力对点的矩和平面力偶系

第三章 力对点的矩和平面力偶系

一、内容提要

本章研究了力矩和力偶。

1．力矩及计算

（1）力矩 力矩表示力使物体绕矩心的转动效应。力矩等于力的大小与力臂的乘积。在平面问题中它是一个代数量。一般规定：力使物体绕矩心产生逆时针方向转动为正，反之为负。用公式表达为

()Fd F M O ±=

（2）合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各力对同一点的力矩的代数和。用公式表达为

()()F M F M O O ∑=R

2．力偶的基本理论

（1）力偶 由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系，称为力偶。力偶与力是组成力系的两个基本元素。

（2）力偶矩 力与力偶臂的乘积称为力偶矩。为代数量，规定：逆时针方向转动为正，反之为负。用公式表达为：

Fd M ±=

（3）力偶的性质

力偶不能合成为一个合力，不能用一个力代替，力偶只能与力偶平衡。

力偶在任一轴上的投影恒为零。

力偶对其平面内任一点矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。

在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。 力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶所在的作用面。

（4）平面力偶系的合成与平衡

平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。用公式表达为：

M R =ΣM

平面力偶系的平衡条件是合力偶矩等于零。用公式表达为：

ΣM = 0

二、思考题提示或解答

3-1 试比较力矩与力偶矩的异同点。

答：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。这就是平面力系的合力矩定理。

应用合力矩定理在于简化力矩的计算。当力臂不易确定时，可将力分解为易找到力臂的两个互相垂直的分力，在求出两分力的力矩后，再代数相加即可。

3-3 二力平衡中的两个力，作用与反作用公理中的两个力，构成力偶的两个力各有什么不同?

答：二力平衡中的两个力等值、反向、共线，共同作用在一个物体上；

作用与反作用公理中的两个力等值、反向、共线，分别作用在两个物体上； 构成力偶的两个力等值、反向、互相平行，也作用在一个物体上。

3-4 力偶不能用一个力来平衡。如图所示的结构为何能平衡?

答；由于力偶不能简化为一个力，所以力偶不能与一个力平衡。图中的转轮除受到F 和M 作用外，固定铰支座O 处的反力F R 与F 必组成另一与M 反向的力偶，从而平衡。究其本质，仍是力偶与力偶的平衡。

（空10行） （空10行）

思3-4图 思3-5图

3-5 在物体A 、B 、C 、D 四点作用两个平面力偶，其力多边形封闭，如图所示。试问物体是否平衡。

答：物体不平衡。力多边形自行封闭是平面汇交力系的平衡条件，这四个力构成的是平面力偶系。

三、习题解答

3-1 计算下列各图中力F 对点O 的矩。

（空14行）

题3-1图

解

a) M O (F ) = 0

b) M O (F ) = Fl

c) M O (F ) = F · 30sin ·l =2

1F l d) M O (F ) = -Fa

e) M O (F ) = F (l +r )

f) M O (F ) = -F ·2

2l a +·βsin

3-2 如图所示，每米长挡土墙所受F =120kN 的土压力。求土压力F 对挡土墙的倾覆力矩。

(空10行)

题3-2图

解 可利用合力矩定理。倾覆力矩

M O (F ) = M O (F x )+ M O (F y )

= (120×cos30°×1.5-120×sin30°×1.5)kN ·m

= 65.9 kN ·m

3-3 求图示力偶的合力偶矩。已知F 1 =F 1' =100N ，F 2 = F 2' =150N ，F 3 = F 3'=100N ，d 1 = 0.8m ，d 2 = 0.7m ，d 3 = 0.5m 。

(空6行)

题3-3图

解 M R =ΣM

= F 1·d 1- F 2·d 2+ F 3·d 3

=(100×0.8-150×0.7+100×0.5) N ·m

= 25N ·m ( )

3-4 求下列图中各梁的支座反力。

（空13行）

题3-4图

解 取各梁为研究对象，分别画出它们的受力图。根据“力偶只能和力偶平衡”的性质，固定铰A 的反力F A 必与可动铰B 的反力F B 组成力偶。因此，F A 的方位必定与F B 一致，而两个力的指向假设成相反即可。

a) ΣM = 0 F A ×3 a - F a = 0 (空5行、14字宽度) F A = F B =3

F b) ΣM = 0 -F A ×4 a + F ×2 a = 0 (空5行、14字宽度) F A = F B =

2F c) ΣM = 0 F A ×2a - F a = 0 (空7行、14字宽度) F A = F B = 2F

= 0.707 F

d) ΣM = 0 -F A ×2 a + F a + F a = 0 (空5行、14字宽度) F A = F B = F

e) ΣM = 0 M A + F a -F ×2 a = 0 (空5行、14字宽度) M A = F a

f) ΣM = 0 F A ×2 a - F ×a = 0 (空7行、14字宽度) F A = F B =

2F