不定积分求解方法及技巧

不定积分求解方法及技巧小汇总

摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一．不定积分的概念与性质

定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）

简单的说就是，连续函数一定有原函数

定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则

（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为⎰f(x)d(x),即⎰f(x)d(x)=F(x)+C

其中记号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则⎰[f(x)±g(x)]dx=⎰f(x)dx±⎰g(x)dx.

性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则⎰kf(x)dx=k⎰

f(x)dx.

二．换元积分法的定理

如果不定积分⎰g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ϕ(x)] ϕ’(x).

做变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘（x）dx=dϕ(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du.

如果⎰f(u)du可以积出，则不定积分⎰g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C.

第一类换元法是通过变量代换u=ϕ(x),将积分⎰f[ϕ(x) ϕ’(x)dx化为⎰f(u)du.但有些积分需要用到形如x=ϕ(t)的变量代换，将积分⎰f(x)dx化为⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t).在求出后一积分之后，再以x=ϕ(t)的反函数t=ϕ1-(X)带回去，这就是第二类换元法。即

.

⎰f(x)dx={⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt})(1X

=ϕ

t-

为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=ϕ1-（x）存在的条件，给出下面的定理。

定理2 设x=ϕ(t)是单调，可导的函数，并且ϕ‘（t）≠0.又设f[ϕ(t)] ϕ’(t)具有原函数F（t）,则⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt=F(t)+C=F[ϕ1-(x)]+C

其中ϕ1-（x ）是x=ϕ（t ）的反函数。

三．常用积分公式

1 基本积分公式

（1）⎰kdx=kx+C(k 是常数)； （2）⎰

x u

dx=1

u x 1

u +++C(u

≠-1);

（3）⎰x dx =ln x +C ； （4）⎰2x

1dx +=arctanx+C; (5)

⎰

2

x

1dx -=arcsinx+C; (6)

⎰

cosxdx=sinx+C;

(7) ⎰sinxdx=-cosx+C ; (8) ⎰

x

2

cos dx

=⎰sec 2

xdx=tanx+C;

(9)

⎰

x

dx

2

sin =⎰

csc

2

xdx=-cotx+C; (10)

⎰

secxtanxdx=secx+C;

(11) ⎰cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ⎰e x dx= e x +C; (13) ⎰a x dx= e x +C; (14) ⎰shxdx=chx+C; (15) ⎰chxdx=shx+C. (16) ⎰tanxdx=-ln

cosx +C;

(17) ⎰cotxdx=ln sinx +C; (18) ⎰secxdx=ln

tanx secx ++C;

(19)cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)

⎰

2

2x

a dx

+=a

x x ln a 1+-a +C;

(21) ⎰

2

2x a dx -=arcsin

a

x

+C; (22) ⎰

2

2x a dx +=ln(x+22a x ++C; (23) ⎰

2

2a x dx -=ln 22a x x -++C.

2.凑微分基本类型

四．解不定积分的基本方法

四．求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ

其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：