对样条函数及其插值问题的一点认识

对样条函数及其插值问题的一点认识

样条函数是计算数学以及计算机辅助设计几何设计的重要工具。1946年，I. J. Schoenberg 著名的关于一元样条函数的奠定性论文“Contribution to the problem of application of equidistant data by analytic functions ”发表，建立了一元样条函数的理论基础。自此以后，关于样条函数的研究工作逐渐深入。随着电子计算机技术的不断进步，样条函数的理论以及应用研究得到迅速的发展和广泛的应用。经过数学工作者的努力，已经形成了较为系统的理论体系。

所谓（多项式）样条函数，乃指具有一定光滑性的分段（分片）多项式。一元n 次且n －1阶连续可微的样条函数具有如下的表示式：

1()()()()N

n n j j j s x p x c x x x +==+--∞<<+∞∑[]

011,00,01,,...,,(1),...,(),,...,,n n n

n N n N N u un

u u u u x x x x x S x x x x ++++

+≥⎧⎫=⎨⎬<⎩⎭-- 其中()n p x 是一元n 次多项式，12,,...,n x x x 称为样条节点。

用 n u +记u 的n 次截断幂：

,00,0u u u u +≥⎧⎫=⎨⎬<⎩⎭

则1,,...,,(1),...,()n n

n N x x x x x ++--构成了由这样的样条函数全体组成的线形空间

[]011,,...,,n N N S x x x x +的一组基。

1953年，I. J. Schoenberg 与A. Whitney 获得了判断一元样条插值结点组是否为适定结点组的准则，即著名的Schoenberg-Whitney 定理。1966年，H. B. Curry 与I. J. Schoenberg 引入一元B-样条，给出了重要的样条函数的B-样条基的表示方法。有了完整的B-样条基理论之后，样条函数逼近无论在理论研究还是在应用问题探讨方面都更加方便。此后，关于样条函数的理论以及应用的研究不断取得进展。特别地，随着计算机技术的飞速发展，人们进一步认识到样条如同多项式一般的计算方便性以及强于多项式的局部可调的灵活性、易存储性等诸多性质的重要意义，并把它应用到与科学计算相关的许多领域，比如数值逼近、微分方程数值解、计算机辅助几何设计、小波及有限元等。同时，样条函数在各个方面的推广也成为数学工作者们密切关注并开展积极研究的重要课题。

样条在多元方面的推广自1960年Birkhoff 与Garabedian 开始，但是，由于它的复杂性，这方面的研究工作不如一元样条函数那样顺利。1962年，C. deBoor 研究并证明了一些双三次内插样条的存在与唯一性。但其方法本质上只是一元样条函数的简单推广。1975年，王仁宏教授采用函数论与代数几何的理论，提出并运用光滑余因子协调法，建立了任意分割部分下的多元样条函数的基本理论框架。他引入了分片代数曲线概念，证明了多元样条的一个插值结点组为适定结点组的冲要条件是这些结点不同时位于一条非零分片代数曲线上。采用

这种方法，多元样条函数的任何问题都可以转化为与之等价的代数问题研究。在上述理论框架的基础上，数学工作者们继续进行了深入的研究。经过不断的努力，形成了关于多元样条函数的理论及应用的较为完整的理论体系。

多元样条函数由于涉及到定义区域的剖分，其数学表示及其理论与应用的研究都困难得多。为了清楚起见，本文简述如下。

设D 为R 2中的一个区域，以P k 记R 2上的二元k 次实系数多项式全体组成的集合。一个二元多项式(,)p x y 称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它复多项式可以整除之。如果l (x ，y )(,)k l x y P ∈是不可约多项式，则由方程(,)0l x y =确定的曲线称为不可约代数曲线，记为Γ。即Γ：(,)0l x y =。

用有限条不可约代数曲线对区域D 进行剖分，将剖分记为Δ，D 被分为有限个子区域D 1，…，D N ，它们被称为D 的胞腔。形成每个胞腔边界的线段称为网线，网线的焦点称为网点，同一网线的两个顶点称为相邻网点。位于区域D 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点。如果一条网线的内部属于区域D 内，则称此网线为内网线，否则称为边界网线。

以某一网点v 为顶点的胞腔的并集称为网点V 的关联区域或星形区域，记为St(v)。D 上的关于剖分Δ的二元k 次μ阶光滑样条函数空间记为

{}

()():|1,...,.i i u u k D k S s C D s P i N =∈∈= 基于代数几何中的Bezout 定理，王仁宏得到了多元样条函数在相邻胞腔的交线上光滑连接的条件，表现为如下定理：

定理1 设C ∑()u k s S ∈，i D 与j D 是剖分的相邻胞腔。

不可约代数曲线Γ：(,)0l x y =是i D 与j D 的一条公共网线，|i i D P s =；|j j D P s =，则有(1)(,)k u q x y P d -+∈，使得

1((,))(,)u i j p p l x y q x y +-=，

其中，(,)q x y 称为网线Γ上的光滑余因子，此处deg()d l =。

设v 为任一给定的内网点，v 的关联区域()St v 有N 个胞腔1,...,N D D ，1,...,,D DN i D 与j D 的公共网线记为Γ0：(,)0i l x y =，1,...,i N =。称

11(,)(,)0N u i i

i q x y l x y +==∑，

为样条函数(,)s x y 在内网点v 处的协调条件。其中，(1)(,)i i k u d q x y P -+∈，deg()i i d l =。 若样条函数在所有的胞腔上均为同一多项社，则称其为蜕化的。

下面的定理称为样条函数的存在性定理：

定理2 对于给定的D 的剖分Δ，样条函数存在的充要条件是在每个内网线上存在非0的光滑因子，且在每个内网点处满足协调条件。

由此，可以建立多元样条函数的一般表达式。设定区域D 被剖分Δ分割为如下有限个