宁波市2018届高三第一学期期末考试数学试卷(含解析)

一、选择题1. 已知集合2{|}M x x x =≤，{|lg 0}N x x ==，则M N =（ ）A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. {0,1} 【答案】 A 【解析】由题意得{|01}M x x =≤≤，{1}N =，所以{|01}MN x x =≤≤.2. 已知a b >，则条件“0c ≥”是条件“ac bc >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】当a b >时，0ac bc c >⇔>，所以“0c ≥”是“ac bc >”的必要不充分条件. 3. 若函数22()(21)1f x ax a a x =+--+为偶函数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 12-C. 1或12- D. 0 【答案】 C 【解析】函数()f x 的定义域为R ，由()()f x f x -=得2210a a --=，解得1a =或12a =-. 4. 已知焦点在y 轴上的椭圆2214x y m+=的离心率为12，则实数m 等于（ ） A. 3 B.165 C. 5 D.163【答案】 D 【解析】因为椭圆2214x y m +=的焦点在y 轴上，所以4m >12=，解得163m =. 5. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】 B 【解析】由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，则其表面积为2222114222245162022r r r r r r r r πππππ⨯++⨯+⨯⨯=+=+，解得2r =. 6. 已知21()cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【解析】由题意得()sin 2x f x x '=-，易得函数()f x '为奇函数，排除B ，D ；设()sin 2xg x x =-，则1()cos 2g x x '=-，易得当(0,)3x π∈时，1()cos 02g x x '=-<，即函数()f x '在(0,)3π上单调递减，排除C ，故选A.7. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()n n N *∈个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 B 【解析】设摸取一次摸得白球的概率为p ，则易得(4,)XB p ，则()4(1)1D X p p =-=，解得12p =，则1()422E X =⨯=. 8. 《莱因德纸草书》()Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A. 53个B. 103个C. 56个D. 116个【答案】 A 【解析】由题意设5个人分得的面包数分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，则不妨设公差0d >，则有12345123451001()7a a a a a a a a a a ++++=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，即11151010012(39)7a d a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得153a =，即最小的一份为53个.9. 若函数1()f x x=在{|14,}x x x R ≤≤∈上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（ ）A.74B. 2C. 94D. 114【答案】 C 【解析】因为1()0f x x=≥，当1x =时，等号成立，所以0m =.又因为111()f x xxx=≤+=，当0x <时等号成立.设t x =，1()(14)g t tt =≤≤，则322212()2t g t tt -'=-=，令3222()02t g t t -'==得t =，所以函数()g t 在上单调递减，在上单调递增，且(1)2g =，9(4)4g =，所以()g t 在[1,4]上的最大值为94，所以当x =1()f x x=取得最大值94M =，所以94M m -=. 10. 已知向量OA ，OB ，满足1OA =，2OB =，3AOB π∠=，M 为OAB ∆内的一点（包括边界），OM xOA yOB =+，若1OM BA ⋅≤-，则以下结论一定成立的是（ ）A.2223x y ≤+≤ B. 12x y ≤C. 13x y -≤-D.213x y ≤+≤【答案】 B 【解析】因为1OA =，2OB =，3AOB π∠=，则不妨设(1,0)OA =，(1OB =，则()OM xOA yOB x y =+=+，(0,BA =，所以31OM BA y ⋅=-≤-，解得13y ≥.又因为点M 为OAB ∆内一点（包含边界），所以x ，y 满足的关系式为0131x y x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，取0x =，13y =，此时12233x y +=<，故A 选项不一定成立；由13y ≥，1x y +≤得23x ≤，所以123x y ≤≤，故B 选项一定成立；取0x =，1y =，此时331x y -=-<-，故C 选项不一定成立；取0x =，13y =，此时1233x y +=<，故D 选项不一定成立.二、填空题11. 已知4510ab==，则12a b+= . 【答案】2【解析】由4510ab==得lg 4lg51a b ==，则1lg 4a =，1lg5b =， 则212lg 42lg5lg(45)2a b+=+=⨯=. 12. 设i 为虚数单位，则复数23ii+的虚部为 ，模为 .【答案】2-【解析】 复数23(23)()32()i i i i i i i ++-==--，则其虚部为2-=13. 对给定的正整数(6)n n ≥，定义2012()n n f x a a x a x a x =++++，其中01a =，12(,)i i a a i N i n *-=∈≤，则6a = ；当2017n =时，(2)f = .【答案】642018413- 【解析】由01a =，12(,)i i a a i N i n *-=∈≤得数列{}i a 为首项为1、公比为2的等比数列，则2(,)i i a i N i n *=∈≤，所以66264a ==.当2017n =时，2220172017()1222f x x x x =++++，2220172017(2)1222222f =+⨯+⨯++⨯20182018220171(14)411444143--=++++==-.14. 在锐角三角形ABC 中，已知2A B =，则角B 的取值范围是 ，又若a ，b 分别为角A ，B 的对边长，则ab的取值范围是 . 【答案】(,)64ππ【解析】由2A B =得3C A B B ππ=--=-，因为ABC ∆为锐角三角形，所以2(0,)2(0,)23(0,)2A B B C B ππππ⎧=∈⎪⎪⎪∈⎨⎪⎪=-∈⎪⎩，解得角(,)64B ππ∈，则在ABC ∆中，由正弦定理得sin 2sin cos 2cos sin sin a A B B B b B B===∈. 15. 已知双曲线C的渐近线方程是y =±，右焦点(3,0)F ，则双曲线C 的方程为，又若点(0,6)N ，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值 为 . 【答案】2218y x -=2【解析】因为点(3,0)F 为双曲线的右焦点，则不妨设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，所以双曲线的渐近线方程为b y x a =±=±，即ba=①，又因为2223 a b +=②，联立①②，解得1a =，b =2218y x -=.设双曲线的左焦点为F '，则FMN ∆的周长为22222NF MN MF NF MN a MF NF a NF NF a ''++=+++≥++=+=，当且仅当点M 为直线NF '与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以FMN ∆的周长的最小值为2.16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有 种（请用数字作答）. 【答案】52【解析】因为四个骰子朝上的数字之积为24，所以这四个骰子朝上的数字组合可以为(6,4,1,1)，(6,2,2,1)，(4,3,2,1)，(3,2,2,2).对于(6,4,1,1)，有114312C C =种情形；对于(6,2,2,1)，有114312C C =种情形；对于(4,3,2,1)，有4424A =种情形；对于(3,2,2,2)，有144C =种情形.综上所述，四个骰子朝上的数字之积为24的情形共有12122452++=种.17. 如图，在平面四边形ABCD 中，1AB BC ==，AD CD ==，90DAB DCB ∠=∠=︒，点P 为AD 的中点，M ，N 分别在线段BD ，BC 上，则2PM MN +的最小值为 .【答案】1【解析】由题意得BD ==cos 3ADB ∠=.设(0DM t t =≤≤，则在PDM ∆中，由余弦定理得PM ==MN BC ⊥时，MN取得最小值为BM CD BD ⋅=，则1P M N =，设13y t =，则2221(1)032t yt y +--=，将其看作是关于t 的一元二次方程，则22481[(1)]0332y y ∆=--≥，解得1y ≥或13y ≤.过点P 作PM BD '⊥；故易得163PD AB PM PM BD ⋅'≥==>，所以13y >，则13y ≤舍去，所以1y ≥，当2t =时等号成立，所以2PM MN +的最小值为1. 三、解答题18. 已知函数2()2sin cos 12sin f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值与最小值 【答案】 （Ⅰ）π12- 【解析】（Ⅰ）因为()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为34x ππ-≤≤，所以5321244x πππ-≤+≤.当242x ππ+=，即8x π=时，()f x52412x ππ+=-，即3x π=-时，22()sin()cos()333f πππ-=-+-=()f x 的最小值为. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PA 的中点，2AB a =，BC a =，PC PD ==.（Ⅰ）求证：//PC 平面BDE ；（Ⅱ）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】 （Ⅰ）略【解析】（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为O ，连接EO .因为底面ABCD 为矩形，所以O 为AC 的中点.在PAC ∆中，E 为PA 的中点，所以//EO PC .又EO ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，所以//PC 平面BDE .（Ⅱ）在PCD ∆中，2DC a =，PC PD ==，所以222DC PD PC =+，即PC PD ⊥.因为平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD平面ABCD CD =，AD CD ⊥，所以AD ⊥平面PCD ，故AD PC ⊥.又AD PD D =，,AD PD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，故PAC ∠就是直线AC 与平面PAD 所成的角.在Rt PAC ∆中，AC =，PC =，所以sinPC PAC AC ∠===，即直线AC 与平面PAD 所成角的正20. 已知函数()(1)x f x x e =-.（Ⅰ）若方程()f x a =只有一个解，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()(ln )g x m x x =-，若对任意正实数1x ，2x ，12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{1}[0,)-+∞（Ⅱ）[1,)+∞【解析】（Ⅰ）由已知可得()(1)x x x f x e x e xe '=+-=.当0x <时，()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；当0x >时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.故min ()(0)1f x f ==-.又当0x <时，()(1)0x f x x e =-<，当x →-∞时，()0f x →，又(1)0f =，且当1x >时，()10f x x =->，若()f x a =只有一个解，即()y f x =与y a =只有一个交点，则所求a 的取值范围是{1}[0,)-+∞.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()1f x ≥-，所以对任意正实数1x ，2x ，12()()f x g x ≥恒成立，等价于22()1(0)g x x ≤->. ()*当0m ≤时，(1)0g m =-≥，与()*式矛盾，故不符合题意；当0m >时，因为1()x g x m x-'=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.max ()(1)1g x g m ==-≤-，所以1m ≥.综上所述，实数m 的取值范围为[1,)+∞.21. 已知抛物线C 的方程为24x y =，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作此抛物线的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，且PA PB ⊥.（Ⅰ）求证：直线AB 过定点；（Ⅱ）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB ⋅的最小值.【答案】（Ⅰ）略 （Ⅱ）274【解析】（Ⅰ）证明：设直线AB 的方程为y kx b =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，对24x y =求导得2x y '=，所以易知以A ，B 为切点的切线方程分别为1122x x y y =+，2222x x y y =+. 联立24y kx bx y =+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx b --=，则124x x k +=，224x x b =-.这两条切线垂直得12124144x x b k k -===-，得1b =，所以直线AB 恒过定点(0,1). （Ⅱ）设00(,)P x y ，则由（Ⅰ）得0121()22x x x k =+=，1201011124x x y x x y =-==-. 当0k =时，则00x =，可得AB PF ⊥；当0k ≠时，则00x ≠，02x k =，02PF k x -=，同样可得AB PF ⊥，又焦点(0,1)F 在直线AB 上，所以()AR AB AF FR AB AB AF ⋅=+⋅=⋅ 112(1)(2)AB AF y y y =⋅=+++. 由221212116x x y y ==. 所以112(1)(2)AR AB y y y ⋅=+++ 2111133y y y =+++. 令21()33(0)f x x x x x =+++>，则2221(1)(21)()23x x f x x x x +-'=+-=.所以()f x 在1(0,]2上为减函数，在1[,)2+∞上为增函数.所以min 127()()24AR AB f ⋅==. 22. 已知数列{}n a 满足，1a a =.（Ⅰ）若1a >，求证：对任意正整数(1)n n >均有2n a ≥；（Ⅱ）若3a =，求证：12324143n n a a a a n +<++++<+对任意n N *∈恒成立.【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略【解析】 （Ⅰ）根据()22g x x =-和2()22x f x x =-在[2,)+∞上均为增函数，从而当2n a ≥时，必有1()(2)2n n a f a f +=≥=，或1()(2)2n n a g a g +=≥=.当1a >，且2a ≠时，2()(2)2a f a f =>=，所以对任意正整数(1)n n >均有2n a >；当2a =时，232a a ==，从而2n a =恒成立.综上所述，当1a >时，2n a ≥对所有满足1n >的正整数n 均成立.（Ⅱ）当3a =时，一方面，由（Ⅰ）知2124(2,)k k a a k k N -+>≥∈.又129354a a +=+>，所以12241n a a a n +++>+. 另一方面，2221212121221212132222(1)k k k k k k k k a a a a a a a a --------+=+=--， 且221212122122221k k k k k a a a a a --+--+=-=-，令212k k a b --=，则21(1)121k k k b b b ++++=+， 即211k k k b b b +=+，且11b =，212b =. 所以222121212213231082(1)2(1)k k k k k k k k a a b b a a a b -----+++==-+ 11[3(1)4]21k k b b =++++. 由11111()()(1)(1)k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b ---+--++-=++，且210b b -<知{}k b 为递减数列，且0k b >，所以111k b <+，从而212113[3(1)4]4212k k k k k a a b b b -+=+++<++. 又由11111111112k k k k k b b b b b b +==-≤-=+++.所以1122112n b b b b +++<=-， 所以122123()4342n n a a a b b b n n +++<++++<+.综上，所证成立.。