有限元法(杆系)2014版

• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
ui 1 ui u ( x) u i ( x xi ) Li
其中 u i 为第 i 结点的位移， x i 为第 i 结点的坐标。 第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
0 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
0 0 1 2 2 1 2 2 1
0 1 0 0 0
2 2 1
2 2 1 2 2 1 2 2
2 2 1 2 2
0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0
集中单元重量
q ( Li Li 1 ) ，集中到第 2
i+1
• 建立结点的力平衡方程
对于第 i+1 结点，由力的平衡方程可得：
N i N i 1
令 i
q( Li Li 1 ) 2
（1-5）

Li Li 1
，并将（1- 5）代入得：
ui (1 i )ui 1 i ui 2


Fxi EA l Fyi 0 F EA xj F l yj 0 0 0 0 0 EA l 0 EA l 0 0 ui v 0 i u 0 j vj 0
第2章 杆系结构有限元法
1. 有限元法应用的简例（直杆）
2. 平面桁架系统
1. 有限元法的简例（直杆）
例：自重作用下的等截面直杆
杆的长度为L，截面积为A， 弹性模量为E，单位长度的重量为q
分析杆中位移、应变和应力分布
①材料力学解答 ②有限元法解答
材料力学解答
x
N ( x) q ( L x)
目标：确定节点位移与节点力的关系
受轴力作用杆横截面上的应力为：

Fx A
应力与应变的关系是： E
步骤3：单元特性分析
du 1 (u j ui ) dx l
EA F EA ui u j l 杆端力为：
Fxi F yi F xj F yj EA ui u j l 0 EA u j ui l 0
qL2 n 2 EA
有限元方法分析的一般步骤
a 离散，建立有限元模型：节点和单元 b 确定单元位移分布（由结点位移进行插值） c 单元特性分析； d 节点力（内、外力）平衡条件； e 引入位移边界条件后求解；
2 例：
1 （1）
平面桁架系统
F 2
（2） 3
已知 直杆长度为l，两杆夹角为 45度。两杆的横截面面积 为A，材料弹性模量为E。 求：图示桁架各杆端位移。
步骤4：节点力平衡方程
须首先进行坐标转换 在杆系结构有限元法中，每个单元都有自己的局部坐标系， 但对整个结构而言需建立统一的整体坐标系。 把任意的一个单元取出来，放在整体坐标系下，考察一下该 单元在两种坐标系下的物理量的转换（变换）关系。 符号约定：局部坐标系下的物理量用加上画线来标记。 首先定义一下整体坐标系x-y与局部坐标系 x y 的夹角符号： x-y坐标系沿逆时针转动到与 x y 坐标系重合，则x-y坐 标系转过的角度 为正。
sin cos 0 0
0 0 cos sin
F xi 0 F yi sin F xj cos F yj 0
F(e) T (e) F (e)
（2-5） （2-6）

(e )
T
(e )
Fxj Fxj cos F yj sin F yj Fxj sin F yj cos
或 同理 矩阵形式 表示


T
T
F xi cos F yi sin F xj 0 F yj 0
N(x)
L-x q(L-x) x
u
du q x ( L x) dx EA N ( x)dx q ( L x)dx du ( x) EA EA
2 N ( x ) dx q x x u ( x) 0 ( Lx ) EA EA 2
有限元法解答
• 离散化
– 将直杆划分成n个有限段 – 两段轴线之间的连接点称 为节点 – 每个有限段称为一个单元 – 第i个单元的长度为Li，包 含第i和第i+1两个节点
步骤2：选择单元位移函数
代入节点的位移,
x 0： u( x) ui
a ui b (u j ui ) / l
和 x l： u( x) u j
所以：
u ui (u j ui ) x / l v0
(2-2)
步骤3：单元特性分析
步骤3：单元特性分析（确定应变、应力、轴力）
（1- 1）
du ui 1 ui i dx Li
i E i
E (ui 1 ui ) Li
（1- 2）
（1- 3）
EA(ui 1 ui ) N i A i Li
（1- 4）
• 把外载荷集中到节点上
把第 i 单元和第 i+1 单元重量的一半 结点上。
注意到节点位移的连续性有： 1 1 1
2 1 2 2 2 3 2 3
步骤4：构造总体刚度矩阵
因此，把全部节点力写成矩阵形式有
(1) F1 K 11 (1) F2 K 21 F 0 3 (1) K 12 (1) ( 2) ( K 22 K 22 ) ( 2) K 32
步骤4：构造总体刚度矩阵
A.局部坐标系下的物理量： F Fxi Fyi Fxj Fyj B.结构坐标系下的物理量： F Fxi Fyi Fxj Fyj 杆端力的坐标变换
Fxi Fxi cos F yi sin F yi Fxi sin F yi cos
所以：对单元1，α＝0
K
e
T K
1 0 0 0 0 1 0 0

e
T T
0 1 0 0 EA 0 l 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 EA 0 l 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
解： 步骤1：离散和选择单元类型
1 （1） 2 2
（2） 3
将系统离散为2个单元，3个节点（其中1个共用）
步骤2：选择单元位移函数
Y
vi (Fyi )
ui (Fxi )
i
v j (Fyj )
l
j
u j (Fxj ) X
u为单元中x方向位移（v是y方向位移，不产生 变形），杆中任一点位移，可假设为 ( 两节点 ，两参数）： (2-1) u a bx 待定系数 位置坐标
步骤4：构造总体刚度矩阵
单元刚度矩阵
[k ]：F [k ]
(e )
(e )
1
K 11 K 21
K 22 K 32
K 12 1 K 22 2
K 23 2 K 33 3
2
1
1
2
2
因此，由节点1，2，3节点力合成可得：
F1 F1 1 F1 K 11 1 1 1 K 12 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 F2 F2 F2 F2 K 21 1 K 22 2 K 22 2 K 23 3 2 2 2 2 2 F F F K K 3 3 32 2 33 3 3
q 1 (1 ) L2 i 2 EA i
（1-6）
根据约束条件， u1 0 。对于第 n+1 个结点，
Nn
qLn 2
qL2 n 2 EA
（1-7）
u n u n 1
建立所有结点的力平衡方程，可以得到由 n+1 个方程构成的方程组， 可解出 n+1 个未知的接点位移。
a
a a
步骤4：构造总体刚度矩阵
构造结构刚度矩阵（节点力合成）
对于节点1有：
F1 F1 (1)
单元(1)中节点1的节点力（杆端力）
节点1的节点力 同来自百度文库有：对节点2：
F2 F2 (1) F2 (2) 对节点3： F3 F3 ( 2)
e
任一单元(e)的单元刚度方程为：
T T e e F T K T T e
1
K
T K

e
T T
（2-7） （2-8）
F e K e e
结构坐标系下的单元刚度矩阵
结构坐标系下的单元刚度方程
步骤4：构造总体刚度矩阵


矩阵形式表示


(2-3)
步骤3：单元特性分析
式（2-3）还可写成
F K
e e
e
（2-4）
式（2-3）或（2-4）称为单元刚度方程
单元刚度矩阵
F K
e e
局部坐标下的节点力列向量
e
局部坐标下的节点位移列向量
0 1 ( 2) K 23 2 ( 2) K 33 3
（2-9）
或：
F K
0 0
（2-10）
1 0 所以，总刚为 1 EA [k ] 0 l 0 0
1 0 1
1
2 3 4
• 3单元情况
① ② ③
ui (1 i )ui 1 i ui 2
q 1 2 (1 ) Li 2 EA i
u n u n 1
x a a a
5qa 2 2 EA 8qa 2 2 EA 9 qa 2 2 EA
平 衡 方 程
qa2 节点2： u1 2u2 u3 EA qa2 节点3： u2 2u3 u4 EA qa2 节点4： u3 u 4 2 EA 约束条件 u1 0

(e )
步骤4：构造总体刚度矩阵
单元刚度矩阵的坐标变换:
在局部坐标系下，单元的刚度方程为：
F k
由式（2-5）可得： 由式（2-6）可得：
F k
使：
T
F T F T F
1 T
带入可得：
e
K (1)
0 0 1 0
对单元2，α＝45
1 2 1 EA 2 2l 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
K ( 2)
Fe K e e
或
Fi F j
K ii K ji
K ij i K jj j
e
e
步骤4：构造总体刚度矩阵
F1 对单元(1)有： F 2
F2 对单元(2)有： F3