2020年高考数学模拟试卷

2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．设集合A=若A B,则实数a,b 必满足
A. B. C. D. 2．设(1+i )x =1+yi ,其中x ,y 实数,则i =x y +
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝ ( )
A ．9
B ．10
C ．12
D ．13 4．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ）
A. 130
B. 170
C. 210
D. 260 5．设，则（ ）
A. B. C. D.
6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，
AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )
A. 14a ＋12b
B. 23a ＋13b
C. 12a ＋14b
D. 13a ＋2
3b 7．已知p:21
x
x - <1,q:(x-a)(x-3)>0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )
{}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈⊆||3a b +≤||3a b +≥||3a b -≤||3a b -≥32
3log ,log 3,log 2a b c π===a b c >>a c b >>b a c >>
A.(-∞,1)
B.[1,3]
C.[1,+∞)
D.[3,+∞)
8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为
A
．
6
B.
C. 3
D.2
9．奥运会乒乓球单打的淘汰赛采用七局四胜制，猜先后由一方先发球，双方轮流先发球，当一方赢得四局胜利时，该方获胜，比赛结束，现有甲、乙两人比赛，根据前期比赛成绩，单局甲先发球并取胜的概率为0.8，乙先发球并取胜的概率为0.4，且各局比赛的结果相互独立；如果第一局由乙先发球，则甲以4：0获胜的概率是（ ） A ．0.1024
B ．0.2304
C ．0.2048
D ．0.4608
10．函数sin ()sin 2sin
2x
f x x
x =+是 （ ）
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
11.以椭圆
22=1169144x y +的右焦点为圆心，且与双曲线22
=1916
x y -的渐近线相切的圆方程是 ( )
A ．x 2
＋y 2
－10x ＋9＝0 B ．x 2
＋y 2
－10x －9＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0 D ．x 2＋y 2＋10x －9＝0
12．设函数f （x ）满足x 2f′（x ）+2xf （x ）=e x
x
，f （2）=e 2
8
，则x ＞0时，f （x ）（ ）
A ．有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C ．机油极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝
3
2
，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝ 14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321
64
，则项数n 等于 .
15．已知f （x ）＝（2x ﹣1）4
，设(2x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 1+2a 2+3a 3+4a 4
＝ ．
16．对于正整数n,设曲线y=x n (1-x)在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a
n n+1}
的前n 项和的公式是
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）设数列}{n a 满足3
33313221n
a a a a n n =
++++-Λ，∈n N *． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项； （Ⅱ）设n
n a n
b =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．
18. （12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC.
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设的最大值是5，求k 的值.
19．（12分）如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=Bc ，求二面角111A A B C --的余弦值.
()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅u r r u r r
且
20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多．．
有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：
800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，且过点（4，
.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （3）求△F 1MF 2的面积.
22．（12分）已知函数f （x ）=e x ﹣ax （a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线y=f （x ）在点A 处的切线斜率为﹣1．
（1）求a 的值及函数f （x ）的极值； （2）证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；
（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈（x 0，+∞）时，恒有x ＜ce x ．
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷
理科数学参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
B
D
C
A
B
C
A
B
A
A
D
13. 1
2 14. 6 15. 8 16. 2n+1
-2
17.（10分）
Ⅰ）∵3
33313221n
a a a a n n =
++++-Λ， ① ∴当2≥n 时，3
1
333123221-=++++--n a a a a n n Λ． ②
由①－②，得3131=-n n a ，n n a 31
=．
在①中，令1=n ，得3
1
1=a ．
∴n n a 3
1=，∈n N *
．
（Ⅱ）∵n
n a n b =
，∴n
n n b 3⋅=， ∴n
n n S 33332332⋅++⨯+⨯+=Λ， ③ ∴1
4323333233+⋅++⨯+⨯+=n n n S Λ． ④A
由④－③，得
)3333(32321n n n n S ++++-⋅=+Λ，
即3
1)31(33
21
---⋅=+n n n n S ，
∴4
3
43)12(1+-=
+n n n S ． 18.(12分)
解：（I ）∵(2a －c )cos B =b cos C ，
∴（2sin A －sin C ）cos B =sin B cos C 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )
∵A +B +C =π，∴2sin A cos B =sin A ∵0<A <π,∴sin A ≠0.
∴cos B =
2
1
∵0<B <π，∴B =
（II ）=4k sin A +cos2A
=－2sin 2
A +4k sin A +1，A ∈（0，） 设sin A =t ，则t ∈.
则=－2t 2+4kt +1=－2(t －k )2+1+2k 2
,t ∈ ∵k >1，∴t =1时，取最大值.
依题意得，－2+4k +1=5，∴k =
19.（12分）
（1）连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO .因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点.
又1B O CO =，故1AC AB =
（2）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO CO = 又因为AB BC =，所以BOA BOC ≅V V
故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直.
以O 为坐标原点，OB uuu v 的方向为x 轴正方向，OB u u u v
为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -.
因为160CBB ∠=o
，所以1CBB V
为等边三角形.又AB BC =，则 30,0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，()1,0,0B ，130,,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,0C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ 1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，1131,0,3A B AB ⎛⎫
==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v u u u v ，
1131,,03B C BC ⎛⎫
==-- ⎪ ⎪⎝
⎭u u u u v u u u v 设(),,n x y z =v
是平面11AA B 的法向量，
11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v u u u v v u u u u
v 即3303330
y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
3
πm n ⋅u r r
3
22]1,0(m n ⋅u r r ]1,0(m n ⋅u r r
2
3
所以可取(n =v
设m u v 是平面111A B C 的法向量，则111100
m B C m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u u v
u v u u u u v
同理可取(1,m =u v
则1cos ,7
n m n m n m ⋅==r u r
r u r r u v
所以二面角111A A B C --的余弦值为1
7
. 20.（12分）
解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10
50
＝0.2，
p 2＝P (80≤X ≤120)＝35
50＝0.7，
p 3＝P (X >120)＝5
50
＝0.1.
由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93
×0.1＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：
所以，E (Y )③安装3台发电机的情形．
依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝
P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)
＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得Y 的分布列如下：
所以，E (Y )综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
21.（12分）
解析：(1)∵，∴可设双曲线方程为x 2
-y 2
=λ(λ≠0).∵过点（4，，∴16-10=λ，即λ=6.
∴双曲线方程为x 2-y 2
=6.
（2）方法一：由（1）可知，双曲线中，
∴F 12,0),∴
12MF MF k k =
=，
12
22MF MF m m k k 9123
==--g .∵点（3，m ）在双曲线上，∴9-m 2=6，m 2
=3， 故12MF MF k k 1⋅=-，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
（3）△F 1MF 2的底|F 1F 2F 1MF 2的高12F MF S 6.∴=V 22.（12分）
解：（1）由f （x ）=e x
﹣ax 得f′（x ）=e x
﹣a ． 又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，
∴f（x ）=e x ﹣2x ，f′（x ）=e x
﹣2． 由f′（x ）=0得x=ln2，
当x ＜ln2时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ＞ln2时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；
∴当x=ln2时，f （x ）有极小值为f （ln2）=e ln2
﹣2ln2=2﹣ln4． f （x ）无极大值．
（2）令g （x ）=e x ﹣x 2，则g′（x ）=e x
﹣2x ，
由（1）得，g′（x ）=f （x ）≥f（ln2）=e ln2
﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x ）＞0，
∴当x ＞0时，g （x ）＞g （0）＞0，即x 2＜e x
；
（3）对任意给定的正数c ，总存在x 0=＞0．当x ∈（x 0，+∞）时， 由（2）得e x
＞x 2
＞x ，即x ＜ce x
．
∴对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈（x 0，+∞）时，恒有x ＜ce x
．。