九年级数学上册-旋转小专题七旋转中的计算与证明练习新版新人教版

小专题(七) 旋转中的计算与证明
类型1 基于“半角”的旋转
在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角,小角正好是大角的一半(如例1)．当面对这样的信息时,往往可以考虑使用旋转变换,并且旋转后,多半还有一对轴对称的全等三角形出现,此时,很多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
【例1】如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于O.设E,F分别是AB上不同的两个点,且∠EOF＝45°,请你用等式表示线段AE,BF和EF之间的数量关系,并证明．
【思路点拨】将△OFB绕点O顺时针旋转90°,得△OHA.连接HE,利用条件可证△EOH≌△EOF,从而得EH＝EF.然后在Rt△AEH中,利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2,进而得出结论．
1．已知在△ABC中,AB＝AC,D,E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD′,连接D′E.
(1)如图1,当∠BAC＝120°时,∠DAE＝60°时,求证：DE＝D′E；
(2)如图2,当DE＝D′E时,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出,并说明理由．
(3)如图3,在(2)的结论下,当∠BAC＝90°,BD与DE满足怎样的数量关系时,△D′EC是等腰直角三角形？(直接写出结论,不必说明理由)
类型2 基于“等边三角形”的旋转
方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形,旋转60度,从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合,连接小三角形的钝角顶点,得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中,将分散的已知条件集中起来,使问题得以解决．
【例2】如图,点P为等边△ABC内一点,且PA＝2,PB＝1,PC＝3,求∠APB的度数．
【思路点拨】将△APC绕点A顺时针旋转60°,得△ADB.连接DA,DP,DB,得AD＝AP,DB＝PC＝3,∠DAP＝60°.从而可证△ADP为等边三角形,所以DP＝AP＝2,∠DPA＝60°.在△DPB中,利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°,∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°.
2．如图所示,点P是等边△ABC内一点,PB＝2,PC＝1,∠BPC＝150°,求PA的长．
3．如图所示,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形,以D 为顶点作一角等于60°.角的两边分别交AB 、AC 于M 、N,连接MN,构成一个△AMN ,求△AMN 的周长．
参考答案
【例1】 AE 2＋BF 2＝EF 2.证明：将△OFB 绕点O 顺时针旋转90°,得△OHA.连接HE,∴OH ＝OF,AH ＝BF,∠BOF ＝∠AOH ,
∠HOF ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠DAB ＝90°,∠AOB ＝90°.∵∠EOF ＝45°,∴∠AOE ＋∠BOF ＝∠AOB－∠EOF＝90°－45°＝45°.∴∠AOE ＋∠AOH ＝∠EOH＝45°.∴∠EOH ＝∠EOF.在△EOH 和△EOF 中,OH ＝OF,∠EOH ＝
∠EOF ,OE ＝OE,∴△EOH ≌△EOF(SAS)．∴EF＝EH.∵在Rt △AEH 中,由勾股定理得EH 2＝AH 2＋AE 2,AH ＝BF,∴AE 2＋BF
2＝EF 2.
1.(1)证明：∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD′,∴AD ＝AD′,∠CAD ′＝∠BAD.∵∠BAC＝120°,∠DAE ＝60°,∴∠D ′AE ＝∠CAD′＋∠CAE ＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC－∠DAE＝120°－60°＝60°.∴∠DAE ＝∠D′AE.在△ADE 和△AD′E 中,AD ＝AD′,∠DAE ＝∠D′AE ,AE ＝AE,∴△ADE ≌△AD ′E(SAS)．∴DE＝D′E.
(2)∠DAE＝12
∠BAC.理由如下：在△ADE 和△AD′E 中,AD ＝AD′,AE ＝AE,DE ＝D′E ,∴△ADE ≌△AD ′E(SSS)．∴∠DAE ＝∠D′AE.∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE.∴∠DAE＝12
∠BAC. (3)∵∠BAC＝90°,AB ＝AC,∴∠B ＝∠ACB＝∠ACD′＝45°.∴∠D ′CE ＝45°＋45°＝90°.∵△D ′EC 是等腰直角三角形,∴D ′E ＝2CD ′.由(2)可得DE ＝D′E ,∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD′,∴BD ＝CD′.∴DE＝2BD.
【例2】 ∵△ABC 为等边三角形,∴AB ＝AC,∠BAC ＝60°.将△APC 绕点A 顺时针旋转60°,得△ADB.连接DA,DP,DB,得AD ＝AP ＝2,DB ＝PC ＝3,∠DAP ＝60°.∴△ADP 为等边三角形,所以DP ＝AP ＝2,∠DPA ＝60°.在△DPB 中,DB ＝
3,BP ＝1,DP ＝2,∴DP 2＋BP 2＝DB 2.∴∠DBP ＝90°,∠DPB ＝60°.∴∠APB ＝∠DPB＋∠DPA＝60°＋60°＝120°.
2.将△APC 绕点C 按逆时针旋转60°,使CA 移至CB 处,PC 移到P ′C,PA 移到P′B.∵∠PCP′＝60°,∴△PCP ′是等边三角形．∴∠P′PC＝60°,PP ′＝PC ＝1.∵∠BPC＝150°,∴∠BPP ′＝90°.在Rt △BP ′P 中,BP ＝2,PP ′＝PC ＝1,由勾股定理得P′B＝22
＋1＝5＝PA.∴PA＝ 5.
3.因为△ABC 为等边三角形,△DBC 为等腰三角形,∠BDC ＝120°,所以以D 为旋转中心,按顺时针方向将△DBM 旋转120°如图,且N 、C 、E 三点在同一条直线上．所以DM ＝DE,CE ＝BM,∠BDM ＝∠CDE.因为∠MDN＝60°,所以∠BDM＋∠NDC＝60°.所以∠NDE＝60°.在△DMN 和△DEN 中,DM ＝DE,∠MDN ＝∠EDN ,DN ＝DN,所以△DMN≌△DEN.所以NE ＝MN.所以△AMN 的周长＝AM ＋MN ＋AN ＝AM ＋NE ＋AN ＝AM ＋NC ＋CE ＋AN ＝AM ＋NC ＋MB ＋AN.即△AMN 的周长＝AB ＋AC.因为AB ＝AC ＝1,故△AMN 的周长为2.。