有限元法(杆系)2014版
第六章杆系结构
第六章杆件系统结构有限元法杆件系统是由几何特征为长度比横梁面的两个尺寸大很多的杆件连接而成的结构体系。
起重机械和运输机械的动臂、汽车的车架、钢结构等，都是由金属的杆件组成的。
杆件系统的有限元法在机械、建筑、航空、造船等各个工程领域得到了广泛的应用。
若杆件之间由铰相连，并且外载荷都作用在铰节点上，则该体系称为桁架。
有限元中将桁架的单元称为杆单元，即桁架是由仅承受轴向拉压的杆单元的集合。
如果杆件之间是由刚性连接，则该体系是刚架，刚架的单元称为梁单元。
梁单元可以承受轴力、弯矩、剪力及扭矩的作用。
第一节等截面梁单元平面刚架结构——所有杆件的轴线以及所有外力作用线都位于同一平面内，并且各杆件都能在此平面内产生平面弯曲，从而结构的各个节点位移都将发生在这个平面内。
一、结构离散化原则：杆件的交叉点、边界点、集中力作用点、位移约束点、分布力突变的位置都要布置成节点，而不同横截面的分界面和不同材料的分界面都要成为单元的分界面。
平面桁架对于桁架结构，因每个杆件都是一个二力杆，故每个杆件可设置成一个单元。
平面桁架结构每个节点有2个自由度，分别是u 和v ，每个单元有4个自由度。
最大半带宽B=(2+1)×2=6。
一维单元和二维单元的混合应用：左边部分是平面问题的二维板件结构（黑线部分），右面框架部分是一维杆件结构（红线部分）。
xy采用平面4节点四边形单元模拟二维板件，用平面杆单元单元模拟一维杆件结构。
离散化后，共有37个节点，32个单元，其中4节点四边形单元16个，杆单元单元16个。
因为平面4节点四边形单元和平面杆单元单元每个节点都有2个自由度，4节点四边形单元的刚度矩阵是8×8，平面杆单元的刚度矩阵是4×4。
整体刚度矩阵刚[]k 的维数是227474n n ⨯=⨯。
其中部分总刚子块为[](1)(2)(3)(4)777777777722k k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4)(6)(19)11,1111,1111,1111,1122k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦最大半带宽B=［(8-2) +1］×2=14。
空间杆系有限元法也称空间桁架位移法.
3.4.6 杆件内力
引入边界条件后，求解公式，得出各节点的位
移值，由公式和公式可得出ij杆端内力为
{ F}e = [T] [K]e e
T
将公式展开并代入公式整理可得杆件内力表达 式为
EA N [cos(u j ui ) cos (v j vi ) cos (w j wi ) lij
当网架支承在独立柱上时，由于它的弯曲刚度 不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然 看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承， 支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出：
K cx
3Ec I cy H
3
K cy
Ec——支承柱的材料弹性模量； Icy、Icx——分别为支承柱绕截面y、x轴的截面惯 性矩； H——支承悬臂柱长度。
以图26所示的空间桁 架节点 3 为例，说 明总刚矩阵及总刚方 程的建立。该桁架共 有9个单元，5个节点， 单元及节点编号如图 示。相交于节点3的 杆件有⑥⑦⑧⑨。
图3.26 单元及节点编号
变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相 等 ，即： 内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力 之和等于该节点上的外荷载，即： 连于节点3的杆端力与各节点位移关系为：
无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线 和法向都无位移。 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零， 而边界法向为自由。 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两 个水平方向都为自由。 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无 侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对 的角可以是双向可侧移的。 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少 于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度 应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
桥梁结构分析理论与方法1
结构力学：结构力学所研究的对象仍然是杆系结构，并且是不包 含薄壁结构的杆系结构，其研究的对象是理想的杆和梁。结构力学研 究杆系结构的组成规律和合理形式，以及杆系结构在静力和动力作用 下它们的强度、刚度和稳定性。
结构力学涉及到了实际的结构，要计算结构的内力与位移等问题。 在结构力学中，需要对实际结构进行简化，即将一个实际结构理想化 为计算模型的问题。结构力学本身只介绍简化后的计算模型的计算方 法，而结构如何简化为模型，则是在各专业课去学习。
在结构力学中，一般研究线弹性结构，并且假定结构的变形是微 小的，因此结构力学讨论的问题基本是线性的问题，可以利用叠加原 理来进行分析。
2014年版
西南交通大学土木学院 沈锐利
桥梁的上部结构一般是为了跨越障碍物而设计建造的，在尺度 方面一般是长度方向大于宽度和高度方向，接近于杆系结构的处理 范围，因此三大经典力学在桥梁工程中得到了广泛的应用。
版社，2007年 4 张元海编著：桥梁结构理论分析，科学出版社，2005年 5 秦顺全著：桥梁施工控制-无应力状态法理论与实践，人民交通出
版社，2007年 6 李乔、卜一之、张清华著：大跨度斜拉桥施工全过程控制几何控
制概论与应用，西南交通大学出版社，2009年
2014年版
西南交通大学土木学院 沈锐利
2014年版
西南交通大学土木学院 沈锐利
材料力学和结构力学是桥梁工程计算（特别是强度计算）等的 理论基础，但是由于实际的桥梁结构不是理论的杆件，不能完全满 足基本假定，因此实际桥梁分析时要考虑荷载作用方式的影响、实 际结构尺寸、形状等的影响。
空心板梁桥
2014年版
T形截面梁桥
西南交通大学土木学院 沈锐利
8 林同炎等著：Structural Concepts and Systems for Architects and Engineers.
有限元分析法第3章 杆单元
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章 杆单元
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
单元2：2-3
135，l
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
有限元法概述
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
有限元法基础习题答案
有限元法基础习题答案有限元法是一种常用的工程分析方法，广泛应用于结构力学、热传导、流体力学等领域。
它通过将复杂的物理问题离散化为一系列简单的子问题，并利用数值方法求解这些子问题，从而得到整体问题的近似解。
在学习有限元法的过程中，习题是必不可少的一环。
本文将给出一些有限元法基础习题的答案，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
习题一：一维线性弹性力学问题考虑一根长度为L的弹性杆，杆的截面积为A，杨氏模量为E。
在杆的一端施加一个沿杆轴向的拉力F，另一端固定。
假设杆轴向变形u(x)满足以下方程：EAu''(x) = -F，0 < x < Lu(0) = 0, u(L) = 0其中，u''(x)表示u(x)对x的二阶导数。
解答：根据上述方程，我们可以得到杆的位移函数u(x)的表达式。
首先，对方程两边进行积分，得到：EAu'(x) = -Fx + C1其中，C1为积分常数。
再次对方程两边进行积分，得到：EAu(x) = -F/2*x^2 + C1*x + C2其中，C2为积分常数。
根据边界条件u(0) = 0，可得C2 = 0。
代入边界条件u(L) = 0，可得：EAu(L) = -F/2*L^2 + C1*L = 0由此可得C1 = F/2*L。
将C1代入上式，可得：EAu(x) = -F/2*x^2 + F/2*L*x最终得到杆的位移函数u(x)的表达式为：u(x) = (-F/2*E)*(x^2 - L*x)，0 < x < L习题二：二维平面弹性力学问题考虑一个正方形薄板，边长为L，板的厚度为h。
假设薄板的杨氏模量为E，泊松比为ν。
在薄板的一侧施加一个沿法向的均匀表面压力P，另一侧固定。
求薄板的位移和应力分布。
解答：根据平面弹性力学理论，我们可以得到薄板的位移和应力分布。
首先，根据杨氏模量E、泊松比ν和薄板的厚度h，可以计算出薄板的弹性模量D：D = E*h^3 / (12*(1-ν^2))接下来，根据薄板的边界条件和平衡方程，可以得到薄板的位移和应力分布。
集美大学_船舶结构力学(48学时)第一章_绪论(2014年)
4、船体梁：把船整体当作一 根梁（空心变截面梁）静置于 静水中或波浪上，以研究船体 总纵强度等。
5、船体总纵强度（总强度）：
将船视为船体梁来研究船 在纵向分布的重力与浮力作用 下的弯曲变形与应力等强度问 题。
思考：静水、波浪、中拱、中 垂。（参考图1-1、图片等）
中拱、中垂？
中拱、中垂？
以远洋干货船船体结构甲 板舱口部分（图1-7）为例介 绍板架模型的建立：
（参见图1-9）
（图1-4 a)
在计算舱口纵桁和舱口端横梁 在垂直于甲板载荷作用下的弯曲应 力和变形时，可将其取为图1-7a所 示的井字型平面杆系计算图形，即 板架。
以远洋干货船船体结构舱底部 分（图1-7）为例介绍船底板 架模型的建立：
但应注意到这些计算图形具有一 定的近似性。
四、空间结构及板梁组合结构
随着计算机的应用和发展，可采用 更切合实际的计算模型，使结构计算更 加精确可靠。
1、空间结构计算模型举例：图19 大舱口货船悬臂梁结构的计算 模型。
该空间杆系计算模型放弃了以
往模型中舱口纵桁刚性支撑悬臂梁 的假定，更切合实际。可同时算出 甲板纵桁、舱口纵桁、舱口端横梁、 悬臂梁及肋骨的应力与变形。
图1-8a所示的为双甲板船在舱口处横剖面的肋 骨框架计算图形：
刚架的进一步简化：仅由横梁与肋骨 组成的刚架（图1-8b）
考虑到实际船体结构中肋板的 尺寸远较肋骨的大，所以计算时可 将肋骨下端作为刚性固定端。把肋 板放到船底板架中去研究，而得。
注：以上介绍的矩形板、连续梁、板 架和刚架是船体结构中比较典型而 且比较简单的计算图形，应用结构 力学中的经典理论和方法，由手算 就能得到结果。
船舶结构力学
Structural Mechanics of Ship
第二章-杆和梁结构的有限元法案例
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
注意： 上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元 法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求 解原理和过程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
例题1：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移
单元特性
系统平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
KD F
2）单元方程扩大相加法 单元特性
F1 f11
相加
F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
引入系统节点平衡条件
KD F
系统节点平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
2.2 杆单元和平面桁架
杆单元
2.2.1 一维等截面 杆单元
fi k f j k
第二章
k ui k u j
f kd
杆和梁结构的有限元法
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 ( k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3
第二章 杆和梁结构的有限元法
k k k
k k
fi k f j k
k ui k u j
kii k k ji
kij k jj
§2.1.2 弹簧系统分析
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
第二章 杆和梁结构的有限元法
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
有限元第三章杆系结构单元分析
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N
δ
edx
W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN
EA du dx
（3-7）
M
EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元， 则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体 坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其 中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移 原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求 和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的 虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向 量）：
第2章杆件结构的有限元法_直接刚度法
对于弹簧2-3（2单元）
F2( 2) 1800 − 1800 u 2 ( 2) = u F3 − 1800 1800 3
对于弹簧3-4（3单元）
F3( 3) 1500 − 1500 u 2 ( 3) = u F4 − 1500 1500 3
上式可以简写为 {F} = [K ]{δ } 上述过程可以用节点力平衡来完成。 为此，先写出单元的节点位移和节点力向 量的关系式： F1( e1 ) k1 − k1 u1 ( e1 ) = u F2 − k1 k1 2 F2( e2 ) k 2 − k 2 u2 ( e2 ) = u F3 − k 2 k 2 3
F 2 = 10 kN
F 3 = 20 kN
F1
F4
1
k1
2
k2
3
k3
4
三弹簧受力系统
解： （1）单元分划 一个弹簧为一个单元，一共3个单元，4个节点。 （2）形成每个单元的刚度矩阵 对于弹簧1-2（1单元）
F1(1) 1200 − 1200 u1 (1) = u F2 − 1200 1200 2
用下，发生与杆长垂直方向的位移。
（3） 局部坐标系和总体坐标系的关系 为了根据节点的力平衡条件建立杆系总体刚度矩 阵，必须将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换到 总体坐标系下。
y
(e Fy(e ) 2
F
(e) y1
2
Fx(1e )
o
o
ϕ
F22 = (k1 + k 2 )u 2
F12 = −k1u2
F32 = −k 2u2
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
有限单元法
37
•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从 理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足 够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
42
43
44
4.2 有限单元法的分析步骤
40
但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处 理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸 张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以 上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都 有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强 调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友 好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限 元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成 变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的 列表输出。
53
54
55
56
平面应力
平面应变
57
58
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61
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63
有限元分析——杆系系统计算
2
10 N
mm
2
3 14.1 N
5 14.1 N
mm mm
2
2
4
0
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Thank You
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边界条件为：
，根据边界条件去行去列，如上图，
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则去行去列后有：
这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。
二、杆系结构算例
1、阶梯直杆算例 算例一： 求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：
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图1：三连杆结构的受力状况
1）节点编号和单元划分
图2：各单元的节点位移和外力
2）计算各单元的单元刚度方程 单元①的刚度方程为：
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单元②的刚度方程为：
单元③的刚度方程为：
3）组装各单元刚度方程 整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。
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就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即
3 /33
F
F
节点1
单元①
节点2
单元②
节点2
节点3
点2
如图为阶梯直杆的离散
对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图：
根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：
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单元的刚度方程为：
其中 为节点力列阵；
有限元分析
结构单元
模型简化及单元提取
物理问题的数学描述
微分方程形式（强形式）
微分方程等效积分形式（弱形式） 泛函描述(弱形式)
数学问题的数值解法
要考虑的问题 • 不等效 有限差分法
微分方程用什么来等效？？
2.泛函形式等效 李兹法，或局部应用（单元内）李兹法有限元法 3.积分形式等效 加权残值法，或局部应用（单元内）加权残值法有限元法
轴对称问题
环状单元！！
集中力的移置 自重，离心力，均布压力
空间问题
注意单元节点编号方法（不用右手法则体积为负数，刚度矩阵行列式值为负） 刚度矩阵 载荷移置
杆系
明确问题的材料力学意义是 杆、梁、轴或组合形式
坐标转换
坐标转换矩阵
板弯曲（以概念题为主）
克希霍夫关于板变形的基本假设 节点位移，节点力的形式
答案
答案
答案
答案
模型简化及单元提取
简化分析
等效变换： 加筋板光板， 浮力弹簧， 基坑， 集中力分布力 对称性分析： 对称， 反对称， 中心对称，当进行结构的模态分析和非对称分析时， 谨慎地使用对称性 组合分析：组合分析要保证自由度的匹配 多场耦合分析
考题1
即密度为w
答案
本题有两种做法：
B为应变矩阵，反映单元 节点位移和单元任一点 的应变关系；D为弹性 矩阵，反映单元任一点 处应变与应力的关系； S=DB为应力矩阵，反映 单元节点位移与任一点 的应力关系
平面应变/应力问题
平面应变/应力的概念
给出模型会判断是平面应力还是平面应力问题（必考） 平面应力与平面应变刚度矩阵的差别仅仅在于物理方程的差别，即D矩阵的差别， 即问题的物理本质的差别 实际上，熟悉有限元整套分析流程的方法是看P46-62的平面应力/应变问题三角形 单元分析
杆梁结构有限元分析(第四章)
由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验 结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果， 因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析 对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核 对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。
c F EA
1D问题的最小势能原理求解
先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许 可位移场，计算该系统的势能为
(u) U W
其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有
U
1 2
x (u(x)) x (u(x))d
W Pu(x l)
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
4.1 杆梁结构分析的工程概念
图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1 基本力学原理 杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰
接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在 铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。
有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l， 横截面积为A，弹性模量为E，如图4-2所示，这是一个一维问题，下 面讨论该问题的力学描述与求解。
K T eT K eT e
节点力阵
e
p T eT pe
刚度方程
ee
e
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sin cos 0 0
0 0 cos sin
F xi 0 F yi sin F xj cos F yj 0
F(e) T (e) F (e)
（2-5） （2-6）
(e )
T
(e )
T T e e F T K T T e
1
K
T K
e
T T
（2-7） （2-8）
F e K e e
结构坐标系下的单元刚度矩阵
结构坐标系下的单元刚度方程
步骤4：构造总体刚度矩阵
N(x)
L-x q(L-x) x
u
du q x ( L x) dx EA N ( x)dx q ( L x)dx du ( x) EA EA
2 N ( x ) dx q x x u ( x) 0 ( Lx ) EA EA 2
有限元法解答
• 离散化
– 将直杆划分成n个有限段 – 两段轴线之间的连接点称 为节点 – 每个有限段称为一个单元 – 第i个单元的长度为Li，包 含第i和第i+1两个节点
注意到节点位移的连续性有： 1 1 1
2 1 2 2 2 3 2 3
步骤4：构造总体刚度矩阵
因此，把全部节点力写成矩阵形式有
(1) F1 K 11 (1) F2 K 21 F 0 3 (1) K 12 (1) ( 2) ( K 22 K 22 ) ( 2) K 32
第2章 杆系结构有限元法
1. 有限元法应用的简例（直杆）
2. 平面桁架系统
1. 有限元法的简例（直杆）
例：自重作用下的等截面直杆
杆的长度为L，截面积为A， 弹性模量为E，单位长度的重量为q
分析杆中位移、应变和应力分布
①材料力学解答 ②有限元法解答
材料力学解答
x
N ( x) q ( L x)
（1- 1）
du ui 1 ui i dx Li
i E i
E (ui 1 ui ) Li
（1- 2）
（1- 3）
EA(ui 1 ui ) N i A i Li
（1- 4）
• 把外载荷集中到节点上
把第 i 单元和第 i+1 单元重量的一半 结点上。
1
2 3 4
• 3单元情况
① ② ③
ui (1 i )ui 1 i ui 2
q 1 2 (1 ) Li 2 EA i
u n u n 1
x a a a
5qa 2 2 EA 8qa 2 2 EA 9 qa 2 2 EA
平 衡 方 程
qa2 节点2： u1 2u2 u3 EA qa2 节点3： u2 2u3 u4 EA qa2 节点4： u3 u 4 2 EA 约束条件 u1 0
集中单元重量
q ( Li Li 1 ) ，集中到第 2
i+1
• 建立结点的力平衡方程
对于第 i+1 结点，由力的平衡方程可得：
N i N i 1
令 i
q( Li Li 1 ) 2
（1-5）
Li Li 1
，并将（1- 5）代入得：
ui (1 i )ui 1 i ui 2
步骤4：构造总体刚度矩阵
A.局部坐标系下的物理量： F Fxi Fyi Fxj Fyj B.结构坐标系下的物理量： F Fxi Fyi Fxj Fyj 杆端力的坐标变换
Fxi Fxi cos F yi sin F yi Fxi sin F yi cos
Fe K e e
或
Fi F j
K ii K ji
K ij i K jj j
e
e
步骤4：构造总体刚度矩阵
F1 对单元(1)有： F 2
F2 对单元(2)有： F3
步骤4：节点力平衡方程
须首先进行坐标转换 在杆系结构有限元法中，每个单元都有自己的局部坐标系， 但对整个结构而言需建立统一的整体坐标系。 把任意的一个单元取出来，放在整体坐标系下，考察一下该 单元在两种坐标系下的物理量的转换（变换）关系。 符号约定：局部坐标系下的物理量用加上画线来标记。 首先定义一下整体坐标系x-y与局部坐标系 x y 的夹角符号： x-y坐标系沿逆时针转动到与 x y 坐标系重合，则x-y坐 标系转过的角度 为正。
步骤4：构造总体刚度矩阵
构造结构刚度矩阵（节点力合成）
对于节点1有：
F1 F1 (1)
单元(1)中节点1的节点力（杆端力）
节点1的节点力 同理有：对节点2：
F2 F2 (1) F2 (2) 对节点3： F3 F3 ( 2)
e
任一单元(e)的单元刚度方程为：
0 1 ( 2) K 23 2 ( 2) K 33 3
（2-9）
或：
F K
0 0
（2-10）
1 0 所以，总刚为 1 EA [k ] 0 l 0 0
1 0 1
1
K 11 K 21
K 22 K 32
K 12 1 K 22 2
K 23 2 K 33 3
2
1
1
2
2
因此，由节点1，2，3节点力合成可得：
F1 F1 1 F1 K 11 1 1 1 K 12 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 F2 F2 F2 F2 K 21 1 K 22 2 K 22 2 K 23 3 2 2 2 2 2 F F F K K 3 3 32 2 33 3 3
目标：确定节点位移与节点力的关系
受轴力作用杆横截面上的应力为：
Fx A
应力与应变的关系是： E
步骤3：单元特性分析
du 1 (u j ui ) dx l
EA F EA ui u j l 杆端力为：
Fxi F yi F xj F yj EA ui u j l 0 EA u j ui l 0
K (1)
0 0 1 0
对单元2，α＝45
1 2 1 EA 2 2l 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
K ( 2)
(e )
步骤4：构造总体刚度矩阵
单元刚度矩阵的坐标变换:
在局部坐标系下，单元的刚度方程为：
F k
由式（2-5）可得： 由式（2-6）可得：
F k
使：
T
F T F T F
1 T
带入可得：
e
q 1 (1 ) L2 i 2 EA i
（1-6）
根据约束条件， u1 0 。对于第 n+1 个结点，
Nn
qLn 2
qL2 n 2 EA
（1-7）
u n u n 1
建立所有结点的力平衡方程，可以得到由 n+1 个方程构成的方程组， 可解出 n+1 个未知的接点位移。
a
a a
步骤4：构造总体刚度矩阵
单元刚度矩阵
[k ]：F [k ]
(e )
(e )
qL2 n 2 EA
有限元方法分析的一般步骤
a 离散，建立有限元模型：节点和单元 b 确定单元位移分布（由结点位移进行插值） c 单元特性分析； d 节点力（内、外力）平衡条件； e 引入位移边界条件后求解；
2 例：
1 （1）
平面桁架系统
F 2
（2） 3
已知 直杆长度为l，两杆夹角为 45度。两杆的横截面面积 为A，材料弹性模量为E。 求：图示桁架各杆端位移。
步骤2：选择单元位移函数
代入节点的位移,
x 0： u( x) ui
a ui b (u j ui ) / l
和 x l： u( x) u j
所以：
u ui (u j ui ) x / l v0
(2-2)
步骤3：单元特性分析
步骤3：单元特性分析（确定应变、应力、轴力）
0 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
0 0 1 2 2 1 2 2 1
0 1 0 0 0
2 2 1
2 2 1 2 2 1 2 2
2 2 1 2 2
0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0
Fxj Fxj cos F yj sin F yj Fxj sin F yj cos
或 同理xi cos F yi sin F xj 0 F yj 0
矩阵形式表示
(2-3)
步骤3：单元特性分析
式（2-3）还可写成
F K
e e
e
（2-4）
式（2-3）或（2-4）称为单元刚度方程
单元刚度矩阵
F K
e e
局部坐标下的节点力列向量
e
局部坐标下的节点位移列向量
解： 步骤1：离散和选择单元类型