对样条函数及其插值问题的一点认识

对样条函数及其插值问题的一点认识样条函数是计算数学以及计算机辅助设计几何设计的重要工具。

1946年，I. J. Schoenberg 著名的关于一元样条函数的奠定性论文“Contribution to the problem of application of equidistant data by analytic functions ”发表，建立了一元样条函数的理论基础。

自此以后，关于样条函数的研究工作逐渐深入。

随着电子计算机技术的不断进步，样条函数的理论以及应用研究得到迅速的发展和广泛的应用。

经过数学工作者的努力，已经形成了较为系统的理论体系。

所谓（多项式）样条函数，乃指具有一定光滑性的分段（分片）多项式。

一元n 次且n －1阶连续可微的样条函数具有如下的表示式：1()()()()Nn n j j j s x p x c x x x +==+--∞<<+∞∑[]011,00,01,,...,,(1),...,(),,...,,n n nn N n N N u unu u u u x x x x x S x x x x +++++≥⎧⎫=⎨⎬<⎩⎭-- 其中()n p x 是一元n 次多项式，12,,...,n x x x 称为样条节点。

用 n u +记u 的n 次截断幂：,00,0u u u u +≥⎧⎫=⎨⎬<⎩⎭则1,,...,,(1),...,()n nn N x x x x x ++--构成了由这样的样条函数全体组成的线形空间[]011,,...,,n N N S x x x x +的一组基。

1953年，I. J. Schoenberg 与A. Whitney 获得了判断一元样条插值结点组是否为适定结点组的准则，即著名的Schoenberg-Whitney 定理。

1966年，H. B. Curry 与I. J. Schoenberg 引入一元B-样条，给出了重要的样条函数的B-样条基的表示方法。

有了完整的B-样条基理论之后，样条函数逼近无论在理论研究还是在应用问题探讨方面都更加方便。

此后，关于样条函数的理论以及应用的研究不断取得进展。

特别地，随着计算机技术的飞速发展，人们进一步认识到样条如同多项式一般的计算方便性以及强于多项式的局部可调的灵活性、易存储性等诸多性质的重要意义，并把它应用到与科学计算相关的许多领域，比如数值逼近、微分方程数值解、计算机辅助几何设计、小波及有限元等。

同时，样条函数在各个方面的推广也成为数学工作者们密切关注并开展积极研究的重要课题。

样条在多元方面的推广自1960年Birkhoff 与Garabedian 开始，但是，由于它的复杂性，这方面的研究工作不如一元样条函数那样顺利。

1962年，C. deBoor 研究并证明了一些双三次内插样条的存在与唯一性。

但其方法本质上只是一元样条函数的简单推广。

1975年，王仁宏教授采用函数论与代数几何的理论，提出并运用光滑余因子协调法，建立了任意分割部分下的多元样条函数的基本理论框架。

他引入了分片代数曲线概念，证明了多元样条的一个插值结点组为适定结点组的冲要条件是这些结点不同时位于一条非零分片代数曲线上。

采用这种方法，多元样条函数的任何问题都可以转化为与之等价的代数问题研究。

在上述理论框架的基础上，数学工作者们继续进行了深入的研究。

经过不断的努力，形成了关于多元样条函数的理论及应用的较为完整的理论体系。

多元样条函数由于涉及到定义区域的剖分，其数学表示及其理论与应用的研究都困难得多。

为了清楚起见，本文简述如下。

设D 为R 2中的一个区域，以P k 记R 2上的二元k 次实系数多项式全体组成的集合。

一个二元多项式(,)p x y 称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它复多项式可以整除之。

如果l (x ，y )(,)k l x y P ∈是不可约多项式，则由方程(,)0l x y =确定的曲线称为不可约代数曲线，记为Γ。

即Γ：(,)0l x y =。

用有限条不可约代数曲线对区域D 进行剖分，将剖分记为Δ，D 被分为有限个子区域D 1，…，D N ，它们被称为D 的胞腔。

形成每个胞腔边界的线段称为网线，网线的焦点称为网点，同一网线的两个顶点称为相邻网点。

位于区域D 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点。

如果一条网线的内部属于区域D 内，则称此网线为内网线，否则称为边界网线。

以某一网点v 为顶点的胞腔的并集称为网点V 的关联区域或星形区域，记为St(v)。

D 上的关于剖分Δ的二元k 次μ阶光滑样条函数空间记为{}()():|1,...,.i i u u k D k S s C D s P i N =∈∈= 基于代数几何中的Bezout 定理，王仁宏得到了多元样条函数在相邻胞腔的交线上光滑连接的条件，表现为如下定理：定理1 设C ∑()u k s S ∈，i D 与j D 是剖分的相邻胞腔。

不可约代数曲线Γ：(,)0l x y =是i D 与j D 的一条公共网线，|i i D P s =；|j j D P s =，则有(1)(,)k u q x y P d -+∈，使得1((,))(,)u i j p p l x y q x y +-=，其中，(,)q x y 称为网线Γ上的光滑余因子，此处deg()d l =。

设v 为任一给定的内网点，v 的关联区域()St v 有N 个胞腔1,...,N D D ，1,...,,D DN i D 与j D 的公共网线记为Γ0：(,)0i l x y =，1,...,i N =。

称11(,)(,)0N u i ii q x y l x y +==∑，为样条函数(,)s x y 在内网点v 处的协调条件。

其中，(1)(,)i i k u d q x y P -+∈，deg()i i d l =。

若样条函数在所有的胞腔上均为同一多项社，则称其为蜕化的。

下面的定理称为样条函数的存在性定理：定理2 对于给定的D 的剖分Δ，样条函数存在的充要条件是在每个内网线上存在非0的光滑因子，且在每个内网点处满足协调条件。

由此，可以建立多元样条函数的一般表达式。

设定区域D 被剖分Δ分割为如下有限个胞腔D 1，…，D N 。

任意选定一个胞腔，例如D1作为源胞腔，从D 1出发，画一流向图C ，使之满足：1. C 流遍所有的胞腔D 1，…，D N 各一次。

2. C 穿过内网的次数不多于一次。

3. C 不允许穿过网点。

流向图C 所经过的内阁网线称为相应于C 的本性内网线。

其它的内网线则为相应于C 的可去内网线。

易知，可去内网线与本性内网线只是一个相对概念。

设Γij ：(,)0ij l x y =为C 的任意一条本性内网线，将从源胞腔D 1出发沿C 前进时，只有越过Γij 后才能进入所有闭胞腔的并集记作U Γij +，将从源胞腔D 1出发沿C 前进时，在越过Γij 之前所经过的各胞腔并集为Γij －，称U Γij +\U Γij －为网线Γij 的前方，记作()r ij f Γ。

定义1 设:(,)0ij ij l x y Γ=为相应于流线C 的本性内网线，定义多元广义截断多项式为(,),(,)()(,)0,(,)\()m ij r ij mij r ij l x y x y f l x y x y D f +⎧∈Γ⎪=⎨∈Γ⎪⎩。

二元样条函数表现定理如下：定理：3 任意()u k s S ∈均可唯一地表示为1(,)(,)(,)(,),(,)uij m ij C s x y p x y l x y q x y x y D +=+∈∑，其中(,)k p x y P ∈为(,)s x y 在源胞腔上的表达式，C ∑表示对多有本性内网线求和。

在文献《任意剖分下的多元样条分析》中，王宏仁教授给出了任意有限多元的样条函数的理论框架。

与一元样条函数不同的一个重要方面是，多元样条函数空军爱女的维数与定义区域的剖分密切相关。

这给多元样条函数的研究与应用带来了很大的困难。

对于一种较为使用的剖分――贯穿剖分（用有限条直线对区域D 进行的剖分称为贯穿剖分），能较容易地得到该剖分部分下样条空间地维数公式0m ≥dim ()()(1)(22)k S k E k V k μηημημ=+-++--。

其中，E 为剖分中直线数目，V 为内网点数目，当0m ≥时η(m )＝0.5(m +2)(m +1)，否则η(m )＝0。

多元样条函数的研究还有另外的思路：适合于任意单纯形剖分的B-网方法以及适用于研究多样体样条的B-样条方法。

B-网方法起源于Bernstein 多项式，1980年，G . Farin 在其博士论文中将Bernstein 多项式用于多元样条理论的研究，探讨了多元样条的Bézier 坐标与光滑性之间的关系。

运用B-网方法，人们研究并得到了诸如三角剖分之下的二元样条函数空间的维数问题的若干结果。

B-样条在多元情况下的推广也非常困难。

知道B-样条的泛函形式出现之后，有关研究工作才不断推进。

现在，这方面的工作中，Box 样条，锥样条等也已形成了比较完善的理论。

下面我们来看样条函数的插值问题。

由于在计算机曲线曲面设计中，样条插值在计算稳定性以及几何逼近的保型性方面大大优于一般的多项式插值而称为计算机辅助几何设计的有力工具。

因此，具有适定性的插值结点组的组成方式的研究就成为重要的基础性工作。

样条插值有很多种类型，如：Laglange 插值，Heimiter 插值，等等。

由于样条函数是具有一定光滑性的分片多项式，它的插值问题要比多项式函数的插值问题复杂得多。

m 个不同元素组成的点集A ＝{t 1，…，t m }称为样条空间S n ＝S n {x 0,x 1…,x N ,x N+1}（或()k S μ）的适定结点组，如果对任意给定的m 个实数值1,...,m y y R ∈，存在唯一一个样条n s S ∈（或()k s S μ∈），使得()i i s t y =，1,...,i m =。

分析一元多项式插值问题，可注意到，一个一元n 次多项式必可被任意给定的n +1个不同的插值结点1(2)2()MN S 121,,...,,n n t t t t R +∈处的多项式的值唯一确定。

而样条是具有预定解析性质的分段多项式，除了结点数目外，插值结点组对于诸样条结点的分布状态也直接影响着它的适定性。

1953年，I. J. Schoenberg 与 A. Whitney 对于一元样条插值适定性问题的Schoenberg-Whitney 定理为一元n 次样条插值的适定结点组提供了一个很好的刻画。

但是对于插值结点相对于样条结点的分布状态还缺乏进一步的规律性的认识。