第三章一维扩散方程讲义
材料化学动力学 扩散
c
9.431019
11019 (m3 )
4107 7 107
对二定律的评价：
(1) 从宏观定量描述扩散，定义了扩散系数， 但没有给出D与结构的明确关系；
(2) 此定律仅是一种现象描述，它将浓度以 外的一切影响扩散的因素都包括在扩散系 数之中，而未赋予其明确的物理意义；
(3)研究的是一种质点的扩散(自扩散)；
A、 无规则行走扩散 模型： 1、 不论浓度或浓度梯度怎样，在单位时间内，每个原子向左边或
向右边跃迁的几率相等；
2、 原子的跃迁是独立的，互不相关的；
D 2 / 6 1 f r2
6
在固体介质中，作无规则布朗运动的大量质点的扩散系数决定于 质点的有效跃迁频率和迁移自由程平方的乘积。
扩散的布朗运动理论确定了菲克定律中扩散系数的物理含义, 为从微观角度研究扩散系数奠定了物理基础。
1.恒定源扩散 以一维扩散为例，讨论两种边界条件，扩散动力
学方程的解，如图：
初始条件：t=0， x ≥0，c(x,o)= 0
边界条件：t＞0，x=0， c(x,0)= C0
用菲克第二定律： C 2C 引入新变量： u x
则有：
D t x2
t
C t
C . u u t
C u
x . 2t 32
dc . u du 2t
对于理想混合体系，活度系数
D* i
自扩散系数
i 1 ；
Di
D* i
RTBi
Di组分i的分扩散系数，或本征扩散系数
1
Ln i
LnN i
0此时Di
0，即从高浓度
低浓度扩散，属正扩散，
结果：使溶质趋于均化。
1
Ln i
爱恩斯坦一维扩散公式
f ( )d
e2Dt cos cosx sin sin xd
2
1
f ( )d
e 2Dt cos( x)d
2
(11)
1
f ( )d
e2Dt cos( x)d
0
• 利用下列公式改写式（11）
e 2 2 cos d e 2 / 4 2
0
2
得
c(x,t)
f ( )
d f ( ) cos( x)d
2
(9)
1
2
c osx
f ( ) cosd sin x
f
(
)
s
in
d
d
• 比较 (8) 和 (9) 式，得
A() 1
f ( ) cosd
2
(10)
B() 1
f ( ) sin d
2
• 将 (10) 代入 (7) ，得
c(x,t) 1
2
1
Dt
exp
( x)2
4Dt
d
(12)
• δ 函数有如下性质
g(x) (x)dx g(0)
(13)
• 又因为 f (x) = m δ (x)，由此可将式（12）改写成如下形式
c(x, t)
m (x)
2
1
Dt
exp
( x)2
4Dt
d
m
x2
c
2(Dt)1/ 2
exp
4Dt
(14)
爱恩斯坦一维扩散公式的推导
• 扩散方程
x 2C t D x2
1
若 t=0 ( 刚进样瞬间 )时，柱内组分浓度分布为初始条件：
• 初始条件 c to f x
一维扩散方程 自相似解
一维扩散方程自相似解一维扩散方程是描述物质在空间中扩散传播的方程。
它在许多物理和工程领域中都有广泛的应用，例如热传导、扩散过程中的物质浓度变化等。
一维扩散方程的自相似解是指在特定的条件下，方程的解在空间和时间上具有相似性。
先来看一维扩散方程的一般形式：∂u/∂t = D ∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示扩散物质在时刻t、位置x处的浓度或温度；D 是扩散系数，反映了传导介质的特性。
对于自相似解，我们希望找到一种特殊的解形式，使得在空间和时间上，解在不同位置和不同时刻具有相似的形态。
为了得到自相似解，我们将引入相似变换。
假设我们有一个自变量变换：x' = x/√(Dt)，t' = t/√(Dt)，其中D是扩散系数。
通过这个变换，我们可以将原方程变为：∂u/∂t' = ∂²u/∂x'²接下来，我们将应用这个相似变换，来找到一维扩散方程的自相似解。
首先，我们将把扩散方程作为自变量进行变换：u(x,t) = U(x',t')将自变量变换带入一维扩散方程：∂U/∂t' = ∂²U/∂x'²接下来，我们对新的变量x'和t'进行求导，以确定新的依赖关系：∂u/∂x = ∂U/∂x' * ∂x'/∂x + ∂U/∂t' * ∂t'/∂x∂u/∂t = ∂U/∂x' * ∂x'/∂t + ∂U/∂t' * ∂t'/∂t在相似变换中，∂x'/∂x = 1/√(Dt)，∂t'/∂x = 0，∂x'/∂t = 0，∂t'/∂t = 1/√(Dt)，将这些值带入方程，可得：∂u/∂x = (1/√(Dt)) * ∂U/∂x'∂u/∂t = (1/√(Dt)) * ∂U/∂t'将这些结果代入一维扩散方程，有：(1/√(Dt)) * ∂U/∂t' = (1/√(Dt)) * ∂²U/∂x'²可以发现，新的方程中√(Dt)这一项在两边都能够相互抵消。
第三章 扩散
22
2. 结深 如果扩散杂质与硅衬底原有杂质的导电类型不同，在两 种杂质浓度相等处会形成p-n结。 若CB为硅衬底原有的背景杂质浓度，根据C(xj, t)=CB，得 到结的位置xj：
CB x j = 2 Dt erfc = A Dt Cs
−1
其中A是仅与CS/CB有关的常数，二者的关系如下图所示。 xj与扩散系数D和扩散时间t的平方根成正比； D与温度T是指数关系，所以在扩散过程中，温度对扩散深 度和杂质分布的影响较大。
C (0, t ) = Cs
假定杂质在硅内的扩散深度远小于硅片的厚度，则另一个边界 条件为：
19
C (∞, t ) = 0
在扩散开始时，初始条件应为：
C ( x,0) = 0,
x>0
根据上述的边界条件和初始条件，可求出恒定表面源扩散的杂 质分布情况：
x x C ( x, t ) = Cs 1 − erfc = Cs erfc 2 Dt 2 Dt
16
假设在小体积元∆v=∆x∆s内的杂质分布是均匀的。 在t时刻，体积元内的杂质浓度为C(x, t)，在t+∆t时刻杂质浓 度为C(x, t+∆t) 。经过∆t时间，该体积元内杂质变化量为
C ( x, t )∆s∆x − C ( x, t + ∆t )∆s∆x = −[C ( x, t + ∆t ) − C ( x, t )]∆s∆x
∂C ( x, t ) J = −D ∂x
扩散流密度 J 定义为单位时间通过单位面积的杂质(粒子)数。 11
D是扩散系数，D的单位为cm2/s。 杂质的扩散方向是使杂质浓度梯度变小。如果扩散时间足 够长，则杂质分布逐渐变得均匀。 当浓度梯度变小时，扩散减缓。 D依赖于扩散温度、杂质的类型以及杂质浓度等。
一维扩散方程差分格式的数值计算
一维扩散方程差分格式的数值计算一维扩散方程是描述物质在一维空间中扩散过程的方程。
数值计算是一种近似求解微分方程的方法，可以通过离散化空间和时间来求解一维扩散方程。
本文将介绍一维扩散方程差分格式的数值计算方法，并给出一个具体的数值计算实例。
∂u/∂t=D∂²u/∂x²其中，u是扩散物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
差分格式的基本思想是将连续的时间和空间变量离散化为一系列有限的点，然后用离散化后的点代替原方程中的连续变量，从而得到一个差分方程。
一维扩散方程的差分格式数值计算方法有很多种，下面介绍两种基本的差分格式：显式差分格式和隐式差分格式。
1.显式差分格式：显式差分格式的基本思路是使用当前时间步的解来计算下一个时间步的解。
通过对一维扩散方程进行差分得到：(u_i)_(n+1)=(u_i)_n+D*(∆t/∆x²)*((u_(i-1))_n-2(u_i)_n+(u_(i+1))_n)其中，(u_i)_(n+1)表示时间步n+1时刻、位置i处的扩散物质浓度。
该公式使用当前时间步n的解来逐点计算下一个时间步n+1的解。
2.隐式差分格式：隐式差分格式的基本思路是使用下一个时间步的解来计算当前时间步的解。
通过对一维扩散方程进行差分得到：((u_i)_(n+1)-(u_i)_n)/∆t=D*(∆x²)*((u_(i-1))_(n+1)-2(u_i)_(n+1)+(u_(i+1))_(n+1))这是一个关于时间步n+1的隐式方程，需要使用迭代方法求解。
数值计算的实例：假设在一根长为L的杆上有一种扩散物质，杆的两端固定浓度为0，即u(0, t) = u(L, t) = 0；初始时刻杆上的浓度分布为一个正弦函数，即u(x, 0) = sin(πx/L)；扩散系数为D。
我们需要计算杆上扩散物质的浓度随时间的变化情况。
首先，选择合适的网格间距∆x和时间步长∆t。
然后将杆上的空间坐标和时间离散化为一系列点，得到网格。
一维扩散偏微分方程
一维扩散偏微分方程一维扩散偏微分方程（PDE）是一类常见的微分方程，它表达了某种物理现象的变化。
举个例子，它可以用来描述热的传导、浓度的变化、电场的强度以及气体的压力等等。
PDES 的形式可以用更抽象的方法表达，可以为应用程序设计者提供更多的自由度。
一维扩散偏微分方程的形式可以用通用的微积分方式来描述，其基本形式可以表述为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
该方程描述了当变量因扩散作用而随时间发生变化时，随着空间单位变化量的变化率，变量会发生变化。
一维扩散偏微分方程有几个典型的形式，具体可以分为以下几类：一、静态扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
它描述了由于变量的扩散作用而发生变化的系统，而不考虑任何外部影响因素。
二、动态扩散型方程：它的形式为：u_t=k(u_xx)+f(u,x,t)，其中f(u,x,t)表示变量受外部影响因素的作用，由外部影响决定变量的波动。
三、热扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=a(u_xx)+b(u_xxxx)，其中a和b分别表示传热系数和热容系数。
当变量受到外部热源的影响时，可以使用这种方程来描述。
四、声学扩散型方程：它的形式为：u_t=c(u_xx)+v(u_xxxx)，其中c和v分别表示声学场的传播速度和声学场的波动速度。
它通常用来描述声音在空间上的传播。
五、湍流扩散型方程：它的形式为：u_t=p(u_xxx)+q(u_xxxx)，其中p和q分别表示湍流的传播速度和湍流的波动速度。
它通常用来描述边界层的湍流场的变化。
一维扩散偏微分方程在物理上反映了某些物理现象的变化，是一类经典的微分方程，广泛应用于物理，工程和数学领域，如工程热力学、传热学、流体动力学等。
值得一提的是，一维扩散偏微分方程也可以用一般的微分方法来求解，求解过程相对简单，求解结果可靠，值得我们学习和应用。
一维扩散方程解析解
一维扩散方程解析解
一维扩散方程是用来描述一维物质在空间上传播特性的、有均匀源并带有时间项的常微分
方程. 它是科学研究的重要基础，常用来研究传播过程中的浓度变化特性.
一维扩散方程的基本形式为，扩散方程的右端带有一个包含时间项的源项，即σ
(t)=γ(t)，γ(t)表示源项，σ(t)为时间t时扩散量，它反映扩散系统中物质水平变化，Δx表示x方向上的瞬间变化尺度，D被称为扩散系数，它反映系统物质的扩散能力，
d/dt则是描述系统物质变化的时间项. 简而言之，一维扩散方程的核心思想就是随着时间的推移，物质随着一定的扩散系数D和一次空间上梯度即dx/dt在均匀源的作用下，按照
波动的规律传播消散.
一维扩散方程的解析解是采用特殊的变换法来解决的，比如通过Laplace变换解二阶方程，等待变换系数空间上梯度消失，然后通过其变换反归纳解出原函数形式即为所求解. 在科
学研究中，应用到一维扩散方程的问题比较多，比如用于研究流体在均匀源条件下流动波
动性，以及反应扩散等.
一维扩散方程是研究和探究扩散现象的重要工具，它的解析解有助于人们把握和理解扩散
系统中的重要过程，当然我们也可以通过对比实验和数值模拟的方法来研究一维扩散方程
的具体应用，总之，一维扩散方程的解析解为物理学研究奠定了坚实的基石.。
一维扩散模型半无限边界条件
一维扩散模型半无限边界条件1.引言1.1 概述在物理学、化学、生物学和工程学等领域中，扩散是一种普遍存在的现象。
它是指物质从高浓度区域自发地向低浓度区域传播的过程。
一维扩散模型是研究扩散现象的基本数学工具之一，适用于只在一个方向上发生扩散的情况。
本文将重点探讨一维扩散模型的半无限边界条件。
传统上，对于扩散问题的数学建模，通常假设系统在两端是封闭的，并且扩散物质在两端都不会有输入或输出。
然而，在实际应用中，我们常常会遇到一些特殊情况，例如某一端是开放的，即扩散物质可以自由逸出，而另一端仍然保持封闭。
这种情况下的扩散问题被称为半无限边界条件的一维扩散模型。
半无限边界条件的一维扩散模型具有较广泛的应用。
例如，在土壤科学中，研究土壤中污染物的迁移过程时，常常将土壤视为一个无限长的媒介，并且假设污染物从某一位置输入到土壤中，而在另一位置处则允许污染物自由地逸出。
此外，半无限边界条件的一维扩散模型还可用于研究材料中的溶质扩散、电离物在电化学系统中的传输以及生物体内物质的扩散等领域。
本文的目的是对半无限边界条件的一维扩散模型进行深入研究和讨论。
我们将首先介绍一维扩散模型的基本原理和数学描述，然后详细探讨半无限边界条件的物理意义和数学表达形式。
通过对该模型的分析和研究，我们希望能够深入理解半无限边界条件下扩散过程的特点和规律，并为相关领域的实际问题提供理论支持和解决方案。
进入正文的下一节，我们将首先介绍一维扩散模型的基本原理和数学描述。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述一维扩散模型半无限边界条件的相关内容:第一部分为引言，介绍文中要讨论的主题并给出本文的目的。
在引言部分中，将对一维扩散模型和半无限边界条件进行简要说明，为后续的内容提供背景和理论基础。
第二部分为正文，该部分将较为详细地介绍一维扩散模型和半无限边界条件的理论基础。
其中，2.1节将详细介绍一维扩散模型的基本概念、方程表达形式以及解析解的求解方法。
第3章 扩散ppt课件
11
3.1.4 扩散方程的解及其应用
求解方法：
1．确定方程的初始条件；
2．确定方程的边界条件；
3．用中间变量代换，使偏微分方程变为
常微分方程；
4．得到方程的解。
整理版课件
12
例1：扩散方程在焊接中的应用
• 质量浓度为ρ1、ρ2的金属棒焊接在一起，且 ρ2 >ρ1，形成无限长扩散偶。
无限长扩散偶中的溶质原子分布
• 扩散激活能一般靠实验测量。首先将式（3-25） 两边取对数，有：
lnDlnD0
Q RT
整理版课件
31
• 由实验测定在不同温度下的扩散系数，并以1/T为
横轴，lnD为纵轴绘图。图中直线的斜率为－Q/R
值，与纵轴的截距为lnD0值，从而用图解法可求 出扩散常数D0和扩散激活能Q。
2t
d d
D41Dtdd22
整理为
d2 2 d 0
d2
d
可解得
d d
A1exp(2)
再积分，通解为 A 10exp 2)(dA2 （3-9）
式中：A1和A2是积分常整理数版课。件
15
根据误差函数定义： er(f) 20exp2 ()d
可证明，erf（∞）=1，erf（-β）=-erf（β）。
0 ex 2 p )d (2 , 0 ex 2 p )d ( 2
• 以间隙固溶体为例，溶质原子的扩散一般是从一个间隙位
置跳到其近邻的另一个间隙位置。间隙原子从位置1跳到
位置2的能垒为ΔG=G2-G1，只有那些自由能超过G2的原子 才能发生跳跃。
整理版课件
23
面心立方结构的八面体间隙位置和（100）晶面上的原子排列
根据麦克斯韦-波尔兹曼（Maxwell-Boltzmann）统计分布
扩散原理PPT课件
Ci单位体积中i组成质点数 Vi 质点移动平均速度
Ji
Ci.Bi C uii .C xi J＝－Di
Ci x
Di Ci.Bi C uii Bi lu nC i i
C iC N i( m 分 ) o lC 数 n i l lN n i
Di
Bi
ui lnNi
2021
10
t x2 y2 z2
用途： 适用于不同性质的扩散体系； 可用于求解扩散质点浓度分布随时间和距离而变化的不稳 定扩散问题。
对二定律的评价： (1) 从宏观定量描述扩散，定义了扩散系数，但没有给出D与结构 的明确关系； (2) 此定律仅是一种现象描述，它将浓度以外的一切影响扩散的 因素都包括在扩散系数之中，而未赋予其明确的物理意义； (3) 研究的是一种质点的扩散(自扩散)； (4) 着眼点不一样(仅从动力学方向考虑) C t
2、 离子晶体中的扩散
空位机制： 大部分离子晶体 如： MgO、NaCl、FeO、CoO
两种机制
间隙机制：只有少数开放型晶体中存在 如： CaF2、UO2中的 F－、O2－
应石含用量：不Ca能F超2在过玻5璃0％中，能否降则低加熔2点％，C2降a0F21低2 烧结温度，还可以起澄清剂作2用9 。长
例： CaCl2引入到KCl中，分析K＋的扩散，基质为 KCl KC lVK VC •l (本征)扩散 Ca2 C KlC lCK •aVK 2CClL(非本征 ) 扩散
2021
15
理解：
Di BiRT (1L Lnn iiN )
1 Ln i
LnN i
扩散系数热力学 因子
对于理想混合体系，活度系数
D
* i
带时间依赖系数的一维对流扩散方程
本文考虑溶质离散和流体速度是时间依赖型的，那么：
f1x,t f1mt and f2x,t f2mt
C t
D0 f1mt
2C x2
u0
f2
mt
C x
07
2. 数学推导
在连续均匀输入点源情况下，初始及边界条件为：
Cx,t 0 ; t 0, x 0 那C么，x,t初 始C及0 边; x界条0,件t 变0为：
04
02 数学推导 PART TWO
2. 数学推导
新 空间变量
逆 拉普拉斯
变换
一维 对流扩散
方程
新 时间变量
拉普拉斯 变换
06
2. 数学推导
一般一维对流扩散方程为：
C t
x
Dx,t
C x
ux,tC
Dx,t D0 f1x,t and ux,t u0 f2x,t
CCX ,T0; x 0 ;T,t 00, X 0 引入新时间C与空xX间,T变 量 TC、0 X; ：X 0,T 0
TXC0t 0ff212;mXmttdt ,T 0
X
f 2 mt f1mt
dx
x
f2mt f1mt
08
2. 数学推导
引入变量X，对流扩散方程变为：
X
x
f2mt f1mt
f1mt f22mt
C t
D0
2C X 2
u0
C X
引入变量T，对流扩散方程变为：
T 0t ff212mmttdt
C T
D0
2C X 2
第三章 一维定常流动的基本方程 气体动力学 教学课件
间 t ，流体质点有不同的空间坐标 x, y, z 。因此对于任一个流体 质点的位置变量 x、 y、 z 是时间 t 的函数，即
x x(t) y y(t)
(3.4)
z z(t)
设 则Vx 、Vy 和 Vz 分别代表流体质点的速度在 x, y, z轴上的分量，
果曲线C是条封闭的非流线，则该流面形成为流管。如果流管
的横截面积足够小，则这条流管就叫基元流管。基元流管的任
一截面上流体参数都是均匀的。并且流体质点不能穿越流管。
对无粘性流体，其固体壁面即可视为流面。
例
设已知流体运动的速度分量为 Vx 求过点M（1，1）的流线方程。
x2
x
y2
，Vy
x2
y
y2
，试
Vx
dx dt
Vx
x,
y,
z, t
Vy
dy dt
Vy
x,
y,
z, t
(3.5)
Vz
dz dt
Vz
x,
y,
z, t
上式表示在空间点 x, y, z 处 t 时刻的流体速度。这个速度是某 一流体质点的速度，即在 t 时刻运动到空间点 x, y, z 处的那个
流体质点的速度。
同样，压强、温度和密度等物理量都可以表示成 x, y, z,t的函数。
2 f1(a,b, c,t) t 2
ay
Vx t
2
f2 (a,b, c,t) t 2
（3.3）
az
Vz t
2 f3(a,b, c,t) t 2
2．欧拉（Euler)法
该方法着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运
定态一维分子扩散
(
dcB dz
)
cA
nA V
pA RT
cB
nB V
pB RT
C
cA
cB
pA RT
pB RT
P RT
常数(总压相同）
dC dcA dcB 0
dcA dcB
等分子反方向扩散时
DAB DBA D A、B扩散系数相等
传质过程单位时间内通过垂直于传递方向的单位面积
扩散方向与浓度梯度相反，即扩 散沿着浓度降低的方向进行
JA
DAB
dcA dz
JA — 物质A沿Z方向上的扩散通量或扩散速率，Kmol /(m2 s) 单位面积上单位时间内扩散传递的物质的量。
DAB — 物质A在介质B中的扩散系数，m2 / s
dcA -组分A沿Z方向上的浓度梯度（推动力），Kmol / m4 dZ
吸收技术 ---定态一维分子扩散
传质过程理论
1、分子扩散与菲克定律
pA pB ,tA tB
分子扩散：在一相内，由于浓 度差的存在，分子的无规则热运动 而形成的物质传递现象,发生在滞 流或静止流体中。
前提:某组分存在浓度差
换而言之，分子扩散的动 力是扩散方向上存在浓度 梯度
传质过程理论
1、分子扩散与菲克定律
传质过程理论
3、 一组分通过另一停滞组分的扩散（吸收）
NA
DP ln RTZ
pB2 pB1
DP RTZ
pA1 pB2
pA2 pB1
ln
pB2 pB1
D RTZ
pB2
P
pB1
pA1
pA2
ln pB2
令
pBm
pB2 pB1 ln pB2
一维扩散方程求解课程设计
一维扩散方程求解课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解一维扩散方程的物理背景和数学表达；2. 掌握一维扩散方程的推导过程和求解方法；3. 能够运用一维扩散方程解决实际问题。
技能目标：1. 学会分析一维扩散现象，建立数学模型；2. 培养运用数值方法求解一维扩散方程的能力；3. 提高运用一维扩散方程解决实际问题的综合运用能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学物理模型的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生严谨的科学态度，注重细节，提高问题解决能力；3. 增强学生团队合作意识，学会倾听、交流、分享。
课程性质：本课程为高中物理选修课程，旨在帮助学生掌握一维扩散方程的求解方法，提高解决实际问题的能力。
学生特点：学生具备一定的物理和数学基础，对数学物理模型有一定了解，但可能缺乏实际应用经验。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，通过实例分析、数值求解等教学方法，提高学生的知识水平和实践能力。
将课程目标分解为具体的学习成果，以便于教学设计和评估。
1. 引入一维扩散方程的物理背景，通过实例使学生理解扩散现象在实际生活中的应用；教材章节：第三章第一节《扩散现象》内容：分子动理论，扩散现象的定义及分类。
2. 掌握一维扩散方程的数学表达和推导过程；教材章节：第三章第二节《一维扩散方程的建立》内容：Fick定律，一维扩散方程的推导。
3. 学习一维扩散方程的求解方法，包括解析解和数值解；教材章节：第三章第三节《一维扩散方程的求解》内容：分离变量法，特征值问题，数值求解方法（如显式和隐式Euler方法）。
4. 分析实际案例，运用一维扩散方程解决具体问题；教材章节：第三章第四节《一维扩散方程的应用》内容：温度场、浓度场等实际问题，建立模型，求解，分析结果。
5. 总结与拓展，巩固所学知识，提高学生运用一维扩散方程解决实际问题的能力；教材章节：第三章第五节《一维扩散方程的拓展与应用》内容：多物种扩散，非线性扩散方程简介。
(参考资料)一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
第三章扩散
例如：预淀积工艺、箱法扩散工艺 初始条件：t=0时，N(x,0)=0； 边界条件： N(0,t)=Ns ， N(∞ ,t)=0； 解扩散方程，得
3.3.1 恒定表面源扩散
x
N(x,t)Ns[1
2
2
Dt
exp(2)d]
∴单位时间越过Wi的跃迁几率Pi=ν0 exp(-Wi/kT), ν0 –振动频率，k—玻尔兹曼常数
③杂质—半径较小的原子，如H。
3.1 扩散机构
Wi
Wi为间隙原子运动时必须越过的势垒高度,实验指出Wi约为0.6~1.2ev。
3.1 扩散机构
3.1.2 替位式扩散
①定义——杂质原子从一个晶格点替位位置运动到另一个 替位位置。 前提----邻近格点有空位
N ( x , t ) N ( x , t + t ) S x j ( x + x , t ) j ( x , t ) S t
即
N(x,t)j(x,t)t Nhomakorabeax
故得扩散方程(费克第二定律):
N (tx,t)D2N x(x 2,t)
3.3 扩散杂质的浓度分布
3.3.1 恒定表面源扩散/恒定表面浓度扩散 （constant-surface-concentration)
形成空位机制——两种缺陷(肖特基缺陷和弗仑克尔缺 陷)
②势垒---与间隙式相反，势能极小在晶格位置，间隙处 是势能极大位置，必须越过一个势垒WS。
跃迁几率Pv = ν0 exp[-(Wv+Ws)/kT], Wv-形成空位所需的能量 ③杂质—半径与Si相近的原子，如B、P、As、Sb等。
3.1 扩散机构
python一维扩散方程
python一维扩散方程一维扩散方程是描述扩散现象的数学模型，在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用。
本文将从解释一维扩散方程的含义开始，介绍其应用背景和数学推导过程，并探讨一些实际应用案例。
一维扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。
在该方程中，扩散物质的浓度随时间和空间的变化而变化。
一维扩散方程的一般形式为：∂C/∂t = D * ∂²C/∂x²其中，C表示物质的浓度，t表示时间，x表示空间坐标，D为扩散系数。
扩散方程的物理意义是描述了扩散物质在空间和时间上的变化规律。
在一维空间中，扩散物质的浓度随着时间的推移会发生变化，同时也会受到空间位置的影响。
扩散系数D则决定了扩散物质的扩散速率，扩散系数越大，扩散速率越快。
一维扩散方程在自然界和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在环境科学领域，人们可以利用一维扩散方程来研究污染物在土壤中的传输和扩散过程，从而评估土壤污染的风险和影响。
此外，在生物医学领域，一维扩散方程可以用于模拟药物在人体组织中的扩散过程，帮助科学家设计和优化药物的给药方案。
为了解决一维扩散方程，我们需要根据具体问题设定合适的边界条件和初始条件。
常见的边界条件包括固定浓度、固定通量和无流动边界等。
初始条件则描述了系统在初始时刻的浓度分布情况。
通过求解一维扩散方程，我们可以得到物质浓度随时间和空间的变化曲线，进而分析扩散过程的特征。
对于一维扩散方程的求解，常用的方法包括分离变量法、有限差分法和有限元法等。
其中，分离变量法适用于简单的边界条件和初始条件，可以得到解析解。
而有限差分法和有限元法适用于复杂的问题，可以通过数值计算得到近似解。
除了理论分析和数值计算，实际应用中还需要结合实验和观测数据进行验证和调整。
通过与实验结果的比较，可以评估模型的准确性和适用性，并进行参数优化和模型改进。
在实际应用中，一维扩散方程被广泛用于解决各种扩散相关问题。
例如，在工程领域，一维扩散方程可以用于模拟材料中的热传导过程，从而优化热工设备和系统的设计。
一维传热
一维传热扩散方程和求解3.185 2003秋季一维传热扩散方程的k,ρ，（传热系数，密度，比热）对溶质的扩散方程是常数：cp或者在圆柱型坐标：球型坐标1：最重要的不同是在非稳态中使用了热扩散系数pc kρα＝，但在傅立叶第一定律中使用了热传导系数k 来计算热通量：基于以上原因，把D 用k 和α来代替，并使p c ρ等于1，就可以得到溶质扩散方程。
1许多书上都简化了圆柱和球形方程，分别被r 和r 除，并使含有r 的项分离出来，就得到2圆柱型p c q r T r r T t Tρα&+∂∂+∂∂=∂∂)122(球型p c q r T r r T t T ρα&+∂∂+∂∂=∂∂)222(一维热传导答案1. 稳态（ａ）无热量产生i 笛卡尔方程：答案：Ｔ＝Ａｘ＋Ｂ通过平板的传导通量大小和通过流体边界层的热传导（和一级化学反应或者通过流体边界层的质量传递相似）：（是流体温度，和扩散中的流体浓度相似；是流体反方向的温度） fl T 1T 无量纲形式：其中khLh =π（ａ．ｋ．ａ毕渥数） ⅱ圆柱型方程答案Ｔ＝Ａ㏑ｒ＋Ｂ结合在通过流体边界层的热量传热和在，之间的通过柱体的传导的通量大小1R 1R 2Rⅲ球坐标方程答案Ｔ＝Ａ／ｒ＋Ｂ（b）产生恒定的热量¡笛卡尔方程答案ⅱ圆柱坐标方程答案ⅲ球坐标方程答案（c）（只有扩散）一级均向反应消耗反应物，所以G=-Kc ⅰ笛卡尔方程答案ⅱ包含贝塞尔函数的圆柱和球坐标答案，但方程式如下：2建立在笛卡尔坐标上没有热量产生，具有恒定的k,p c ρ的非稳态答案其中pc k ρα=（a ）相同的起始条件Ｔ＝，恒定的边界条件ｘ＝０，∞T S T T =半无限厚介质；或者无限厚介质的起始条件是阶越函数。
答案是试差函数或者它的补集半无限厚介质标准注释：这种理论也可以用于“组合扩散”，就是两个不同温度（浓度）的物体在x=0连接在一起，并彼此扩散；边界条件是两个物体边界条件的中间值。
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矛盾。
（2）在矩形顶部，则 ，仍矛盾。所以定理结论成立。
【end】
利用上述极值原理，可得到Dirichlet问题的唯一性和稳定性。
定理如果扩散方程 解存在，则解必定唯一。
证如果 和 都是解，则 是方程
的解。由最大值原理，在矩形内 ，即 。
【end】
利用该原理还可得到方程解的稳定性。
定理如果扩散方程
对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。
§3.1全直线上的扩散方程
首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown运动），满足性质：在 时间内位移转移概率为均值为0，方差为 的正态分布。在时刻 处于 的概率密度记为 。则
，
或
因此，
。
可见：一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。
从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：
。
所以，有如下定理。
定理扩散方程 的解为
。
证由
，
易知初始条件成立：
。
且对函数 ，直接计算，有
，
，
，
所以，
。
即但 与 只差常数倍，故
。
【end】
对具有源的扩散方程
，
可用常微分方程的结果类比得到。
常微分方程
的解为 。可以把 理解为一个算子：把初始函数 变换为一个新的函数。
§3.2一维扩散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和稳定性
若函数 满足齐次扩散方程，那么有下面结论。
定理（最大值原理）如果 ，则在矩形时空区域（ ）内，函数 的最大值只能在 ，在边界 或 上取得。
（最小值原理也类似成立）
证这是闭区域上的二元函数的极值问题，极值点可能是区域内点，也可能在边界上。定理结论是说，极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的，即该点的一阶导数为零，而二阶导数必须是半正定的。
而齐次方程的解也可这样理解：
，
定义了算子 。只不过常微分方程中 ，直接可用一个函数给出该算子。
非齐次常微分方程
的解为
，
这里，为类比得到偏微分方程的结果，用算子形式表示了结论。由此得到结论
定理直线上的非齐次扩散方程的解为
。
证直接验证结论。前一项显然满足齐次方程，即
，
而后一项，
即
所以， 满足方程。
初始条件显然也满足：
第三章一维扩散方程
本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型
（1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：
；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证）
；（算子方法，与常微分方程类比）
（2）半直线上的扩散方程 ；（其它非齐次边界等）
，
可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统，
其中， 。该方程的解
，
因此，原方程的解，
【end】
对Neumann问题（边界是齐次的）
，
为保证函数在原点导数为零，必须使函数为偶函数，所以，采用偶延拓。延拓后的系统
，
其中， 。该方程的解，
，
因此，原方程的解为
【end】
对半直线上的非齐次方程（齐次边界）的Dirichlet问题和Neumann问题，
10.利用延拓方法求非齐次扩散方程 的解。
。
因此，定理成立。
【end】
该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里，来说明如何用于非齐次波动方程
的求解。由于波动方程关于时间是两次的，所以不能直接用。但是注意到 是下面波动方程
，
的解，故定义算子
，
那么原来齐次波动方程的解为
，
则非齐次的波动方程的解为
。
注意到
，
即得结论。
§3.3半直线上的扩散方程
类似于波动方程，利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet问题（边界是齐次的）
2.求扩散方程的解 的解，其中 。（用积分形式表示）
3.求扩散方程的解 的解，其中 。
4.求具有耗散的扩散方程 的解， 。（提示：作函数变换 ）。
5.求具有耗散的扩散方程 的解， 。
6.求方程 的解， 。（提示：作变量代换 ）。
7.求扩散方程 的解。
8.求扩散方程 的解。
9.求扩散方程的Neumann问题 的解。
，
仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。
对非齐次方程，非齐次边界的Dirichlet问题，
，
则可利用叠加原理和函数变换方法，把问题分解齐次边界的相应问题求解。
作函数变换： ，则
问题成为其次边界问题。
对非齐次方程（非齐次边界）的Neumann问题
，
则可作变换： ，变为齐次边界的Neumann问题，
，
然后再用偶延拓方法求解。
和
的解分别为 和 ，则 。
证对 直接利用极值原理。
【end】
第三章习题
1.对满足扩散方程 的函数 ，在矩形区域 找出取到最大值和最小值的点和相应的值。
解在 上，显然 ， 处有最大值 ；而 ， 处有最小值 。
在 上，显然 ， 处有最大值 ；而 ， 处有最小值 。
所以，最大值为 ，在 处；最小值为 ，在 处。
用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若 在矩形内取到极值，则
， 。
此时，如果 ，则产生矛盾： 。故只要证 时，仍会产生矛盾。
记边界上函数的最大值是 。构造 。
下证： （如果证得此结论，则令 即得定理的结果）。
由于在边界上， ，所以只要证 不能在
（1）矩形内部；（2）矩形顶部：
取得最大值。
（1）若在内部有最大值，则 。但