中考专题1二次函数数形结合教师版

【分析】：画出函数草图。 由图象知，抛物线开口向下，对称轴在−2 ≤ ������ ≤ 2内， 所以端点和顶点都要考虑，并且分析函数值 y 可否能够取到。
【答案】： 顶点：当 x=1 时，y=4; 端点：当 x=−2 时，y=−5;当 x=2 时，y=3 故当 − 2 ≤ ������ ≤ 2，������最小值是 − 5，������最大值是 4 即������的取值范围是 − 5 ≤ ������ ≤ 4
【答案】： 由题意：当������ − 2 ≤ ������ ≤ ������时，函数有最大值 5. 令������2 − 2������ − 3 = 5，解得：������1 = −2，������2 = 4; ①若������ − 2 = ������1 = −2，解得：������ = 0，检验成立 ②若������ = ������2 = 4，解得：������ = 4，检验成立 综上，m 的值是0 或 4 【总结】二次函数动轴定范围最值类问题： 数形结合：求解最值对应的 x，再绘制图像分析，对应取值范围求解未知的参数。
【总结】二次函数动轴定范围求最值： 根据对称轴的位置进行分类讨论，数形结合更加直观；
3
【例 3】（定轴动范围）已知函数������ = ������2 − 2������ − 3，当������ − 2 ≤ ������ ≤ ������时的最大值是 5，则 m 的值是________ 【分析】：函数是确定的，x 的范围不确定，需要分类讨论。 先算出函数值是 5 时，对应的 x 是−2 或者 4。再根据对应的 x 范围进行讨论。
2019-2020 学年 中考专项 (一)
--二次函数最值探究
第一部分 必备知识点
二次函数是中学阶段的重难点之一，与同学们初二阶段学习的一次函数不同，二次函数的图像自左向 右有增也有减，所以我们在求解二次函数最值问题的时候，就需要额外的留心。同学们往往会在这种题型 里出错。
当题目给定了 x 的取值范围，我们需要关注二次函数的对称轴是否在已知的 x 范围内，看看顶点处的 取值对最值求解是否有影响。
7. 【答案】4或 0． 【解析】①若 2h＞h +2，即 h＞2 时，解得： ℎ1 = 4；ℎ2 = 1（舍弃）；
②若 h−1≤2h≤h+2，即−1≤h≤2 时，解得：h＝0； ③若 2h＜h−1，即 h＜−1 时，解得：h 无解； 综上，答案为4或 0．
8
综上，答案为：√7或−4．
【总结】二次函数动轴动范围最值类问题：分类讨论 ①若对称轴在������范围左侧 ②若对称轴在������范围内部 ③若对称轴在������范围右侧
5
第三部分 达标练习
1．已知点 P（x，y）在二次函数 y＝2（x+1）2−3 的图象上，当−2＜x≤1 时，y 的取值范围是
．
2．二次函数 y＝x2−2x−3（−2≤x≤2）的最大值是
，最小值是
．
3．当−1≤x≤2 时，二次函数 y＝x2+2kx+1 的最小值是−1，则 k 的值可能是
．
4．已知关于 x 的二次函数 y＝（x−h）2+3，当 1≤x≤3 时，函数有最小值 2h，则 h 的值为
．
5．已知二次函数 y＝−x2+2x+3，当 m≤x≤m+3 时，y 的取值范围是 0≤y≤4，则 m 的值为
∴m＝−1 或 m+3＝3，解得：m＝−1 或 0．
6. 【答案】−3 或−2． 【解析】解：∵y＝−x2−2x+3＝−（x+1）2+4，∴对称轴是直线 x＝−1． ①当 x＝m 时，m＜−1，−m2−2m+3＝0， 解得：m1＝1（舍），m2＝−3， ②当 x＝m+3 时，m+3＞−1，−（m+3）2−2（m+3）+3＝0， 解得：m1＝−6（舍），m2＝−2， 综上得：m＝−3 或 m＝−2．
3.
【答案】
3 2
或−√2．
【解析】①当−k＜−1 时，即 k＞1 时，解得：k= 32;
②当−1≤−k≤2 时，即−2≤k≤1，解得：k= ±√2，取 k= −√2，
③当−k＞2
时，即
k＜−2，解得：k=
−
3（舍），
2
综上所述，k 的值可能是32或−√2，
4. 【答案】32或 6． 【解析】①若 h＜1，解得：ℎ1 = ℎ2 =2（舍弃）；
【答案】：
①
当−
������ 2
＜b，即
b＞0，在
b≤x≤b+3
时，y
随
x
的增大而增大，
∴当 x＝b 时，y＝b2+b•b+b2＝3b2 为最小值，
∴3b2＝21，解得：b1= −√7（舍去），b2= √7；
② 当 b≤ − ������ ≤b+3 时，即−2≤b≤0，在 x= − ������时，y= 3b2 为最小值，
【分析】：x 的范围确定，但是对称轴的位置不确定。需要根据对称轴直线 x=m 的位置分三类讨论。
①������ < −2;
②−2 ≤ ������ ≤ 4; ③������ > 4
【答案】： ①当������ < −2 时，由函数草图知，当 x= −2 时，函数有最大值，������������������������ = ������(−2) = 9， 即−(−2 − ������)2 + ������2 + 1 = 9，解得：������ = −3 ②当 − 2 ≤ ������ ≤ 4 时，由函数草图知，当 x=m 时，函数有最大值，������������������������ = ������(������) = 9 即−(������ − ������)2 + ������2 + 1 = 9，解得：������1 = 2√2，������2 = −2√2（舍） ①当������ > 4 时，由函数草图知，当 x=4 时，函数有最大值，������������������������ = ������(4) = 9， 即−(4 − ������)2 + ������2 + 1 = 9，解得：������ = 3（舍） 综上，m 的值是−3 或 2√2
近两年初三上 “二次函数最值”考频
学校
题号
38 中期中
8
瑶海区期中
10
瑶海区期中
14
45 中期中
14
包河区期末
2
包河区期末
12
1
第二部分 例题精讲
【例 1】（定轴定范围）点������（������, ������）为二次函数������ = −(������ − 1)2 + 4图像上一点，且−2 ≤ ������ ≤ 2,则������的取值范 围是___________
【总结】二次函数定轴定范围求最值： ①画出函数草图，草图中包含顶点和开口，便于判断 ； ②注意函数对称轴，是否在给定的 x 范围内； ③判断函数值 y 可否取到。
2
【例 2】（动轴定范围）当−2 ≤ ������ ≤ 4 时，函数������ = −(������ − ������)2 + ������2 + 1有最值 9，则 m 的值是________
②若 1≤h≤3，解得：h= 3；
2
③若 h＞3，解得：ℎ1＝6，ℎ2＝2（舍弃）； 综上，答案为3或 6．
2
7
5. 【答案】−1 或 0．
【解析】解：∵y＝−x2+2x+3＝−（x−1）2+4，
∴{������������
≤ +
1 3
≥
1，解得：−2≤m≤1．
当 y＝0 时，有−x2+2x+3＝0，解得：x1＝−1，x2＝3，
4
【例 4】（动轴动范围）已知二次函数������ = ������2 + ������������ + ������2，当������ ≤ ������ ≤ ������ + 3 时，函数的最小值是 21，则 b 的 值是________ 【分析】：������ = ������2 + ������������ + ������2的图象开口向上，对称轴为直线 x= − ���2���，函数对称轴和 x 的范围都不确定，故 需要分类讨论。
如果题目中的二次函数或者给定的 x 范围是用参数表示的，我们就需要分类讨论对称轴的相对位置， 进行求解，最后根据题目意思检验，筛选求解结果。
本专题将“二次函数最值问题”的题型分成了 4 类来进行探究，同学们在老师的指导下进行学习，掌 握对二次函数最值问题的具体分类，重点是要强化分类讨论的解题意识。
年份 2017 年 2018 年 2018 年 2018 年 2018 年 2018 年
当 x＝−2 时， y＝−1；当 x＝1时， y＝5； ∴当−2＜x ≤ 1 时，y 的取值范围是：−3≤y≤5．
2. 【答案】5；−4． 【解析】y＝x2−2x−3＝（x−1）2−4，∴当 x＝1时，有最小值 ymin＝−4；
当 x＝−2时， y＝5；当 x＝2时， y＝−3； 比较得，当−2＜x ≤ 2 时，函数最大值是 5，最小值是−4．
2
2
4
∴34b2＝21，解得：b1＝−2√7（舍去），b2＝2√7（舍去）；
③
当−
������ 2
＞b+3，即
b＜−2，在
b≤x≤b+3
时，y
随
x
的增大而减小，
∴当 x＝b+3 时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9 为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得：b1＝1（舍去），b2＝−4；