苏北四市(徐淮连宿)2019一模数学试卷及答案
高三数学基础题复习检测6
专题六 不等式一．考场传真1. 【南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学】已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 . 【答案】3- 【解析】试题分析：可行域为一个三角形及其内部，其三个顶点坐标分别为(1,0),(5,0),(1,4)A B C -,当目标函数过点(1,4)C 时z 取最小值3-2. 【苏州市2019届高三年级第一次模拟考试】已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．【答案】43+ 【解析】3. 【扬州市2018—2018学年度第一学期期末检测试题】.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 . 【答案】3 【解析】试题分析：令log a b t =，又1＞＞b a 得01t <<，32log 3log 27a b b a t t +=+=解得12t =即21log ,2a b a b ==，21111311a ab a +=-++≥--，当且仅当2a =时取“=” 4. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2019届高三第二次调研】已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0)(0cos 2)(x x a x x x x x f ，若关于x 的不等式π<)(x f 的解集为)2,(π-∞，则实数a 的取值范围是 ．【答案】()-∞+ 【解析】试题分析：由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立，即a x xπ>+对任意0x <总成立，而x xπ+≤-x ==”，则实数a的取值范围是()-∞+ 5. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2019届高三第二次调研】已知)1,0(A ，)0,1(B ，)0,(t C ，点D 是直线AC 上的动点，若BD AD 2≤恒成立，则最小正整数t 的值为 ． 【答案】4 【解析】6. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2019届高三第二次调研】设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为 ．12【解析】试题分析：11,2,,22c cb c a b c a b a b b c a b b c+≥+≥+≥≥++++，2b c b c c a b c b c+≥+++，令11,221b bt t c c b c t t +=+=+=+-≥=+++当且仅当12t =时取“=”， 则b a c c b ++的最小值为12 7.【泰州市2019届高三第一次模拟考试】若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 ．【答案】12- 【解析】二．高考研究1.考纲要求《考试说明》中规定，不等式这一章包括五个知识点，三条考试要求，概括起来有四个方面:不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法以及不等式的应用.以不等式解答各类数学问题是高考考查重点之一.不等式选讲部分：只对“绝对值的三角不等式”和“含绝对值不等式的解法”做了要求，其余内容均不做要求.对于“不等式证明的基本方法”，只要求了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法，其余内容均不做要求.（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. （2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）基本不等式：2a b+≥,0a b ≥掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. （5）不等式选讲①理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ∣a ＋b ∣≤∣a ∣＋∣b ∣； ∣a －b ∣≤∣a －c ∣＋∣c －b ∣； ②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax ＋b ∣≤c ； ∣ax ＋b ∣≥c ； ∣x －c ∣＋∣x －b ∣≥a③通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.命题规律不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对简单线性规划的应用的考查，不但具有连续性，而且其题型规律易于把握；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.通过第二轮的专题复习，应注意在巩固基础知识、基本方法的基础上，强化记忆，熟化常见题型的解法，提升综合应用不等式解题的能力.一．基础知识整合1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.2.对于公式22a b a b ab +⎛⎫≥≤ ⎪⎝⎭＋要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系.3.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.4.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.转化的方法是: 超越式、分式、整式（高次）、整式（低次）、一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，这体现了转化与化归的数学思想. 5.平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形通过 计算解决．6.线性目标函数z ax by ＝＋中的z 不是直线ax by z ＋＝在y 轴上的截距，把目标函数化为a zy x b b=+可知z b是直线ax by z ＋＝在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况 下取得最小值．7.含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方；（4）利用绝对值的几何意义.二．高频考点突破考点1 简单线性规划的应用【例1】【江苏省扬州中学2019届高三4月双周测】若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a ba b ++的最大值为_________. 【答案】75【解析】【规律方法】这是简单线性规划的应用的基本题型.基本思路是：画、移、解、代.技巧是：往往在“角点”处取得最值，直接代入点的坐标即可，关键点是理解目标函数的几何意义. 【举一反三】【泰州市2019届高三第三次调研测试】已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y的最小值是 ． 【答案】3- 【解析】试题分析：如下图所示，当直线2y x z =-+经过或行域||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,的边界点(1,1)A --时，目标函数的最小值3-.考点2 简单线性规划”逆向”问题，确定参数的取值（范围）【例3】【2018年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3， 则实数b 的值为 ． 【答案】94【解析】【规律方法】尝试画出“可行域”，通过平移直线确认“最优解”，建立参数的方程.【举一反三】【2018年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y 的最小值为-2，则实数m 的值为______. 【答案】8 【解析】试题分析：如图，约束条件表示的可行域应该是ABC ∆内部（含边界）（否则可行域不存在），作直线:0l x y -=，当把直线l 向上平移时，z 减小，因此其最小值点是直线21y x =-与直线x y m +=的交点，由212y x x y =-⎧⎨-=-⎩得(3,5)B ，代入x y m +=得8m =.考点3 基本不等式的应用【例4】【南京市2019届高三年级第三次模拟考试】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ． 【答案】43【规律方法】应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一.【举一反三】【江苏省扬州中学2019届高三第四次模拟考试（5月）】已知x ＞0，y ＞0，x＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 【答案】4 【解析】试题分析：2228(2)8()2x y x y x y ++=-∙≥-，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥， 即(24)(28)0x y x y +-++≥．又20x y +>，∴24x y +≥．考点4 不等式的综合应用【例5】【淮安市2018-2019学年度第二学期高二调查测试】已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，若关于x 的不等式()()2f x a f a x +-≥在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的最大值是 ． 【答案】2-【规律方法】应用导数研究函数的单调性、极值（最值）、证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法.【举一反三】【2018年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】(本小题满分16分) 已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数．（1）若[2,1]x ∈--，不等式()()f x f x '≤恒成立，求a 的取值范围； （2）解关于x 的方程()|()|f x f x '=；（3）设函数(),()()()(),()()f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥，求()[2,4]g x x ∈在时的最小值．【答案】（1）32a ≥；（2）①当1a <-时，1x =-或x =12a -；②当11a -≤≤时，1x =±或x =12a -或(12)x a =-+；③当1a >时，1x =或(12)x a =-+；（3）()2min817, 4,1, 42145, 22124, 2a a a a g x a a a a +-⎧⎪--<<-⎪⎪⎡⎤=⎨+-<-⎣⎦⎪⎪+-⎪⎩≤≤≥.【解析】试题分析：（1）不等式()'()f x f x ≤为22122x ax x a ++≤+，即2(1)2(1)x a x -≤-，由于[2,1]x ∈--，我们可以采用分离参数法求a 的范围，即2(1)12(1)2x xa x --≥=-恒成立，下面只要求出12x-在[2,1]x ∈--时的最大值即可；（2）方程()()f x f x '=为2212x ax x a ++=+，转化为22()210x a x a a +-++-=，解得1x a a +=+或1x a a +=-，下面利用绝对值的定义解这两个方程；（3）本题实质是考查分类讨论的国数学思想，关键是把()g x 具体化，因此首先要比较()f x '()f x 的大小，由于()'()(1)((12))f x f x x x a -=---，因此当12a ≥-时，122a -≤，因此当[2,4]x ∈时()'()f x f x ≥，这样()'()22g x f x x a ==+，当32a <-时，124a ->，当[2,4]x ∈时()'()f x f x <，因此2()()21g x f x x ax ==++，这样问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，分类的标准是对称轴与给定区间的关系，当3122a -<-≤，则[]2,4x ∈时，221,[2,12)()22,[12,4]x ax x a g x x a x a ⎧++∈-=⎨+∈-⎩，这是一个分段函数，要求它的最小值，必须在两段上分别求出，然后比较两个最小值的大小.最终把上面的讨论综合起来可得结论.⑶ 因为()()(1)[(12)]f x f x x x a '-=---，(),()(),()(),()(),f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥三．错混辨析1.简单线性规划问题，扩大（缩小）可行域的范围.【例1】已知12x y ≤≤－且24x y ≤+≤求42x y －的范围. 【错原】：由于12x y ≤≤－①,24x y ≤+≤②, ①+② 得326x ≤≤ ③ ①×(－1)+② 得：023?y ≤≤ ④. ③×2+④×(－1)得. 34212x y ≤≤－. 错因：可行域范围扩大了.2.简单线性规划问题，理解题意错误.【例2】已知,求22x y +的最值.【错原】：不等式组表示的平面区域如图所示ABC 的内部（包括边界），错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.【正解】：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），令22z=+,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.x y由得A点坐标（4，1），此时22z=+＝42+12＝17，x y由得B点坐标（－1，－6），此时22 x yz =+＝（－1）2+(－6)2＝37，由得C 点坐标（－3，2），此时22 x yz =+＝（－3）2+22＝13，而在原点处，，此时22 x yz =+＝02+02＝0，当时，22x y +取得最大值37，当时，22x y +取得最小值0.3.应用基本不等式，忽视等号成立的条件【例3】 已知：a 0 , b 0 , a b 1,>>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值.【错原】：【正解】：2222222211111114[()2][()]4a b a b a b ab a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+++=++++=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221(12)(1)4ab a b =-++， 由21()24a b ab +≤=， 得1112122ab -≥-=, 且22116a b ≥， 221117a b+≥， ∴原式12517424≥⨯+= (当且仅当1a b 2==时，等号成立)，所以，2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是254.1. 【泰州市2019届高三第三次调研测试】已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ． 【答案】8[1,]3【解析】2.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2019届高三10月四校联考】已知函数的定义域是[2,)-+∞且f (4)=f (-2)=1, ()f x '为f (x )的导函数，且()f x '的图像如下图所示，则不等式组00(2)1x y f x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所围成的平面区域的面积是________.【答案】4【解析】 由导函数的图象得到f （x ）在[-2，0]递减；在[0，+∞）递增∵f （4）=f （-2）=1∴f （2x +y ）≤1⇔-2≤2x +y ≤4∴00(2)1x y f x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩⇔00224x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤+≤⎩表示的平面区域如下：所以平面区域的面积为12×2×4=4. 3.【2019届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试】已知函数)(x f 的定义域[3,)-+∞且(6)2f =，'()f x 为()f x 的导函数，)(x f '的图象如图所示,若正数,a b 满足(2)2f a b +<，则23-+a b 的取值范围________.【答案】)3()23,(∞+--∞，【解析】如图所示：f′（x ）≥0在[-3，+∞）上恒成立 ∴函数f （x ）在[-3，0）是减函数，（0，+∞）上是增函数， 又∵f（2a+b ）＜2=f （6） ∴2026a b a b +>⎧⎨+<⎩画出平面区域令32b t a +=-表示过定点（2，-3）的直线的斜率 如图所示：()3,3,2t ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故选A. 4.【2019届湖南省长郡中学2019届高三月考试卷（三）】已知x ，y 满足约束条件010x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则x 2+4y 2的最小值是_________. 【答案】455.【2019届湖南省长郡中学2019届高三月考试卷（三）】设函数()1x f x e -=-，函数()1xg x ax =+(其中a ∈R ，e 是自然对数的底数）． (1)当a =0时，求函数()()()h x f x g x '=⋅的极值；(2)若()()f x g x ≤在[0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）函数()h x 在1x =处取得极大值1(1)h e =，无极小值；（2）1[0,]2. 【解析】（1）()(),xxf x e x e --''=--=函数()()(),()(1),xxh x f x g x xe h x x e --''===-当x <1时，()0h x '>；当x >1时，()0h x '<,故函数在(,1)-∞上单调递增，在(1)+∞，上单调递减.∴函数()h x 在1x =处取得极大值1(1)h e=.函数()h x 无极小值.。
江苏省宿迁市2019届高三第一次模拟数学试题及答案
（第4题）效学【试卷第1页（共4页〉1. 已知复数牛吉」（i 为虚数单位〉，则复数Z 的模为亠3.某中学组织学生參加社会实践活动，高二（1）班50名学生參加活动的次数统计如下:次数2 3 4 5 人数2015105则平均每人参加活动的次数为_A_・4. 如图是一个算法流程图，贝！）输出的b 的值为5.有数学.物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参 加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的槪率为—▲・6.已知正四棱柱的底面边长是3 cm,侧面的对角线长是疝cm, 则这个正四棱柱的体积为 ▲ 曲・ 宿迁市2019届高三第一次调研测试数学I注憲事项考生住答题前请认真阅读本过意事项及各JS 答題要求1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间 为120分钟・考试结束后，请縞答題卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填•写 在答题卡上。
3・作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.参考公式:柱体的体积公式，其中S 为柱体的底面积，h 为毎一、填空题：本大題共14小題.每小题5分，共计70分.请把答案填写在答題卡相应位置上.已知集合J = {1,3}, 5 = {0,1},则集合dU H ▲ •1. 开始］a 0> b<1N7. 若实数场y满足xWyW2x+3・贝!lx+”的最小值为▲•8. 在平面直角坐标系幼中，已知抛物线y2=2px(p>G)的准线为/，直线/与双曲线^--/=1 的两条渐近线分別交于4月两点，AB = R,则D的值为▲.9. 在平面直角坐标系xCjy中，己知直线y=3x+t与曲线y = asinx+dcosx(a,te R)相切于点(0,1),则的值为▲.10. 己知数列｛兔｝是等比数列，有下列四个命题：①数列｛|兔|｝是等比数列；②数列｛%%.]｝是等比数列；③《列｛右｝是等比数列；©ft列｛lga：｝是等比数列.其中正确的命题有▲个・11. 已知函数定义在R上的奇函数，且/(x+2) =/(x).当OvxWl时，f(x)=^-ax^f 则实数a的值为▲・12・在平面四边形肋CD中，AB=1, DA = DB. AB AC=3f AC AD = 2,则|^C+2JD|的垠小值为▲・13.在平面直角坐标系xQp中，RO：x2+/=b f(C：(x-4)2+/=4.若存在过点P(m.O)的直线人立线/被两圆截得的弦长相等，则实数勿的取值范围是▲・14.已知函数/(x) = (2x+a)(|x-a|+|x4-2a|)(a<0)・若/*(l)+/(2)+/(3) + ・・・+/*(672) = 0,则满足/(x) = 2019的x的值为▲・（第17題）->解答品 本大题共6小题，共计90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤•15. （本小题满分14分）如图，在四棱锥戶-加8中，M, N 分别为棱刊，PD 的中点.已知侧面B4Z ）丄底面肋CD,（2）若a = 76,求△仙C 的面积•17. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系◎中，椭圆羊■+缶1@">0）的左焦点为F,右顶点为 上顶点为B-（1） 已知椭圆的离心率为专，线段亦中点的横坐标为#,求椭圆的标准方程； （2） Llfel A ABF 外接圆的圆心在直线y = -x±.9求椭圆的离心率£的值.底面45CD 是矩形，DA=DP. 求证：（1）呦〃平面円C ；（2） MD 丄平面如.16. （本小题满分14分）在AABC 中，a, b, c 分别为角4 B,（1）求角D 的值；C 所对边的长，acosB = 4^bcosA ，co8/ =卑.（第15题）18・(本小題满分16分)如图1, 一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形的CD, AB,AD的长分别为2j3m和4m,上部是圆心为0的劣弧CD, ZCOD二普.(1)求图1中拱门最高点到地面的距离；(2)现欲以〃点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形4BCD所在的平面始终与地面垂直,如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线/所成的角为0.记拱门上的点到地面19. (本小題満分16分)已知函数/(x) = - + lnx(firGR)・(1)讨论/co的单调性；⑵ 设/⑴的导函数为f(x),若/(X)有两个不相同的零点坷，七・①求实数“的取值范围；②证明：^/#(x1) + x2/,(x l) >21na4-2 ・I). b.20・(本小题満分16分)已知等差数列｛%｝滿足兔=4,前8项和爲=36・(1)求数列｛%｝的通项公式；⑵若数列仏｝满足£色％-｝ +纽=3(2・-1),仏2)・ *-1①证明：｛»｝为等比数列；②求集合0 (m9 p)告=.I). b.宿迁市2019届高三第一次调研测试数学II （附加题）21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题.请卡申座曲等題冬堺内作事若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ・［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分1U 分）B ■［选修44：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面宜角坐标系X0中，曲线C 的参数方程是（1为参数）.以原点O 为极点, ［y =tx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，逋线I 的极坐标方程是psin （^-f ） = >/2.4求：（1）宜线Z 的宜角坐标方程；<2）直线/被曲线C 截得的线段长・■a b,N=■» ■1 01c d0寺 ■ ■L 21O 2 1-4 0 ■|求矩阵M.已知矩阵,且（ACV ）"1=C.帥r祎式严10736,每天都有更新，无限下载数学教学资料己知实数a,b,c满足+ 求证「【必做題】第22、23题.毎小题10分，共计初分.请在等単卡昂毎寧壤内作答”解客时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 体小题满分10分）“回文数"是指从左封右与从右到左渎都一样的正整数，如22, 12L廿勢等.显然2也“回文数材共9伞：11. 22,前，"99-现从9个不同2位”回文数”中任取1个乘以4, 其结果记为缶从9个不同戈位杯回文数那中枉取2个相加，其给果记为F・C1）求龙为“回文数"的概率j〔2）设随机变毘？表示尤F两数中杯回文数”的个数.求£的概率分布和数学期聲恵（幻・23. （本小题満分10分）设集合艮是集合4 ■■十3ff-2fr3M-L3H}F McN*的了集*记月中所有元素的和为S （规定’ E为空集时，若总为3的整数倍’则称H为兔的杯和谐子集呎求「（1）集合£的“和谐子集”的个数字（2）集合扎的“和谐子集"的个数.ft^n （W加锤〉试卷第2页（其2页）数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分. 1 .已知集合 A={1 ,3}, B={0,l}，则集合 AUB= ▲ •【答案】{0,1,3}2 -已知复数Z = ^-3i （i 为虚数单位），则复数z 的模为亠【答案】..5【答案】3 4.如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为 ▲.【答案】7 5.有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参 加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲【答案】236.已知正四棱柱的底面边长是 3 cm ，侧面的对角线长是 3. 5 cm ,则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3.（第4题）【答案】54 7.若实数x , y 满足x < y < 2x+ 3，则x y 的最小值为▲.【答案】-68. 在平面直角坐标系 xOy 中，2已知抛物线y 2 =2px （p 0）的准线为I ，直线I 与双曲线 乡-y 2 =1的两条渐近线分别交于 A , B 两点，AB =：』6，则p 的值为 ▲ 【答案】2 6 9.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y=3x ，t 与曲线y =asinx • bcosx a , b , t R 相切于 点（0,1 ），则（a +b ]t 的值为 ▲ .【答案】410 .已知数列[是等比数列，有下列四个命题：次数2 3 4 5 人数20151053.某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下: 则平均每人参加活动的次数为 ▲开始a —0,b — 1b —b + 2③数列 丄 是等比数列； ④数列］|ga2；是等比数列.其中正确的命题有 ▲个.【答案】311. 已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数，且f (x • 2) = f (x).当0 ：：： x < 1时，f (x) = x 3 - ax 1 , 则实数a 的值为 ▲. 【答案】212. 在平面四边形 ABCD 中，AB =1,DA =DB , 忑 £ =3, AC A^^2，贝U AC 2AD 的最小 值为 ▲.【答案】2. 5_ _ 2 2 _ 2 213. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆O ：x y =1，圆C : x -4 亠y =4 .若存在过点Pm ,0的 直线l , l 被两圆截得的弦长相等，则实数 m 的取值范围是 ▲. 【答案】-4,|14. ...................................................................................................................................... 已知函数 f (x) = 2x a |x - a | | x 2a | (a ：： 0).若 f (1) f(2) f(3) .................................................................. f (672) = 0 ,贝U满足f (x) =2019的x 的值为 ▲ .【答案】337二、解答题：本大题共 6小题，共计90分. 15. (本小题满分14 分)如图，在四棱锥 P -ABCD 中，M , N 分别为棱PA , PD 的中点.已知侧面 PAD 丄底面 ABCD ,底面ABCD 是矩形，DA=DP . 求证：(1) MN //平面PBC ;(2) MD 丄平面PAB .【证明】(1)在四棱锥P-ABCD 中，M , N 分别为 棱FA ,PD 的中点，所以MN // AD . ............................ 2分 又底面ABCD 是矩形， 所以 BC // AD . 所以 MN // BC .又BC 平面PBC , MN 二平面PBC ,所以MN //平面PBC . (2)因为底面ABCD 是矩形，所以AB 丄AD .又侧面 PAD 丄底面 ABCD ，侧面 PAD 门底面 ABCD=AD , AB 底面 ABCD , 所以AB 丄侧面PAD . ....................................................................................... 8分P（第 15题）又MD 侧面PAD, 所以AB丄MD .10分因为DA=DP，又M为AP的中点，从而MD丄PA . ............................................ 12分又PA, AB 在平面PAB 内，PAf^AB 二 A ,所以MD丄平面PAB. ............................................................................. 14分16. (本小题满分14分)在厶ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB =£'2bcosA，cos A 3.3(1)求角B的值；(2)若a ，求△ ABC的面积.【解】(1)在厶ABC中，因为cosA=-^，0：：：A：；n，3所以sin A = Qcos2A =—6 . ....................................................................................... 2 分3因为acosB = . 2b cos A，由正弦定理——，得sinAcosB = 2sin Bcos A .sin A sin B所以cosB =sin B . ............................................................................................... 4 分若cosB=0，则sinB=0，与sin2 B cos2 B =1 矛盾，故cosB 严0 .于是tan B 二=1 .cosB又因为0 ：：:B ::: n，所以B = n. .................................................................................................. 7分4(2)因为a 二6，sin A =申，3由(1)及正弦定理」b，得= b，sin A sin B JgT "2"所以b二律.... ................................................... 9分2又sin C 二sin n-A「B 二sin A B=sin AcosB cosAs inB6 .2.3 2 2、3 、6 .................... ■ ............................................................ T■ -- ----- ------3 2 3 2 6 '所以△ ABC的面积为S=£absinC =三•石彩6=6 3门.2 2 2 6 417. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆卑•占=1 (a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，a b上顶点为B .(1)已知椭圆的离心率为2，线段AF中点的横坐标为-2，求椭圆的标准方程；12分14分18. (本小题满分16分)如图1, 一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB , AD的长分别为2 3 m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，- COD =拧：.(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离；(2) 现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直, 如图2、图3、的最大距离为图4所示.设BC与地面水平线I所成的角为二.记拱门上的点到地面试用二的函数表示h，并求出h的最大值.(2)已知△ ABF外接圆的圆心在直线y=_x上，求椭圆的离心率e的值.X2 y2 1【解】(1 )因为椭圆"•厶=1 (a>b>0)的离心率为，a b 2所以E =1，则a=2c . a2因为线段AF中点的横坐标为所以匸£ = _22 2所以c= 2，则a2 =8，b2=a2 - c2 = 6 .2所以椭圆的标准方程为x•I=1.8 6(2)因为A(a,0) ,F(-c,0),所以线段AF的中垂线方程为:2又因为△ ABF外接圆的圆心C在直线y= -x上,所以C(于，一于).因为A(a ,0)，B(0 ,b)，所以线段AB的中垂线方程为: 由C在线段AB的中垂线上，得b a, a、y = (x ).2 b 2a—c b a’a—c a、=_( ), 2 2 b 2 2整理得，b(a-c) • b2二ac，10分即(b -c)(a b) =0 . 因为a b0，所以b =c .12分所以椭圆的离心率唁=.b亠畤14分【解】（1）如图，过o作与地面垂直的直线交AB ,CD于点0仆O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离.在Rt△ O2OC 中，.O2OC 二匸，CO?二3，3所以OO2 =1，圆的半径R=OC=2 .所以O1P=R OO1 =R O1O2 -OO2 =5 . 答：拱门最高点到地面的距离为5m . ............................. 4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P . D/X°P\CO'A O1B当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离离. h等于圆O的半径长与圆h等于点D到地面的距由（1）知，在Rt△ OO1B 中，OB = . OQ2OB2= 2 3 .以B为坐标原点，直线I为x轴，建立如图所示的坐标系.（2.1）当点P在劣弧CD上时，上.6 2由.OBx r n，OB = 2 3，6由三角函数定义，得O（273cos（日+与,2V3sin（日+n）），6 6则h =2 2 3sin（丁 ' -） . ............................ 8 分6所以当二•上=上即v - n时，6 2 3h取得最大值2 2.3 .（2.2）当点P在线段AD上时,设/CBD =「，在Rt△ BCD 中,DB 二BC2 CD2 =2 .7，sin ,2“3丿,cos，42^7 7 2丁72.7 7由.DBx - v •，得10分D（2 7cos（r ），2 .7sin（二））.所以h =2 . 7sin（丁）=4sin 寸2.3cos 寸. ................................................ 14 分又当0 ：：J：：时，h =4cos ：-2 3sin 4cos 2 3sin 3 0 .6 6 6所以h =4sin v ■ 2・.3cos v在［0，-］上递增.6所以当 时，h 取得最大值5 .6 因为2 2 35，所以h 的最大值为;艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2 2 3 ) m .佃.(本小题满分16分)已知函数 f (x) =X • |n x a •二 R . (1) 讨论f (x)的单调性；(2) 设f (x)的导函数为f (x)，若f(x)有两个不相同的零点 x 1，x 2.① 求实数a 的取值范围；② 证明：为f (为)亠x 2 f (x 2) 2ln a 亠2 . 【解】(1) f(x)的定义域为0, + ：：，且「&)=：今.(1.1)当a < 0时，f(x) .0成立，所以f (x)在0, + ：：为增函数； …2分(1.2) 当 a 0 时，(i )当x . a 时，f (x) 0，所以f (x)在a ,+：：上为增函数；(ii )当0 ：：： x ：：： a 时，f (x) ：：： 0，所以f (x)在0, a 上为减函数.…4分(2)①由(1)知，当a < 0时，f(x)至多一个零点，不合题意；当a 0时，f(x)的最小值为f (a)，依题意知 f(a)= 1 lna ：：：0，解得 0 ：：：a ：：：丄. .............. 6 分 一方面，由于1 . a ， f 1 = a 0， f (x)在a ，•::为增函数，且函数f (x)的图 象在(a ,1 )上不间断.所以f(x)在a ，二 上有唯一的一个零点.另一方面， 因为0 ::: a J ,所以0 ：：： a 2 ::: a .e ef (a 2) =2 In a 2 =丄 21 n a ，令g a =— 2ln a ,16分4sin v 2 . 3 cos n , 0 <^ -,a a 片F a当0 ::a ：：丄时，g a 一 - % 2=2^ ：：°,又f (x 1尸f (x 2 )=0，即证 f 卄f(X 2 )•2设函数 F (x ) = f (十)一f (x )=△ —号 一21 n x +21 n a (x >a ).'2所以 F (X2)A F (a )=0，所以 f .*J>f (X2 )成立. 从而X 1X 2 a 2成立.所以 p =2 In X 1X 2 ] >2ln a 2，即 X i f 为 i 亠 x ?f X 2 1 >2ln a 2 成立.…16 分20. (本小题满分16分) 已知等差数列\a^满足a 4 =4，前8项和S 8 =36 .(1) 求数列CaJ 的通项公式；n(2)若数列：b n ｝满足 a b k a 2n 2k 2a n =3(2n -1)，n ・ N .kzt①证明：Ln?为等比数列；所以 f(a 2) =g a =丄 2ln a . g 1 =e —2 . 0' f a e又f(a) ：::0， f (x)在0,a 为减函数，且函数 f (x)的图象在 a 2 ,a 上不间断. 所以f(x)在0,a 有唯一的一个零点. 综上，实数a 的取值范围是(0，1). 10分②设= x 1 f x 1 r- x 2 f x 2 = 1 — a T a =2 a + —' f * X 1X 2 乜 X 2 丿ln x 1 — = 0，又 人ln x 2 — =0，X 2p =2 ln x 1x 2 . 12分F面证明X 1X 2 a 2.不妨设X 1:: X2，由①知 0 ：：： X 1 ：：： a ■■ ■ X 2.要证x 1x 2 • a 2，即证x 12旦X 22因为 X 1，a 0，a ，X 2f 2 \所以只要证f 〔3-l X 2f (x)在0 , a 上为减函数, f X 1 .14分所以F x 在a,+：：为增函数.所以F所以J 1 < 1，所以c n > c n 1 （当且仅当n =1时等号成立）G 2n由尹= ，得 C m =3C p C p ， b m b p所以m ■ p .... .................................................................................. 设t 二p-m m ，p ，t N *，由严二晋，得 m2 一3 当t -1时，m =「3，不合题意；【解】（ 3a p * I b y-，m ，P N b m bp | 1 )设等差数列^n /的公差为d .因为等差数列:a/f满足a^4，前8项和=36，3d =4， a _18 7 ，解得印， ,827d =36 d =1 . :a/?的通项公式为a .二n ........................血:■前n 项的和为B 1 .n)及.一 [b k a2n .1_2k' 2a n =3(2 j)，n •- N j 得,k 1n n 3 2 -1 j ： ：_ ib k a 2n 1 2k 2n ，k 丄 n _13 2心 一1 八 b k a 2n丄 Nk2n-1 n >2，④Ly由③-④得3 2 -13 2 -1 = b|a 2n 1 ' b ^a 2nJ dl +b n j a 3 ' bn a 1 2n-bia 2nj b 2a 2n_5 |l| + b n 」a 1 2n-2-Ibi(a 2n 2) b 2@2n 卫，2)川 + R 」佝 2)bnd 2n 1a m ②求集合丿（m ， p ）占= ai 所以8a i所以数列 ①设数列由（1）-bia 2nj b 2a 2n_5 |l 丨+ b n 」a 1 2n-2=2 d b 2 川+b n 」 b n 2=2 B n -b ng 2 .所以 3 2n 1 =2B n -b n 2 n > 2 , n N ， 又3 21 -1 =b 1a 1 2，所以b! =1，满足上式. 所以 2B n -b n ^3 2nJ n N⑤ ............................................................ 6 分当 n > 2 时，2B n 」-b n 「2 =3 2^⑥由⑤-⑥得，b n b n 」=3 2心 bW ①丿才刖所以b n =2心，字=2， bn所以数列IbJ 是首项为1,公比为2的等比数列. ②由譽=答，得烏二器，即2一』.b m b p 2m 2Pmn 」■ o--1 ] ib -2=010分记汪，由①得,a nb nnn12分当t =2时， m = 6，此时p =8符合题意； 当t =3时， m 电，不合题意；5 当t =4时， m 疇：：：1，不合题意.下面证明当 t > 4，- N 时，m -甲 1 .21 -3不妨设 f x =2x _3X _3 x > 4 ,f X =2X |n2 —3 0 ,所以f X 在［4 , +：：)上单调增函数, 所以 f(x) > f (4) =1 0 ,所以当t >4, N 时，心是V 1，不合题意•21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在 答题卡 相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.A .［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分)B .［选修4-4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)f X 二 t ,在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程是22 (t 为参数).以原点O 为极点, 卜=tX 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是 ?sin(v-4)=㊁.求：(1)直线l 的直角坐标方程；(2)直线l 被曲线C 截得的线段长.【解】(1)直线l 的极坐标方程可化为T (S in rcoscosvsin ) = 2，即c v2 = 44又 X =『cos ) , y = ：?sin v ,所以直线l 的直角坐标方程为 x-y ，2=0 . ........................... 4分(2)曲线C: /2(t 为参数)的普通方程为x 2=y .ly =tf 2 =由羊 y ， ，得 x 2 _x _2 = 0 ,$ _y +2 =0所以直线I 与曲线C 的交点A (_1,1), B (2，4)............................. 8分综上，所求集合(m , p)a m = 3a pb mb p16分已知矩阵M = a b, ［c d 」， 'A 4卫0，求矩阵M . 21MN■1 因为N =_ 0 」11，则 N =_010分p N ■1N =2A且MN 二0，贝V MN = 20 1 1 2所以直线I被曲线C截得的线段长为AB= J(—1 —2 $ + (1 —4 )2=3/2 .……10分C .［选修4-5 :不等式选讲］(本小题满分10分)已知实数a ,b, c满足a2 b2 c2< 1，求证：J ) ) > -.a+1 b+1 c +1 4【证明】由柯西不等式，得/2 1 b2 1°2 1 » +；^-1 #1> P'a2+1 —+ J b2+1 . f + J c2+1 一 f ］ =9， ........................................... 5 分I 40^1丿1 1 1 、9 .9 9以―2 ------ 2 + 2 》―2--------- 2 2 》. ............................. 10 分a +1b +1c +1 a +b +c +3 1+3 4【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121, 3553等•显然2位回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同2位回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X;从9个不同2位回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1)求X为回文数"的概率；(2)设随机变量•表示X，丫两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望E()【解】(1)记“ X是‘回文数’”为事件A.9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308,352，396.其中“回文数”有：44，88 .所以，事件A的概率P(A) =9 . ....................................................................... 3分9(2)根据条件知，随机变量•的所有可能取值为0，1, 2 .由(1 )得P(A) =9 . .................................................................................................. 5 分设“ Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立.根据已知条件得，P B =22 .厂C9 9p =0 =P A P B = 1 一舟1 一鲁=88；p日=p A p B p A p B = -9 5 21-舟嚅；p&2 F p(A 尸(B)=9 |=81 ................................................................................... 8 分所以，随机变量'的数学期望为E（） =0 10分'」81 81 81 923. （本小题满分10分）设集合B是集合人={1 ,2, 3…，3n—2,3n—1 ,3n} ,n€ N用的子集•记B中所有元素的和为S （规定：B为空集时，S=0）.若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：（1）集合A的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数.【解】（1）集合A=「1 ,2,3 ［的子集有:r ⑴，2,3?，1，，1,3?，2，，: 1,2，.其中所有元素和为3的整数倍的集合有：'■,，:、1,2? , : 1,2,3 / .所以A的“和谐子集”的个数等于 4. ....................................................... 3分（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a.个所有元素和为3的整数倍的子集；另记A n有0个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有C n个所有元素和为3的整数倍余2的子集.由（1）知，印=4 , bi =2 , C1 =2 .集合A n+1 ={1 ,2,3,山，3n-2,3n-1,3n , 3n 1,3n 2,3 n 1 }的“和谐子集”有以下四类（考察新增元素3n 1,3n・2,3 n・1 ）：第-类集合代={1 ,2,3…•, 3n-2,3n-1 ,3n}的“和谐子集”，共a n个;一第二二类仅含一个元素3 n V的“和谐子集”，共a n个；同时含两个元素3n • 1,3n • 2的“和谐子集”，共a n个；同时含三个元素3n • 1,3n • 2,3 n • 1的“和谐子集”，共a n个;第三类仅含一个元素3n，1的“和谐子集”，共C n个；同时含两个元素3n 1,3 n+1的“和谐子集”，共c n个；第四类仅含一个元素3n，2的“和谐子集”，共0个；同时含有两个元素3n 2,3 n 7的“和谐子集”，共b n个，高中数学资料共享群：284110736,每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包所以集合A n+!的“和谐子集”共有 玄..!."％ 2b n 2C n 个. 同理得 b ni =：4b n • 2C n - 2a . , C n l .=4C n - 2a n 2b n . 所以 ％+1 -'bn 1 =2(a n —b n ) , a ! —^ = 2 , 所以数列^n -b n J ■是以2为首项，公比为2的等比数列.又 a n - b n -C n =23n ，所以务=2 2“」23n ,N“ . 33 x y 所以a n -b n =2n •同理得 a n -C n =2 ".10分。
2019届苏北四市一模数学
2019届苏北四市一模数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合A B U = ▲ ． 【答案】{}013，，2． 已知复数2i 3i 1iz --=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ .【答案3．则平均每人参加活动的次数为 ▲ .【答案】34． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ． 【答案】75． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参 加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ． 【答案】236． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是， 则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3．【答案】547． 若实数x y ，满足2+3x y x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲ ． 【答案】6-8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -=的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB p 的值为 ▲ ． 【答案】9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于 点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ． 【答案】410．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列； ②数列{}1+n n a a 是等比数列；（第4题）③数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 是等比数列； ④数列{}2lg n a 是等比数列．其中正确的命题有 ▲ 个．【答案】311．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01<x ≤时，()=f x 31x ax -+，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】212．在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则2AC AD +u u u r u u u r的最小 值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y -+=：．若存在过点()0P m ，的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()443-，14．已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ． 【答案】337二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA =DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ； （2）MD ⊥平面PAB ．【证明】（1）在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为 棱PA ，PD 的中点，所以MN ∥AD ．……………………2分 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD ． 所以MN∥BC ． …………………………………………………………………4分 又⊂⊄BC PBC MN PBC 平面，平面， 所以MN ∥平面PBC ． …………………………………………………………6分 （2）因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD ．又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面PAD ．……………………………………………………………8分（第15题）ABCDPMN又MD ⊂侧面PAD ，所以AB ⊥MD ． ………………………………………………………………10分 因为DA =DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA ． ………………………………………………………………12分 又PA ，AB 在平面PAB 内，=I PA AB A ，所以MD ⊥平面PAB ．…………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A，cos A （1）求角B 的值；（2）若a =ABC 的面积． 【解】（1）在△ABC中，因为cos A =，0π<<A ，所以sin ==A ．………………………………………………………2分因为cos cos a B A =， 由正弦定理sin sin =a b A B，得sin cos cos A B B A ． 所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分 若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠． 于是sin tan 1cos ==B B B ．又因为0π<<B ，所以π4B =． …………………………………………………………………………7分（2）因为a，sin A ，由（1）及正弦定理sin sin =a b A B=，所以=b ． ………………………………………………………………………9分又()()sin sin πsin C A B A B =--=+sin cos cos sin =+A B A B=．……………………………………………12分 所以△ABC的面积为11sin 22===S ab C ……14分 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ， 上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF，求椭圆的标准方程； （2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -=上，求椭圆的离心率e 的值．【解】（1）因为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，所以12c a =，则2a c =． 因为线段AF中点的横坐标为2，所以2a c -．所以c 28a =，2226b a c -==．所以椭圆的标准方程为22186x y +=． …………………………………………………4分（2）因为(0)(0)A a F c -，，，，所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx -=． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -=上，所以()22a c a cC ---，．…………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a B b ，，，， 所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a ay x b --=． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a cb a ac ab -----=，整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0a b +>，所以b c =．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率c e a ===． …………………………………………14分18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为和4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3COD 2π∠．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，（第17题）如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．【解】（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB CD ，于点12O O ，，交劣弧CD 于点P ，1O P 的 长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC △中，23O OC π∠=，2CO = 所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11122=5O P R OO R O O OO +=+-=．答：拱门最高点到地面的距离为5m ． …………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和； 当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离． 由（1）知，在1Rt OOB △中，OB =． 以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系．（）当点P 在劣弧CD 上时，ππ62θ<≤．由π6OBx θ∠=+，OB = 由三角函数定义，得O ππ))66()θθ++，则π2)6h θ=++． …………………………………………………………8分所以当ππ62θ+=即π3θ=时，h 取得最大值2+ ……………………………………………………10分（）当点P 在线段AD 上时，06θπ≤≤．θODCB AOOODDDCCAA ACDO设=CBD ϕ∠，在Rt BCD △中，DB ==sin cos ϕϕ==． 由DBx θϕ∠=+，得))()D θϕθϕ++，．所以)h θϕ=+4sin θθ=+．……………………………………14分又当06θπ<<时，4cos 4cos 066h θθππ'=->-．所以4sin h θθ=+在[0]6π，上递增．所以当6θπ=时，h 取得最大值5．因为25+>，所以h的最大值为2+答：4sin 06π2)662h θθθθθπ⎧+⎪⎪=⎨ππ⎪++<⎪⎩，≤≤，，≤；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+m ． ……………………………………………16分 19．（本小题满分16分） 已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，． ① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．【解】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，且2()x a f x x-'=． （）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以()f x 在()0+∞，为增函数； ………2分 （）当0a >时，（i ）当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()+a ∞，上为增函数； （ii ）当0x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0a ，上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当0a ≤时，()f x 至多一个零点，不合题意； 当0a >时，()f x 的最小值为()f a ，依题意知()=f a 1ln 0a +<，解得10ea <<．……………………………………6分一方面，由于1a >，()10f a =>，()f x 在()+∞a ，为增函数，且函数()f x 的图 象在()1a ，上不间断． 所以()f x 在()a +∞，上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为10e a <<，所以210e<<<a a ．2211()ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln =+g a a a ，当10e a <<时，()2212210-'=-+=<a g a a a a， 所以()()211()2ln 20f a g a a g e a e==+>=->又()0f a <，()f x 在()0a ，为减函数，且函数()f x 的图象在()2a a ，上不间断． 所以()f x 在()0a ，有唯一的一个零点． 综上，实数a 的取值范围是()10e，．……………………………………………10分 ② 设()()1122121211=2+a a a ap x f x x f x x x x x ⎛⎫''=+=-+-- ⎪⎝⎭． 又1122ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， 则()122ln p x x =+．………………………………………12分下面证明212x x a >．不妨设12x x <，由①知120x a x <<<． 要证212x x a >，即证212a x x >．因为()2120a x a x ∈，，，()f x 在()0a ，上为减函数， 所以只要证()212a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又()()12==0f x f x ，即证()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………………………14分设函数()()()()22ln 2ln a x a F x f f x x a x a x a x=-=--+>． 所以()()220x a F x ax -'=>，所以()F x 在()+a ∞，为增函数. 所以()()20F x F a >=，所以()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭成立． 从而212x x a >成立.所以()122ln 2ln 2p x x a =+>+，即()()11222ln 2''+>+x f x x f x a 成立. …16分 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，．① 证明：{}n b 为等比数列；② 求集合*3()=p m m pa a m p m pb b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，． 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =，所以1134878362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，，解得111a d =⎧⎨=⎩，． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………………………………3分 （2）①设数列{}n b 前n 项的和为n B ．由（1）及()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，得，()()()()()()21211121213212321212n nk n k k n n k n k k b a n b an n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑，③≥， ④ 由③-④得()()()1121223131321321+2n n n n n n b a b a b a b a n -------=++++L()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-L[]123225111(2)(2)+(2)2n n n n b a b a b a b a n ---=+++++++L ()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-L()()1212+222n n n n n b b b b B b b -=++++=-++L ． 所以13222n n n B b -⋅=-+()2n n *∈N ≥，， 又()1113212b a -=+，所以11b =，满足上式． 所以()12232n n n B b n -*-+=⋅∈N ⑤…………………………………………6分 当2n ≥时，2112232n n n B b ----+=⋅⑥由⑤-⑥得，2132n n n b b --+=⋅．………………………………………………………8分()12122n n n n b b ----=--=L ()()11120n b -=--=，所以12n n b -=，12n nb b +=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．………………………………10分②由3=p m m p a a b b ，得11322m p p m --=，即32p mp m -=． 记n n n a c b =，由①得，12n n n n an c b -==， 所以1112n n c n c n++=≤，所以1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）． 由3=p m m pa ab b ，得3m p pc c c =>， 所以m p <．…………………………………………………………………………12分 设t p m =-()*m p t ∈N ，，，由32p m pm -=，得323t t m =-． 当1t =时，3m =-，不合题意；当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，95m =，不合题意；当4t =时，12113m =<，不合题意．下面证明当4t t *∈N ≥，时，3123tt m =<-．不妨设()233x f x x =--()4x ≥，()2ln 230x f x '=->，所以()f x 在4+[)∞，上单调增函数， 所以()(4)10f x f =>≥，所以当4t t *∈N ≥，时，3123tt m =<-，不合题意．综上，所求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，(){}=68，．………………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ． 【解】由题意，()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，则40102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ． ……………………………………4分 因为10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，则110=02-⎡⎤⎢⎥⎣⎦N ．……………………………………………………6分 所以矩阵401040=1020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ．………………………………………………10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4ρθπ-=求：（1）直线l 的直角坐标方程； （2）直线l 被曲线C 截得的线段长．【解】（1）直线l的极坐标方程可化为(sin cos cos sin )44ρθθππ-=sin cos 2ρθρθ-=．又cos sin x y ρθρθ==，，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． …………………………4分（2）曲线C : 2x t y t=⎧⎨=⎩，（t 为参数）的普通方程为2x y =． 由220x y x y ⎧=⎨-+=⎩，，得220x x --=， 所以直线l 与曲线C 的交点()11A -，，()24B ，． ……………………………8分所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ．………10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥． 【证明】由柯西不等式，得 ()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 29=≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位 “回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4， 其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ．（1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．【解】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A 的概率2()9P A =．……………………………………………………3分 （2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得2()9P A =．…………………………………………………………………5分 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．根据已知条件得，()29205=9P B C =．()()()()()2528=0=119981P P A P B ξ=--=； ()()()()()()()252543=1=11999981P P A P B P A P B ξ+=-+-=； ()()()2510=2=9981P P A P B ξ=⋅= ……………………………………………………8分 所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为2843107()0128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．……………10分 23．(本小题满分10分)设集合B 是集合{123n A =，，，…，32313}n n n n *--∈N ，，，的子集．记B 中所有元素的 和为S （规定：B 为空集时，S =0）．若S 为3的整数倍，则称B 为n A 的“和谐子集”． 求：（1）集合1A 的“和谐子集”的个数；（2）集合n A 的“和谐子集”的个数．【解】（1）集合{}1=123A ，，的子集有：φ，{}1，{}2，{}3，{}12，，{}13，，{}23，，{}123，，．其中所有元素和为3的整数倍的集合有：φ，{}3，{}12，，{}123，，． 所以1A 的“和谐子集”的个数等于4．……………………………………………3分（2）记n A 的“和谐子集”的个数等于n a ，即n A 有n a 个所有元素和为3的整数倍的子集； 另记n A 有n b 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有n c 个所有元素和为3的整数 倍余2的子集．由（1）知，111=4=2=2a b c ，，．集合()+1{12332313313231}n A n n n n n n =--+++L ，，，，，，，，，的“和谐子集” 有以下四类（考察新增元素()313231n n n +++，，）： 第一类 集合{123n A =，，，…，32313}n n n --，，的“和谐子集”，共n a 个； 第二类 仅含一个元素()31n +的“和谐子集”，共n a 个；同时含两个元素3132n n ++，的“和谐子集”，共n a 个；同时含三个元素()313231n n n +++，，的“和谐子集”，共n a 个； 第三类 仅含一个元素31n +的“和谐子集”，共n c 个；同时含两个元素()313+1n n +，的“和谐子集”，共n c 个； 第四类 仅含一个元素32n +的“和谐子集”，共n b 个；同时含有两个元素()3231n n ++，的“和谐子集”，共n b 个， 所以集合+1n A 的“和谐子集”共有1422n n n n a a b c +=++个． 同理得1422n n n n b b c a +=++，1422n n n n c c a b +=++．………………………………7分 所以+112()n n n n a b a b +-=-，112a b -=，所以数列{}n n a b -是以2为首项，公比为2 的等比数列． 所以=2n n n a b -．同理得=2n n n a c -．又3=2n n n n a b c ++，所以()321=2233n n n a n *⨯+⨯∈N ，． ………………………10分。
2019届苏北四市一模数学
2019 届苏北四市一模数学一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1． 已知集合 A1，3 ， B0，1 ，则集合 A B = ▲．【答案】 0 ，1，3 2． 已知复数2i 3iz =（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为▲.1 i【答案 】 53． 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（ 1）班 50 名学生参加活动的次数统计如下： 次数 2 3 4 5 人数20 15 105则平均每人参加活动的次数为▲.开 始 【答案 】 3a ← 0，b ←14． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ．N【答案】 7a < 155． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参Y 输出ba ← 4 a +1 结束 加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲．b ← b ＋2【答案】 23（第 4 题）6． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是 3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm3．【答案】 547． 若实数 x ，y 满足x ≤ y ≤ 2x + 3 ，则 x y 的最小值为▲ ．【答案】68． 在平面直角坐标系x Oy 中，已知抛物线2y2 px( p 0) 的准线为 l ，直线 l 与双曲线2 xy421的两条渐近线分别交于A ，B 两点， AB6 ，则 p 的值为▲．【答案】 2 6数学参考答案与评分细则第1 页（共15 页）9．在平面直角坐标系x Oy中，已知直线y3x t与曲线y asin x b cos x a，b，t R相切于点0，1，则a b t的值为▲．【答案】410．已知数列a n是等比数列，有下列四个命题：①数列a是等比数列；②数列a n a n1是等比数列；n③数列1an 是等比数列；④数列2lg a n是等比数列．其中正确的命题有▲个．【答案】311．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)．当0x≤1时，f(x)31x ax，则实数a的值为▲．【答案】212．在平面四边形A BCD中，AB1，DA DB，AB AC3，AC AD2，则AC2AD的最小值为▲．【答案】2513．在平面直角坐标系x Oy中，圆221O：x y，圆22C：x y．若存在过点P m，0的44直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是▲．【答案】44，314．已知函数f(x)2x a|x a||x2a|(a0)．若f(1)f(2)f(3)⋯f(672)0，则满足f(x)2019的x的值为▲．【答案】337二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）15页）数学参考答案与评分细则第2页（共如图，在四棱锥P ABCD 中，M，N 分别为棱PA，PD 的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD 是矩形，DA =DP．P（1）MN∥平面PBC；求证：N（2）MD ⊥平面PAB．M DC （1）在四棱锥P ABCD 中，M，N 分别为【证明】棱PA，PD 的中点，A B（第15 题）所以MN ∥AD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又底面ABCD 是矩形，所以BC∥AD．所以MN ∥BC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又BC 平面PBC ，MN 平面PBC ，所以MN ∥平面PBC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）因为底面ABCD 是矩形，所以AB⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD =AD，AB 底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分又MD 侧面PAD，所以AB⊥MD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分因为DA =DP，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分又PA，AB 在平面PAB 内，PA AB A ，所以MD ⊥平面PAB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分16．（本小题满分14 分）在△ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对边的长， a cosB 2bcos A，cos 3A ．3 （1）求角 B 的值；（2）若a 6 ，求△ABC 的面积．15 页）数学参考答案与评分细则第3 页（共````【解】（1）在△ ABC 中，因为c os 3 A， 0 A π，3所以2 6 sin A 1 cos A ．⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分3因为a cos B2bcos A ，由正弦定理ab sin Asin B，得 sin A cosB 2 sin B cos A ．所以 cos B sin B ． ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分若 cos B=0 ，则s in B=0 ，与 22sin B cos B 1矛盾，故 cos B 0 ．于是 tansin 1 BBcos B． 又因为0 B π，所以π B ． ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分4 （2）因为a6 ， sin6A，3由（ 1）及正弦定理 ab sin Asin B ，得 6 b ，6 2 32所以 3 2b ． ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 9 分2又 sin C sin π A B sin A Bsin A cos B cos Asin B6 2 3 2 2 36 323 26．⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 12 分 所以△ ABC 的面积为 1 sin 1 6 3 2 2 366 3 2Sab C. ⋯ ⋯ 14 分2226417．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆22 yx2 2 =1 (a> b > 0) 的左焦点为F，右顶点为A，a b上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为12 ，线段A F 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y = x 上，求椭圆的离心率e的值．数学参考答案与评分细则第4 页（共15 页）【解】（1）因为椭圆 c 所以a2 2 x y =1 (a > b > 0) 的离心率为2 2a b 1 2，则a = 2c ． 1 2，yB因为线段A F 中点的横坐标为2 2，FO A x所以a c2 = ． 222所以 c = 2 ，则a = 8 ， 2 2 2b = ac = 6．（第 17 题）所以椭圆的标准方程为22x y 86 =1． ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯4 分 （2）因为 A(a ，0) ，F ( c ，0) ，a c所以线段A F 的中垂线方程为：x =．2又因为△A BF 外接圆的圆心 C 在直线 y = x 上，a c a c所以 C( ， ) ．⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯6 分2 2因为 A(a ，0) ，B(0 ，b) ，b aa 所以线段A B 的中垂线方程为：y= (x ) ．2 b2a cb a ac a由C 在线段A B的中垂线上，得= ( ) ，2 2 b 2 2整理得， 2b(a c) b ac，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分即(b c)(a b) 0 ．因为a b 0 ，所以b c ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分所以椭圆的离心率 e c ca b2 c222．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分18．（本小题满分16 分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB ，AD 的长分别为 2 3 m 和4 m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，COD = ．3（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，数学参考答案与评分细则第5 页（共15 页）如图2、图3、图 4 所示．设B C 与地面水平线l 所成的角为．记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用的函数表示h ，并求出h 的最大值．DDCDA DC AOO OA OA BCB B BθθC 图2 图3 图4图1（第18 题）【解】（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点O，O ，交劣弧CD 于点P ，O1 P 的1 2长即为拱门最高点到地面的距离．P在所以O2D CO所以O1P=R OO1 R O1O2 OO2 5 ． A O1 B 答：拱门最高点到地面的距离为 5 m ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段A D 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点 D 到地面的距离．由（1）知，在R t△OO B 中，12 2OB OO1 O1B 2 3 ．以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的y 坐标系．D（2.1）当点P 在劣弧CD 上时，ππ≤．6 2 OC由πOBx ，OB 2 3 ，6 AB 由三角函数定义，θ得Oππ( ，) ，x2 3cos( ) 2 3sin( )6 6π则h 2 2 3sin( ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分615 页）数学参考答案与评分细则第6 页（共所以当ππ即6 2π时，3h 取得最大值 2 2 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（2.2）当点P 在线段A D 上时，0 ≤≤．6yD设CBD = ，在Rt△BCD 中，AO2 2DB BC CD 2 7 ，2 3 21 4 2 7 sin ，cos ．7 72 7 2 7 B θCx由DBx ，得D(2 7 cos( ) ，2 7 sin( )) ．所以h 2 7 sin( ) 4sin 2 3 cos ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分又当06 时，h 4cos 2 3sin 4cos 2 3sin 3 0 ．6 6所以h 4sin 2 3 cos 在[0 ]，上递增．6所以当时，h 取得最大值 5 ．6因为2 23 5，所以h 的最大值为2 23 ．答：h 4sin 2 3 cos 0，≤≤，6；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地π2 23 sin( )6 6 2，≤面距离的最大值为（ 2 2 3 ）m ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分19．（本小题满分16 分）已知函数 f (x) a ln x aR．x；（1）讨论f ( x) 的单调性（2）设f (x) 的导函数为f(x) ，若 f (x) 有两个不相同的零点x，x ．1 2①求实数a 的取值范围；15 页）数学参考答案与评分细则第7 页（共②证明：x1f(x1)x2f(x2)2ln a2．【解】（1）f(x)的定义域为0，+，且f x()x a2x．（1.1）当a≤0时，f(x)0成立，所以f(x)在0，+为增函数；⋯⋯⋯2分（1.2）当a0时，（i）当x a时，f(x)0，所以f(x)在a，+上为增函数；（ii）当0x a时，f(x)0，所以f(x)在0，a上为减函数．⋯⋯⋯4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f(x)至多一个零点，不合题意；当a0时，f(x)的最小值为f(a)，依题意知f(a)=1ln a0，解得0 1a．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分e一方面，由于1a，f1a0，f(x)在a，为增函数，且函数f(x)的图象在a，1上不间断．所以f(x)在a，上有唯一的一个零点．另一方面，因为01a，所以e 021a a．e2121f(a)ln a2ln aa a ，令g a12ln aa，当01a时，e g a122a1022aa a，所以211f(a)g a2ln a g e20a e又f(a)0，f(x)在0，a为减函数，且函数f(x)的图象在a2，a上不间断．所以f(x)在0，a有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是01，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分e②设p x f x x f x11221a1a=2a+ax x x x1212．数学参考答案与评分细则第8页（共15页）又aln x 0，1x1aln x 02x2，则p 2 ln x1 x2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分下面证明 2x x a ．1 2不妨设x x ，由①知0 x1 a x2 ．1 2要证 2x x a ，即证1 2 x12ax2．因为2ax ，0，a ， f (x) 在0 ，a 上为减函数，1x2所以只要证2af f x1x2．又 f x1 =f x2 =0 ，即证2af f x2x2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分设函数2a x aF x f f x 2ln x 2ln a x ax a x．所以 F x2x a2 0ax，所以 F x 在a，+ 为增函数.所以 F x2 F a 0 ，所以2af f x2x2成立．从而 2x x a 成立.1 2所以p 2 ln x x 2ln a 2，即x1 f x1 x2 f x2 2ln a 2 成立. ⋯16分1 220．（本小题满分16 分）已知等差数列a n 满足a4 4 ，前8 项和S8 36．（1）求数列a的通项公式；n（2）若数列nnb 满足b a2 1 2 2a 3(2 1)，n N．nk n k nk 1①证明：b为等比数列；n②求集合3aam *p(m ，p) = ，m，p ．Nb bm p【解】（1）设等差数列a的公差为d．n数学参考答案与评分细则第9 页（共15 页）因为等差数列a n满足a44，前8项和S836，所以a3d4，1878a d3612，解得a11，d1．所以数列a n的通项公式为a n n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（2）①设数列b n前n项的和为B n．nn由（1）及b a2122a3(21)，n N得，k n k nk1nn321b a2nk2n12kk1，③n 1n1321212b a n n≥，④k2n12k k1由③-④得n n1321321b a b a+b a b a2n12n122n3n13n1b1a2n3b2a2n5+b n1a12n2b1(a2n32)b2(a2n52)+b n1(a12)b n a12nb1a2n3b2a2n5+b n1a12n22b b+b n b n22B n b n b n2．121所以n13222B b n≥2，n N，n n又1321b a2，所以11b11，满足上式．所以n12B b232n N⑤⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分n n当n≥2时，n22B b232⑥n1n1由⑤-⑥得，n2b b132．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分n nn1n2 b2b2 n n1n101b20，1所以n1b2，n bn12bn，所以数列b是首项为1，公比为2的等比数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分n②由a3apm=b bm p，得m p，即233p m pm1p1m22．数学参考答案与评分细则第10页（共15页）a 记ncnbna nnc，由①得，1n nb2n，所以c nn111≤，所以c n≥c n1（当且仅当n1时等号成立）．c2nn由a3apm=b bm p，得c m3c p c p，所以m p．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分设t p m m，p，t N*，由p m3p2m ，得3tm．t23当t1时，m3，不合题意；当t2时，m6，此时p8符合题意；当t3时，9m，不合题意；5当t4时，12 1m，不合题意．13下面证明当t≥4，t N时，31tm．t23x 不妨设233f x x x≥4，xf x2ln230，所以f x在[4，+)上单调增函数，所以f(x)≥f(4)10，所以当t≥4，t N时，3t1m，不合题意．t23综上，所求集合3aam*p(m，p)=，m，p N=6，8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分b bm p21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选．定．其．中．两．题．，．并．在．答．题．卡．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）a b已知矩阵M=，c d10N=1，且2101MN，求矩阵M．402数学参考答案与评分细则第11页（共15页）【解】由题意，1 0 4 014MN，则M N．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分10 22因为1 01 1 0N，则N= ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分= 10 0 224 0 1 0 4 0所以矩阵= 1M．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分0 0 2 0 12B．[ 选修4- 4：坐标系与参数方程] （本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程是x t ，2（t 为参数）．以原点O 为极点，y tx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin( ) 24．求：（1）直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 被曲线 C 截得的线段长．【解】（1）直线l 的极坐标方程可化为(sin cos cos sin ) 24 4 ，即s i n c o s 2 ．又x cos ，y sin ，所以直线l 的直角坐标方程为x y 2 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x t，（t 为参数）的普通方程为（2）曲线C: 2y t2x y．由2x yx y，2 0，得 2 2 0x x ，所以直线l 与曲线 C 的交点 A 1，1 ，B 2，4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以直线l 被曲线 C 截得的线段长为 2 2AB= 1 2 + 1 4 =3 2 ．⋯⋯⋯10分C．[ 选修4- 5：不等式选讲]（本小题满分10 分）2 2 2已知实数 a ，b ，c 满足a b c ≤ 1 ，求证：1 1 1 9≥．2 2 2a 1b 1c 1 4【证明】由柯西不等式，得1 1 12 2 2a 1b 1c 1 + +2 2 2a 1b 1c 12 1 1 12 2 2≥，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分a 1 +b 1 +c 1 92 2 2a 1b 1c 1数学参考答案与评分细则第12 页（共15 页）所以1 1 1 9 9 9≥≥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分+ +2 2 2 2 2 2a 1b 1c 1 a b c 3 1 3 4【必做题】第22、23 题，每小题10 分，共计20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10 分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553 等．显然2位“回文数”共9 个：11，22，33，⋯，99．现从9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个乘以4，其结果记为X；从9 个不同 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为Y．（1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量表示X，Y 两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望E( ) ．【解】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A．9 个不同 2 位“回文数”乘以 4 的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件 A 的概率( ) 2P A ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分9（2）根据条件知，随机变量的所有可能取值为0，1，2．由（1）得( ) 2P A ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分9设“Y 是‘回文数’”为事件B，则事件A，B 相互独立．20 5根据已知条件得， 2P B =9C9．2 5 28P =0 =P A P B 1 1 ；9 9 812 5 2 5 43P =1 =P A P B P A P B 1 1 ；9 9 9 9 812 5 10P =2 =P A P B ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分9 9 81所以，随机变量的概率分布为0 1 2P 288143811081所以，随机变量的数学期望为( ) 0 28 1 43 2 10 7E ．⋯⋯⋯⋯⋯10 分81 81 81 9数学参考答案与评分细则第13 页（共15 页）23．(本小题满分10 分)设集合 B 是集合A n {1 ，2 ，3，⋯，3n 2 ，3n 1，3n } ，n N的子集．记B中所有元素的和为S （规定： B 为空集时，S =0）．若S 为3 的整数倍，则称B为A n 的“和谐子集”．求：（1）集合A的“和谐子集”的个数；1（2）集合A的“和谐子集”的个数．n【解】（1）集合A1 = 1，2 ，3 的子集有：，1 ，2 ，3 ，1，2 ，1，3 ，2，3 ，1，2，3 ．其中所有元素和为 3 的整数倍的集合有：， 3 ，1，2 ，1，2 ，3 ．所以A1 的“和谐子集”的个数等于4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）记A n 的“和谐子集”的个数等于a n ，即A n 有a n 个所有元素和为 3 的整数倍的子集；A n 有b n 个所有元素和为 3 的整数倍余 1 的子集，有c n 个所有元素和为 3 的整数另记倍余2 的子集．由（1）知，a1=4 ，b1=2 ，c1=2 ．集合A+1 {1 ，2，3，，3n 2，3n 1，3n ，3n 1，3n 2 ，3 n 1 } 的“和谐子集”n有以下四类（考察新增元素3n 1，3n 2 ，3 n 1 ）：第一类集合A n {1 ，2，3，⋯，3n 2 ，3n 1，3n} 的“和谐子集”，共a n 个；第二类仅含一个元素 3 n 1 的“和谐子集”，共a n 个；同时含两个元素3n 1，3n 2 的“和谐子集”，共a n 个；同时含三个元素3n 1，3n 2 ，3 n 1 的“和谐子集”，共a个；n第三类仅含一个元素3n 1的“和谐子集”，共c n 个；同时含两个元素3n 1，3 n+1 的“和谐子集”，共c个；n第四类仅含一个元素3n 2的“和谐子集”，共b n 个；数学参考答案与评分细则第14 页（共15 页）同时含有两个元素3n 2，3 n 1 的“和谐子集”，共b n 个，所以集合A的“和谐子集”共有a n 1 4a n 2b n 2c n 个．n+1同理得b n 1 4b n 2c n 2a n ，c n 1 4c n 2a n 2b n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分所以a+1 b 1 2(a b ) ，a1 b1 2 ，n n n n所以数列a b 是以2 为首项，公比为 2 的等比数列．n nn n 所以=2a b ．同理得 a c =2 ．n n n n又3na b c =2 ，所以n n n2 1n 3na = 2 2 ，n N．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分n3 3数学参考答案与评分细则第15 页（共15 页）。
2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)
2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．2．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是．3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人．5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程．8．已知函数的定义域是，则实数a的值为．9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为．10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于．12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？18．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．19．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．20．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．数学Ⅱ（附加题）A．（几何证明选讲）21．如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．B．（矩阵与变换）22．已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．C．（极坐标与参数方程）23．将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．D．（不等式选讲）24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证： ++≥9．三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．26．在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：•的值；（2）证明：为定值．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1} ．【考点】并集及其运算．【分析】A∪B={x|x∈A或x∈B}．【解答】解：A∪B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是∀x∈R，x2+2x+m＞0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“∀x∈R，x2+2x+m＞0”，故答案为“∀x∈R，x2+2x+m＞0”3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，∴Z===i，∴Z的虚部为﹣．故答案为：﹣．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25人．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+ (2)值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出摸到同色球包含的基本事件个数m=，由此能求出摸到同色球的概率．【解答】解：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n==10，摸到同色球包含的基本事件个数m=，∴摸到同色球的概率p==．故答案为：．7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程x=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的右准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的右准线方程为x=．故答案为：x=．8．已知函数的定义域是，则实数a的值为．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据函数的定义域，得出x＞时，1﹣＞0；由此求出函数的自变量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．【解答】解：∵函数的定义域是，∴当x＞时，1﹣＞0；即＜1，∴a＜2x，∴x＞log2a；令log2a=，得a==；∴实数a的值为．故答案为：．9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调增区间．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=，==2+2，求得ω=，再根据五点法作图可得•2+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得16k﹣6≤x≤16k+2，可得函数的增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z，故答案为：[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12] ．【考点】数列的求和．【分析】由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可【解答】解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2﹣4n≥tn2，所以t≤﹣8﹣对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于0．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果．【解答】解：等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，且=2，∴=+=+（﹣）=+，∴•=（+）•=•+=×6×6×cos120°+×62=0．故答案为：0．12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a （x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是a．【考点】函数恒成立问题；基本不等式．【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0得a恒成立，则只要a ≤即可【解答】解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0可得a恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）min=f （6）=∴a≤故答案为：a≤13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为（﹣1，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，当x＜0时，f′（x）=3x2+1，因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，所以x1＞0，x2＜0 （否则根据导数相等得出A、B两点重合），所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3+1所以3﹣1=3+1，即，（x1＞x2，x2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）△ABC中，由条件利用余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos，由此求得c的值．（2）由tanA=2，tanB=tan=，再根据tanC=﹣tan（A+B）=，计算求得结果．【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，b=2，∠B=，由余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos=4+c2﹣2c，求得c=4，或c=﹣2（舍去），即c=4．（2）若tanA=2，∵tanB=tan=，∴tanC=﹣tan（A+B）===．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）欲证直线EF∥平面BC1A1，只需证明EF平行平面BC1A1中的一条直线即可，由E、F分别为AB、AA1的中点，可知EF∥A1B，EF∥A1B⊂平面BC1A1，问题得证．（2）欲证EF⊥B1C，只需证明EF的平行线A1B垂直于B1C即可，也即证明B1C垂直于A1B所在的平面BA1C1，又须证明B1C垂直于平面BA1C1中的两条相交直线，由三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，以及∠ACB=90°，BC=CC1，极易证明BC1⊥B1C，A1C1⊥B1C，而BC1，A1C1为平面BA1C1中的两条相交直线，问题得证．【解答】解：（1）∵E、F分别为AB、AA1的中点，∴EF∥A1B∵EF⊈平面BC1A1，A1B⊆平面BC1A1∴EF∥平面BC1A1．（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AC⊥CC1，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥B1C，又∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C，∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥B1C∴B1C⊥平面BA1C1，∴B1C⊥A1B由（1）知，EF∥A1B∴EF⊥B1C．17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【考点】扇形面积公式．【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=，…∴AB=24sin，OH=12cos，OE=DE=AB=12sin，∴EH=OH﹣OE=12（cos﹣sin），S=AB•EH=144（2sin cos﹣2sin2）=72（﹣1）…（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），则AB=24sin，OH=12cos，OE=AB=12cos，∴EH=OH﹣OE=12（cos﹣sin），S=AB•EH=144（2sin cos﹣2sin2）=144[sin（θ+）﹣1]，…∵0＜θ＜，∴θ+=即θ=时，S max=144（﹣1），此时A在弧MN的四等分点处．…18．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．（2）法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值．（3）在上一问的基础上求出参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段AB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，下易证【解答】解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，又B（2，0）由得，∴，故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS 的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．19．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．【考点】等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）根据条件和“n=1时a1=S1、当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1”，化简S n+1=tS n+a（t≠0），再由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出a n；（Ⅱ）由条件和（I）求出b n，代入化简利用裂项相消法求出，代入已知的不等式化简后，利用函数的单调性求出对应函数的最小值，从而求出k的取值范围；（Ⅲ）利用条件和等比数列的前n项和公式求出S n，代入b n化简后，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出c n，化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组，求出方程组的解即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由题意知，首项为a，且S n+1=tS n+a（t ≠0），当n=1时，则S2=tS1+a，解得a2=at，当n≥2时，S n=tS n﹣1+a，∴（S n+1﹣S n）=t（S n﹣S n﹣1），则a n+1=ta n，又a1=a≠0，综上有，即{a n}是首项为a，公比为t的等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，则S n=2n，∴b n=S n+1=2n+1，则==，∴= [（）+（）+] =（）=，代入不等式k（++…+）≤b n，化简得，k≤=3（4n+），∵函数y=在（，+∞）上单调递增，且n取正整数，∴当n=1时，函数y=取到最小值是15，∴k≤45；（Ⅲ）∵t≠1，∴S n=，则b n=S n+1=1+=1+﹣，∴c n=2+b1+b2+…+b n=2+（1+）n﹣（t+t2+…+t n）=2+（1+）n﹣×=++，由题设知{c n}为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是（1，2）．20．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出a=﹣1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；（2）求出导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）由（2）可得，a＞0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e x+x﹣1的导数为f′（x）=e x+1，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e+1，又切点为（1，e），则切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即为（e+1）x﹣y﹣1=0；（2）函数f（x）=e x﹣a（x﹣1）的导数f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f′（x）＞0，解得，x＞lna，f′（x）＜0，解得，x＜lna．即有f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna）；（3）由（2）可得，a≤0时，f（x）递增，无最值；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为a﹣a（lna﹣1）=a （2﹣lna）．函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，则有a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），则t′=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna），当0＜a＜时，t′＞0，t递增；当a＞时，t′＜0，t递减．则t在a=时取得极大，也为最大，且为e3（2﹣）=e3．则ab的最大值为e3．数学Ⅱ（附加题）A．（几何证明选讲）21．如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．【考点】弦切角．【分析】连接OD，则OD⊥DC，在Rt△OED中，，所以∠ODE=30°．在Rt△0DC中，∠DCO=30°，由DC=2，能求出BC的长．【解答】解：连接OD，则OD⊥DC在Rt△OED中，∵E是OB的中点，∴所以∠ODE=30°…在Rt△ODC中，∠DCO=30°…∵DC=2，∴，∴OC==所以BC=OC﹣OB=OC﹣OD==．…B．（矩阵与变换）22．已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b，即可求实数a、b的值．【解答】解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b，所以，解得a=1，b=3．C．（极坐标与参数方程）23．将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；当t≠0时，sinθ=，cosθ=【解答】解：当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；当t≠0时，sinθ=，cosθ=所以．D．（不等式选讲）24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证： ++≥9．【考点】不等式的证明．【分析】由a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，运用乘1法和三元均值不等式，以及不等式的性质，即可得证．【解答】证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，所以=，（当且仅当时等号成立）所以．三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）根据题意可得：X的可能取值为4、5、6，再分别求出其复数的概率，即可得到X的分布列，进而得到其数学期望．（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A，后面两次一定是白球，前面4次可以出现白球，只要保证出现的白球不连续出现2次并且与后面的白球也不连续即可．【解答】解：（1）根据题意可得：X的可能取值为4、5、6．所以P（X=4）=P（X=5）=P（X=6）=属于X的分布列为：P 4 5 6X属于X的数学期望为：5分（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A则∴6次取球后恰好被停止的概率为．26．在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：•的值；（2）证明：为定值．【考点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．【分析】（1）先设出动点A、B的坐标，结合，消去λ求出A、B的坐标之间的关系，即可得到•的值；（2）先求出过A、B两点的切线方程，联立求出M的坐标，再代入整理即可得到答案．【解答】解：（1）设∵焦点F（0，1）∴∵∴，∴x1x2=﹣4∴y1y2==1∴=﹣3（定值）（2）抛物线方程为y=x∴过抛物线A、B两点的切线方程分别为y=即y=∴=0 （定值）第31页（共31页）。
苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2019-2020第一学期高三期末(一模)数学试卷及答案
S ←0I ←1While I <6I ←I +1S ←S +IEnd WhilePrint S（第4题）徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测数学I参考公式：1．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211(n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑；2．圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =▲．2．已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =▲．3．若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是▲．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为▲．5．函数()f x =的定义域为▲．6．某学校高三年级有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为▲．7．若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值为▲．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3．作答题目必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
9．已知等差数列{}a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为▲．10．已知函数2y x =的图象与函数cos 2y x =的图象相邻的三个交点分别是A ，B ，C ，则ABC △的面积为▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：2248120x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切于点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为▲．12．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当]1,0(∈x 时，()e ax f x =-(其中e 是自然对数的底数)，若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为▲．13．如图，在ABC △中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅ ，则cos ADE ∠的最小值为▲．14．设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中a ，b ∈R ．若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，AP AB =，M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC ．（1）求证：BC∥平面AMN ；（2）求证：平面AMN ⊥平面PBC ．16．（本小题满分14分）在ABC △中，角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 5A =．（1）若5a =，c =，求b 的值；（2）若4B π=，求tan 2C 的值．A P NM CB（第15题）A （第13题）B CD E如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V ．（1）将V 表示成r 的函数；（2）求小圆锥的体积V 的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的右顶点为A ，过点A作直线l 与圆222b y x O =+：相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q ．设直线l 的斜率为k ．（1）用k 表示椭圆C 的离心率；（2）若0=⋅，求椭圆C 的离心率．A （第17题）BOSMN O 1（第18题）O xy A QPl已知函数1()()ln f x a x x=-()a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值；（2）若()f x 的导函数()f x '存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；（3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11n n a ka +=-(0k ≠)，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列．（1）求实数k 的值；（2）设4n nn n b a n -, ,⎧⎪=⎨-1, ,⎪⎩为奇数为偶数数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项．徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵231t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数，θ∈R ）．在曲线C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
2019年江苏省苏北三市(徐州市、淮安市、连云港市)高考数学一模试卷-含详细解析
2019年江苏省苏北三市（徐州市、淮安市、连云港市）高考数学一模试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=______．2.已知复数z=（2-i）2（i是虚数单位），则z的模为______．3.已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为______．4.运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为______．5.若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“是整数”的概率为______．6.若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2-=1的右焦点重合，则实数p的值为______．7.在等差数列{a n}中，若a5=，8a6+2a4=a2，则{a n}的前6项和S6的值为______．8.已知正四棱锥的底面边长为2，高为1，则该正四棱锥的侧面积为______．9.已知a，b∈R，函数f（x）=（x-2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则关于x的不等式f（2-x）＞0的解集为______．10.知a＞0，b＞0，且a+3b=，则b的最大值为______．11.将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则以函数f（x）与g（x）的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为______．12.在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，P为△ABC所在平面内一点，满足=+2，则的值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2+2mx-（4m+6）y-4=0（m∈R）与C2（-2，3）为圆心的圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x12-x22=y22-y12，则实数m的值为______．14.已知x＞0，y＞0，z＞0，且x+y+z=6，则x3+y2+3z的最小值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.在△ABC中，sin A=，A∈（，）．（2）若sin B=，求cos C的值．16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点．（1）求证：EF∥平面A1BD；（2）若A1B1=A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C．17.如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把△ABC所在的区域改造成绿化区域．已知∠BAC=，AB=2km．（1）若绿化区域△ABC的面积为1km2，求道路BC的长度；（2）若绿化区域△ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km．设∠ABC=θ（0＜θ≤），当θ为何值时，该计划所需总费用最小？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点到右准线l的距离为1．过x轴上一点M（m，0）（m为常数，且m∈（0，2）的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD 与l交于点Q．（2）试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．19.已知函数f（x）=（x-a）ln x（a∈R）．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对于任意的正数x，f（x）≥0恒成立，求实数a的值；（3）若函数f（x）存在两个极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求实数a的取值范围．20.已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a n（q n a n-1）+2q n a n a n+1=a n+1（1-q n a n+1），且a n+1+a n≠0，其中a1=2，q≠0．记T n=a1+qa2+q2a3+…+q n-1a n．（1）若q=1，求T2019的值．（2）设数列{b n}满足b n=（1+q）T n-q n a n．①求数列{b n}的通项公式；②若数列{c n}满足c1=1，且当n＞2时，c n=2-1，是否存在正整数k，t，使c t，c k-c t，c t-c k成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，说明理由．21.已知矩阵A=，B=，求A-1B22.在极坐标系中，曲线C：ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，设过点A（3，0）的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率．23.已知函数f（x）=|x-1|．（1）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：＞．24.如图，在三棱锥D-ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB=90°，且AC=AD=1，AB=2，E为BD的中点．（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）求二面角A-CE-B的余弦值．25.已知数列{a n}满足a1=，a n+1=-2a n2+2a n，n∈N*．（1）用数学归纳法证明：a n∈（0，）；（2）令b n=-a n，证明：≥3n+1-3．答案和解析1.【答案】{1，2}【解析】解：∵A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}；∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】5【解析】解：z=（2-i）2=4-4i+i2=3-4i，则|z|==5，故答案为：5．根据复数的运算法则进行计算，结合复数的模长公式进行求解即可．本题主要考查复数的模长计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．3.【答案】2【解析】解：一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，∴（5+4+x+3+6）=5，解得x=7，∴该组数据的方差为：S2=[（5-5）2+（4-5）2+（7-5）2+（3-5）2+（6-5）2]=2．故答案为：2．由一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，求出x=7，由此能求出该组数据的方差．本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：当I=1时，满足进行循环的条件，I=3，S=9；当I=3时，满足进行循环的条件，I=5，S=13；当I=5时，满足进行循环的条件，I=7，S=17；当I=7时，满足进行循环的条件，I=9，S=21；当i=9时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为21．故答案为：21．由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是伪代码（算法语句），当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.【答案】【解析】解：在2，3，6三个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的两个数中随机地抽取一个数记为b，有：（2，3），（2，6），（3，2），（3，6），（6，2），（6，3）共6种情况，其中“是整数”的有：（6，2），（6，3）共2种，故“是整数”的概率P==．故答案为：．分别计算从2，3，6，三个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的2个数中随机地抽取一个数记为b的所有情况，及满足““是整数””的情况，进而利用古典概型公式，可得答案．本题考查了古典概型概率公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．6.【答案】4解：∵双曲线的标准形式为：x2-=1，∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2-=1的右焦点重合，∴=2，可得p=4．故答案为：4．求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，即可得到结果．本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a5=，8a6+2a4=a2，∴，解得a1=，d=-，∴{a n}的前6项和S6的值：=6×+15×（-）=．故答案为：．利用等差数列{a n}通项公式列方程组求出a1=，d=-，由此能求出{a n}的前6项和S6的值．本题考查等差数列的前6项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】8【解析】解：正四棱锥底面边长为2，高为1，正四棱锥的侧面积为S=4××2×2=8．故答案为：8．根据题意求出正四棱锥侧面的高，再计算正四棱锥的侧面积．本题考查了正四棱锥的结构特征应用问题，是基础题．9.【答案】（0，4）【解析】解：∵f（x）=（x-2）（ax+b）为偶函数，∴f（2）=f（-2），即-4（-2a+b）=0，则-2a+b=0，得b=2a，即f（x）=（x-2）（ax+2a）=a（x-2）（x+2）=a（x2-4），∵在（0，+∞）上f（x）是减函数，则a＜0，则不等式f（2-x）＞0等价为a[（2-x）2-4]＞0，即x2-4x＜0，得0＜x＜4，即不等式的解集为（0，4），故答案为：（0，4）根据函数奇偶性的定义，利用特殊值法求出b=2a，结合单调性判断a的符号，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解以及函数奇偶性和单调性的应用，根据函数性质求出a，b的关系和符号是解决本题的关键．10.【答案】【解析】解：由已知条件可得，由基本不等式可得，当且仅当，即当a=1时，等号成立．所以，，由于b＞0，所以，3b2+2b-1≤0，解得．故答案为：．由已知条件得出，由基本不等式得出，解出该不等式并结合b＞0，可得出b的取值范围，于是可得出b的最大值．本题考查基本不等式的应用，解决本题的关键就是利用基本不等式求出代数式的取值范围，并求出参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题．11.【答案】【解析】解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin2（x-）=sin（2x-），由sin2x=sin（2x-），得sin2x=sin2x-cos2x，即sin2x=cos2x，得tan2x=，则2x=+kπ，即x=+，k∈Z，当k=0，1，2时，连续三个点的横坐标为，，，对应三点的纵坐标为sin（2×）=，sin（2×）=-，sin（2×）=，即连续三个点的坐标为A（，），B（，-），C（，），则三角形ABC的面积S=（-）×[-（-）]=×=，故答案为：根据三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，由f（x）=g（x），求出相邻的三个交点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的平移关系求出函数g （x）的解析式，以及利用f（x）=g（x）求出交点坐标是解决本题的关键．12.【答案】-1【解析】解：∵=+2，∴=（-）+2（，∴=-，∴•=2-•=-×2×3×=-1．故答案为-1将表示成，后与相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．13.【答案】-6【解析】解：设以C2（-2，3）为圆心的圆的方程为（x+2）2+（y-3）2=R2，即x2+y2+4x-6y=R2+13，∵两圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴A（x1，y1），B（x2，y2）两点的坐标满足两圆的方程，即x12+y12+4x1-6y1=R2+13，①x22+y22+4x2-6y2=R2+13，②，①-②得x12-x22+y12-y22+4（x1-x2）-6（y1-y2）=0，∵x12-x22=y22-y12，∴x12-x22+y12-y22=0则4（x1-x2）-6（y1-y2）=0，即x1-x2=（y1-y2）③又x12+y12+2mx1-（4m+6）y1-4=0，④x22+y22+2mx2-（4m+6）y2-4=0，⑤④-⑤得x12-x22+y12-y22+2m（x1-x2）-（4m+6）（y1-y2）=0，∵x12-x22=y22-y12，∴x12-x22+y12-y22=0则2m（x1-x2）-（4m+6）（y1-y2）=0∵x1-x2=（y1-y2），∴2m×（y1-y2）-（4m+6）（y1-y2）=0，即3m-（4m+6）=-m-6=0，得m=-6，故答案为：-6设出圆C2的方程，利用两圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则A（x1，y1），B（x2，y2）两点的坐标满足两圆的方程，利用作差法进行求解即可．本题主要考查两圆位置关系的应用，利用交点坐标同时在两圆上，利用作差法是解决本题的关键．综合性较强，考查学生的计算能力．14.【答案】【解析】解：设T=x3+y2+3z，因为x+y+z=6，所以z=6-x-y，∴T=x3+y2+18-3x-3y，可得T-y2+3y=x3+18-3x，设f（x）=x3+18-3x，f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，可得x=±1，f″（x）=6x，f″（1）＞0，方（1）=16，∵0＜x＜1时，f（x）是单调减函数，f（x）≥16，当x＞1时，f（x）单调增函数，∴f（x）≥16，即T-y2+3y≥16，T≥y2-3y+16，当y=时，函数取得最小值．此时3z＞0．故答案为：．利用换元法以及函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后利用二次函数的性质求解即可．本题考查函数的导数的应用，考查的最值的求法，考查换元法以及转化思想的应用，是难题．15.【答案】解：（1）△ABC中，sin A=，A∈（，），∴cos A=-=-，故sin2A=2sin A cosA=2••（-）=-．（2）若sin B=，则cos B==，∴cos C=-cos（A+B）=-cos A cos B+sin A sin B=•+•=．【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosA的值，再利用二倍角公式求得sin2A的值．（2）由题意利用诱导公式，两角和差的三角公式，求得cosC=-cos（A+B）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，还考查了诱导公式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．16.【答案】证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AA1的中点．∴EF∥A1B，∵EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴EF∥平面A1BD；（2）∵A1B1=A1C1，D是B1C1的中点．∴A1D⊥B1C1，∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，∴A1D⊥BB1，∵B1C1∩BB1=B1，∴A1D⊥平面BB1C1C．∵A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面BB1C1C．【解析】（1）由E，F分别是AB，AA1的中点，得EF∥A1B，由此能证明EF∥平面A1BD．（2）推导出A1D⊥B1C1，A1D⊥BB1，从而A1D⊥平面BB1C1C，由此能证明平面A1BD⊥平面BB1C1C．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC=，AB=2km，∴S=AB•AC•sin=1，解得AC=2，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos=22+22-2×2×2×cos=8-4，∴BC==-，（2）由∠ABC=θ，则∠ACB=π-（θ+），0＜θ≤，在△ABC中，∠BAC=，AB=2km，由正弦定理得==，∴BC=，AC=，记该计划所费用为F（θ），则F（θ）=××2××10+×10=，0＜θ＜，令f（θ）=，则f′（θ）=，由f′（θ）=0，解得θ=，∴当θ∈（0，）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减，当θ∈（，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增，∴θ=时，该计划所需费用最小．【解析】（1）根据三角形的面积公式，和余弦定理即可求出，（2）先根据正弦定理结合三角形的面积可得F（θ）=，0＜θ＜，令f（θ）=，利用导数求出函数的最值．本题考查了正余弦定理，三角函数的化简，三角形的面积，导数和函数最值的关系，属于中档题18.【答案】解：（1）设椭圆C的焦距为2c（c＞0），则，∴，由于椭圆C的右焦点到右准线l的距离为1，则，所以，，，因此，椭圆C的标准方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为x=ty+m（t≠0），其中0＜m＜2，直线l的斜率为，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则线段AB的中点为，，直线AB的斜率为，直线OD的斜率为．将点A、B的坐标代入椭圆C的方程得，将上述两式相减得，则．所以，直线AB与直线OD的斜率之积为，则直线OD的斜率为．所以，直线OD的方程为，椭圆C的右准线l的方程为x=2，直线OD交直线l于点Q（2，-t），直线AB交直线l于点，，由对称性可知，以PQ为直径的圆经过x轴上定点R（r，0），则PR⊥QR．，，，．∴，解得．因此，以PQ为直径的圆经过定点，和，．【解析】（1）先由椭圆C的离心率得到，再由已知条件可求出a和c的值，可得出b的值，即可得出椭圆C的标准方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），并设直线AB的方程为x=ty+m，利用点差法可得出直线OD的斜率，从而得出直线OD的方程，将直线AB、OD的方程分别与直线l的方程联立，可求出点P、Q的坐标，根据对称性得知以PQ为直径的圆过x轴上的定点R（r，0），利用∠PRQ=90°，转化为可计算出点R 的坐标．本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的方程以及点差法，解决本题的关键在于将一些关键的点或直线等几何要素利用代数形式表示出来，考查计算能力，属于中等题．19.【答案】解：（1）a=1时，函数f（x）=（x-1）ln x（＞0）．∴，f（1）=0，f′（1）=0．曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y=0；（2）∵x≥1时，ln x≥0，0＜x≤1时，ln x≤0，对于任意的正数x，f（x）≥0恒成立，必有．∵y=x-a时单调函数，∴x=1时y=x-a的零点，∴a=1．（3），要使函数f（x）存在两个极值点，则方程ln x+1-=0有两个变号零点，∴方程a=x lnx+x有两个不等正实根．令h（x）=x lnx+x，（x＞0）．h′（x）=ln x+2，令h（x）=0，可得x=e-2．x∈（0，e-2）时，h′（x）＜0，x∈（e-2，+∞），h′（x）＞0．∴h（x）在（0，e-2）递减，在（e-2，+∞）递增，∴函数h（x）的草图如下：h（e-2）=-e-2．∴实数a的取值范围为（-e-2，0）【解析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，即可求解；（2）可得x≥1时，lnx≥0，0＜x≤1时，lnx≤0，必有．可得a=1．（3）要使函数f（x）存在两个极值点，则方程lnx+1-=0有两个变号零点，方程a=xlnx+x有两个不等正实根．令h（x）=xlnx+x，（x＞0）．利用导数求解．本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于难题．20.【答案】解：（1）a n（q n a n-1）+2q n a n a n+1=a n+1（1-q n a n+1），即为q n（a n2+2a n a n+1+a n+12）=q n（a n+1+a n）2=a n+a n+1（a n+1+a n≠0），可得a n+a n+1=q-n，若q=1，可得a n+a n+1=1，T2019=a1+（a2+a3）+…+（a2018+a2019）=2+1×1009=1011；（2）①b n=（1+q）T n-q n a n=a1+qa2+q2a3+…+q n-1a n+qa1+q2a2+q3a3+…+q n-1a n-1+q n a n-q n a n =a1+q（a1+a2）+q2（a2+a3）+…+q n-1（a n+a n-1）=2+1+…+1=2+n-1=n+1；②若数列{c n}满足c1=1，且当n≥2时，c n=2-1=2n-1，假设存在正整数k，t，使c t，c k-c t，c t-c k成等比数列，即有c t（c t-c k）=（c k-c t）2，即为c t=c t-c k，或c t-c k=0，可得ck=0或c k=c t，即2k=1，即k=0，或k=t，不成立，故不存在正整数k，t，使c t，c k-c t，c t-c k成等比数列．【解析】（1）由已知条件，结合完全平方式化为a n+a n+1=q-n，由q=1，计算可得所求和；（2）①由（1）的结论，并项求和可得所求通项公式；②求得c n，假设存在正整数k，t，使c t，c k-c t，c t-c k成等比数列，运用等比数列中项性质，解方程即可判断存在性．本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列和等差数列的通项公式，考查整体思想和存在性问题解法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：设A-1=，∵AA-1=，∴ ，即，∴A-1=，∴A-1B=．【解析】根据矩阵乘法法则计算．本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．22.【答案】解：∵曲线C：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0，即（x-1）2+y2=1，过点A（3，0）的直线l与曲线C有且只有一个公共点，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，与圆C无交点，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-3），即kx-y-3k=0，则圆心C（1，0）到直线l的距离d==1，解得直线l的斜率k=±．【解析】求出曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，设直线的斜率为k，则直线l的方程为kx-y-3k=0，圆心C（1，0）到直线l的距离d==1，由此能求出直线l的斜率．本题考查直线的斜率的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．23.【答案】解：（1）由f（x-1）+f（x+3）≥6得|x-2|+|x+2|≥6，若x≥2，则不等式等价为x-2+x+2≥6，即2x≥6，x≥3，若-2＜x＜2，则不等式等价为-x+2+x+2≥6，即4≥6，此时不等式无解，若x≤-2，则不等式等价为-（x-2）-（x+2）≥6，即-2x≥6，x≤-3，综上x≥3或x≤-3，即不等式解集为（-∞，-3]∪[3，+∞）；…（5分）（2）∵f（ab）＞|b|f（）．等价为|ab-1|＞|b||-1|=|a-b|，∴要证：|ab-1|＞|b|||成立，只需证：|ab-1|＞|a-b|成立，只需证（ab-1）2＞（b-a）2，而（ab-1）2-（b-a）2=a2b2-a2-b2+1=（a2-1）（b2-1）＞0显然成立，从而原不等式成立．【解析】（1）利用绝对值的应用将函数表示成分段函数形式，即可求f（x-1）+f（x+3）≥6的解集；（2）利用分析法，要证f（ab）＞|a|f（），只需证证（ab-1）2＞（b-a）2，再作差证明即可．本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分析讨论，去掉绝对值符号，利用一次函数的单调性求最值是关键，考查运算与推理证明的能力，属于中档题．24.【答案】解：如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AC=AD=1，AB=2，E为BD的中点，∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），E（0，1，），（1），，，，，，∵cos＜，＞==，∴异面直线AE与BC所成角的余弦值为；（2），，，，，．设平面AEC与平面BEC的一个法向量分别为，，，，，．由，取z1=-2，可得，，；由，取z2=-2，可得，，．∴cos＜，＞==．由图可知，二面角A-CE-B为钝二面角，∴二面角A-CE-B的余弦值为-．【解析】以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1）分别求出，的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）分别求出平面AEC与平面BEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-CE-B的余弦值．本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．25.【答案】证明：（1）当n=1时，a1=∈（0，）；假设n=k时，a k∈（0，），当n=k+1时，a k+1=-2a k2+2a k=-2（a k-）2+，在a k∈（0，）时递增，可得a k+1∈（0，），综上可得，a n∈（0，）；（2）由（1）可得a n∈（0，），b n=-a n∈（0，），a n+1=-2a n2+2a n，可得-a n+1=-（-2a n2+2a n）=2（-a n）2，即b n+1=2b n2，可得log2b n+1=1+2log2b n，即为log2b n+1+1=2（log2b n+1），可得{log2b n+1}为首项为log2，2为公比的等比数列，可得log2b n+1=log2•2n-1，即log2（2b n）=log2（），可得2b n=（），即b n=即有=2•3，由i=1，2时，2i-1=i，当i≥3时，2i-1=（1+1）i-1=C+C+…+C＞C+C=i，所以对任意i∈N*，2i-1≥i，即3≥3i，即=2•3≥2•3i，则=++…+≥2（3+32+…+3n）=2•=3n+1-3．【解析】（1）运用数学归纳法证明，检验n=1成立，假设n=k成立，证明n=k+1也成立，注意运用二次函数的值域；（2）运用（1）的结论，化简变形，取对数，结合等比数列的定义和通项公式，可得b n的通项公式，变形，结合等比数列的求和公式，即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用数学归纳法和放缩法证明，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(一)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上． 1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________. 3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________． 4. 根据如下所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x (x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证： (1) 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； (2) MN ∥平面ABC .已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.(1) 若A ＝5π12，求边c 的大小；(2) 若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．(1) 求开学第二天选择A餐厅的人数；(2) 若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：x－y＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(1) 求椭圆C的方程；(2) 设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，m＝(k1－2，1)，n＝(1，k2－2)，若m⊥n，求证：直线AB过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1) 求a n 和T n ；(2) 若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1) 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2) 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围； (3) 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立．最高考·高考全真模拟卷·数学参考答案2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3.102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z|＝14＋94＝102. 4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e.5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x<4时，f(x)＝f(x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f(log 23－3)＝f(log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f(log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos (α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos [(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315.10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V PACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝xy时等号成立． 12.n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n ＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n.13. 4 解析：y ＝2x x －1－f(x)的零点即为2x x －1＝f(x)的解，∴ y ＝2x x －1与y ＝f(x)有四个交点．∵ y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f(x)(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f(x)≥0及x>0，得a ≤e x e x 的解集恰为[m ，n]，设 g(x)＝e xe x ，则g′(x)＝e （1－x ）e x ，由g′(x)＝0，得x ＝1，当0<x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增； 当x>1时，g ′(x)<0，g(x)单调递减， 且g(1)＝1，g(0)＝0，当x>0时，g(x)>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝e xex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C.又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1， 故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP. ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点， ∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1. 又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN ∥BP.又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC.(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B, 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)，第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)， 故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)， 而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时， 有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000， 即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M(0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. 由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4， ∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4， 即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4， 将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k 2－1， 故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k 2－1， 即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12， 此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12， ∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n.(2分) b n ＝log 2a 2n 2·log 2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (5分) (2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n－3恒成立， 即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大， ∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n＋5恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min.(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9， 当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9. 综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f(x)＝ln x ＋2e x， 得f′(x)＝1－2x －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)，(1分) ∴ 曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e. ∵ f(1)＝2e，∴ 曲线y ＝f(x)切线方程为 y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由x e x f(x)>m ，得k>m x－ln x ， 令F (x )＝m x－ln x ，则k >F (x )max ， 又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e]． 当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e]上单调递减，∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e<m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln(－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e)＝m e－1， 综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e<m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫m e －1，＋∞.(8分)(3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1.令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于 1－x －x ln x <e xx ＋1(e －2＋1)． 由h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －x ln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0， ∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0， 故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1， ∴ 1－x －x ln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)， 故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江。
C03-江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)高三年级第一次质量检测数学试卷(WORD版含解析)
苏北四市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测（徐州市、淮安市、连云港、宿迁市）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则AB =___________．2．已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =___________． 3．若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是___________． 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为___________．5．函数()f x =___________．6．某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为___________．7．若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值___________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为___________．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为___________．10．已知函数2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为___________．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为___________．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为___________．13．如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADE ∠的最小值为___________．14．设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为___________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC ．（1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos A =．（1）若5a =，c =b 的值； （2）若4B π=，求tan2C 的值.17．（本小题满分14分）如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 的体积为V ．（1）将V 表示成r 的函数； （2）求V 得最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A 作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k ． （1）用k 表示椭圆C 的离心率； （2）若0OP OQ ⋅=,求椭圆C 的离心率．19．（本小题满分16分）已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列． （1）求实数k 的值；（2）设4,1,n n n n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项．徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分） 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111+222x y y z z x++++的最小值.第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值．23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++，x R ∈.（1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.苏北四市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．答案：{12}x x -<<解析：由题意直接求解即可得A B ={12}x x -<<2．答案：2i -解析：24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3．答案：45解析：7++6+8+875x = 解得6x =，222222(77)(67)(67)(87)(87)455S -+-+-+-+-==4．答案：20 5．答案：[4,+)∞解析：由题意得：2log 2x x >⎧⎨≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞6．答案：12解析：22222222212..A P A A A ==7．答案：4解析：由题意得：221303330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得4m =8．答案：14解析：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为3(,2，代入22y px =得：14p =9．答案：135解析：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=10．答案：211．答案：22(2)8x y ++=解析：圆M 中，令x ＝0，y ＝m ＝2或612．答案：3解析：由题意得：T ＝4，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =13．答案：47解析：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+ 22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=- 2222()(2)2cos |||2|442AB AC AB AC c b AB ACADE AB AC AB AC AB AC b c AB AC-⋅+--⋅∠==-⋅+⋅⋅+-⋅247=≥14．答案：34解析：（解法1）(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧⎪≥=--⎪⎪≥=--⎨⎪⎪≥-=-+-⎪⎩所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822M f f f a b a b a b≥+-+≥--+-+-+--≥当且仅当0b =，34a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34a b +=.（解法2）由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3(1)4a x x =-+=，则34a b += 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点， 所以AM PB ⊥．………………………………8分又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB 平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ， 所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）在中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，2202255b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分 （2）由cos A =及0A <<π得，sin A ===，…8分所以cos cos(())cos()sin )42C A B A A A π=π-+=-+=-- 又因为0C <<π，所以sin C =从而sin tan 3cos C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===---．………………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）在SAO △中，4SO ==， …………………………2分ABC △由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R =，所以143SO r =，……………………4分 所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =．答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak =+-12，故2222b a b k -=．所以椭圆C的离心率e =………………………………4分 （2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2ax c=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a x a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b kab a k a b ab k a k y p +-=-+-=，所以)2-2222222223k a b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分 因为0=⋅，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅ka b k ab c ac a k k a b ab k a c a ， 即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b a c a b b b a b a a --=--，所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19．（本小题满分16分）解：（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax xf x x -+'=存在两个不相等的零点．所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x ax'=+． ①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a ∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a -=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x -+'=+-=，设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减； 当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--， 因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-， 所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12nn a -=，所以4n nn n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数, 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324mm m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,mt m S b t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=mm S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m m m mm m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分 B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）解：由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分在曲线C上取点()2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离124sin 3d ϕπ-+===，…………6分 当6ϕπ=时，d 取最小值…………………………………………………8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）解：因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113(222x y y z z x +++++111([(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++………………5分29=≥，当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x +++++的最小值为3．…………………………………10分 第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C 以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -. 不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒， 所以1(0 1C ，，所以1( 2 1 AC =-，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α，则1sin |cos ,|AC α=<>==n ，即直线1AC 与平面11AA B B．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 C -，，所以()10 2 0CC =，，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ， 因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取1x =，10y =，11z =，即1 0 1⎫=⎪⎭，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，， 所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取()20 1=-，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 cos cos θ⋅=-<>=-==⋅，n n n n n n 所以二面角1B AC C --．…………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33n nk k n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333n nk n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。
2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)
2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．2．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是．3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人．5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程．8．已知函数的定义域是，则实数a的值为．9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为．10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于．12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B 在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？18．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．19．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．20．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．数学Ⅱ（附加题）A．（几何证明选讲）21．如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．B．（矩阵与变换）22．已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．C．（极坐标与参数方程）23．将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．D．（不等式选讲）24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证： ++≥9．三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．26．在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：•的值；（2）证明：为定值．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1} ．【考点】并集及其运算．【分析】A∪B={x|x∈A或x∈B}．【解答】解：A∪B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是∀x∈R，x2+2x+m＞0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“∀x∈R，x2+2x+m ＞0”，故答案为“∀x∈R，x2+2x+m＞0”3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，∴Z===i，∴Z的虚部为﹣．故答案为：﹣．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25人．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出摸到同色球包含的基本事件个数m=，由此能求出摸到同色球的概率．【解答】解：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n==10，摸到同色球包含的基本事件个数m=，∴摸到同色球的概率p==．故答案为：．7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程x=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的右准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的右准线方程为x=．故答案为：x=．8．已知函数的定义域是，则实数a的值为．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据函数的定义域，得出x＞时，1﹣＞0；由此求出函数的自变量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．【解答】解：∵函数的定义域是，∴当x＞时，1﹣＞0；即＜1，∴a＜2x，∴x＞log2a；令log2a=，得a==；∴实数a的值为．故答案为：．9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调增区间．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=，==2+2，求得ω=，再根据五点法作图可得•2+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得16k﹣6≤x≤16k+2，可得函数的增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z，故答案为：[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12] ．【考点】数列的求和．【分析】由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可【解答】解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2﹣4n≥tn2，所以t≤﹣8﹣对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于0．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果．【解答】解：等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，且=2，∴=+=+（﹣）=+，∴•=（+）•=•+=×6×6×cos120°+×62=0．故答案为：0．12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是a．【考点】函数恒成立问题；基本不等式．【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0得a恒成立，则只要a≤即可【解答】解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0可得a恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）min=f （6）=∴a≤故答案为：a≤13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO= AB=m，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为（﹣1，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，当x＜0时，f′（x）=3x2+1，因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，所以x1＞0，x2＜0 （否则根据导数相等得出A、B两点重合），所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3+1所以3﹣1=3+1，即，（x1＞x2，x2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）△ABC中，由条件利用余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos，由此求得c的值．（2）由tanA=2，tanB=tan=，再根据tanC=﹣tan（A+B）=，计算求得结果．【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，b=2，∠B=，由余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos=4+c2﹣2c，求得c=4，或c=﹣2（舍去），即c=4．（2）若tanA=2，∵tanB=tan=，∴tanC=﹣tan（A+B）===．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）欲证直线EF∥平面BC1A1，只需证明EF平行平面BC1A1中的一条直线即可，由E、F分别为AB、AA1的中点，可知EF∥A1B，EF∥A1B⊂平面BC1A1，问题得证．（2）欲证EF⊥B1C，只需证明EF的平行线A1B垂直于B1C即可，也即证明B1C垂直于A1B所在的平面BA1C1，又须证明B1C垂直于平面BA1C1中的两条相交直线，由三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，以及∠ACB=90°，BC=CC1，极易证明BC1⊥B1C，A1C1⊥B1C，而BC1，A1C1为平面BA1C1中的两条相交直线，问题得证．【解答】解：（1）∵E、F分别为AB、AA1的中点，∴EF∥A1B∵EF⊈平面BC1A1，A1B⊆平面BC1A1∴EF∥平面BC1A1．（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AC⊥CC1，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥B1C，又∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C，∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥B1C∴B1C⊥平面BA1C1，∴B1C⊥A1B由（1）知，EF∥A1B∴EF⊥B1C．17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B 在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【考点】扇形面积公式．【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=，…∴AB=24sin，OH=12cos，OE=DE=AB=12sin，∴EH=OH﹣OE=12（cos﹣sin），S=AB•EH=144（2sin cos﹣2sin2）=72（﹣1）…（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），则AB=24sin，OH=12cos，OE=AB=12cos，∴EH=OH﹣OE=12（cos﹣sin），S=AB•EH=144（2sin cos﹣2sin2）=144[sin（θ+）﹣1]，…∵0＜θ＜，∴θ+=即θ=时，S max=144（﹣1），此时A在弧MN的四等分点处．…18．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．（2）法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值．（3）在上一问的基础上求出参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段AB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，下易证【解答】解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，又B（2，0）由得，∴，故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．19．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．【考点】等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）根据条件和“n=1时a1=S1、当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1”，化简S n+1=tS n+a（t≠0），再由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出a n；（Ⅱ）由条件和（I）求出b n，代入化简利用裂项相消法求出，代入已知的不等式化简后，利用函数的单调性求出对应函数的最小值，从而求出k的取值范围；（Ⅲ）利用条件和等比数列的前n项和公式求出S n，代入b n化简后，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出c n，化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组，求出方程组的解即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由题意知，首项为a，且S n+1=tS n+a（t ≠0），当n=1时，则S2=tS1+a，解得a2=at，当n≥2时，S n=tS n﹣1+a，∴（S n+1﹣S n）=t（S n﹣S n﹣1），则a n+1=ta n，又a1=a≠0，综上有，即{a n}是首项为a，公比为t的等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，则S n=2n，∴b n=S n+1=2n+1，则==，∴= [（）+（）+] =（）=，代入不等式k（++…+）≤b n，化简得，k≤=3（4n+），∵函数y=在（，+∞）上单调递增，且n取正整数，∴当n=1时，函数y=取到最小值是15，∴k≤45；（Ⅲ）∵t≠1，∴S n=，则b n=S n+1=1+=1+﹣，∴c n=2+b1+b2+…+b n=2+（1+）n﹣（t+t2+…+t n）=2+（1+）n﹣×=++，由题设知{c n}为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是（1，2）．20．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出a=﹣1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；（2）求出导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）由（2）可得，a＞0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e x+x﹣1的导数为f′（x）=e x+1，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e+1，又切点为（1，e），则切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即为（e+1）x﹣y﹣1=0；（2）函数f（x）=e x﹣a（x﹣1）的导数f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f′（x）＞0，解得，x＞lna，f′（x）＜0，解得，x＜lna．即有f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna）；（3）由（2）可得，a≤0时，f（x）递增，无最值；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为a﹣a（lna﹣1）=a （2﹣lna）．函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，则有a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），则t′=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna），当0＜a＜时，t′＞0，t递增；当a＞时，t′＜0，t递减．则t在a=时取得极大，也为最大，且为e3（2﹣）=e3．则ab的最大值为e3．数学Ⅱ（附加题）A．（几何证明选讲）21．如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．【考点】弦切角．【分析】连接OD，则OD⊥DC，在Rt△OED中，，所以∠ODE=30°．在Rt△0DC中，∠DCO=30°，由DC=2，能求出BC的长．【解答】解：连接OD，则OD⊥DC在Rt△OED中，∵E是OB的中点，∴所以∠ODE=30°…在Rt△ODC中，∠DCO=30°…∵DC=2，∴，∴OC==所以BC=OC﹣OB=OC﹣OD==．…B．（矩阵与变换）22．已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b，即可求实数a、b的值．【解答】解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b，所以，解得a=1，b=3．C．（极坐标与参数方程）23．将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；当t≠0时，sinθ=，cosθ=【解答】解：当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；当t≠0时，sinθ=，cosθ=所以．D．（不等式选讲）24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证： ++≥9．【考点】不等式的证明．【分析】由a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，运用乘1法和三元均值不等式，以及不等式的性质，即可得证．【解答】证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，所以=，（当且仅当时等号成立）所以．三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）根据题意可得：X的可能取值为4、5、6，再分别求出其复数的概率，即可得到X的分布列，进而得到其数学期望．（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A，后面两次一定是白球，前面4次可以出现白球，只要保证出现的白球不连续出现2次并且与后面的白球也不连续即可．【解答】解：（1）根据题意可得：X的可能取值为4、5、6．所以P（X=4）=P（X=5）=P（X=6）=属于X的分布列为：P 4 5 6X属于X的数学期望为：5分（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A则∴6次取球后恰好被停止的概率为．26．在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：•的值；（2）证明：为定值．【考点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．【分析】（1）先设出动点A、B的坐标，结合，消去λ求出A、B的坐标之间的关系，即可得到•的值；（2）先求出过A、B两点的切线方程，联立求出M的坐标，再代入整理即可得到答案．【解答】解：（1）设2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)∵焦点F（0，1）∴∵∴，∴x1x2=﹣4∴y1y2==1∴=﹣3（定值）（2）抛物线方程为y=x∴过抛物线A、B两点的切线方程分别为y=即y=∴=0 （定值）第31页（共31页）。
2019届江苏省徐州市(苏北三市(徐州、淮安、连云港))高三第一次质量检测数学试题(解析版)
2019届江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港））高三第一次质量检测数学试题一、填空题1．已知集合，，则_________．【答案】【解析】利用交集的概念及运算即可得到结果.【详解】解：取集合的公共部分即可，所以，故答案为：【点睛】本题考查集合的运算，意在考查学生对基本知识的掌握情况.2．已知复数(是虚数单位)，则的模为_________．【答案】5【解析】利用复数乘方法则及模的运算得到结果.【详解】解：，模故答案为：5【点睛】本题考查复数代数形式的乘方法则，模的运算，属于基础题.3．已知一组样本数据5，4，，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为_________．【答案】2【解析】利用平均数得到x值，进而计算得到该组数据的方差.【详解】解：平均数为：，解得：，方差故答案为：2【点睛】本题考查几个数据的平均数与方差，考查计算能力，属于基础题.4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果为_________．【答案】21【解析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：第1步：；第2步：；第3步：；第4步：，退出循环，故答案为：21【点睛】本题考查的知识点是程序框图和语句，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．若从2，3，6三个数中任取一个数记为，再从剩余的两个数中任取一个数记为，则“是整数”的概率为____________．【答案】【解析】利用古典概型公式直接计算即可.【详解】解：取出数为，所以可能为：，，，，，，共6种，满足是整数的有：，，共2种，所以，所求概率为：P＝故答案为：【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为___________．【答案】4【解析】先求出双曲线的半焦距c，进而得到实数的值.【详解】解：双曲线中：，所以，抛物线的焦点为，，故答案为：4【点睛】本题考查待定系数法求抛物线方程，考查双曲线简单的几何性质，属于基础题.7．在等差数列中，若，，则的前6项和的值为___________．【答案】【解析】根据题意布列基本量的方程组，结合等差数列前n项和得到结果.【详解】解：依题意，得：，化简，得：，解得：，所以，＝故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式与前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.8．已知正四棱锥的底面边长为，高为1，则该正四棱锥的侧面积为__________．【答案】【解析】由题意先确定侧面的斜高，进而得到正四棱锥的侧面积.【详解】解：正四棱锥的侧面三角形的高为：，所以，侧面积为：故答案为：【点睛】本题考查正棱锥侧面积的求法，考查空间想象力与计算能力.9．已知，函数为偶函数，且在上是减函数，则关于的不等式的解集为_________．【答案】【解析】由函数为偶函数可得，即结合单调性可知，数形结合即可得到结果.【详解】解：因为＝为偶函数，所以，，，又因为在上是减函数，所以，，由二次函数图象可知：的解集为，的图象看成是的图象向右平移2个单位，得到，所以，的解集为故答案为：【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查函数与方程思想，数形结合思想.10．已知，，且，则的最大值为_________．【答案】【解析】由题意可得，利用均值不等式可得，解不等式即可得到的最大值.【详解】解析：化为，即，解得：，所以，的最大值为。
苏北四市2019~2020高三数学一模试卷含答案
1. 已知集合 A = {x | 0 < x < 2}，B = {x | −1 < x < 1}，则 A ∪ B =
.
2. 已知复数 z 满足 z2 = −4，且 z 的虚部小于 0，则 z =
.
二. 解答题（本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤）
15. (本小题满分 14 分)
所以 MN// BC． ………………………………3 分
N
又 MN 平面 AMN，BC 平面 AMN， 所以 BC//平面 AMN．…………………………6 分 A
M
C
（2）在 △PAB 中，因为 AP AB ，M 为棱 PB 的中点，
所以 AM PB ．………………………………8 分 又因为平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB 平面 PBC PB ， AM 平B 面 PAB，
于点 Q. 设直线 l 的斜率为 k.
(1) 用 k 表示椭圆 C 的离心率；
(2)
若
#» OP
·
#» OQ
=
0,
求椭圆
C
的离心率.
y
P
A
O
x
Q
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M : x2 + y2 − 4x − 8y + 12 = 0，圆 N 与圆 M 外
切与点 (0, m)，且过点 (0, −2)，则圆 N 的标准方程为
a2b2
0，
y k (x a)
解得
xp
a3k 2 b2
ab2 a2k 2
，则
yp
a3k 2 ab2 k(
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苏北四市2019届高三一模数学试卷 注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4页，均为非选择题（第 1题～第 20题，共 20题）。
本卷满分为 160分，考试 时间为 120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：1.柱体的体积公式：V S h ，其中 S 是柱体的底面面积， h 是高． 2.圆锥的侧面积公式： S 1 cl ，其中 c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．
2
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． ．．．．．．．
1．已知集合 A {x x 2 i 2 x 0}， B { 1,0}，则 A U B = ▲ ．
2．已知复数 z 2 i i z （为虚数单位），则的模为 ▲ ▲ ．
3．函数 y l og 1 x 的定义域为 ▲．
2
4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为
．
频率 a 0 组距 a b 1 2 0.005 I While I … 6 a a
b b a b I I 2 End While Print b 0.004
0.003
0.001 成绩/分 150 200 250 300 350 400 450 （第 4题） （第 5题） 5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了 150分到 450 分之间的 1 000名学生的成绩，并根据这 1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方 图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．
6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 x 2 2 b y 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线方程为
2 a
x 2y 0，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
7．连续 2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6的正方 体），观察向上的点数，则事件“点数之积是 3的倍数”的概率为 ▲ ．
S 数学I 试卷第1页(共13页)。