重庆理工大学(10-11)高等数学AⅡ(a)

南京工程学院(10/11)高等数学AII 试卷

(A)

一、单项选择题 (本大题共5小题, 每题3分, 共15分)

1. 已知两点M 12M 2 (1, 3, 0), 则向量12M M

与x , y , z 轴三个方向余弦依次为

( )

A -1/2, -1/2, 2；

B -1/2, 1/2, 2；

C 1/2, -1/2, 2；

D 1/2, -1/2, 2．

2. 设f (x , y ) 在点 (x 0, y 0) 处的偏导数存在, 则00000(2,)(,)

lim h f x h y f x h y h

→+--= ( )

A f x (x 0, y 0)；

B 2 f x (x 0, y 0)；

C 2 f y (x 0, y 0)；

D 3 f x (x 0, y 0) . 3. 设f (x , y ) 在D : x 2 + (y -2)2 ≤ 4上连续, 则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 ( )

A.4sin 0

0d (cos ,sin )d f r r r r πθ

θθθ⎰⎰

; B.

24sin 00d (cos ,sin )d f r r r r π

θ

θθθ⎰⎰

; C.4cos 0

d (cos ,sin )d f r r r r π

θ

θθθ⎰⎰

; D. 24cos 0

d (cos ,sin )d f r r r r π

θ

θθθ⎰⎰

.

4. 级数1

1

sin

n n n

∞=∑的敛散性是

( )

A 绝对收敛； B. 条件收敛； C 发散；

D 无法判断．

5. 设∑是锥面22z x y +x 2 + y 2 = 2所割下的有限部分, 则2()xy yz z dS ∑

++=⎰⎰

( )

A. 2 ; 2 ; 2 ; 2.

二、填空题 (本大题共7小题, 每小题3分, 共21分)

1. 两平面x -ky +2z -6 = 0与2 x +y +4z -6 = 0相互垂直，则k = .

2. 已知曲面x = y 2 + z 2, 则在点 (2,-1, 1) 处的法线方程为 .

3. 已知方程x 2 + y 2 + z 2 -4 = 0，则z

y ∂=∂ . 4. 幂级数21(1)5

n n

n n x ∞

=-∑的收敛半径R = .

5. 设 Γ 为曲线x = t , y = t 2 , z = t 3从点A (0, 0, 0)到B (1, 1, 1)的一段弧，则d d y x z y Γ

-=⎰ __________ .

6. 设 Ω 是由 |x | = 1, |y | = 1/2, |z | = 1/3所围的闭区域，则(1)d d d x x y z Ω

+⎰⎰⎰= .

7. 设函数,01

()1,1x x f x x π

≤<⎧=⎨≤≤⎩的正弦级数展开式为1sin n n b nx ∞=∑，1sin n n b nx ∞

=∑的和函数为s (x ), 则 ()2s π

-= ______________.

三、解答题 (本大题共5小题, 每小题8分, 共40分)

1. 设(,)y

z f x x =，求d z 和2z x y ∂∂∂.

2. 求过点M (1, 2, 1)且与直线L 1: 20

0x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩

和L 2:

210

10x y z x y z +-+=⎧⎨

-+-=⎩

平行的平面方程. 3. 确定常数A , 使得sin()d d 1D

A x y x y +=⎰⎰，其中D 是由直线y = x , y = 2x , x = π/2所围的闭区域.

4. 将函数()2x x

e e

f x --=展开成x 的幂级数，并求11(21)!

n n ∞

=+∑的值.

5. 计算2222(2)d (2)d L

x xy y x x xy y y +-+--⎰，其中L 是由点O 沿曲线y=sin x 到点A (π, 0)的弧段.

四、综合应用题(本大题共3小题, 满分24分)

1. (8分) 求二元函数2249z x y =++在区域224x y +≤上的最大值、最小值.

2. (10分) 计算2d d d d d d I y y z x z x z x y ∑

=-+⎰⎰, 其中∑为锥面22z x y +z = 1, 2z =所截部分的外侧.

3. (6分) 设正项级数1

n n u ∞

=∑收敛, 证明级数11n

n n

u u ∞

=+∑

收敛.