道一座垂直于地面的大楼的高度。
我们可以在大楼旁边的平地上选一点，从点向大楼底部点拉一条绳子，测量出的距离。
然后在点用测角仪测量出大楼顶部点与点连线和地面的夹角。
此时在直角三角形中，，如果我们知道和，可以求出。
然后再根据勾股定理求出大楼的高度。
测量两点间的距离（不可直接测量的情况）假设在一个池塘的两边有、两点，我们要测量、两点间的距离。
我们可以在池塘边找一点，使得。
测量出的长度和的长度，然后根据勾股定理，就可以得到、两点间的距离。
2. 航海问题中的应用一艘船从港口出发，向正东方向航行海里后到达点，然后改变航向，向正南方向航行海里到达点。
此时船从港口到点的距离就是直角三角形的斜边长度。
根据勾股定理，海里。
航海中利用勾股定理可以计算船只的航行轨迹和距离等信息。
3. 生活中的简单应用梯子问题有一个长度为的梯子靠在墙上，梯子底部与墙的距离为，梯子顶端与地面的垂直高度为。
如果梯子底部向外滑动了距离，那么顶端下滑的距离可以通过勾股定理来计算。
初始时，滑动后，通过这两个等式联立求解可以得到的值。
电视屏幕尺寸问题电视屏幕的尺寸是按照对角线长度来衡量的。
如果屏幕的长为单位，宽为单位，那么对角线长度就满足。
我们可以根据这个关系来判断不同尺寸屏幕的实际大小关系等。
三、勾股定理实际运用的解题步骤总结1. 分析问题，确定是否为直角三角形问题。
如果是，找出直角三角形的三条边（已知边和未知边）。
2. 根据勾股定理（为斜边）列方程。
3. 解方程求出未知边的值。
4. 检验答案的合理性，看是否符合实际问题的情境。
四、练习题1. 在一个直角三角形中，一条直角边的长度为米，斜边长度为米，求另一条直角边的长度。
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。
14.2第二课时 勾股定理的实际应用
A
B
C
作业
⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑1m, 那么它的底端是否也滑动1m? ⑶有人说,在滑动过程中,梯子的 底端滑动的距离总比顶端下滑的 距离大,你赞同吗?
C B
◆一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
⑶有人说,在滑动过程中,梯 子的底端滑动的距离总比顶 A 端下滑的距离大,你赞同吗?
A’
CBB’源自A 1.如图,太阳能热水器 的支架AB长为90cm, 与AB垂直的BC长 120cm.太阳能真空管 AC有多长?
C
B
2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵 高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ） A.7m B.8m C.9m D.10m
A
8m
C
B
2m 8m
3. 一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内 部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯 里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 多长？
转换成生活实际
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最 长的 吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是4尺、3尺、12尺，那么，你能 帮小明估计一下买的竹竿至多是多少尺吗？（结果取整数）
A C
A
12
3 12 C 4 B D 4 3 B C B
BA+AC≈1.36+2.95=4.31(km), (BA+AC)－BC≈4.31-2.62=1.69≈1.7(km). 答:直接走湖底隧道比绕道BA和AC减少行程约1.7km.
一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
⑴ 若梯子的顶端距地面的垂直距 离为8m,则梯子的顶端A与它的底端 B哪个距墙角C远? A
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍勾股定理的原理和证明，并介绍其在实际应用中的一些重要示例。
一、勾股定理的原理和证明勾股定理是一个关于直角三角形斜边与两个直角边的关系定理。
它的表述可以归纳为：在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
设直角三角形的斜边长度为c，两个直角边的长度分别为a和b。
根据勾股定理，有c² = a² + b²。
证明该定理的方法多种多样，其中一种比较简单的方法是利用面积关系进行证明。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
将该三角形移动到一个边长为a、边宽为b的矩形内，如图1所示。
[图1：勾股定理证明过程的示意图]显然，通过镜像方式将三角形补全，可以构成一个边长为c、边宽为c的正方形，如图2所示。
[图2：利用镜像补全三角形后构成正方形]由于正方形的面积等于边长的平方，我们可以得到两个式子：面积1 = a * b面积2 = c * c由于直角三角形的面积1等于正方形的面积2，我们可以得到：a *b =c * c进一步变换可得：c² = a² + b²上述证明过程说明了勾股定理的原理，并证明了定理的正确性。
二、勾股定理的应用示例勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍其中一些重要的示例。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以被用于测量直角三角形的边长。
当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算出斜边的长度。
例如，如果直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，可以使用勾股定理计算出斜边的长度：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = 5因此，该直角三角形的斜边长度为5。
2. 建筑和工程应用勾股定理在建筑和工程领域中具有重要的应用。
勾股定理的应用(二)
第14章勾股定理§14.2勾股定理的应用（二）【学习目标】1.掌握勾股定理及其逆定理.2.准确运用勾股定理及逆定理.【课前导习】1.若一个三角形的三边满足c2－a2＝b2，则这个三角形是三角形．２.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，BD是AC边的高，DC＝２，则BD= ．3.直角三角形的两边分别为3和4，则第三边为 .4.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，CB＝2，则斜边上的高为 .5.在垂直于地面的墙上2m的A点斜放一个长2.5m的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑0.5m，则梯子在地面上滑出的距离BB'的长度为6. 利用勾股定理，分别画出长度为3厘米和5厘米的线段【主动探究】例题讲解例1如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．例2如图，已知CD＝６m， AD＝８m，∠ADC＝９０°， BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．【当堂训练】1.若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x， x的值为．2.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＡＣ＝23，∠C＝３０°，则∠B= ．3.三角形的三边分别是n＋1、 n＋2、 n＋3，当n= 时，三角形是一个直角三角形.4. 如图，已知AD⊥CD，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３，∠CＡＢ＝ ，∠B= ．5.试判断下列三角形是否是直角三角形：（1）三边长为m2＋n2、 mn、 m2－n2（m＞n＞0）；( )（2）三边长之比为 1∶1∶2；( )（3）△ＡＢＣ的三边长为a、 b、 c，满足a2－b2＝c2( )【回学反馈】1．如图，有一块四边形地ＡＢＣD，∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m， CD＝１２m，DA＝１３m，求该四边形地的面积．2. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．3.如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm2．求此时AD的长．。
七年级下册数学勾股定理的应用
h=3.75，r=3
h=2.625，r=3
8.625
11.625 9.375
①
我想检测雕塑底座正面的AD边和BC 边是否分别垂直于底边AB，随身只带
了一把卷尺.
（1）你有办法吗？ （ 2 ）量得 AD 长是 30 厘米， AB 长是 40 厘米， BD 长是 50 厘米 .AD 边垂直于 AB 边吗？ D A C B
食 物
B
A
B
B
A
【解析】AB2=202+102=500＞400
不能
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间 的最短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1、没有图的要按题意画好图并标上字母； 2、有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方 程来解.
数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔
例 题
《九章算术》中的趣题
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸， 适与岸齐.问水深、葭长各几何？” 注：方:正方形 丈：长度单位 1丈=10尺 葭：芦苇．
1
5
《九章算术中的趣题》
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸， 适与岸齐.问水深、葭长各几何？”
【解析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺 由勾股定理得x2 +52=(x+1)2 x2+25=x2+2x+1 1
【解析】如图AD2+AB2=302+402=502=BD2
得∠DAB=90°AD边垂直于AB边
（3）若随身只有一个长度为 20厘米的 刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直 于AB边吗？
【解析】在AD上取点M,使AM=9,在AB
《勾股定理的应用---最短路径问题》教案及学案
1 AB§14。
2 勾股定理的应用---最短路径问题安海中学 谢伟良教学目标：知识与技能目标：能运用勾股定理解决简单的实际问题．过程与分析目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件． 情感与态度目标:培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情 教学重点：利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求得最短路程． 教学难点：寻找最短路径．教学关键：把立体图形转化为合适的平面图形寻得最短路径再构造直角三角形应用勾股定理求最短路程。
教学准备:教师准备:幻灯片、直尺。
学生准备：复习勾股定理,自制圆柱体、立方体和长方体. 教学过程:一、复习引入，创设情境1。
复习提问:线段性质定理、勾股定理的内容及数学式子表示。
设定情景引入新课。
2。
情景设定1（投影出示）：在一款长30cm 宽40cm 的砧板上，蚂蚁要从点A 处到点B 处觅食，试问这只蚂蚁要怎么选择路线才能使路线最短?最短距离是多少？∵ 在Rt △ABC 中, ∠C=90º∴)(5040302222cm BC AC AB =+=+=∴ 走线段AB 的路线最短，且最短距离为50cm.2ACBA B AB二、创设情境，解决问题情景设定2：情景设定3：如图所示,圆柱体的底面直径为6cm ，高为12cm ，一只蚂蚁从A 点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B ，试求出爬行的最短路程（π取3). 22BC AC + ∴爬行的最短路程约为解:如图，∵在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°BC ＝½πd ≈½×3×6=9cm ，∴AB ＝ 22912+=)(15cm =如果把圆柱换成棱长为10cm 的正方体盒子,蚂蚁沿着表面从A 点爬行到B 点需要的最短路程又是多少呢？想一想都有哪些爬行路径?需要经过哪些面?3AB变式训练：左221020 500如图示,有一个长为3cm ，宽为2cm ，高为1cm 的长方体，一只蚂蚁要沿着表面从A 到B 处觅食,请问需要爬行的最短路程是多少呢？方法小结：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”来解决问题。
14.2 勾股定理的应用 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
在 Rt△ABG 中，AG= +
= + = （cm）；
14.2 勾股定理的应用
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方案二：如图 2，当蚂蚁从点 A 出发经过 BF 到点 G
重
难
题 时（将前面和右面展开），
型
∵AB=3 cm，BC=5 cm，
设 B′E=BE=x，则 CE=4-x.
∵S△AEC=
∴
Βιβλιοθήκη CE×AB=
（4-x）×3=
AC×B′E，
×5x，解得 x=
，∴B′E=
.
14.2 勾股定理的应用
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变式衍生 1
如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4
重
难
题 ，将长方形沿 AC折叠，点 D 落在点 D′处，则重叠部分
突
破 ，BF=6 cm，蚂蚁要沿着怎样的路线爬行，才能最快吃到饼
干渣？ 这时蚂蚁走过的路程是多少？
14.2 勾股定理的应用
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［答案］解：分以下三种方案讨论：
重
难
方案一：如图 1，当蚂蚁从点 A 出发经过 EF 到点 G
题
型
突 时（将前面和上面展开），
破
∵BC=5 cm，∴FG=BC=5 cm.
对点典例剖析
考
点
典例
如图，一架 2.5 m 长的梯子AB 斜靠在墙 AC 上
清
单
解 ，梯子的顶端 A离地面的高度为 2.4 m，如果梯子的底部 B
读 向外滑出 1.3 m 后停在 DE位置上，则梯子的顶部下滑多少
华师版数学八年级上册 14.2勾股定理的应用 课件(共19张ppt)
新知探究
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画 几条路线，你觉得哪条路线最短？
B
B
B
A 方案①
A 方案②
A 方案③
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到
点B的最短路线是什么？你画对了吗？
B
B
A B
A
A
因为两点之间线段最短， 所以方案③的路线最短.
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱 侧面爬行的最短路程是多少？
第14章 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
学习目标
➢ 能解决与勾股定理有关的问题：立体图形中最 短路径问题、网格问题等.
➢ 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型， 并能用勾股定理解决简单的实际问题，培养数 学应用意识.
情境引入
如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长 为18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃 到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬 行的最短路程是多少？
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的 长也为x m，AE的长度为（x-1）m.
CD
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
A
解得x=5.
EB
故滑道AC的长度为5 m.
感谢观看！
例2 如图，在公路AB旁有一危楼 C需要爆破，已知点C与公路上的 停靠站A的距离为300米，与公路 上另一停靠站B的距离为400米， 且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围250米范 围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否 因有危险而需要暂时封锁？
勾股定理的应用(重要)
A
这时AO的距离为2.5m,
如果梯子的顶端A沿墙
C
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?
O
B
D
一个3m长的梯子AB,斜
靠在一竖直的墙AO上,
A
这时AO的距离为2.5m,
如果梯子的顶端A沿墙
C
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?
O
B
D
一个3m长的梯子AB,斜
靠在一竖直的墙AO上,
３.考虑问题要全面，不 要漏了某些情况。
线有多少种情况？ B
(1)经过前面和上底面;
2
(2)经过前面和右面;
1
(3)经过左面和上底面.
A
3
C
B
B
A
3
1 2C
B 2
A
A1
3
C
解: (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，
如图，最短路程为
B
B
2
1
A
3
C
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 32 32 ＝ 18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图， 最短路程为
顶点画△ABC,满足 B
AB= 2 ,AC= 13 ,
17
BC= 17
在网格中画线段时,把 线段看作是某些正方 形或长方形的边或对 角线
13 C
已知：如图，四边形ABCD
中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，
CD＝12，AD＝13,求四边形
ABCD的面积?
解 在直角三角形 4
ABC中
B
AC2=32+42=25
最短路程问题
解:如图所示,将侧面展开,在RT∆CDF中,
14.2勾股定理的应用2
14.2章勾股定理的应用（2）
教学目标：
１.在特殊三角形中要会找出直角三角形或构建直角三角形。
２.当三角形的三边是整式时，要会判断大小，从而判断三角形的形状。
思维激活：
以△ABC 三边a,b,c 为边向外
作正方形，以三边为直径作半圆，
若S 1+S 2=S 3成立，则△ABC 是直角
三角形吗？
问题研讨：
问题1：已知：等边△ ABC 的边长是6cm
(1)求高AD 的长.
(2)求S △ ABC.
解：（1）∵ △ ABC 是等边三角形，AD 是高，
在Rt △ ABD 中，AB=6，BD=3，根据勾股定理，
∵ AD 2=AB 2-BD 2
∴
＝
练一练：
1．等腰△ABC 的腰长为10cm ，底边长为16cm ，则底边上的高为 ，面积为__________．
2．等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，那么它的斜边上的高为 ．
问题2：
32
1==∴BC BD
知识拓展：
问题3：等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积。
解：作∆ABC的高AD，设BD为X，则AB为（16-X），由勾股定理得：
∴ S∆ABC＝
试一试：
等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，
AC=BC=1.
求：斜边的一半.
课堂小结：
和同学们交流一下这节课你学到了什么？
课堂作业：
课本60页，习题第１、５题
课后反思：。
华师大版八年级数学上册第14章第2节《勾股定理的应用》课件
BE C
课堂小结
最短路程问题
勾股定理 的应用
勾股定理与其逆定理的应用
D1
A1 D
A
C1
D1
C1
B1
2
C
A1 B
B1 1
A
3
B
AB＝ AC2 BC12 ＝ 32 32 ≈4.24（cm）.
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
D1 A1
D A
B1 B
C1
A1 C
A
B1
C1
1
3
B2 C
AB＝ AC2 CC12 ＝ 52 12 ≈5.10（cm）.
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为
= 42 +102
= 116 10.7（7 cm） 答:爬行的最短路程约为10.77cm.
讲授新课
一 勾股定理的应用
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线 段最短”性质来解决问题.
例1 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子， 蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到 0.01cm)
A1
B1
D
C
A
B
分析：蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？
(1)经过前面和上底面;
D1
C1
(2)经过前面和右面;
2
(3)经过左面和上底面.
D1 A1
D A
B1 B
A1
A C1 A1
3
B1
B1 1
B C1
1
C
A
3
D
D1
B 2C
C1
2
A 1 A1
勾股定理及应用
勾股定理及应用勾股定理是数学中的一条经典定理，也是三角学中最重要的基本公式之一。
在几何学和物理学中，勾股定理被广泛应用于求解直角三角形的各类问题。
本文将详细介绍勾股定理的原理和常见应用。
一、勾股定理的原理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
用数学形式表示为：c² = a² + b²，其中c为斜边（即直角三角形的斜边），a、b为直角边。
勾股定理的证明可以通过几何方法和代数方法来完成。
其中一种常见的几何证明方法是利用面积关系，将直角三角形一分为二，形成两个直角三角形，再应用面积公式推导得出结果。
代数证明则是通过将直角三角形的三条边的长度代入勾股定理进行计算，验证等式成立。
二、勾股定理的应用1. 求解未知边长：勾股定理最基本的应用就是求解直角三角形中的边长。
通过已知两条边长，可以利用勾股定理计算出第三条边的长度。
例如，已知直角三角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，可以通过勾股定理计算出斜边的长度，即c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，开平方得c=5。
2. 检验三角形是否为直角三角形：当已知三条边长时，可以利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形。
当c² = a² + b²成立时，即可证明三角形为直角三角形。
3. 求解角度：在已知两条边长的情况下，可以通过勾股定理计算出两条直角边之间的夹角。
例如，已知直角三角形的直角边长为3和4，可以计算出斜边与其中一条直角边的夹角的正弦、余弦和正切值，从而求得该角度的大小。
4. 应用于物理问题：勾股定理在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在力学中，可以通过勾股定理计算出斜坡上物体的加速度、速度和位移等相关物理量。
在天文学中，可以利用勾股定理测算星体距离和角度，辅助观测和研究。
总结：勾股定理是数学中的重要定理之一，通过勾股定理可以求解直角三角形的各类问题。
勾股定理的应用(片段教学2)
§14.2 勾股定理的应用南安侨光中学叶超毅2010年12月§14.2 勾股定理的应用一、教学目标：1、知识目标：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．2、能力目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件，培养学生的合情推理能力。
3、情感目标：让学生知道数学源自于生活，又服务于生活。
通过问题提高学生学习数学的兴趣，增强学生的学习热情。
二、教材分析：本片段是华师大版八年级（上）§14.2勾股定理的应用P53的例题4的知识。
它是本节中勾股定理及其逆定理的综合应用，能帮助学生提高综合分析和解答能力，在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。
三、重点与难点：1、教学重点：勾股定理及其逆定理的应用；2、教学难点：勾股定理及其逆定理的正确使用．四、教学方法：采用启发式、讨论式，发挥学生的主体作用，倡导自主、合作、探究的学习方式。
五、教学过程：1、创设情境，复习引入：请同学们看下面两道题：(1)、如图1所示，求第三边的长度和三角形的面积；生（马上回答）：5，面积是6。
师：5是怎么来的？面积是6又是怎么来的？生（争先恐后地答）：勾3股4弦5，面积是64321=⨯⨯ 师：很好。
(2)、如图2所示，判断三角形的形状，并求出它的面积。
生（高兴地说）：三角形是直角三角形，面积是30。
师：理由是什么呢？生（满有信心地大声答）：根据勾股定理的逆定理就可以判断三角形是直角三角形，然后根据直角三角形的面积等于21×底×高，就可得面积为30。
2、新课讲解，巩固旧知：例4、如图，已知CD=6m ，AD=8m ，090=∠ADC ，BC=24m ，AB=26m ，求图中阴影部分的面积。
【分析：师：图中阴影部分的图形是不规则的四边形，要求其面积，应如何求呢？ 生（思考后说）：利用大三角形的面积减去小三角形的面积，便可得到。
师：小三角形是什么形状三角形？ 生：直角三角形。
八年级数学勾股定理的应用练习题2
14．2勾股定理的应用（二）知识与基础1.在 Rt ΔABC 与 Rt ΔA`B`C`中∠C ＝∠C`＝90°，有下列几组条件（ ）.①AC ＝B`C`，BC ＝A`C`；②AC ＝A`C`，BC ＝B`C`；③AC ＝A`B`，∠A ＝∠A`；④BC ＝A`C`，AB ＝A`B`.其中能判定这两个直角三角形全等的有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个2.下面是直角三角形具备的几条性质：（ ）.①两个较小的内角之和等于较大的内角；②三个内角的和等于180°；③面积等于较短的两边的乘积的一半；④有斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等.其中一般三角形不具备的有（ ）.A.4条B.3条C.2条D.1条3.在下列语句中，不正确的是（ ）.A.有两条边对应相等的两个直角三角形全等；B.一般三角形所具备的性质，直角三角形都具备；C.直角三角形没有稳定性；D.两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等4.如图，0A ＝0B ，AD ⊥0B ，BC ⊥0A ，D 、C 为垂足，AD 、BC 相交于点P.下面给出的四个结论：①△A0D ≌△B0C ；②∠1＝∠2；③PC ＝PD ；④0P 平分∠A0B.其中，一定成立的有（ ）.A.4个B.3个C.2个D.1个5.如图，AB 是∠CAD 的平分线2，BC ⊥AC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C 、D ，E 是AB 上任意一点，下面给出的四个结论：①BC ＝BD ，②EC ＝ED ，③∠CAE ＝∠ADE ，④点B 在∠CED 的平分线上，其中，正确的结论有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝20㎝，AD 是角平分线，且BD ：CD ＝2：3，则点D 到AC 边上的距离是 ㎝。
7.如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，∠1≠∠4，∠2≠∠3。
如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙HL ﹚如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙HL ﹚如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙AAS ﹚如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙AAS ﹚O A A B C D E D CPD C CA8.如图，已知，AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，说明∠BAE ＝∠CAF 。
14.2_勾股定理的应用(2)
4m
4m
求图中阴影部分的面积．
A
C D
B
解 在Rt△ADC中，由勾股定理得
C A D
AC² ＝AD² ＋CD² ＋8² ＝6² ＝100，
∴ AC＝10m． ∵ AC² ＋BC² ＝10² ＋24² ＝676＝AB² ， ∴ △ACB为直角三角形(如果三角形的三边
长a、b、c有关系：a² ＝c² ＋b² ，那么这个三角 形是直角三角形)，
（1）如果在例4的原图中没有线段AC，你会做吗？ （2）现在你能利用转化思想快速解决下面这个问题吗？如图，已 知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三 边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．
4.转化思想再体现：
如图是6级台阶侧面的示意图，如果要在台阶 上铺地毯，那么至少要买地毯多少米？
5、分类讨论再体现
14.2勾股定理的应用（例4）
（ “ 读、议、展、点、练”教学 法）
邓州城区五初中 乔永存
1、温故知新：你能借助上节课例3中求四边形ACBD 的面积的经验解决课本例4吗？请大家动脑、动手 试一试！ 例4 如图，已知CD＝６m, AD＝８m， ∠ADC＝90°,BC＝24m,AB＝26m．
2、迎刃而解：有了上面的知识储备，相信大家一定
能顺利完成例3，赶快试一试吧！
例3如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的 边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： (1) 从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点Ｂ在 格点(即小正方形的顶点)上，且长度为2 2 ； (2) 画出所有的以(1)中的ＡＢ为边的等腰三角形,使另 一个顶点在格点上,且另两边的长度都是无理数．
B
∴ S阴影部分＝S△ACB－S△ACD
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三、勾股定理
第五课时
14.2勾股定理的应用2
学习目标：
1.准确运用勾股定理及逆定理
2.经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。
3.培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值。
重点：掌握勾股定理及逆定理 难点：正确运用勾股定理及逆定理 预习过程：
一、导入（创设问题情境）
在一棵树的10m 高的D 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
分析：如图，其中一只猴子从D →B →A 共走了30m ， 另一只猴子从D →C →A 也共走了30m ，且树身垂直 与地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决。
二、例题讲解
例1：如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
从点A 出发一条线段AB 使它的另一端点B 在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22
画出所有的以（1）中的AB 为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数 \
例2：已知CD=６m ， AD=８m ，∠ADC=90°， BC=24m ，AB=26m 。
求图中阴影部分的面 积．
练习：已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,求
四边形ABCD 的面积?
三、拓展练习：
已知如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,D 为BC 上任意一点。
求证：2222CD BD AD +=
D
C
B
A
3.小结
这节课你学会了什么？试着总结出来。
4.课后练习：
1.在△ABC 中，∠C=90°
（1）已知a=2.4,b=3.2,则c=_______
(2) 已知c=17,b=15,则△ABC 的面积等于_______________ (3) 已知∠A=45°，c=18,则2a =_______
2. △ABC 的周长为40cm, ∠C=90°，BC:AC=15：8，则它的斜边长为 ________
3.直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为_______,两直角边分别为 _______.
4.如图，在四边形ABCD 中,AB=20，BC=15，CD=7，AD=24， ∠B=90°, 则∠A+ ∠C=______
A
B
C
D
A
D
B C
E
(第4题图) （第7题图）
5. △ABC 中，如果AC=3，BC=4，AB=5，那么△ABC 一 定是___角三角形，并且可以判定∠____是
直角，如果AC,BC 的长度不变，而AB 的长度由5增大到5.1，那么原来的∠C 被“撑成”的角 是____角
6. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c,且0))((2=--+c b a b a ，则△ABC 为________
三角形，∠______=90°
7.如图所示，AB ⊥CD,△ABD, △BCE 都是等腰直角三角形，CD=7，BE=3，则AC=_____
8.已知0)13(122=-+-y x 和025102=+-z z 互为相反数，则以x,y,z 为三边的三角形是 ________三角形
9.若将直角三角形的两直角边同时扩大m(m 为正整数)倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A m 倍
B 2m 倍
C 2m 倍
D 以上都不对 10.若一个三角形的三条高线的交点恰好是这个三角形的一个顶点，则这个三角形是（ ）
A 锐角三角形
B 钝角三角形
C 直角三角形
D 不能确定 11．直角三角形的周长为24，斜边为10，则其面积为（ ） A 96 B 49 C 24 D 48
12.直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（ ）
A 15 °
B 30°
C 60°
D 45°
13.如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°,AC=12，BC=5，
长.
14、已知S 1=1，S 2=3, S 3=2，S 4=4 求S 5 ,S 6，S 7
15、如图所示：两个村子A,B 在河CD 的同侧，A,B 两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD=3 千
米，又CD=3千米，现需要河边CD 上建造一水厂，向A,B 两村送水，铺设水管的工程费用约为
每千米20000元，请在河边CD 上选择水厂位置p ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管
的费用，假如你是工程师，帮助A,B 两村设计一下好吗？
S 1
S 2S 3
S 4
S 5
S 6
S 7
●
C D
●
B A。