2018版高中数学苏教版必修五学案：2.1 数列(一)
【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：2.1 数列 Word版含解析
2.1 数列1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 数列的概念与分类阅读教材P 31，完成下列问题．1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．( )(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )(3)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的第5项为15.( )(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√教材整理2 数列的通项公式阅读教材P32～P33的有关内容，完成下列问题．1．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．【解析】1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是a n＝2n－1，n∈N*.【答案】a n＝2n－1，n∈N*2．若数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，则a5＝________.【解析】∵a n＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.【答案】13[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]写出下列数列的一个通项公式．(1)12，2，92，8，252，…；(2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】 【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N *)． (4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1n (n ＋1)(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律1．一般数列通项公式的求法2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k 处理符号问题．3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]1．写出下列数列的一个通项公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….【导学号：91730020】【解】 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？【精彩点拨】 (1)令n ＝1,2,3求解即可；(2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．【自主解答】 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项．令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．[再练一题]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1，则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2， 解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究共研型]探究1 (小)项？【提示】 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.探究2 如何定义数列{a n }的单调性？【提示】 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．【精彩点拨】 利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围．【自主解答】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k 2， ∴当－k 2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k 2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2， 即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)．∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n，则a n 为最小项．[再练一题]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3(n ∈N *)，求它的最大项.【导学号：91730021】【解】 由题意知，－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058. 由于函数f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋1058在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.[构建·体系]1．已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)【解析】 (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列．【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．【解析】 这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.【答案】 a n ＝n ＋13．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按一定次序排列的．其中说法正确的是________．【解析】 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n＋1，也可以是a n＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．【答案】③④4．用火柴棒按图2-1-1的方法搭三角形：图2-1-1按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式是________.【导学号：91730022】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n＝2n＋1.【答案】a n＝2n＋15．已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n2＋3n(n∈N*)，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【解】(1)a1＝412＋3×1＝1，a2＝422＋3×2＝25，a3＝432＋3×3＝29.(2)令4n2＋3n＝110，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.又n∈N*，故n＝－8舍去，所以110是数列{a n}的第5项．令4n2＋3n＝1627，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝32或n＝－92.又n∈N*，所以1627不是数列{a n}的项．我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有________．【解析】由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．【答案】①②③④2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．【解析】观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.【答案】153．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．①a n＝n2－n＋1；②a n＝n(n－1)2；③a n＝n(n＋1)2；④a n＝n2＋1.【解析】 令n ＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.【答案】 ③4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________． 【解析】 由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.【答案】 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.【导学号：91730023】【解析】 数列的通项为a n ＝3n －1.∵25＝20＝3×7－1，∴25是数列的第7项．【答案】 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)图2-1-2【解析】 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2，故第n 个图形中的点数为n 2.【答案】 n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. 【解析】 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.【答案】 3－22n15 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.【解析】 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99， 显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．【答案】 ①二、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎨⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 【解】 (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1. 所以0<a n <1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升]1．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为______.【导学号：91730024】【解析】 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94， 同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.【答案】 6116图2-1-32．如图2-1-3，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．【解析】 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，∵a2 016＝a2 015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．【答案】A3．已知数列{a n}满足a m·n＝a m·a n(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________. 【解析】由a m·n＝a m·a n，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.【答案】274．设函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性．【解】(1)由f(x)＝log2x－log x2，可得f(2a n)＝a n－1a n＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1. 因为0<x<1，所以0<2a n<1，所以a n<0.故a n＝n－n2＋1.(2)法一：(作商比较)a n＋1 a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋1 n－n2＋1＝n＋n2＋1(n＋1)＋(n＋1)2＋1<1.因为a n<0，所以a n＋1>a n.故数列{a n}是递增数列．法二：(作差比较)a n＋1－a n＝n＋1－(n＋1)2＋1－n＋n2＋1＝n2＋1＋1－n2＋2n＋2＝2(n2＋1－n)n2＋1＋1＋n2＋2n＋2>0.所以数列{a n}是递增数列．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1.1 数列》1
数列〔1〕海州高级中学李旭萃教学目标：1 了解数列的概念和分类，理解数列的实质即一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学重点：1．理解数列的概念；2．会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学难点：1．理解数列的实质：一种特殊的函数；2．能根据简单数列的前几项写出数列的通项公式教学方法：采用启发式的教学方法，通过问题激发学生求知欲，引用生活中的实力让学生主动参与数学实践活动中来，并以独立思考和相互交流的形式，在老师的引导下总结数列的概念。
教学过程：一、问题情境1．情境：青蛙的儿歌导入新课剧场座位：，，，，，．．．〔1〕彗星出现的年份：，，，，，．．．〔2〕细胞分裂的个数：，，，，，．．．〔3〕各年树木的枝干数： 1，，，，，，．．．〔4〕我国参加9次奥运会获金牌数，，，，，，51,28,26 〔5〕2．问题：这些问题有什么共同特点？二、学生活动问题，教师引导学生体会例子中出现的几组数据的顺序都是不可调换的，是学生理解顺序变化对这列数字的影响．从而生成数列的概念。
三、建构数学1．数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成，，，．．．，，．．．，简记为．2．项：数列中的每个数都叫做这个数列的项．称为数列的第项〔或称为首项〕，称为第项，．．．，称为第项．比照数列和集合的概念，比拟两者的区别：〔1〕数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；〔2〕数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．给出数列的概念后让学生用数列去表示：“一尺之棰〞每日剩下的局部：1，，，，，．．．3．有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．通项公式．一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5、数列是特殊的函数．在数列中，对于每一个正整数〔或｛1，2，…,｝〕，都有一个数与之对应．因此，数列可以看成以正整数集N〔或它的有限子集｛1，2，…,｝〕为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果〔，…〕有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…．〔强调有序性〕提出数列是一种特殊的函数后，给出两组数列的通项公式，画出其图像，说明数列的图像是一些离散的点。
江苏省高级中学高中数学(苏教版)必修五学案：第一课时2.1 数列
第一课时§2.1 数列【教学目标】一、知识与技能理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.三、情感、态度与价值观【教学重点】1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项【教学难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.【教学过程】一、复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y＝f(x)，其中x∈A，y∈B.二、新课讲解在学习函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50 ①1，2，22，23， (263)15，5，16，16，28 ③0，10，20，30，…，1000 ④1，0.84，0.842，0.843，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.（1）数列定义：按照一定次序排成的一列数.数列{a n }的第n 项a n 与项数n 有一定的关系吗？（2）数列的通项公式：{a n }与a n 又有何区别和联系？{a n }表示数列；a n 表示数列的项.具体地说，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只表示这个数列的第n 项.其中n 表示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？3、数列的表示法（1） 解析法（2） 列表法（3） 图象法4、数列的分类 （1） 按项数分（2） 按项与项的大小分（3）三、例题讲解例1根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝nn ＋1 ； (2)a n ＝(－1)n ·n有限项：无限项：递增数列：a n+1>a n递减数列：a n+1<a n摆动数列：a n+1>a n 或a n+1<a n 不确定无界数列例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1， 3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5 .例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数⑴ 515,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3，5，9，17，33⑷ 5，55，555，5555⑸225,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b, a小结：（1）出现正负号交错项，可用1)1()1(+--n n 和来调节；（2）形如{}n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 等形式的数列求通项，先分别求出{}n a 、{}n b 通项，再结合例题5 已知下列数列的通项公式，问n 取何值时，a n 最小？（1）1)29(2+-=n a n （2）1)310(2+-=n a n （3）1)11(2+-=n a n例题6 已知数列通项公式34122-+-=n n a n（1）解不等式n 1n a a >+ （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几项，若不存在，请说明理由四、课时小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式.五、作业： 课课练、补充练习。
苏教版数学高二必修五导学案2.1 数列的概念与简单表示法(第1课时)8
第二章 数列2．1 数列的概念与简单表示法（第1课时）8 **学习目标**1．理解数列的概念，了解数列的分类；2．理解数列是自变量为正整数的一类函数，了解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式）；3．能根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。
**要点精讲**1．按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
数列：123,,a a a ，…，n a ，…，简记为{}n a 。
2．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
3．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。
4．数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{1,2,…,}n 为定义域的函数()n a f n =。
如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
如三角形数依次构成的数列的通项公式1(1)2n a n n =+；正方形数依次构成的数列的通项公式2n a n =。
**范例分析**例1．（1）数列存在于现实生活，举出几个数列的例子。
（2）数列2,5,7,8和数列5,2,7,8是同一数列吗？（3）下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ ①学生的学号由小到大构成的数列：1，2，3，4，…，55。
②“一尺之棰，日取其半，万世不竭”每日得棰长构成的数列：1111,,,,24816... ③某人2004年1～12月份的工资，按月份顺序排成的数列：1500，1500，1500， (1500)④1-的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂……构成的数列：1-，1，1-，1，…。
苏教版高中数学(必修5)2.1《数列》word教案3篇
第 1 课时：§2.1 数列（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1.1 数列》94
数列（第一课时）南京市宁海中学汤池武【教学目标】1、能从实际问题中抽象、归纳出数列的概念；2、体会并理解数列的本质是函数并理解通项公式的概念；3、会利用函数的相关知识研究数列问题，加深理解数列的本质；4、培养学生抽象、归纳、转化的能力。
【教学重点】1理解数列概念；2体会数列的本质。
【教学难点】数列的本质【教学过程】一、问题情境实际问题数学语言表示：问题一——三角形数；问题二——《庄子天下篇》；问题三——剧场的座位；问题四——简谐振动位移的记录；问题五——王同学的四次考试成绩。
二、数学构建以上这些问题有什么共同的特点？——引入新知——数列——得到新知概念理解：1、数列定义中的关键词有哪些？你能不能再举出一些数列的例子。
2、你是如何理解数列定义中的一定次序的？3、针对分析你有什么发现？——得到数列的本质——是一个函数。
三、学生活动利用函数知识来研究前面的几个数列。
——学生展示要研究一个函数那么首先我们要研究函数的哪些问题？数列的通项公式：四、例题分析例一 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列个数：五、检测训练{}4+11.n n n n a a n a a =+1. 已知数列的通项公式是,求及{}2412.(1)5(2)(3)n n a a n n =-- 2.已知数列的通项公式是 求这个数列的第项； 65是这个数列的第几项； 该数列是否存在最大项或最小项，若存在，求是第几项.{}222112.n n a a n n =--已知数列的通项公式是该数列的最小项是哪一项？(1)2,4,6,8 ；1111(2),,,12233445--⨯⨯⨯⨯.六、知识方法展望。
高中数学 2.1数列(1)导学案 苏教版必修5
⑤某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝（书29页图2-1-2），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为
1，1，2，3，5，8 …
⑥从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛得的金牌总数依次为
2．根据数列 的通项公式，写出这个数列的前 项和第 项：
（1） ；（2） ．
3． 是否为数列 中的项？如果是，是第几项？
4．数列 的第 项是________________．
【课外作业】
1．不是数列 中的一项的是 （ ）
Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．
2．已知数列 ，则函数 的图象是 （ ）
Ａ．一条直线Ｂ．在第一象限的一条射线
20，22，24，26，28，…
②人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为
1740，1823，1906，1989，2072，…
③某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，一个细胞分裂的个数依次为
1，2，4，8，16，…
15，5，16，16，28，32
这些问题有什么共同的特点？
2．数列的定义：____________________________________________________称为数列；
_____________________________________________叫这个数列的项．
____________________叫有穷数列．__________________叫无穷数列．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1.1 数列》91
第二章数列数列（一）【学习目标】1了解数列的概念；2了解数列的分类，了解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；3理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式【学习过程】活动一概念引入（一）情境1：某种树木第1年长出幼枝、第2年幼枝长成粗干、第三年粗干可长成幼枝各年树木的枝干数依次为情境2：某剧场幼有30排座位，第一排有2021位，从第二排起，后一排都比前一排多1个，各排的座位数依次为；情境3：哈雷慧星回归周期为76年，从1682年开始连续6年的年份依次为；情境4：请大家取一张纸对折，假设纸的厚度为1个长度单位，面积是1个面积单位，那么随着依次对折的次数的增加，问它每次对折后的厚度依次是；和每层纸的面积依次是；情境5：从1984年到今年，我国共参加了9次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为情境6：古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的三角形数数依次为；正方形数依次为问题1：以上问题中的数有什么共同特点？活动二概念形成1数列的定义：问题2：你能自己举出数列的例子吗？2数列的分类：问题3:你能用将上述情境中的数列进行分类吗3. 数列的记法：问题4:数列与集合的区别：问题5：数列中的每一项与其序号之间是怎样的关系？4数列的本质：问题5：你认为数列可以用哪些方法表示？为什么？5数列的表示：活动三 概念应用例1 已知数列的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）1+=n n a n ； （2）()n nn a 21-=例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）3，6，9，12； （2）541,431,321211⨯-⨯⨯-⨯，活动四 课堂小结。
高中数学§2.1 第1课时 数列(1)教案苏教版必修5
§2.1 第1课时 数列(1)【课前自主学习】（学案） 一、 回顾知识：1． 函数的概念（定义）；2． 二次函数、指数函数、对数函数的图象。
二、 预习知识： 1、 数列的定义；2、 数列的通项公式；3、 数列的表示。
三、 预习检测：课本P31 练习1、2、3、6四、 师生研讨：例1． 已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（１）1n na n =+；（２）2(1)2n n a -=．例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（１）1，3，7，15，31； （２）1-，1，1-，1，1-； （３）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯； （４）13，45，97，169，．．．，； （５）0，2，0，2．归纳：写出数列的通项公式（１）关键是寻找n a 与n 的对应关系()n a f n =； （２）符号用(1)n -或1(1)n +-来调节；（３）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系； （４）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的； （５）对于形如a ，b ，a ，b ，．．．，的数列，其通项公式均可写成1(1)22n n a b a ba ++-=+-． 五、当堂检测：课本P32 1、2、3六、 课后自我检测作业：课本P32 第1,3题中任选2小题，第4题七、 课后自主练习：新新练案 P15 1-12题【课堂主体参与】（教案） 【学习目标】（1）了解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列； （2）理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式． 【重点、难点】（1）理解数列是一种特殊的函数；（2）会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式． 【学情分析】学生对函数的概念还不是很了解，而且在日常生活中，会遇见如存款利息、购房贷款、资产折旧等一些计算问题，通过学习数列知识，可以进一步理解函数的概念，以及体会数学的应用价值。
高中数学2.1数列(1)教案苏教版必修5
2.1数列 第 9 课时一、学习目标 1．理解数列的概念；探索并掌握数列的通项公式。
2．探索并掌握数列的几种简单表示法。
二、学法指导数列是高中数学的重要内容之一,是高考必考内容之一，同学们可以根据数列概念,及实例,归纳猜想数列通项公式。
利用递推公式计算数列的前几项数值,归纳猜想数列通项公式。
１．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；（１）确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
（２）可重复性：数列中的数可以重复。
（３）有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
２．数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
３．并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样。
三、课前预习１． 叫做数列， 叫做这个数列的项。
２． 叫做这个数列的通项公式。
３． 叫做有穷数列， 叫做无穷数列。
４．数列的表示方法有： 、 、 。
四、课堂探究例1．已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： （１）1n n a n =+； （２）2(1)2n na -=． 例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（1）1，3，7，15； （2）2，4，6，8；（3）1-，1，1-； （4）0，2，0，2；（5）13，45，97，169……； （6）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯.五、巩固训练（一）当堂练习 练习：P31练习２，３，４，５（二）课后作业 32P 习题２．１第1，2，3，4题六、反思总结七、课后练习（选做）1．数列－1，85 ，－157 ，249 ，…的一个通项公式a n= ．2．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式a n= ．3．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于 ．4．⑴求数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式.⑵求数列25 ，215 ，252，…的通项公式.5．写出下列数列的通项公式：⑴9，99，999，9999，．．．，；⑵13-，18，115-，241，．．．，；。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1 数列》
数列求和一、根底回忆：1、设是等差数列的前项和，假设那么_-54______2、假设数列是首项为，公比为的等比数列，那么数列的前项和________3、假设数列是首项为2，公差为2的等差数列，，那么数列的前项和________4、假设数列满足：那么数列的前项和________5、设是数列的前项和，那么数列的通项公式________6、将以下式子裂成两项差的形式：〔1〕_______; 2=_______;3=__________二、例题分析：例1、在等比数列中，公比为是其前项和，假设求解：由题意得：即解得或当时，；当时，小结与反思：求和方法之一：当数列为等差或等比数列时，求和用公式法。
数列求和常用的公式有：〔需注意公式形式的选择〕等差数列：S n＝错误!＝na1＋错误!d；等比数列：S n＝错误!例2、数列是首项为公差为的等差数列，且求数列前项和解：由题意得：所以=所以=小结与反思：求和方法之二：某些数列的通项可以拆成二项或多项〔裂项〕，以这种形式相加时出现有规律的抵消项，此时求和用裂项相消法如：；常见的拆项公式有：1错误!＝错误!－错误!； 2错误!＝错误!错误!；3错误!＝错误!错误!；4错误!＝错误!错误!－错误!；例3、数列的通项公式为求数列前项和解：因为所以小结与反思：求和方法之三：数列满足，其中为等差或等比数列时，求和用分组求和法。
例4、数列前项和〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设求数列前项和分析：此数列非等差数列也非等比数列，其通项公式可以认为是一个等差数列b n＝n与一个等比数列c n＝错误!相乘得到的，可以用乘公比错位相减法来求解．解：〔1〕因为，当时，当时，，也满足上式综上，〔2〕那么3两式相减得那么，化简得：小结与反思：求和方法之四：数列满足，其中一个等差，另一个等比时，求和用错位相减法。
错位相减法的一般步骤：〔1〕列出求和表达式；〔2〕等式两边同乘以等比数列的公比，且等式右边要错位；〔3〕将上述两式相减，对应的项相减将会出现一个新的等比数列；〔4〕右边用等比公式求和并化简整理〔注意结果的最简形式〕。
(苏教版)数学必修五导学案：2.1数列(1)
苏教版高中数学必修5-2.1《数列(第2课时)》教学教案
数列（第2课时）教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n 项和与n a 的关系；4．会由数列的前n 项和公式求出其通项公式。
教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项。
教学难点：理解递推公式与通项公式的关系。
授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。
注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。
2．数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.。
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….。
3．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
5．数列的图像都是一群孤立的点。
6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法。
7．有穷数列：项数有限的数列。
8．无穷数列：项数无限的数列。
二、讲解新课： 知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题。
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型。
模型一：自上而下：第1层钢管数为4，即：1↔4＝1+3；第2层钢管数为5，即：2↔5＝2+3；第3层钢管数为6，即：3↔6＝3+3；第4层钢管数为7，即：4↔7＝4+3；第5层钢管数为8，即：5↔8＝5+3；第6层钢管数为9，即：6↔9＝6+3；第7层钢管数为10，即：7↔10＝7+3。
若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n≤7）。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 第2章 数列（通用）》1
S n与a n之间的关系探究江苏省淮安中学丁军▎教材分析本节课教学内容为苏教版高中数学必修5第二章?数列?第一节?数列的通项?的探究与扩展内容，本节课内容的教学应安排在讲授完等差数列与等比数列后进行，此时学生已经对数列相关问题的常见处理方法有了一定的了解，同时对数列通项公式中的“〞的任意性有初步的把握，本章节的内容可以起到承上启下的作用，促进对等差与等比数列的前项和公式的理解，同时为下面的数列求和方法提供一些操作方式上的指引。
▎教学目标分析知识与技能：理解与的关系，并能熟练地应用；过程与方法：通过对题目的观察、体验，培养学生的观察能力和准确利用公式的能力；情感态度与价值观：通过对具体问题的探究，激发学生的学习兴趣，强学好数学的自信心。
▎教学重难点分析重点：与的关系及其应用；难点：能敏锐的观察出与的关系，并能准确的运用关系解题。
▎教学流程设计问题1：对于数列，前项和的意义是？学生作答：问题2：前面我们学习了等差数列与等比数列的前项和公式，那么如果数列前项和，如何求其所对应的通项公式？设计意图：引出以下与关系：探究1：数列前项和为，且满足，求设计意图：与关系的直接运用，由学生自主完成，投影学生解题过程并分析其中的注意点，特别是与分开讨论的必要性，为变式1做好理论根底准备。
简析：时，；时，综上所述：变式1：等比数列前项和为，且满足，求设计意图：进一步强调与分开讨论的必要性，如果不将与分开讨论，此题将会得到一个“永远成立〞的等比数列，其错误原因就是时所得到的也必须适合时求得的数列的通项公式。
简析：时，；时，因为为等比数列，所以，因此，得探究2：数列前项和为，〔1〕求证是等比数列；〔2〕求的通项公式设计意图：与关系时，如何运用“退位相减〞的思想解题，注意关系式中“〞的任意性的运用。
主要由学生自主探究完成，注意其中与分开讨论。
简析：易得，令可得，因此为以1为首项、2为公比的等比数列，且变式1：数列前项和为，假设，求的通项公式设计意图：结合探究2，进一步明确与分开讨论的重要性，并且初步进行归纳总结，引导学生发现当与的下标一致时，与可以不用分开讨论，只要说明的范围即可；当下标不一致时应分开讨论。
2018版高中数学苏教版必修5学案：2.1数列(一)
§2.1 数列(一)［学习目标］1•理解数列及其有关概念2理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项3对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式.自主学习知识点一数列的概念1•数列与数列的项按照一定次序排列的一列数称为数列」列中的每个数都叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，，排在第n位的数称为这个数列的第n项.2. 数列的表示方式数列的一般形式可以写成a i, a2,…，a n,…，简记为乜也3. 数列中的项的性质：(1) 确定性；(2)可重复性；(3)有序性.思考1数列的项和它的项数是否相同？答案数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.思考2 数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与｛1,2,3,4,5｝有什么区另U?答案数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合｛1,2,3,4,5｝与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性.知识点二数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类：(1) 有穷数列--- 项数有限的数列.(2) 无穷数列一一项数无限的数列.知识点三数列的通项公式一般地，如果数列｛a n｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 思考1数列的通项公式有什么作用？ 答案 (1)可以求得这个数列的任一项，即可以根据通项公式写出数列； (2) 可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列； (3) 可以判断一个数是不是数列中的项 •思考2 数列｛a n ｝的通项公式a n =— 58+ 16n — n ，贝U a 3=, — 3是数列a n 的第项. 答案 —19 5或11解析 a 3=— 58+ 16X 3— 32=— 19.令—58 + 16n — n 2=— 3，即 n 2— 16n + 55= 0, ••• n = 5 或 11.戸题型探究题型一数列的概念与分类例1下列四个数列中，无穷数列有 (填序号).④ 1 , 2 , ；.；3 , (21)答案①②③ 解析 ①②③有无数项，④有有限项.反思与感悟 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列， 只需观察数列是有限项还是无限项 若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列 跟踪训练1已知下列数列: (1) 2000,2004,2008,2012 ; 1 2(2) 0 , 2, 3 , 1 1(3) 1, 2 , 4 ,丿 n — 12 3 …J__n 3 , 5, , 2n — 1車点突碳1 3, 1 4, ② s^nsin^5, sin^n1③ -1,— 2,1 — 1 .... 4, — 8,…; (4)1,1n n(5) 1,01，…，sinq ，…；(6) 3,3,3,3,33其中有穷数列是，无穷数列是 •(将正确答案的序号填在横线上 )答案⑴(6)⑵(3)(4)(5)题型二观察法写数列的一个通项公式例2根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 2 4 6 8彳彳 \ ” , , , , , • • • •(|)3 15 35，63，'1 c 9 ° 25(2)2，2，2，8，—，…；⑶—1,2,— 3,4,…；(4) 2,22,222,2222，…1X 3,3 X 5,5 X 7,7 X 9,…是两个相邻奇数的乘积24 9 16 25 2. n2, 2，"2，~2，…，其各项的分子为 n , •• a n=—. ⑶该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故 a n = (— 1)n n.2⑷由9,99,999,9 999,…的通项公式可知，所求通项公式为 a n = "(10n — 1).反思与感悟 (1)用观察归纳法写出一个数列的通项公式， 体现了由特殊到一般的思维规律,具体可参考以下几个思路：① 先统一项的结构，如都化成分数、根式等 •② 分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式 ③ 对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(—1)k 处理符号.④ 对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决 (2)熟记一些基本数列的通项公式，如：① 数列—1,1,— 1,1…的通项公式是a n = (— 1)n .解(1)分子均为偶数，分母分别为 2n故a n =(2 n — 1 ]2n + 1)1 (2)将分母统一成2,则数列变为1,②数列1,2,3,4,…的通项公式是a n= n.③数列1,3,5,7,…的通项公式是a n= 2n —1.④数列2,4,6,8,…的通项公式是a n= 2n.⑤ 数列1,2,4,8,…的通项公式是a n = 2n -1. ⑥ 数列1,4,9,16,…的通项公式是a n = n 2.跟踪训练2已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式 (1)1,3,7,15,31，…;(2)4,44,444,4444，…；4 2 11，7，(5) 1,2,1,2,1,2 ,解(1)观察发现各项分别加上 1后，数列变为2,4,8,16,32 ,…，新数列的通项为2n ,故原数列的通项公式为 a n = 2n - 1.9⑵各项乘，变为9,99,999,…，各项加上1后，数列变为(3) 所给数列有这样几个特点: ①符号正、负相间② 整数部分构成奇数列；③ 分母为从2开始的自然数的平方; ④ 分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可 .由所给的几项可得数列的通项公式为：a n =(—D" 2"-1 + 77^，3 小2 ‘n 2n + 3n + n — 1所以 a n = (— 1) 2.(n + 1 )4 4 4 4(4) 数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4,数列变为, — 5，8，— 71，…，再把1 影 =3⑶-14，39，_ 5洛74 — 9525， 36, 10,100,1 000,…，新数列的通项为10n ，故原数列的通项公式为a n = 9(10n — 1).所以a n =亠3n — 1(注：答案不唯一)题型三通项公式的应用⑴计算a 3 + a 4的值;(5)可写成分段函数形式:a n =1, n 为奇数,2, n 为偶数,例3已知数列｛a .｝的通项公式为a nn(n + 2 严 N)，则若是，应为第几项？若不是，说明理由解⑴「an = nn + 2'...玄3=丄=1, a 4=亠 33X 5 15 4 4 X 624'1 1 13 …= + —.=,—亠 15 24 120'⑵若苻为数列｛a n ｝中的项, n n + 2120'⑵不是该数列中的项?••• n(n+ 2) = 120,• n2+ 2n —120= 0,n = 10 或n =—12(舍),1即云是数列｛a n｝的第10项.反思与感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n, 就可以求出数列的相应项.⑵判断某数值是否为该数列中的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列中的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的一项跟踪训练3已知数列｛ a n｝的通项公式为a n=—n2+ n + 110.(1)20是不是｛a n｝中的一项？(2)当n取何值时，a n= 0.解⑴令a n=- n2+ n+ 110= 20,即n2- n- 90 = 0, /• (n + 9)(n —10)= 0,••• n = 10 或一9(舍).••• 20是数列｛a*中的一项，且为数列｛a n｝中的第10项.⑵令a n=—n2+ n+ 110= 0,即卩n2—n —110= 0,•••(n- 11)(n + 10) = 0, • n= 11 或n = - 10(舍),•••当n= 11 时，a n= 0.戸当堂检测自查自纠1•三个数列，数列A: 1,4,9,16,25 ;数列B: 25,16,9,4,1 ;数列C: 9,4,1,16,25，的关系是（填序号）•①都是同一数列；②各不相同；③A、B是同一数列；④B、C是同一数列.答案②解析三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同2•下列数列中，是有穷数列的是•11111① 1,1,1,1，…：② 6,5,4,3,…；③ 而8, 6, 4 2；④2, - 2,2,- 2.答案③④解析①②是无穷数列，③④是有穷数列.3•下列叙述正确的是•①数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列；②同一个数在数列中可能重复出现；③数列的通项公式是定义域为正整数集N *的函数；④任何数列的通项公式都存在•答案②解析根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，因此，①是错误的；数列的通项公式的定义域是正整数集N*或它的有限子集｛1,2,3，…, n｝，因此③是错误的；一个数列有时不存在通项公式，故④是错误的；对于一个数列，可以有重复的数，故②正确•8 15 244. 数列一1, 5，—y，24，…的一个通项公式是•答案心-川活2n+ 1解析数列的奇数项为负，偶数项为正，分母可调整为3、5、7、9，可表示为2n + 1,分子n(n+ 2 \可调整为1X 3,2 X 4,3X 5,4 X 6,…故通项an= (—1)n.2n+ 15. 已知数列1, 3, .5, .7,…，2n —1,…，贝U 3 5是它的第项.答案23解析数列的通项公式为a n=" 2n —1.令2n —1 = 3 5, ••• n = 23.6. 观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1, 3, . 5, 7, , ,11,….答案3解析由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为,9 = 3.「课堂卜结--------------------------------------- 11. 与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1) 确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的(2) 可重复性：数列中的数可以重复.(3) 有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些“数”的排列次序也有关.2. 观察法写通项公式的注意事项根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.3. 并非每一个数列均有通项公式，如2的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414 ,…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一4 4 4 4各分母分别加上1,数列又变为3, —6，4，—12，…，。
苏教版必修五数列教案.docx
第一课时：§2. 1数列的概念与简单表不法教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项.过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程一. 情境引入：问题1：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只乘2只羊，则原来牧羊人赶了多少只羊？本题蕴含什么数学知识，你能解决这个问题吗？问题2：考察下列的数据，看看有什么共同特点？(1)20, 22, 24, 26, 28,…。
________________________(2)1740, 1823, 1906, 1989, 2072, ________________(3)1,2, 4, &16, ________________(4)1, -1, 1, -1, 1, -1, ••• o _________________________(5)1, 1, 2, 3, 5, 8,…o _________________________(6)从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15,5, 16, 16, 28, 32…二. 讲授新课知识点1•数列的定义：(了解)(1) ______________________________ 叫做数列.注意：①数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现(2)数列的项：_______________________________________________________(3). (了解) 数列的般形式：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？知识点2.(重点) 数列的通项公式：写出问题2中数列的通项公式注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.知识点3. ( 了解)数列与函数的关系: __________________________________________________________知识点4. (了解)数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列，无穷数列；2)根据数列项的大小分：递增数列；递减数列；常数数列；摆动数列。
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学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
知识点一数列及其有关概念
思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
思考2数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
梳理(1)按照________排列的____________称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的________．
(2)数列的一般形式可以写成________________，简记为________，其中a1称为数列{a n}的________(或称为________)，a2称为________，…，a n称为________．
知识点二通项公式
思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
思考2 数列的通项公式a n ＝f (n )与函数解析式y ＝f (x )有什么异同？
知识点三 数列的分类
思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列．
(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252
； (3)9,99,999,9999；(4)2,0,2,0.
反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．
跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－11×2，12×3，－13×4，14×5
； (2)22－12，32－13，42－14，52－15
； (3)7,77,777,7777.
类型二 数列的通项公式的应用
例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)(2n －1)(2n ＋1)
，n ∈N *. (1)写出它的第10项；
(2)判断233
是不是该数列中的项．
引申探究
对于例2中的{a n }．
(1)求a n ＋1；
(2)求a 2n .
反思与感悟 在通项公式a n ＝f (n )中，a n 相当于y ，n 相当于x .求数列的某一项，相当于已知x 求y ，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y 求x ，若求出的x 是正整数，则y 是该数列的项，否则不是．
跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)
(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．
1．下列叙述正确的是________．
①数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列；
②数列0,1,2,3，…可以表示为{n }；
③数列0,1,0,1，…是常数列；
④数列{n n ＋1
}是递增数列． 2．37是数列{3n ＋1}的第________项．
3．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．
4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －
1·n 2n －1，则a 1＝________；a n ＋1＝________.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和结构(绝对值)特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不是．顺序不一样．
思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
梳理
(1)一定次序 一列数 项 (2)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… {a n } 第1项 首项 第2项 第n 项
知识点二
思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜测第n 项a n ＝n ，从而第100项应为100. 思考2
如图，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
不同之处是定义域，数列中的n 必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
知识点三
思考 (1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．
梳理
(1)有穷 无穷
题型探究
例1 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋
1n ，n ∈N *. (2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252
，…， 所以它的一个通项公式为a n ＝n 22
，n ∈N *.
(3)各项加1后，变为10,100,1000，10000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋
1＋1，n ∈N *. 跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项
为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n
n ×(n ＋1)
，n ∈N *. (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所
以它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1
，n ∈N *. (3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9999，即79×(10－1)，79
×(100－1)，79
×(1000－1)， 79
×(10000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，79
×(103－1)， 79
×(104－1)， 所以它的一个通项公式为
a n ＝79
×(10n －1)，n ∈N *. 例2 解 (1)a 10＝(－1)10×1119×21
＝11399. (2)令n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝233
，化简得8n 2－33n －35＝0， 解得n ＝5(n ＝－78
，舍去)． 当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以233
不是该数列中的项． 引申探究
解 (1)a n ＋1
＝(－1)n ＋
1[(n ＋1)＋1][2(n ＋1)－1][2(n ＋1)＋1] ＝(－1)n ＋
1(n ＋2)(2n ＋1)(2n ＋3). (2)a 2n ＝(－1)2n (2n ＋1)(2×2n －1)(2×2n ＋1)
＝2n ＋1(4n －1)(4n ＋1)
. 跟踪训练2 10
解析 ∵1n (n ＋2)＝1120
， ∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10. 当堂训练
1．④ 2.12 3.a n ＝n ＋1，n ∈N *
4．1 (－1)n (n ＋1)2n ＋1。