第3章 多自由度系统1讲解

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第三章 多自由度系统

第三章 多自由度系统

例题
例题
再将初始条件(2)代入式,得
A1(1) 0,
1


2
,
A1(2) 1,
2

π 2
x1 (t) cos p2t cos3
kt m
(cm), x2 (t) cos p2t cos3
kt m
(cm)
这表明,由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比,因 此,系统按第二主振型以频率p2作谐振动。
将第一固有频率p1代入 x1 A1 sin( pt )

x2 A2 sin( pt )
normal mode 第一主振动
x11 x21

A11 A21
sin( sin(
p1t p1t

1 1
) )

第二主振动
x12 x22
解:系统的质量矩阵和刚度矩阵为
M

m

0
m0 ,
K

k1 k2

k2
k2 k2 k3


5k 4k
4k
5k

将M、K代入频率方程,得
p1
k, m
p2 3
k m
对应的两个主振型和振幅比为
1

A2(1) A1(1)
1,
2

A2(2) A1(2)
代入上式得到
1

2

2
(1)
(2)

1 2

0
因此得到双摆作自由振动的规律
位置的距离x1、x2为广义坐标,两物体沿x方向的受力如图示, 它们的运动微分方程分别为

《多自由度体系》课件

《多自由度体系》课件

热力学
1 统计力学基础
在热力学中,统计力学提供了对多自由度体系内能和熵的理解。
2 多自由度体系的自由能
自由能是描述多自由度体系热力学性质的重要概念。
3 熵和热力学基本方程
熵是多自由度体系热力学性质的度量,热力学基本方程描述了多自由度体系的热力学关 系。
应用
分子动力学模拟
多自由度体系在分子动力学模拟 中有广泛应用,用于研究分子结 构和材料性质。
拉格朗日方程和哈密顿方程是多自由度体系建模中常用的基本方程。
动力学
1
自由度分离
将多自由度体系中的自由度分离,简化系统的求解和分析。
2
能量守恒定律
能量在多自由度体系中守恒,能量守恒定律对系统动力学的理解至关重要。
3
特殊情况下的动力学:谐振子、单摆、刚体
针对特殊情况下的多自由度体系,如谐振子、单摆和刚体,可以得到特定的动力 学方程。
材料科学中的应用
多自由度体系理论在材料设计和 性能优化中具有重要作用。
生物学中的应用
多自由度体系理论被应用于研究 生物分子的结构和功能。
结论
1 多自由度体系的重要性
多自由度体系的研究对科学和工程领域具有重要意义。
2 研究多自由度体系的意义
研究多自由度体系有助于深入理解复杂系统的行为和优化设计。
3 今后的研究方向
多自由度体系
本PPT介绍了多自由度体系的概述、建模、动力学、热力学、应用以及结论。 多自由度体系在科学研究和应用中的重要性不可忽视。
概述
1 什么是多自由度体系
多自由度体系是由多个相 互作用、相互影响的质点 或刚体组成的系统。
2 为什么研究多自由度
体系
研究多自由度体系可以深 入理解复杂系统的行为, 解决实际问题。

第三章 两自由度系统

第三章   两自由度系统

物理坐标:根据分析系统工作要求和结构特点而建立的坐标 物理坐标运动表达式
1 1 xt A1 sinn1t 1 A2 sinn 2 t 2 r1 r2
四.初始条件引起的自由振动
施加于系统的初始条件
x1 0 x10 , x2 0 x20
2
F x2 (t ) sin t k2
X 1 0

k2 x2 (t ) F sin t
1 X 2 2
X0 F k 2
2
在任何时刻,吸振器施加于主系统的力 精确地与作用于主系统的激励力平衡。
由主系统和吸振器组成的两自由度系统的特征方程
二.广义坐标和坐标耦合
汽车简化为二自由度系统,即一根刚性杆(车体的简化模型) 支承在两个弹簧(悬挂弹簧和轮胎的模型)上,刚性杆作跟 随其质心的上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的俯仰运动。
m 0
0 x1 k1 k 2 Jc k a k 2 b1 1 1
k12 x1 F1 t k 22 x 2 F2 t
m11 m 21
m12 x1 c11 m22 x c 21 2
c12 x1 k11 c 22 x k 21 2
0 x 2 0 2 2 k1 a 2 k 2 b2 0
方程通过惯性项相互耦合,叫做运动耦合或惯性耦合
选坐标
x3



m a x 3 m k1 k 2 m a J k2 L A

第三章(多自由度系统的振动)

第三章(多自由度系统的振动)

固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
k m
理解固有振型
3k k 0 m 0 0 1 0 k 2k k 2 0 m 0 2 0 0 k 3k 0 0 m 3 0
u(t ) sin(t )
对任意时间都成立
( M ) 0, 2
特征方程 特征值
det( K M ) 0
r (r 1, 2, N )
有非零
r (r 1, 2, N )
特征向量
u(t ) ψa sin(t ) φ sin(t )
结论: 系统存在形如 形式的同步振动。
u(t ) φ sin(t )
多自由度系统的固有振动
2.多自由度系统的固有振动
Mu(t ) Ku(t ) 0
( K 2 M ) sin(t ) 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时

机械动力学第3章两自由度系统

机械动力学第3章两自由度系统

b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x (3.1-1) ) m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式: 写成矩阵形式:
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
(3.1-12) )
讨论( 讨论(3.1-11)的解,假定 )的解,
f (t ) = Be
st
代入( 代入(3.1-11)得 )
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
(3.1-13) )
− −λt
(3.1-11)的通解 )
f (t ) = B1e
(3.1-22) )
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。

第三章-多自由度系统振动6.19

第三章-多自由度系统振动6.19

第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。

单自由度系统受初始扰动后,按系统的固有频率作简谐振动。

多自由度系统有多个固有频率,当系统按某一个固有频率作自由振动时,各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的,这个关系叫振幅比,也叫作主振型或模态。

主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。

多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组,这些方程一般是耦合的。

多自由度振动的求解有两种方法:直接积分法和振型叠加法。

直接积分法可直接根据微分方程求出响应,涉及的概念不多且有应用软件,本章不做介绍。

振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型,在此基础用叠加法求响应,物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。

因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。

3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多,有些相当复杂,但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法,都是动力学基本理论和方法,本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。

[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。

三个质量只作水平方向的运动,并分别受到激振力()t P 1,()t P 2和()t P 3的作用,质量块的质量分别为1m ,2m 和3m ,弹簧刚度分别为1k ,2k 3k 和4k ,阻尼分别为1c ,2c 3c 和4c 。

图3-1 3自由度系统解:分别用三个独立坐标1x ,2x 和3x 描述三个质量块的运动,坐标原点分别取在1m ,2m 和3m 的静平衡位置。

质量块的速度分别为1x,2x 和3x ,加速度分别为1x,2x 和3x 。

每个质量块的受力图如3-2(a 、b 、c )所示,则由受力图根据牛顿第二定律,得系统的运动方程为:图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的,这是因为矩阵中有非零的非对角元素。

第3章分析力学基础-资料

第3章分析力学基础-资料
yAl1sin11
1
l1
1
l1 1
xB l1cos11
yA
yB l1sin11
Q 1W 1 1 F 1yAF 2y 1 BF xB
2
F1
l2
l1 1
B
F
F 1 ( l1 si1n 1 ) F 2 ( l1 si1n 1 ) F (l1 co 1 1 s ) F2 1
×
xi xi (q1, q2,, qN ) yi yi (q1, q2,, qN ) zi zi (q1, q2,, qN )
rixiiyijzik

r ix iiy ijz ik
x i q x 1 i q 1 q x 2 i q 2 q x N i q N k N 1 q x k i q k
N k 1
yi qk
qk
k N 1(i n 1F ix q x k i i n 1F iy q y k i i n 1F iz q zk i)q k 0
z i
N k 1
zi qk
qk
×
W F k N 1 (i n 1F ix q x k i i n 1F iy q y k i i n 1F iz q z k i)q k 0
F
F2
F 1 ( l1si1 n1 ) F 2( l1si1 n1 l2si2 n2)
F (l1co 1 s1 l2co 2 s2 ) 0
×
(F 1l1sin 1F2l1sinF1c l o 1)s1 (F2l2sin 2F2c l o 2s)2 0

第三章多自由度系统的振动

第三章多自由度系统的振动

第三章 多自由度系统的振动§3-1 运动微分方程的建立图3-1所示的具有n 个质体的无重简支梁,它就是一n 个自由度系统。

设系统在质体m 1,m 2,m 3,…,m n 的静力作用下维持平衡状态,若受到某种外来因素F i (t)(i=1,2,3,…n)的干扰,破坏了原来的静力平衡状态,各质体在其静力平衡位置附近振动。

假定这个结构的振动由梁上一系列离散点的位移y 1(t),y 2(t),y 3(t),…,y n (t)所确定,它们以图中所示的方向为正。

这n 个位移即系统的n 个几何坐标。

图3-1 有n 个质体的无重简支梁用刚度法(stiffness method)建立运动方程。

根据达朗贝尔原理,考虑质体所产生的惯性力,就将原来的动力问题在形式上转化为静力问题。

这样,就可对图示系统的每个自由度列出平衡方程,即系统的运动方程。

分别考虑各个质点的位移、速度和加速度引起的约束反力,叠加后的总反力为零,得以下n 个平衡方程:111112112221222212n n n n n n n n m y c c c ym y c c c y m y c c m y⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥++⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎩⎭1112111212222212n n n n nn n n k kk y F k k k y F k k k y F ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭(3-1)式中,m i 为第i 个质体的集中质量;c ij 为j 坐标的单位速度所引起的i 坐标的阻尼力;k ij 为j 坐标的单位位移所引起的i 个坐标的弹性力;y i ,i y和i y 分别为i坐标的位移、速度和加速度。

式(3-1)可简写为MyCy Ky F ++= (3-2)式中,K ,M 和C 分别为系统的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵,它们通称为系统的特性矩阵;y ,y 和y为位移、速度和加速度向量;F 为荷载向量。

机械振动基础 第三章 二自由度系统讲解

机械振动基础  第三章  二自由度系统讲解

的微分方程解
的微分方程解
注:红色路线代表走不通,绿色路线代表可走通
例3.3 如图所示系统。设m1=m2=m。这是个对称系统, 对称点为k1的中点。取向右为x轴的正方向。
m1
0
0 m2
xx12
c1 c2
c2
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
如果刚度矩阵是非对角矩阵,称方程存在弹性耦合
如果k2L2 k1L1=0,则刚度矩阵为对角矩阵,方程已经解耦。 这时系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。
3.取广义坐标为yA,yB

yC yB
yA yA
L1 L
L
L1
L2
yC
yA
L1 yB
yB L
yA
yA
L2 L
yA
yA yB
mij
2ET xix j
,
kij
2U xix j
,
cij
2D xix j
例如:对系统的动能函数ET
1 2 m1
x12
1 2 m2
x22
利用公式mij 2ET 得:m11 2ET =m1
xi x j
x12
m12 2ET =0 x1 x2
m21 2ET =0 x2 x1
m22 2ET =m2 x22
§3.3 不同坐标系下的运动微分方程 例3.2 汽车的二自由度振动模型如图3—3所示。
——汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆,具有 质量m和绕质心的转动惯量Ic。质心位于C点。 ——分别在A点和B点与杆相连的弹性元件k1、k2为汽 车的前、后板簧。
只考虑杆的竖向运动(平动)和绕质心的转动(转动)。 系统的动能和势能为

结构动力学-多自由度系统振动

结构动力学-多自由度系统振动

k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解:①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得:(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为:M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得:M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以,得到质量矩阵为: M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程,关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ,分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼,建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦,刚度耦合方程。
kij 的物理意义:j 坐标发生单位位移,其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义:仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程:
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统,建立振动微分方程。

4.1 多自由度系统的数学描述

4.1 多自由度系统的数学描述

4.1 多自由度系统的数学描述一、用柔度系数法和刚度系数法表示的运动方程下面以图4-1的系统为例说明多自由度系统的柔度系数及柔度矩阵。

柔度矩阵所谓柔度是指单位外“力”所引起的系统的“位移”。

具体地说,系统第个坐标上作用的单位力在第个坐标上所引起的位移就定义为柔度系数r。

如在图4-1系统中,设在质量上沿方向作用一单位力,系统相应于它产生的位移为按柔度系数的定义,就有同理,一个自由度的系统一共有个独立坐标,对应于每个单位力就有个柔度系数;总共有个单位力,故系统总共有个柔度系数(。

它们组成一个柔度矩阵(4-1)假设在系统的各个坐标上分别作用有力,则由叠加原理,系统的各个位移可表示为写成矩阵表式,有(4-2)其中与分别代表位移列阵和力列阵:也就是说,系统的位移列阵就等于系统的柔度矩阵与力列阵的乘积。

方程(4-2)称为位移方程。

应注意,本书中的“力”与“位移”都是指广义的,“力”可以是力,也可以是力偶;而“位移”可以是线位移,也可以是角位移,等等。

下面举例说明怎样求系统的柔度矩阵。

例4-1 设有集中质量与以及长为与的无重刚杆构成的复合摆,如图4-2所示,假定摆在其铅垂稳定平衡位置附近作微振动。

取质量与的水平位置与作为坐标,求系统的柔度矩阵。

解:先仅在上作用一单位水平力。

由静力平衡条件可得:因而有再仅在上作用一单位水平力。

由静力平衡条件有:考虑到可得故系统的柔度矩阵为刚度矩阵所谓刚度是指产生单位“位移”所需的各个外加“力”。

具体地说使系统仅仅在第个坐标上产生单位位移,就需要在各个坐标方向分别加上适当的力,而在第个坐标上所需加的外力,就定义为刚度系数。

一个自由度系统有个独立的坐标,对应着个单位位移,而每个单位位移又对应着个刚度系数;所以系统总共有个刚度系数,它们组成一个刚度矩阵(4-3)例如在图4-1系统中,设有这时,弹簧与没有变形,而弹簧伸长了单位长度,作用于质量上的弹簧力为(向右为正),而作用于质量上的弹簧力为-(向左为负)。

振动力学(两自由度系统和多自由度系统)

振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
68振动理论及应用多自由度系统的振动和单自由度的概念类似可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比的变化曲线幅频响应曲线频率响应曲线共振现象69振动理论及应用多自由度系统的振动例38在两自由度标准mk系统中设mk在第一个质量上作用有干扰力f70振动理论及应用71振动理论及应用多自由度系统的振动39图示系统xsint当为基频的0707倍时车体w72振动理论及应用多自由度系统的振动代入数据求得固有频率为28297机车振动频率为0707070718041276利用前面的方法求得振幅为73振动理论及应用多自由度系统的振动当机器转速在共振区域附近时会引起剧烈的振动由单自由度系统振动理论知道可以通过调整质量或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解
0
0
m2
则方程为
x1 x2
l3 48EI
2 5
5 m1
16
0
0 m2
x1 x2
0 0
15
振动理论及应用
若写为力方程形式
[K]
[R]1
48EI 7l 3
16 5
5
2
则方程为
第3章 多自由度系统的振动
m1
0
0 m2
x1 x2
48EI 7l 3
16 5
5
2
具体求解时,只假设j坐标处的位移为1,其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性(质量)影响系数,其 mij的力学意义是:仅在j坐标处产生单位广义加速度,需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时,只假设j坐标处的加速度为1,其它各坐标的 加速度均为0。
[R]-1{x} {F} [M ]{x} [C]{x}

振动力学—多自由度系统

振动力学—多自由度系统
系统的势能为
k k2 1 2 1 1 1 2 2 T 1 U k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 {x1 , x2 } 2 2 2 2 k2 k2 x1 1 T x Kx k2 k3 x2 2
0 x1 1 T x Mx m2 x2 2
3.1引言
二自由度系统的是最简单的多自由度系统,力 学直观性比较明显,系统的运动微分方程的求解相 对简单。 本节以二自由度系统为例,介绍多自由度系统 求解中遇到的某些问题和解决的思路。 3.1.1 二自由度运动微分方程 3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 3.1.3 解除耦合的方法
3.1引言
系统的能量耗散函数
c c 1 2 1 1 2 1 1 c2 ( x1 x2 ) 2 c3 x2 {x1 , x2 }T 1 2 D c1 x 2 2 2 2 c2 c2 x1 1 T x Cx c2 c3 x2 2
mL2 0
1 mgL kL2 0 2 mL 2 kL2
1 0 2 mgL kL 2 kL
2
3.1引言
3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 以汽车的二自由度振动模型为例,选取不同的广义坐标 建立运动微分方程,观察方程耦合的情况。同时找出不同广 义坐标下运动微分方程之间的关系。
3.1引言
⑶取广义坐标为yA、yB 。yC和可用 yA和yB表示为 L1 ( yB y A ) L2 L1 yC y A y A yB L L L

yB y A 1 1 y A yB L L L

多自由度系统

多自由度系统

03
仿真与实验研究
通过仿真和实验手段,验证了所提出的多自由度系统建模与控制方法的
有效性和可行性,为实际应用提供了有力支持。
未来发展趋势预测
智能化控制
随着人工智能技术的不断发展,未来多自由度系统的控制 将更加智能化,如基于深度学习的控制策略、强化学习算 法等将得到广泛应用。
柔性化与可穿戴化
随着新材料技术和机械设计技术的不断进步,未来多自由 度系统将更加柔性化和可穿戴化,以适应各种复杂环境和 任务需求。
可分为液压驱动、电动驱动和人力驱动等多自由 度系统。
运动学描述
运动学是研究物体运动规律的科 学,包括位置、速度和加速度等
运动参数。
在多自由度系统中,运动学描述 涉及多个坐标和多个运动参数, 需要采用多维向量和矩阵等数学
工具进行描述。
运动学方程是多自由度系统运动 学描述的基础,通过求解运动学 方程可以得到系统各部分的运动
车辆悬挂系统优化
悬挂系统建模
建立车辆悬挂系统的动力学模型,考虑轮胎、悬挂元件等非线性 因素。
控制策略设计
针对车辆悬挂系统的特点,设计主动或被动控制策略,提高车辆 的行驶平顺性和稳定性。
性能评价与优化
通过仿真和实验手段,评价悬挂系统性能,采用优化算法对控制 策略进行优化,提高系统性能。
07
总结与展望
多模态运动规划与控制
针对多自由度系统复杂多变的运动需求,未来研究将更加 注重多模态运动规划与控制方法的研究,如基于优化算法 的运动规划、多模态切换控制等。
多机器人协同控制
针对多个多自由度系统之间的协同控制问题,未来研究将 更加注重多机器人协同控制方法的研究,以实现多个机器 人之间的协同作业和智能交互。
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7.多自由度系统-1

7.多自由度系统-1
第四章
多自由度系统振动
(1)
本节内容
4.1 运动微分方程 4.2 固有频率与振型
4.3 主振型的正交性
4.4无阻尼强迫振动
4.1 运动微分方程
一个n自由度系统的振动规律由n个二阶常微分 方程来确定。运动微分方程的矩阵形式:
x M C x K x F ( t )
1
例4-2:
m1 m 2 m 3 m
, k1 k 2 k 3 k
2
3
m 0 0
0 m 0
0 0 m
x 1 2 k x 2 k x 3 0
k 2k k
0 k k
u1 M u n
T
u1 u 2 M u 2
T
u 2 u n
T

u1 u n M u 2
T
T
M u n M u n
K 1 u
T
u 1 T u 2 K u = T u n
s
式(1)左乘 u ,式(2)左乘 u :
u s K u r r u s M u r
T 2 T
(3 ) (4 )
u r K u s s u r M u s
T 2 T
再将(4)转置,得:
u s
T
K
r
s
T 有: u s M T u s K
u r u r
0 0
r r
s s
振型正交性的证明
K u r r M

学习结构动力学多自由度系统总结

学习结构动力学多自由度系统总结

学习结构动力学多自由度系统总结
多自由度系统是研究物体在动力学状态下位置和速度轨迹问题的重要研究内容。

按照受力方式不同,可以将多自由度系统分为加速度控制和力控制两类。

加速度控制的多自由度系统的特点是可以设计速度律和位置律,对物体的加速度进行控制。

而力控制的多自由度系统可以控制物体受到的力,使物体加速度,位置和速度达到指定估计值。

除了控制方式不同,多自由度系统还有另外一些特点:首先,多自由度系统可
以采用闭环控制,即先对系统的输出进行采样,再将抽样的输出与预定的跟踪值进行比较,从而调整输入;其次,多自由度系统也可以实现双向控制,即向被控对象和来自被控对象的双向信号控制;此外,多自由度系统可以实现混合控制,即通过混合不同的控制策略,进行加速度、力和角速度控制,以完成对多自由度机械系统位置及其状态控制。

此外,学习多自由度系统还要掌握建模方法,包括几何建模和动力模型建模等
两类方法。

几何建模主要包括多体约束模型,常用的约束模型包括Coulomb约束模型、Davenport约束模型和Hooke约束模型等等;动力模型建模包括拉格朗日模型
和Lagrange余量模型等等。

总的来说,学习多自由度系统的结构动力学重点在于掌握其加速度控制、力控
制以及闭环、双向控制和混合控制等控制方法,并能熟练操作几何建模和动力模型建模,进而分析预测多自由度系统的运动轨迹。

多自由度机械系统的运动分析与控制

多自由度机械系统的运动分析与控制

多自由度机械系统的运动分析与控制在现代工程领域中,多自由度机械系统的应用日益广泛,从复杂的工业机器人到精密的航空航天设备,从汽车的悬挂系统到医疗设备的运动机构,都离不开对多自由度机械系统的深入研究。

对这类系统的运动分析与控制是实现其高效、精确和可靠运行的关键。

多自由度机械系统,简单来说,就是由多个能够相对运动的部件组成,每个部件的运动都会相互影响,从而形成一个复杂的整体运动。

要理解和掌握这样的系统,首先需要对其运动学和动力学特性进行分析。

运动学分析主要关注系统中各个部件的位置、速度和加速度之间的关系,而不考虑引起这些运动的力。

在多自由度机械系统中,这往往涉及到复杂的数学模型和计算。

以一个简单的机械臂为例,它可能由多个关节和连杆组成。

要确定机械臂末端执行器在空间中的位置和姿态,就需要通过一系列的坐标变换和矩阵运算来求解。

这不仅需要扎实的数学基础,还需要对机械系统的结构有清晰的认识。

动力学分析则更进一步,它考虑了作用在系统上的力和力矩以及由此产生的运动。

这对于设计控制系统、预测系统的性能以及优化系统的结构都至关重要。

例如,在设计一个用于搬运重物的机械手臂时,必须了解手臂在承受不同重量和运动状态下所受到的各种力和力矩,以确保其结构强度和稳定性,同时也为控制算法的设计提供基础。

在对多自由度机械系统进行运动分析之后,接下来就是控制的问题。

控制的目标是使系统按照预定的轨迹和性能要求运动。

常见的控制方法包括经典控制、现代控制和智能控制等。

经典控制方法,如 PID 控制,以其简单易懂和实用性在工业中得到了广泛的应用。

PID 控制器通过对误差(实际输出与期望输出之间的差异)的比例、积分和微分运算来调整控制输入,从而使系统的输出接近期望的值。

然而,对于多自由度机械系统这样的复杂对象,经典控制方法往往难以达到理想的控制效果,特别是当系统存在非线性、时变和不确定性等因素时。

现代控制理论,如状态空间法和最优控制,为多自由度机械系统的控制提供了更强大的工具。

多自由度系统 最小作用量原理

多自由度系统 最小作用量原理

多自由度系统最小作用量原理多自由度系统是指系统中包含多个可以独立运动的自由度,其中每个自由度可以由一个或多个坐标变量描述。

最小作用量原理是描述这些自由度的运动方程的一种原理,它基于拉格朗日力学和变分原理。

本文将从介绍多自由度系统开始,解释什么是自由度以及如何描述这些自由度的运动方程。

接下来,将详细介绍最小作用量原理的概念,涉及到拉格朗日函数、虚位移以及作用量的定义。

最后,将对最小作用量原理的应用进行讨论,并简要介绍其中的一些应用案例。

一、多自由度系统的介绍多自由度系统是指系统中包含多个可以独立运动的自由度。

自由度是描述物体在空间中能够自由运动的方向或程度的数量。

对于一个质点而言,它只有三个自由度,分别对应三个坐标轴上的位置变量。

而对于包含多个质点或刚体的系统,则存在多个自由度。

多自由度系统的运动可以由多个坐标变量来描述。

这些坐标变量通常被称为广义坐标。

广义坐标是一组与自由度相对应的独立变量,通过它们可以完整地描述系统的状态。

广义坐标的选取可以有多种方式,但一定要能够完整地表示所有的自由度。

多自由度系统的运动可以通过拉格朗日力学来描述。

拉格朗日力学是一种通过最小作用量原理导出系统运动方程的方法。

最小作用量原理指出,在一个系统的运动中,作用量取极小值。

作用量是指在一个过程中,系统在每个瞬时状态下的能量之和。

对于多自由度系统,作用量可以由广义坐标的函数表示。

二、最小作用量原理的概念最小作用量原理是建立在拉格朗日力学和变分原理的基础上的。

拉格朗日函数是描述系统动力学的一个重要概念,它是广义坐标和它们的导数的函数。

拉格朗日函数可以通过系统的动能和势能来构建,通常表示为L(q, q'),其中q表示广义坐标,q'表示广义坐标的导数。

为了导出系统的运动方程,我们需要考虑广义坐标的变化。

变分原理指出,在系统运动过程中,广义坐标可以发生无穷微小的变化,这些变化被称为虚位移。

虚位移可以写作δq。

最小作用量原理的核心思想是,系统的真实运动路径使作用量取极小值。

结构动力学第三章多自由度讲课文档

结构动力学第三章多自由度讲课文档

称除非 M 是对角阵。求出i 后回代方程
(K M i2 )i 0
得到 n 个i特征向量,i
1i ,2i ,...,ni
T
,则
x(i) t i sin it i
称为第 i 阶主振动
x(i) t x1(i) , x2(i) ,..., xn(i) T
第十六页,共56页。
这里的i 称为第 i 阶主振型,也称第 i 阶模态
表示,其余都与其成一定比例。
i 1i
1,
i
2
,
...,
i
n
T
n 个振型向量放在一起构成一个矩阵,称为模态矩
阵。 1,2,...,n
各列向量的元素取值是相对的,可以任意乘或除一
个常数,表示第 i 阶振动时各质点振幅的相对比值。
第十八页,共56页。
3.2.3 各阶主振型之间的关系
1)关于 M , K 是加权正交的
T 12T
M1 M1
1T M2 2T M2
... ...
1T 2T
Mn Mn
nT
nT M1 nT M2 ... nT Mn
M1
diag
M2
I
...
MnΒιβλιοθήκη TKdiagi2第二十三页,共56页。
2)各个主振型之间是线性无关的。 证:若主振型之间线性相关,必能找出一组不同时
为零的常数 ai 使得
T M diagMi M p
左乘
M
1 p
M
1 T
p
M
右乘 1
M
1 T
p
M
1
第三十页,共56页。
模态正交性的物理解释
T
1 2
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0, u2 1
u1 0
u2 1
k12
m1
k2
k2
k22
m2
k3
k12 k2
k22 k2 k3 k1 k2 k2 刚度矩阵: K k 2 k2 k3
k11 K k21
k12 k22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
3.柔度影响系数
柔度矩阵
0
u K 1 f D f
Ku f
0 第j行 d1 j 0 d 2j 1 0 d Nj 0
Mu Cu Ku f
d11 d 21 d N1
对A取矩
m1 g
l2
d 22
x1 x2
m2 g l3
1 1 (l1 l2 ) (m2 m3 ) g ( x1 x2 ) m1gx1
d32
l1 l2 d22 d32 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32 d13 d 23 d33
x2 L1 sin 1 L2 sin 2
① 判断系统的自由度数目,选定系统的广义坐标;
② 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数;
③ 对于非保守主动力,将其虚功写成如下形式
W Qi qi
从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力; ⑤ 将以上各量代入Lagrange方程,即得到系统的运动方程.
i 1
n
4. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点
n
Lagrange方程的产生背景
隔离体的受力分析
将未知约束力引入到动力学方程中 导致动力学方程中未知变量急剧增加
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
完整约束 (《理论力学》 范钦珊 主编)
约束方程不包含质点的速度,或者包含质点的速度,但约 束方程是可以积分的约束称为完整约束。
约束方程包含质点的速度且不可积分的约束称为非完整约束。
2.系统运动微分方程的建立方法
牛顿第二定律: 适用于自由度不多的离散系统或简单的 连续系统
动量矩定理:
影响系数法: 建立方法
主要适用于自由度不多的离散系统
主要适用于自由度不多的离散系统
Lagrange方程法:主要适用于离散系统
Hamilton原理:
有限单元法:
主要适用于连续系统
离散系统,连续系统都适用,是一种最
x 或 y 或 z 表示就可以了。
(二)用影响系数法建立系统的运动微分方程
1.总体思路
刚度影响系数 柔度影响系数 影响系数法 阻尼影响系数
K
DCM来自质量影响系数(二)用影响系数法建立系统的运动微分方程
2.刚度影响系数
0
Ku f
Mu Cu Ku f
0 第j行 k1 j 0 k 2j 1 0 k Nj 0
1 (l3 l2 l1 ) m3 g ( x1 x2 x3 ) m2 g ( x1 x2 ) m1 gx1
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32 d13 d 23 d33
STOP
x1
l1 (m1 m2 m3 ) g
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij :第 j 个自由度产生单位位移,其他自由度位移为零时, 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
(二)用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1
k1
m1
d12 k1d12
F1 0 m1
u2
k2 m2
k3
k2 (d22 d12 )
k2 (d22 d12 ) k1d12 0
d 22
k2 (d22 d12 )
F2 1
k3d 22
k1 k2 d12 d21 , d22 k1k2 k1k3 k2 k3
奇异(秩亏损)
用影响系数法建立系统的运动微分方程
7.小结
① 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移,人为地增加了系统约 束的数目,求解比较繁。 ② 柔度法维持原系统的约束,实施比较方便。特别是用实验来确定系统 的弹性性质时均采用柔度法,刚度法几乎不能实现。 ③ 如果系统具有刚体运动自由度,则柔度法失效,但刚度法却可奏效。所 以刚度法的应用范围比柔度法要大。
m3 g
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
l1
m1g
对C取矩
B
l2 m2 g
1 l3 m3 gx3
C
l3 x3
对B取矩 对A取矩
l3 x3 m3 g
l2 x2 (m2 m3 ) g
1 (l3 l2 ) m3 g ( x2 x3 ) m2 gx2
1
x1
x2 d33
m3 g
d11 d21 d31
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32
cos 1 1
m2 g m3 g
l1 (m1 m2 m3 ) g
d13 d 23 d33
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
对B取矩
l1
B
1 l2 (m2 m3 ) gx2
l3 l1 l2 d33 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g m3 g
(三)Lagrange方程的产生背景
1.牛顿力学方程的缺陷
I
R1 k1
R2

m1
r
m2
k2
I
隔离体1的受力分析
k1 R1
R1
R2
T1
I T1 R2 k1 R1 R1
隔离体2的受力分析
通用的建模方法
返回
(一)用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
直角坐标形式的牛顿第二定律
d 2x m dt 2 Fx d2y m 2 Fy dt d 2z m 2 Fz dt
列写运动方程时要选定一个正方向,计算各力在正方向的投影。 加速度的正负号是由合外力的正负决定的,因此在列写方程时只要 用
qi
Qi
广义坐标
T
动能
V
势能
广义坐标 qi 对应的非保守主动力
系统存在粘性阻尼时
d T T D V ( ) Qi , i 1, , n dt qi qi qi qi
D
耗散函数
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
3.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤
广义坐标
(《理论力学》 范钦珊 主编)
唯一地确定质点系在空间的构型的独立坐标称为广义坐标。
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
2.完整约束系统的Lagrange方程的具体形式
系统不存在粘性阻尼时
d T T V ( ) Qi , i 1, , n dt qi qi qi
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【课堂练习】求图示摆的柔度矩阵
A
1
d11
l1
1
对A取矩:
l1 cos1 (m1 m2 m3 ) gl1 sin 1
d 21 d31
m1 g
l1 cos1 (m1 m2 m3 ) gd11 l1 (m1 m2 m3 ) gd11
5.质量影响系数
0
Mu f
Mu Cu Ku f
质量影响系数 mij :第 j 个自由度产生单位加速度,其他自由度处的加速度
为零时,需要在第 i 自由度处施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
6.思考
此系统用刚度法方便还是柔度法方便?
m1
m2
m3
能否对此系统实施柔度法?
k k m1 0 u1 (t ) k k u1 (t ) 0 m u (t ) k k u (t ) 0 K k k 2 2 2
隔离体3的受力分析
T2
f
r
m2
R2
k2 R2
m2 R2 T2 k2 R2 f
R2 1 2 m2 r f r 2 r
3 m2 R2 k2 R2 T2 2
Lagrange方程的产生背景
3 m2 R2 k2 R2 T2 2
R k1 1 k2 keq R2 n 3 I meq m1 m2 2 2 R2
2
m1 R2 T2 T1
I T1 R2 k1 R1 R1
3 2 2 2 m m R I ( k R k R 1 2 2 2 1 1 ) 0 2 2
2 (k2 R2 k1 R12 ) 3 2 m m 2 1 R2 I 2
mu(t ) cu(t ) ku(t ) f (t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
u(t )
u(t )
位移向量
m
阻尼矩阵
M
质量矩阵
c
f (t )
C
k
K
刚度矩阵
f (t )
激振力向量
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )
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