【高中数学单元检测】解析几何—抛物线(附详细答案)

单元检测：解析几何—抛物线

一、选择题

1．若抛物线2

2(0)y px p =>的焦点是椭圆

2231x y p

p

+

=的一个焦点，

则p =

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

2．已知双曲线

：的离心率为2．若抛物线的焦

点到双曲线的渐近线的距离为

2，则抛物线的方程为 A ． B ．

C ．

D ． 3．如图，设抛物线2

4y x =

的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是

A ．11BF AF --

B ．2211BF AF --

C ．11BF AF ++

D ．2

2

1

1

BF AF ++ 4．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知||

AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

5．已知点(2,3)A -在抛物线C ：2

2y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切

于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．

12 B ．23 C ．34 D ．43

6．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2

2(0)y px p =>上任意一点，M 是线段

PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为

1C 22221(0,0)x y a b a b

-=>>2

2:2(0)C x py p =>1C 2C 23x y =

23

x y =28x y =216x y =

A

B ．2

3

C

D ．1 7．已知F 为抛物线C ：2

4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C

交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10

二、填空题

8．若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 ．

9．若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22

1x y -=的一个焦点，则p = 10．设抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ．若线段FA 的中点B 在抛物线

上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________．

11．抛物线2

4y x =上的弦AB 垂直于x 轴并过焦点，M 为抛物线上一点，且满足

OM OA λ=+(2)OB λ-，则λ=______．

12．（2014湖南）如图4，正方形的边长分别为，原

点为的中点，抛物线经过 ． 13．已知点(1,1)M -和抛物线C ：2

4y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，

B 两点．若90AMB ∠=，则k =______．

2

2y px =(1,0)p =ABCD DEFG 和正方形,()a b a b

2(0)y px p =>,b

C F a

=

两点，则

三、解答题

14．已知抛物线C ：2

3y x =的焦点为F ，斜率为

的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．

(1)若||||4AF BF +=，求l 的方程； (2)若3AP PB =，求||AB ．

15．已知抛物线C ：22=-x py 经过点(2,1)-．

(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；

(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，

直线1=-y 分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过

y 轴上的两个定点．

16．已知抛物线）＞0(2:2

p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A

的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形。 （1）求C 的方程；

（2）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

②ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

3

2

单元检测：解析几何—抛物线（参考答案）

一、选择题

1．D 【解析】由题意，知抛物线的焦点坐标为(

,0)2

p

，

椭圆的焦点坐标为(，

所以2

p

=，解得8p =，故选D ． 2．D 【解析】因为双曲线：的离心率为2,

所以

又渐近线方程为所以双曲线的渐近线

而抛物的焦点坐标为

.故选D ． 3．A 【解析】

，故选A ． 4．B 【解析】由题意，不妨设抛物线方程为2

2(0)y px p =>，由||AB =，

||DE =，可取4(A p ，(2p

D -，设O 为坐标原点，

由||||OA OD =，得2

216854

p p +=+，得4p =，所以选B ．

5．D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线2

2y px =的准线上，∴22

p

-

=-．∴4p =， ∴2

8y x =，设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与2

8y x =联立， 得2

824160y ky k -++=②，则△=2

(8)4(2416)0k k --+=， 即22320k k --=，解得2k =或1

2

k =-

（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ， 又(2,0)F ，∴4

3

BF k =

，故选D ． 6．C 【解析】设()

()2

2,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则

1C 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>2.c

b a

=⇒=0,bx ay ±=1C 0.y ±=2

2:2(0)C x py p =>(0,

),2p |

|28p p =⇒=1

1

--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF