第3章 多自由度系统1讲解

x 或 y 或 z 表示就可以了。
（二）用影响系数法建立系统的运动微分方程
1.总体思路
刚度影响系数 柔度影响系数 影响系数法 阻尼影响系数
K
D
C
M
质量影响系数
(二)用影响系数法建立系统的运动微分方程
2.刚度影响系数
0
Ku f
Mu Cu Ku f
0 第j行 k1 j 0 k 2j 1 0 k Nj 0
不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力, 是建立复杂离散 系统运动微分方程的首选方法； 即可用于线性系统，也可用于非线性系统。
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
5.【例题】 试求图示双摆系统的运动方程。
解：选取 1 和 2 为广义坐标
O
1 L1
m1 ( x1 , y1 )
x
x1 L1 sin 1
T1
m1
R2
T2
m1 R2 T2 T1
Lagrange方程的产生背景
I
R1 k1
R2

m1
r
m2
k2
隔离wk.baidu.com3的受力分析
T2
f
r
m2
R2
k2 R2
刚体平面运动微分方程：（见《理论力学》，范钦珊主编）
mxc Fx
myc Fy
J c M c ( F )
Lagrange方程的产生背景
对A取矩
m1 g
l2
d 22
x1 x2
m2 g l3
1 1 (l1 l2 ) (m2 m3 ) g ( x1 x2 ) m1gx1
d32
l1 l2 d22 d32 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32 d13 d 23 d33
隔离体3的受力分析
T2
f
r
m2
R2
k2 R2
m2 R2 T2 k2 R2 f
R2 1 2 m2 r f r 2 r
3 m2 R2 k2 R2 T2 2
Lagrange方程的产生背景
3 m2 R2 k2 R2 T2 2
R k1 1 k2 keq R2 n 3 I meq m1 m2 2 2 R2
2
m1 R2 T2 T1
I T1 R2 k1 R1 R1
3 2 2 2 m m R I ( k R k R 1 2 2 2 1 1 ) 0 2 2
2 (k2 R2 k1 R12 ) 3 2 m m 2 1 R2 I 2
1 (l3 l2 l1 ) m3 g ( x1 x2 x3 ) m2 g ( x1 x2 ) m1 gx1
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32 d13 d 23 d33
STOP
x1
l1 (m1 m2 m3 ) g
mu(t ) cu(t ) ku(t ) f (t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
u(t )
u(t )
位移向量
m
阻尼矩阵
M
质量矩阵
c
f (t )
C
k
K
刚度矩阵
f (t )
激振力向量
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
通用的建模方法
返回
（一）用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
直角坐标形式的牛顿第二定律
d 2x m dt 2 Fx d2y m 2 Fy dt d 2z m 2 Fz dt
列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。 加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要 用
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
（二）用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1
k1
m1
d12 k1d12
F1 0 m1
u2
k2 m2
k3
k2 (d22 d12 )
k2 (d22 d12 ) k1d12 0
d 22
k2 (d22 d12 )
F2 1
k3d 22
k1 k2 d12 d21 , d22 k1k2 k1k3 k2 k3
3.柔度影响系数
柔度矩阵
0
u K 1 f D f
Ku f
0 第j行 d1 j 0 d 2j 1 0 d Nj 0
Mu Cu Ku f
d11 d 21 d N1
d11 d21 d31
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32
cos 1 1
m2 g m3 g
l1 (m1 m2 m3 ) g
d13 d 23 d33
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
对B取矩
l1
B
1 l2 (m2 m3 ) gx2
x2 L1 sin 1 L2 sin 2
d1 j d2 j d Nj
d1N d2 N d NN
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的柔度矩阵。
u1
u2
k2
k1
m1
d11 k1d11
5.质量影响系数
0
Mu f
Mu Cu Ku f
质量影响系数 mij ：第 j 个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度
为零时，需要在第 i 自由度处施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
6.思考
此系统用刚度法方便还是柔度法方便？
m1
m2
m3
能否对此系统实施柔度法？
k k m1 0 u1 (t ) k k u1 (t ) 0 m u (t ) k k u (t ) 0 K k k 2 2 2
2.系统运动微分方程的建立方法
牛顿第二定律: 适用于自由度不多的离散系统或简单的 连续系统
动量矩定理:
影响系数法： 建立方法
主要适用于自由度不多的离散系统
主要适用于自由度不多的离散系统
Lagrange方程法：主要适用于离散系统
Hamilton原理：
有限单元法：
主要适用于连续系统
离散系统，连续系统都适用，是一种最
① 判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;
② 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；
③ 对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式
W Qi qi
从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力； ⑤ 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.
i 1
n
4. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点
l3 l1 l2 d33 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g m3 g
（三）Lagrange方程的产生背景
1.牛顿力学方程的缺陷
I
R1 k1
R2

m1
r
m2
k2
I
隔离体1的受力分析
k1 R1
R1
R2
T1
I T1 R2 k1 R1 R1
隔离体2的受力分析
n
Lagrange方程的产生背景
隔离体的受力分析
将未知约束力引入到动力学方程中 导致动力学方程中未知变量急剧增加
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
完整约束 （《理论力学》 范钦珊 主编）
约束方程不包含质点的速度，或者包含质点的速度，但约 束方程是可以积分的约束称为完整约束。
约束方程包含质点的速度且不可积分的约束称为非完整约束。
qi
Qi
广义坐标
T
动能
V
势能
广义坐标 qi 对应的非保守主动力
系统存在粘性阻尼时
d T T D V ( ) Qi , i 1, , n dt qi qi qi qi
D
耗散函数
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
3.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤
0, u2 1
u1 0
u2 1
k12
m1
k2
k2
k22
m2
k3
k12 k2
k22 k2 k3 k1 k2 k2 刚度矩阵： K k 2 k2 k3
k11 K k21
k12 k22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
m3 g
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
l1
m1g
对C取矩
B
l2 m2 g
1 l3 m3 gx3
C
l3 x3
对B取矩 对A取矩
l3 x3 m3 g
l2 x2 (m2 m3 ) g
1 (l3 l2 ) m3 g ( x2 x3 ) m2 gx2
1
x1
x2 d33
m3 g
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【课堂练习】求图示摆的柔度矩阵
A
1
d11
l1
1
对A取矩:
l1 cos1 (m1 m2 m3 ) gl1 sin 1
d 21 d31
m1 g
l1 cos1 (m1 m2 m3 ) gd11 l1 (m1 m2 m3 ) gd11
广义坐标
（《理论力学》 范钦珊 主编）
唯一地确定质点系在空间的构型的独立坐标称为广义坐标。
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
2.完整约束系统的Lagrange方程的具体形式
系统不存在粘性阻尼时
d T T V ( ) Qi , i 1, , n dt qi qi qi
奇异（秩亏损）
用影响系数法建立系统的运动微分方程
7.小结
① 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约 束的数目，求解比较繁。 ② 柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统 的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。 ③ 如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效，但刚度法却可奏效。所 以刚度法的应用范围比柔度法要大。
第3章： 多自由度系统的运动 微分方程
第3章:多自由度系统的运动微分方程
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
1.多自由度系统运动微分方程的一般形式
回想单自由度系统运动微分方程的一般形式
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
柔度矩阵：
m2
k2 (d22 d12 ) k3d22 1
d11 D d 21
d12 d 22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
4.阻尼影响系数
0 0
Cu f
Mu Cu Ku f
时，需要在第 i自由度处施加的力。
阻尼影响系数 cij ：第 j 个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零
u1
k1
m1
解： 令 u1
u2
k2
m2
k3
1, u2 0 u1 1
u2 0
k1
k11
k2
k2
k21
m1
k11 k1 k2
k11 K k21 k2 k21
m2
k12 k22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1 k1
m1
令 u1
u2
k2
m2
k3