高等代数(下)期末试卷

03-04学年《高等代数》第二学期期末考试卷

1一选择题（6题×4分）1．和矩阵1001M ⎛⎫=⎪-⎝⎭正交相似的矩阵是（）。

A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110 2. 实数域上阶实对称阵按合同关系分类, 共有( )类A. n +1B.2)1(nn - C.2)1(nn + D.2)2)(1(++n n3. 设*V 是数域F 上三维线性空间V 的对偶空间. 123,,v v v 是V 的一组基, ***123,,v v v 是其对偶基, 则V 中基12233,,v v v v v --的对偶基是( )A. *3*2*2*1*1*3,,v v v v v v +++B. *3*2*1*2*1*1,,v v v v v v +++C. *3*3*2*2*1,,v v v v v --D. *1*2*3*2*2,,v v v v v -+4. 设21,V V 是n 维欧氏空间V 的子空间, ϕ是正交变换, 则下列命题中正确的有( )项.① 若21V V ⊆，则⊥⊥⊆21V V② 若⊥⊥=21V V ，则21V V =③ 若1V 是ϕ不变子空间，则⊥1V 也是ϕ不变子空间 ④ 11)V (V =⊥⊥A. 1B. 2C. 3D. 45. 设,ϕψ是n 维欧氏空间V 的线性变换, **,ϕψ分别是,ϕψ的伴随变换, 则下列命题中错误的是( ).①ϕ是单的线性变换，则*ϕ是满的线性变换 ②*Im dim Im dim ϕϕ=③)),(()),((*αβϕβαϕ=,对任意的V ∈βα, ④ϕ是同构变换,则*ϕ也是同构变换 A. 0B. 1C. 2D. 36．已知二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换X = TY 化为标准形21231(,,)6f y y y y =，则( )a =.A. 0B. 2C. 4D. 62二填空题(6题×4分)1. 在欧氏空间3R (标准内积)中, 设(2,2,0),(1,2,3)αβ==, 则β的长度是( ), α与β的距离是( ), α与β的夹角是( ).2. 设V 是数域K 上n 维线性空间, 则线性映射()v η= ( )，V ∈∀v ，导出了线性空间的同构**)(V V ≅.3. 三阶正交矩阵在正交相似下的所有可能的标准形是( ).4. 设,A C 为n 阶对称阵，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛'C B B A 为正定阵, 则以B A B C 1-'-为相伴阵的二次型为( )型.5. 当t 取值范围为( )时, 二次型22212312323(,,)232f x x x x x x tx x =+++是正定型. 6. 设二次型(,,)f x y z xy yz zx =++, 则与f 相伴矩阵是( ), f 的正惯性指数是( ),f 的符号差是( ).三 (15分)设实数域上3阶方阵022244243A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 求正交矩阵T , 使'T AT 为对角阵, 并写出该对角阵. 四 (10分)设A 是m n ⨯阶阵, λ＞0, 证明'n I A A λ+是正定阵.五 (15分)设ϕ是n 维欧氏空间V 的对称变换, V ∈α,且1α=。

高代期末考试试卷

高代期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]2. 矩阵A的特征值是λ1和λ2，那么矩阵A^2的特征值是？A. λ1^2, λ2^2B. 2λ1, 2λ2C. λ1, λ2D. λ1+λ2, λ2+λ13. 线性方程组有非零解的条件是？A. 系数矩阵的行列式不等于0B. 系数矩阵的行列式等于0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩4. 以下哪个向量组是线性无关的？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 2]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 2, 3], [4, 5, 6]5. 矩阵A的秩是3，那么矩阵A的零空间的维数是？A. 0B. 1C. 2D. 36. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 3 1]C. [2 1; 1 2]D. [1 0; 0 1]7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 1; 1 1]D. [1 2; 3 4]8. 以下哪个矩阵是幂等矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]9. 以下哪个矩阵是投影矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]10. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题（每题4分，共20分）1. 矩阵的迹是其对角线元素的______。

2. 矩阵的转置是将矩阵的行和列进行______。

3. 矩阵的行列式可以通过______展开来计算。

《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)

6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A

高等代数期末试题及答案

高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。

求解该线性方程组的解。

1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。

令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。

选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。

高等代数(下)期终考试题及答案(C卷)汇编

高等代数(下）期末考试试卷（C 卷）一. 选择题（每空2分，共12分） 1．( D )下列集合哪一个是R n 的子空间11 1 1 2 1 2 11 2 1(A) {(,0,....,0,)| , ,}(B){( ,,...,)| , 1,...,}(C){( ,,...,)| 1 , }(D){( ,,...,)|0, }n n n n i nn i i i n n i i i a a a a R a a a a a a Z i n a a a a a R a a a a a R ==∈≠∈==∈=∈∑∑2．( B ) 令ξ=（x 1，x 2，x 3）是R 3的任意向量．下列哪一个映射σ是R 3的线性变换31 2 3233231 2312(A) ( ) = , 0(B) ( ) = (2-+ , , -)(C) ( ) =(,, )(D) ( ) =( 1 ,,0)R x x x x x x x x x x x σξξαασξσξσξ+≠++其中是的固定向量3. (C) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 1V V ?, 那么()12dim V V +为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （C ）若4阶方阵A 的初等因子为()23l +, +3, 2. 则 A 的不变因子是(Ａ) 1，（ +3），（ +2），()23l +； (B) 1，1， ( +3) ( + 2) ，()()223l l ++； (C ）1，1，（ +3），()()223l l ++；(D) 1，1，( +2)，()()223l l ++；5．（ B ）设矩阵A 的全部不同特征值为12,,...,s λλλ，则下列哪一说法与A 可对角化不等价（A ） A 有n 个线性无关的特征向量；（B ） ()(1,2,...)()i ii i R E A n i s n λλ-==其中为的重数;（C ） V dim (V )(1,2,...,)iii i i s λλλλ==的特征子空间的维数的重数 ;( D) A 的最小多项式均是数域P 上互素的一次因式的乘积;6.（D ）在实数域R 中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W 的维数为(A) 10; （B ）4； (C) 9；（D ）6；.二. 填空题（每空２分，共18分）1、已知a 是数域P 上的一个固定的数，而2{(,,,),2,,}n i W a x x x P i n =∈=是1n P +的一个子空间，则a ＝_______， dim (W )＝________. 2. 设,στ是2P 的两个线性变换，定义如下(,)(2,0)x y x y σ=-+, (,)(3,)x y y x y τ=-+ (,x y P ∀∈)则 (,)x y τσ=_________.3. 已知E A λ-的标准形为1000000(2)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的特征多项式2(2)E A λλλ-=-，A 的最小多项式为___________。

高等代数(下)期末考试 A 卷解答

五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V , 1
(1) 证明: A 是 V的一个线性变换.
(2) 当取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(1) 证明：对于 , V , k R, 由于 A ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (, ) [ ( , ) ] [ (, ) ] 以及 A ( ) A (), A (k ) k (k , ) k[ ( , ) ] kA ( ),
已知
B

A2

A
E,
其中
A
与

1 0
3
2

相似，则
B __3________
5. 设 1,2,3 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
2

1
1 2
2 1
则向量 1 2 的长度

为
2.
2 1 2
三、判别题（对的打”√”,错的打” ×”， 2×5=10分）
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V, 1
(2) 当取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(2) 如果A 是 V的一个正交变换，即有对于任意的 , V ,
(A ( ), ()) ( (,)， (,)) (,) (，(,)) ((,)，) 2(,)(,)(, ) (,) 2(,)(,) 2(,)(,)(,) (,),
2.
在线性空间
R22

高等代数下期终考试题及答案B卷

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分）1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 .3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A()-n P[x]=,的核(0)=1A A A4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+⎝⎭，则A （λ）的不变因子________________________；3阶行列式因子D 3 =_______________.5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形J=6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二. 选择题( 每小题2分，共10 分)1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则dim(V)为(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 42. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C)A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -34.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ，若β与2α正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R 3的子空间(A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w (C) }|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=(D) }|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)1.( )设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.2.( ）12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ijn nA a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵.3．( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．4．（）在线性空间R 2中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是R 2的一个线性变换. 5.（）设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。

2009-2011高等代数(下)考试卷(A)

2009-2010学学年第二期数高等代(下)期末考试试卷(A 卷)选择题题（本大共5题题小，每小3分，共15分） 1．( )义变换下列所定的σ哪个线变换，一是性(A)线间在性空V 设中，α为对一固定的非零向量，于任意的V ξ∈，义定()σξξα=+;(B) 在3R 义中，定221231233(,,)(,,)x x x x x x x σ=+;(C) 在3R 义中，定222222123131223(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++;(D) 在[]P x 义中，定()0()()f x f x σ=,其中0x 为P 个数中一固定的。

２．（）实数在域R 中，由全体3阶阵构线间矩所成的性空V 维数为的（A ）2；（B ）4；（C ）6；（D ）9。

3. ( ) 如果1V , 2V 线间是性空V 两个间的子空, 且()1dim 5V =, ()2dim 3V =,()12dim 6V V +=, 么那()12dim V V ∩为(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5 ４．（设）σ为欧间氏空V 个线变换号的一性，符(,)αβ表示向量α和β内积的，则哪说与下列一法σ为变换正交不等价（A ）对任意V α∈，有()(),()(,)σασααα=；（B ）对任意,V αβ∈，有()(),()(,)σασβαβ=; （C ）对任意,V αβ∈，有()()(),,()σαβασβ=;( D) σ组标阵阵在任意一准正交基下的矩是正交矩.５. ( ) 设A 和B 为数域P 上的n 阶阵则方，A 和B 当仅当相似且(A) A 和B 值有相同的特征； (B) A 和B 有相同的秩； (C) 为存在着行列式不零的n 阶阵方T 使得1B T AT −= ； ( D) A 和B 有相同的迹。

二、填题空题（本大共5题题小，每小3分，共15分）1、设阶阵三方A 项为的特征多式32()225f λλλλ=−−−则， =||A ________。

(完整word版)高等代数期末试卷

高等代数课程期末试卷命题人：审题人：姓名数学系班学号：题号一二三四五总分得分一、是非题（每小题2分，共10分）1．f(x)=ax+b (a≠0)在任意数域上不可约。

（）2．行列式D=0，则行列式定有两行成比例。

（）3.两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。

（）4.若对于方阵A，存在0021≠≠αα，满足2211αααα-==A A ，，则21αα、线性无关.()5.设δ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换，则δ关于V 的任一基的矩阵都为正交矩阵.()二、选择题（每小题3分，共18分）1.设f(x)∈R[x],若对任意的首项系数为1的g(x)∈R[x],都有（f(x),g(x)）=g(x),则f(x)必为()A.零次多项式B.零多项式C.f(x)≡1D.不存在得分得分2.记D=ba c a cb cb a ,A=a+b+c,B=a 2+b 2+c 2,C=ab+bc+ca ,如果D=0,那么必有（）A.A=0B.B-C=0C.A=0或B-C=0D.A,B,C 不确定3.若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（）A.维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +；B.维()21W W +=维()1W +维()2W ；C.维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ；D.维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。

4.同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）A.合同的；B.相似的；C.相等的；D.正交的。

5.设V 是n 维欧氏空间，那么V 中的元素具有如下性质（）A 若()()γβγαβα=⇒=,,；B 若βαβα=⇒=；C 若()11,=⇒=ααα；D 若()βα,>βα=⇒0。

6、设u 是正交矩阵，则（）A u 的行列式等于1B u 的行列式等于-1C u 的行列式等于±1D u 的行列式等于0三、填空题（每小空3分，共21分）1.2i 是多项式f(x)=x 7+x 5+2x 4-8x 3+8x 2-12x+8的二重根，f(x)的其他根是。

(完整word版)高等代数第二学期试题

第二学期期末考试《高等代数》试题一、填空：（每空2分，共30分）1、n 元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。

2、A 为正定矩阵，则A _______。

3、),(21s L αααΛ的维数__________向量组s αααΛ21,的秩。

4、1V ，2V 都是线性空间V 的子空间，则维1V +维2V =______________。

5、和1V +2V 是直和的充要条件为=⋂21V V ___________。

6、数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。

7、A ，B 是两个线性变换，它们在基n εεεΛ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则A+B 在基n εεεΛ,,21下的矩阵为______________。

8、A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度=______________。

9、在欧几里德空间中，α=_______。

><βα,=_______。

10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。

11、A 为正交矩阵，则A =_______，1-A =_______。

二、判断（每题2分，共10分）1、A 的值域是A 的不变子空间，但A 的核不是A 的不变子空间（）。

２、两个子空间的交还是线性空间V 的子空间（）。

3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的（）。

4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量（）。

5、度量矩阵是正定矩阵（）。

三、t 取什么值时，二次型3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++正定？（10分）四、在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标，其中=1ε（1，1，1，1），=2ε(1，1，-1，-1)，=3ε（1，-1，1，-1）=4ε（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）（10分）五、3P 中，令),4,2(),,(213131321a a a a a a a a a -+-=σ，求σ在基},,{321εεε下的矩阵。

高等代数(下)_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

高等代数（下）_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设f(x)，g(x)是有理系数多项式，且在复数域上g(x)| f(x)，则在有理数域上，也必有g(x)| f(x)。

参考答案:正确2.在F[x]中, (2, 6)=2。

参考答案:错误3.设f(x), g(x), u(x), v(x), d(x)是F上多项式，f(x)u(x)+g(x) v(x)=d(x)且d(x)首项系数为1，则(f(x), g(x))=d(x)。

参考答案:错误4.设f(x), g(x)是数域F上多项式，且f(x), g(x)在F上互素，则f(x), g(x)在复数域上一定互素。

参考答案:正确5.下列关于整除的命题中，正确的是______。

参考答案:若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，则f(x)|h(x)6.若A是负定矩阵，则A的任意k阶顺序主子式全小于零。

参考答案:错误7.两个相似的实对称矩阵一定正交相似。

参考答案:正确8.设V是有限维欧氏空间. 下列过渡矩阵的命题中，____是错误的。

参考答案:V的不同基下的过渡矩阵是正交矩阵9.设A，B是n阶方阵。

若A是反对称矩阵，且A合同于B，则B也是反对称矩阵。

参考答案:正确10.若f(x)g(x)=f(x)h(x)，则g(x)=h(x)。

参考答案:错误11.n阶复对称方阵A和B合同的充分必要条件是____。

参考答案:A和B的秩相同12.若g(x)|f(x)，则(f(x), g(x))= g(x)。

参考答案:错误13.设A是10阶实对称矩阵，且负惯性指数和符号差分别是5和-2，则A的0特征值有____个参考答案:214.若(f(x),g(x),h(x))=1,则f(x), g(x),h(x)两两互素。

参考答案:错误15.本原多项式和本原多项式之积必为本原多项式。

参考答案:正确16.任意非常数的有理系数多项式可以改写为一个有理数和一个本原多项式的乘积。

高数下册期末a卷考试题及答案

高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。

答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。

高等代数(下)_电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

高等代数（下）_电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.相似的矩阵一定合同, 合同的矩阵不一定相似.答案:错误2.如果数域F上任一有限维空间上的线性变换都有特征向量, 则F是( ).答案:复数域3.设A是n阶复方阵, 则如下叙述错误的是( ).答案:A的非常数不变因子数恰为其Jordan块个数4.线性替换不改变二次型的正定性.答案:错误5.设A是n阶实对称矩阵, 如下结论中正确的是( ).答案:6.n阶实方阵A与B相似的一个充分条件是( ).答案:7.如下叙述正确的是( ).答案:两个相似的实对称矩阵一定正交相似8.设A, B为n阶矩阵, 且A与B相似, 则( ).答案:9.n阶复方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的( ).答案:充分而非必要条件10.n阶复矩阵A以任一n维非零列向量为特征向量的充要条件是( ).答案:A是数量矩阵11.同阶幂等矩阵的秩相等时, 不一定相似.答案:错误12.如下叙述中错误的是( ).答案:属于同一个特征值的特征向量一定线性相关13.两个复方阵相似当且仅当二者有相同的特征多项式与相同的最小多项式.答案:错误14.相似的矩阵一定有相同的特征多项式, 但是不一定有相同的最小多项式.答案:错误15.n阶复方阵A只有一个Frobenius块当且仅当A的最小多项式与特征多项式相等.答案:正确16.如下叙述正确的是( ).答案:两个对称变换的实线性组合仍然是对称变换17.正交矩阵A经过下列变换后仍是正交矩阵的是( ).答案:一次两行互换18.设A是n阶实反对称的正交矩阵, 则( ).答案:19.3阶复矩阵A不可能具有不变因子组( ).答案:20.从3阶实对称矩阵空间到3阶实反称矩阵空间的全体线性映射所成实线性空间的维数为_________.答案:1821.如下3阶复方阵中, 不是幂零矩阵的是( ).答案:22.设n阶复矩阵A, B可换, 则如下叙述错误的是( ).答案:23.设A是n阶复方阵, 则A满足( )时不一定半单.答案:24.将5阶实对称可逆矩阵按合同分类, 即彼此合同的矩阵分为一类, 则可以分成___________类.答案:625.欧氏空间上的内积函数是一个双线性函数.答案:正确26.对称双线性函数在任一组基下的度量矩阵都是对称矩阵.答案:正确27.相似的实矩阵一定合同.答案:错误28.设A是n阶正定矩阵, 则( ).答案:29.2021维欧氏空间V上的反对称变换必然不可逆.答案:正确30.如下实矩阵中没有实特征值的是( ).答案:2阶非零反对称矩阵31.同阶正定矩阵的和与乘积仍然是正定矩阵.答案:错误32.有限维欧氏空间上的对称变换在任一组正交基下的矩阵都是对称矩阵.答案:错误33.设W, U都是n维欧氏空间V的子空间, 则如下叙述错误的是( ).答案:34.复数域上, 如下矩阵中与对角矩阵相似的是( ).答案:35.从3元集合A到5元集合B的单射个数为________.答案:6036.设V是n维欧氏空间, 则V在任意一组基下的度量矩阵都是正定矩阵.答案:正确。

(完整word版)2009高等代数(下)考试卷(A)

2009-2010学年第二学期高等代数(下）期末考试试卷（A 卷）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．( )下列所定义的变换σ，哪一个是线性变换(A)在线性空间V 中，设α为一固定的非零向量，对于任意的V ξ∈，定义()σξξα=+;(B) 在3R 中，定义221231233(,,)(,,)x x x x x x x σ=+;(C) 在3R 中，定义222222123131223(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++;(D) 在[]P x 中，定义()0()()f x f x σ=,其中0x 为P 中一个固定的数。

２．（）在实数域R 中，由全体3阶矩阵所构成的线性空间V 的维数为（A ）2；（B ）4；（C ）6；（D ）9。

3. ( ) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 5V =,()2dim 3V =, ()12dim 6V V +=, 那么()12dim V V I 为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5４．（）设σ为欧氏空间V 的一个线性变换，符号(,)αβ表示向量α和β的内积，则下列哪一说法与σ为正交变换不等价(A) 对任意V α∈，有()(),()(,)σασααα=； (B) 对任意,V αβ∈，有()(),()(,)σασβαβ=; (C) 对任意,V αβ∈，有()()(),,()σαβασβ=;(D) σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.５. ( ) 设A 和B 为数域P 上的n 阶方阵，则A 和B 相似当且仅当(A) A 和B 有相同的特征值； (B) A 和B 有相同的秩；(C) 存在着行列式不为零的n 阶方阵T 使得1B T AT -= ；( D) A 和B 有相同的迹。

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设三阶方阵A 的特征多项式为32()225f λλλλ=---，则 =||A ________。

《高等代数》(下)课程期末试卷

莆田学院2002―2003学年第一学期数学2001级数学专业《高等代数》（下）课程期末试卷一、完成下列计算（30分）1．设)(ij a A =是n 级正定矩阵，而),,,(21'=n x x x α，),,,(21'=n y y y β在n R 中定义内积),(βα为 ),(βαβαA '=.(1) 求基)0,,0,1(1 =ε,)0,,0,1,0(2 =ε,, )1,0,,0,0( =n ε的度量矩阵;(2) 求基)1,,1,1(1 =η,)1,,1,1,0(2 =η,, )1,0,,0,0( =n η的度量矩阵.2.求复矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111122254A 的若当标准形,确定其最小多项式. 3设f 是数域P 上3维线性空间),,(321εεεL V =的一个线性函数, 如果1)(31=+εεf ,1)2(32-=-εεf ,3)(21-=+εεf ,求).(332211εεεx x x f ++二、用正交线性替换化二次型212x x 312x x +412x x -322x x -422x x +432x x +为标准形，现已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0111101111011110的所有不同的特征值为1和3-. （20分）三、设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换且=2σσ,证明（20分） 1.σ的核}|)({)(V Ker ∈∀-=αασασ;2.σ的值域)Im(σ}|)({V ∈==αασα;3. σ的特征值为1或1-;4.若τ也是数域P 上线性空间V 的线性变换, 则)(σKer 和)Im(σ都是τ的不变子空间的充要条件为τσστ=.四、设)(ij a A =是n 级实矩阵,且其行列式0det ≠A . （20分）1 证明存在正交矩阵Q 和每个对角元素皆为正的上三角矩阵T 使得QT A =;2.上述分解是否具有唯一性?为什么?3.证明对n 级正定矩阵S 来说, 必有每个对角元素皆为正的上三角矩阵T 使得T T S '=.五、设m εεε,,,21 是n 维欧氏空间)(R V n 的一个标准正交组，（10分）1．证明对任意)(R V n ∈α总有221||),(αεα≤∑=m i i；2．对一般的欧氏空间来说，上述不等式是否总成立？为什么？。

高等代数期末考试题

高等代数期末考试题一、选择题（共5题，每题2分）1. 考虑线性方程组的系数矩阵A，若A的秩为r，那么下列哪个选项是正确的？A. 方程组的基础解系包含n-r个自由变量。

B. 方程组的基础解系包含r个自由变量。

C. 方程组的基础解系包含n个自由变量。

D. 方程组的基础解系包含m个自由变量，其中m是方程个数。

2. 若线性变换T: V → W，其中V和W是向量空间，且dim(V) = n, dim(W) = m。

设T的值域的维数为k，则下列哪个等式成立？A. k + n = mB. k ≤ min{n, m}C. k = n - mD. k = m - n3. 给定一个上三角矩阵L和一个下三角矩阵U，它们的乘积LU是一个对角矩阵。

那么，L和U的乘积的对角线元素是多少？A. L的对角线元素与U的对角线元素的和B. L的对角线元素与U的对角线元素的积C. L的对角线元素与U的非对角线元素的积D. U的对角线元素与L的非对角线元素的积4. 若多项式f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0，且f(1) = 1, f(-1) = -1。

则f(x)的表达式可以是：A. (x - 1)(x + 1)^(n-1)B. (x + 1)(x - 1)^(n-1)C. (x^n - 1)/(x - 1)D. (x^n - 1)/(x + 1)5. 设A是一个n阶方阵，且A的特征值都不相同。

如果A是可对角化的，那么下列哪个选项是正确的？A. A的每个特征值都有对应的特征向量。

B. A可以表示为几个特征向量的线性组合。

C. A可以表示为其特征向量矩阵的逆乘以特征值对角矩阵再乘以特征向量矩阵。

D. A的逆矩阵存在当且仅当所有特征值都不为零。

二、填空题（共5题，每题2分）6. 若二次型f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2，且该二次型表示的曲面在原点处的切平面方程为4x + 2y = 0，则a + b + c = _______。

第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1。

设()=⎰22t xFx e dt ,则()F x '=-22x xe。

2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序:()(),,-+⎰⎰⎰⎰12330010xdy f x y dx dy f x y dx=(),-⎰⎰2302xx dx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成，则:使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5。

级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1。

当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0； B 。

等于13；C. 等于14; D 。

不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件；B.充分但非必要条件； C 。

必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ,则==10x y dz()=BA 。

e ；B 。

()+e dx dy ；C 。

()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4。

若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛，则此级数在=2x处()AA 。

绝对收敛； B.条件收敛； C 。

发散; D.收敛性不确定。

5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ; B 。

高等代数(下)期终考试题及答案(C卷)

高等代数(下）期末考试试卷（C 卷）一. 选择题（每空2分，共12分） 1．( D )下列集合哪一个是R n 的子空间11 1 1 2 1 2 11 2 1(A) {(,0,....,0,)| , ,}(B){( ,,...,)| , 1,...,}(C){( ,,...,)| 1 , }(D){( ,,...,)|0, }n n n n i nn i i i n n i i i a a a a R a a a a a a Z i n a a a a a R a a a a a R ==∈≠∈==∈=∈∑∑2．( B ) 令ξ=（x 1，x 2，x 3）是R 3的任意向量．下列哪一个映射σ是R 3的线性变换31 2 3233231 2312(A) ( ) = , 0(B) ( ) = (2-+ , , -)(C) ( ) =(,, )(D) ( ) =( 1 ,,0)R x x x x x x x x x x x σξξαασξσξσξ+≠++其中是的固定向量3. (C) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 1V V ?, 那么()12dim V V +为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （C ）若4阶方阵A 的初等因子为()23l +, +3, 2. 则 A 的不变因子是(Ａ) 1，（ +3），（ +2），()23l +； (B) 1，1， ( +3) ( + 2) ，()()223l l ++； (C ）1，1，（ +3），()()223l l ++；(D) 1，1，( +2)，()()223l l ++；5．（ B ）设矩阵A 的全部不同特征值为12,,...,s λλλ，则下列哪一说法与A 可对角化不等价（A ） A 有n 个线性无关的特征向量；（B ） ()(1,2,...)()i ii i R E A n i s n λλ-==其中为的重数;（C ） V dim (V )(1,2,...,)iii i i s λλλλ==的特征子空间的维数的重数 ;( D) A 的最小多项式均是数域P 上互素的一次因式的乘积;6.（D ）在实数域R 中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W 的维数为(A) 10; （B ）4； (C) 9；（D ）6；.二. 填空题（每空２分，共18分）1、已知a 是数域P 上的一个固定的数，而2{(,,,),2,,}n i W a x x x P i n =∈=是1n P +的一个子空间，则a ＝_______， dim (W )＝________. 2. 设,στ是2P 的两个线性变换，定义如下(,)(2,0)x y x y σ=-+, (,)(3,)x y y x y τ=-+ (,x y P ∀∈)则 (,)x y τσ=_________.3. 已知E A λ-的标准形为1000000(2)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的特征多项式2(2)E A λλλ-=-，A 的最小多项式为___________。

高代下试卷期末

2014-2015学年第二学期
《几何与高等代数（下）》期末试卷
(2014级数学类专业)
班级学号姓名得分
一、判断题（每小题3分，满分15分）
1．线性变换A )(V End K ∈可对角化，当且仅当V 是A 的特征子空间的
23A 4512关于自然基321,,εεε的度量矩阵为。

3．设3阶方阵A 的三个特征值为1，3，3
1，则=+*||E A ____ 。

4．设1)(23-+-=x x x x f ，1)(4-=x x g ，则它们的最大公因式
()=)(),(x g x f 。

5． ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=32)1(0000001)(λλ
λλA 的初等因子组为。

三、计算题（每小题10分，共40分）
1. 化简二次曲线方程：
012241254222=+--++y x y xy x ，
并写出对应的坐标变换公式。

2⎫⎛11t ⎫⎛0013 42．设A 是n m ⨯实矩阵，A A kE B T +=，试证明：
（1）A A T 是半正定矩阵；（2）当0>k 时，B 为正定矩阵。

3．设)(λm 是矩阵A 的极小多项式，)(λf 是任一次数大于零的多项式，又 ))(),(()(λλλm f d =,试证明：（1）rank =)(A d rank )(A f ；
（2）)(A f 可逆的充要条件是1))(),((=λλm f 。