高2015届绵阳一诊理科数学试卷及答案(word版)
四川省绵阳市高中2015届高三第一次诊断性考试数学理试题 扫描版
绵阳市高2015级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DBDAC BACDAax+对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤1+x e-ax．10题提示：由1+x e≥b若a=0，则ab=0．若a >0，则ab ≤a 1+x e -a 2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f (x )的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．设)0(ln 2)(22>-=a a a a a g ，求导可以求出g(a )的最大值为32321)(e e g =， 即ab 的最大值是321e ，此时232321e b e a ==，．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．53-12．-1 13．40 14．3021 15．①③④15题提示：①容易证明正确．②不正确．反例：x x f =)(在区间[0，6]上．③正确．由定义：21020m m mx x --=--得1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又0x )11(，-∈所以实数m 的取值范围是)20(，∈m ．④正确．理由如下：由题知ab ab x --=ln ln ln 0．要证明abx 1ln 0<，即证明： b a a b ab a b a b ab a b a b -=-<⇔<--ln 1ln ln ，令1>=t ab ，原式等价于01ln 21ln 2<+-⇔-<t t t t t t ．令)1(1ln 2)(>+-=t t t t t h ，则0)1(12112)(22222<--=-+-=--='tt t t t t t t h ， 所以0)1(1ln 2)(=<+-=h tt t t h 得证．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω=)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin 2)(max πππ+==x f …………………………………10分3sin 4cos 23cos 4sin 2ππππ+==213+．…………………………………………………………12分17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分(Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分 ① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值；②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增，此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，2BC =， 由余弦定理：ABC BC BA BC BA AC ∠⋅⋅-+=cos 2222=52+22-2×5×2×51=25，∴ 5=AC ． ……………………………………………………………………3分又(0,)π∠∈ABC ，所以562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABC ACACB AB ∠=∠sin sin ，得562sin sin =∠⨯=∠AC ABC AB ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图， 则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 在△ABC 中，335145245cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ABC BC BA BC BA AC ， 即33=AC ．…………………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分(Ⅱ) 由题知=n c )12(2λ-+n n ． 若使}{n c 为单调递减数列，则B CDA E=-+n n c c 1)22(21λ-++n n -)12(2λ-+n n =0)1224(2<-+-+λn n n 对一切n ∈N *恒成立， …………………8分即： max )1224(01224+-+>⇔<-+-+n n n n λλ，又1224+-+n n =322232)1)(2(22++=++=++nn n n n n n n ，……………………10分 当1=n 或2时， max )1224(+-+n n =31． ∴31>λ．………………………………………………………………………12分20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，，∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a∴a 的取值集合为{1} ……………………………13分2015高考英语签约提分，保证最低涨10-40分，不达目标全额退费，详情QQ2835745855,其它各科试题及答案登陆QQ757722345或关注微信公众号qisuen21．解：(Ⅰ)由x e n x m x f +=ln )(得xxe xmx nx m x f ln )(--='(0>x )．由已知得0)1(=-='e nm f ，解得m =n ． 又ee nf 2)1(==，即n =2，∴ m =n =2．……………………………………………………………………3分(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得)ln 1(2)(x x x xex f x --='，令=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ，当x ∈(0，1)时，0)(>x p ；当x ∈(1，+∞)时，0)(<x p ，又0>x e ，所以当x ∈(0，1)时，0)(>'x f ； 当x ∈(1，+∞)时，0)(<'x f ， ∴ )(x f 的单调增区间是(0，1)，)(x f 的单调减区间是(1，+∞)．……8分(Ⅲ) 证明：由已知有)ln 1()1ln()(x x x xx x g --+=，)0(∞+∈，x ， 于是对任意0>x ，21)(-+<e x g 等价于)1()1ln(ln 12-++<--e x xx x x ，由(Ⅱ)知=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ，∴ )ln (ln 2ln )(2---=--='e x x x p ，)0(∞+∈，x ． 易得当)0(2-∈e x ，时，0)(>'x p ，即)(x p 单调递增；当)(2∞+∈-，e x 时，0)(<'x p ，即)(x p 单调递减． 所以)(x p 的最大值为221)(--+=e e p ，故x x x ln 1--≤21-+e ．设)1ln()(x x x q +-=，则01)(>+='x xx q ， 因此，当)0(∞+∈，x 时，)(x q 单调递增，0)0()(=>q x q ．故当)0(∞+∈，x 时，0)1ln()(>+-=x x x q ，即1)1ln(>+x x．∴ x x x ln 1--≤21-+e <)1()1ln(2-++e x x．∴ 对任意0>x ，21)(-+<e x g ． ……………………………………………14分。
四川省绵阳市南山实验高中高考数学一诊试卷理(含解析)
四川省绵阳市南山实验高中2015届高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x||2x﹣1|＞1}，则M∩N=（）A．{﹣2，1，2} B．{0，2} C．{﹣2，2} D．2．（5分）已知=（2，1），=（x，3），且∥，则x的值为（）A．2 B．1 C．3 D．63．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或274．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题5．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位6．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+37．（5分）若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A．0 B．4 C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．9．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负10．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=．12．（5分）计算log36﹣log32+4﹣3的结果为．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．14．（5分）已知x，y∈R+，x2+=1，则x的最大值为．15．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分）16．（12分）已知函数f（x）=2cos（x+）．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈，使得m+2=0恒成立，求实数m的取值范围．17．（12分）设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．19．（12分）已知二次函数f（x）=Ax2+Bx（A≠0），f（1）=3，其图象关于x=﹣1对称，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*均在y=f（x）图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式，并求S n的最小值；（Ⅱ）数列{b n}，，{b n}的前n项和为 T n，求证：﹣＜T n＜﹣．20．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx （a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．四川省绵阳市南山实验高中2015届高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x||2x﹣1|＞1}，则M∩N=（）A．{﹣2，1，2} B．{0，2} C．{﹣2，2} D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N，然后求解M∩N．解答：解：因为集合M={﹣2，0，1，2}，N={x||2x﹣1|＞1}={x|x＜0或x＞1}，则M∩N={﹣2，2}．故选C．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，注意元素的特征，考查计算能力．2．（5分）已知=（2，1），=（x，3），且∥，则x的值为（）A．2 B．1 C．3 D．6考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为0”的原则，我们可以构造一个关于x的方程，解方程即可得到答案．解答：解：∵平面向量=（2，1），=（x，3），又∵向量∥，∴x﹣2×3=0解得x=6故选：D．点评：本题考查的知识点是平行向量与共线向量，其中根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，是解答本题的关键．3．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，成等差数列，则=（）A．﹣1或3 B．3 C．27 D．1或27考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：已知各项均为正数的等比数列{a n}，设出首项为a1，公比为q，根据成等差数列，可以求出公比q，再代入所求式子进行计算；解答：解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=﹣1或3，∵正数的等比数列q=﹣1舍去，故q=3，∴====27，故选C；点评：此题主要考查等差数列和等比数列的性质，是一道基础题，计算量有些大，注意q=﹣1要舍去否则会有两个值；4．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题考点：特称命题；命题的否定．分析：利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；解答：解：对于A，命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确．对于B，“sinθ=”则θ不一定是30°，而“θ=30°”则sinθ=，所以是必要不充分条件，B不正确；对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”判断正确．对于D，p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”一假就假，所以为假命题，D正确．错误命题是B．故选B．点评：本题考查命题的真假的判断充要条件的应用，基本知识的考查．5．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．解答：解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．点评：本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．6．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A．0 B．4 C．D．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z最小值即可．解答：解：作出可行域如图，由，可得A，由，可得B（0，），由，可得C（0，﹣5）．A、B．C坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=﹣1时，z取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN 时x+y+1=0．z都取得最小值0．故选A．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．解答：解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．点评：本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．9．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（）A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据条件f（﹣x）=﹣f（x+4）转化为f（4﹣x）=﹣f（x），再根据函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，将x1转换为4﹣x1，从而4﹣x1，x2都在（2，+∞）的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断f（x1）+f（x2）的值的符号．解答：解：定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），将x换为﹣x，有f（4﹣x）=﹣f（x），∵x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，∴4﹣x1＞x2＞2，∵函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴f（4﹣x1）＞f（x2），∵f（4﹣x）=﹣f（x），∴f（4﹣x1）=﹣f（x1），即﹣f（x1）＞f（x2），∴f（x1）+f（x2）＜0，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性及应用，运用条件，正确理解函数单调性的定义，特别是单调区间，是解决此类问题的关键．10．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．解答：解：令g（x）=，则=，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即，所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得，由此能求出m=2．解答：解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．12．（5分）计算log36﹣log32+4﹣3的结果为﹣1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则以及指数的运算法则求法即可．解答：解：log36﹣log32+4﹣3=log3+2﹣4=1+2﹣4=﹣1．故答案为：﹣1点评：本题考查指数与对数的运算法则的应用，基本知识的考查．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（5分）已知x，y∈R+，x2+=1，则x的最大值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据椭圆的方程可设 x=cosθ、y=2sinθ，代入式子x化简后，根据基本不等式和平方关系求出式子的最大值．解答：解：由题意得，x，y∈R+，x2+=1，则设x=cosθ＞0，y=sinθ＞0，所以x===≤×==，当且仅当2cos2θ=1+2sin2θ时取等号，此时sinθ=，所以x的最大值为：，故答案为：．点评：本题考查椭圆的参数方程，以及基本不等式求最值问题，关键是变形后利用平方关系得到和为定值．15．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为（﹣1，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：创新题型．分析：首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．解答：解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，当x＜0时，f′（x）=3x2+1，因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，所以x1＞0，x2＜0 （否则根据导数相等得出A、B两点重合），所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3+1所以3﹣1=3+1，即，（x1＞x2，x2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．点评：本题考查了导数在研究切线方面的应用，同时考查了数形结合的思想，综合性较强，难度较大．本题的关键是把问题转化成图形的几何意义求解．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分）16．（12分）已知函数f（x）=2cos（x+）．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈，使得m+2=0恒成立，求实数m的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω=2，可得f（x）的最小正周期；由A，B的值，可得f（x）的值域；（2）若对任意x∈，使得m+2=0恒成立，f（x）+=，进而可得实数m的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=2cos（x+）sin（x+）﹣2cos2（x+）=sin（2x+）﹣cos（2x+）﹣=2sin（2x+﹣）﹣=2sin（2x+）﹣∵A=2，B=﹣，故f（x）的值域为，∵ω=2，故f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，2x+∈，故sin（2x+）∈，此时f（x）+=2sin（2x+）∈，由m+2=0恒成立得：m≠0，∴f（x）+=﹣，即﹣∈，解得：m∈，故实数m的取值范围为：点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．17．（12分）设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d 的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得b n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知a n=2n﹣1，n∈N*，∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，则T n=++…++．两式相减，得T n=+（++…+）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．18．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin，利用两角和的正弦公式计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．19．（12分）已知二次函数f（x）=Ax2+Bx（A≠0），f（1）=3，其图象关于x=﹣1对称，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*均在y=f（x）图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式，并求S n的最小值；（Ⅱ）数列{b n}，，{b n}的前n项和为 T n，求证：﹣＜T n＜﹣．考点：数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由f（1）=3，二次函数f（x）=Ax2+Bx的对称轴为x=﹣1列式求得A，B的值，则函数解析式可求，结合点（n，S n）在y=f（x）图象上得到数列数列的前n项和，由a n=S n﹣S n﹣1求得数列的通项公式．由函数的单调性求得S n的最小值；（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列{b n}的前n项和为T n，然后利用放缩法证得数列不等式．解答：（Ⅰ）解：f（1）=A+B=3，，∴A=1，B=2，f（x）=x2+2x，点均在y=f（x）图象上，∴①，（n≥2）②，①﹣②得S n﹣S n﹣1=2n+1，即a n=2n+1 （n≥2），又a1=S1=3，∴a n=2n+1（n∈N*）．由=（n+1）2﹣1，该函数在（Ⅱ）证明：，，==．即证，也就是证，∵，，∴右边成立，又T n随n的增大而增大，，左边成立．∴原不等式成立．点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．（13分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx （a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f （x）的极值；（Ⅱ）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；（Ⅲ）确定f（x）在上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得，从而可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．当a=1时，．令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值…（4分）（Ⅱ）===（5分）当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得．当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或；令f′（x）＞0，得．（7分）综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a＞2时，f（x）在和（1，+∞）单调递减，在上单调递增；当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和单调递减，在上单调递增（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在上单调递减，∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．∴∴ma+ln2＞（10分）而a＞0经整理得由2＜a＜3得，所以m≥0．（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．解答：解：（1）因为点P（1，﹣1）在曲线y=f（x）上，所以﹣m=﹣1，解得m=1．因为f′（x）=﹣1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=﹣1．（2）因为f′（x）=﹣m=．①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，则f （x）max=f （e）=1﹣me．②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，则f （x）max=f （e）=1﹣me．③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f （x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，则f （x）max=f （）=﹣lnm﹣1．④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f （x）在（1，e）上单调递减，则f （x）max=f （1）=﹣m．综上，①当m≤时，f （x）max=1﹣me；②当＜m＜1时，f （x）max=﹣lnm﹣1；③当m≥1时，f （x）max=﹣m．（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f （x1）=f （x2）=0，所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．因为m=，所以即证明＞，即ln＞．令=t，则t＞1，于是lnt＞．令ϕ（t）=lnt﹣（t＞1），则ϕ′（t）=﹣=＞0．故函数ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，所以ϕ（t）＞ϕ（1）=0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．点评：本题是关于导数的综合应用，利用导数求斜率，求函数的单调区间以及区间上的最值是最主要的题型之一．。
2015年绵阳一诊数学试卷(文科、理科+答案)
数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCBD BACCC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．[)∞+，10 12．3 13．a ≥2 14．7 15．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1，∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)，∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα． ……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2(a n +1)．∴ 2111=+++n n a a （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，∴ n n n a 22211=⋅=+-，于是a n =2n -1． ………………………………………6分（2）∵n n n b 2=.…………………………………………………………………7分 ∴ n n n S 2232221321++++= ， 两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S 两式相减得 12221212121+-+++=n n n n S 12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n ， ∴n n n n S 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分∴ 当a =10时，a n =10n +70，∴ 8.070101040>++=n n a b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分（2）由题意：n n n n a b a b >++11(n >1)， 即 an n na n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分 整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0，即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0，化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD . ∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)( ><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6. …………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ， 由正弦定理可得ADC AC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分 在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ， 由正弦定理可得：AEC AC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， ……6分 ∴ θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCE θθc o s )120sin(11627⋅-︒⋅=，………………………7分令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º，∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++= )602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1，∴ 43≤f (θ)≤2143+，∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴ DCE S ∆≥)32(427-， 即DCE S ∆的最小值为)32(427-．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-ab，23-=a c ， 得b =3a ，c =-6a ．………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11， 把b =3a ，c =-6a ，代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1． ……………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(3633)(2-+=-+='x x x x x g ． 列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=有两个交点， 于是29<m <10.…………………………………………………………………13分 21．解：（1）∵ a xx f -='1)(，x >0， ∴ 当a <0时，0)(>'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是增函数．当a >0时， x ∈(0，a 1)时0)(>'x f ，f (x )在(0，a 1)上是增函数；x ∈(a 1，+∞) 时0)(<'x f ，f (x )在(a1，+∞)上是减函数．∴ 综上所述，当a <0时f (x )的单调递增区间为(0，+∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，a1)，f (x )的单调递减区间为(a1，+∞)．…………5分 （2）当a=1时，()ln 1f x x x =-+，∴ 1ln ln ln ln 12121211221212---=-+--=--=x x x x x x x x x x x x y y k ，∴ 1212ln ln 1x x x x k --=+.要证2111x k x <+<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<， 令21x t x =(1t >)，即证11ln 1t t t-<<-(1t >). 令()ln 1k t t t =-+(1t >)，由(1)知，()k t 在(1，+∞)上单调递减， ∴ ()()10k t k <=即ln 10t t -+<， ∴ ln 1t t <-．①令1()ln 1h t t t=+-(1t >)，则22111()t h t t t t-'=-=>0， ∴()h t 在(1，+∞)上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-(1t >)．② 综①②得11ln 1t t t -<<-(1t >)，即2111x k x <+<．……………………9分 （3）由已知)21(2)(xk ax x f ->-+即为)2()1(ln ->-x k x x ，x >1， 即02)1(ln >+--k kx x x ，x >1．令k kx x x x g 2)1(ln )(+--=，x >1，则k x x g -='ln )(． 当k ≤0时，0)(>'x g ，故)(x g 在(1，+∞)上是增函数， 由 g (1)=-1-k +2k =k -1>0，则k >1，矛盾，舍去．当k >0时，由k x -ln >0解得x >e k ，由k x -ln <0解得1<x <e k ， 故)(x g 在(1，e k )上是减函数，在(e k ，+∞)上是增函数， ∴ )(x g min =g (e k )=2k -e k ．即讨论)(x g min =2k -e k >0(k >0)恒成立，求k 的最小值． 令h (t )=2t -e t ，则t e x h -='2)(， 当t e -2>0，即t <ln2时，h (t )单调递增， 当t e -2<0，即t >ln2时，h (t )单调递减， ∴ t =ln2时，h (t )max =h (ln2)=2ln2-2. ∵ 1<ln2<2， ∴ 0<2ln2-2<2．又∵ h (1)=2-e <0，h (2)=4-e 2<0， ∴ 不存在整数k 使2k -e k >0成立．综上所述，不存在满足条件的整数k ．………………………………………14分绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADD BACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(]100，12．3 13．a ≥2 14．2 15．①③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分 由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1， ∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα．……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +λ，可得a n +1+λ=2(a n +λ)．∵ a 1=1，当a 1+λ=0，即λ=-1时，a n +λ=0，此时{a n +λ}不是等比等列． …………3分 当a 1+λ≠0，即λ≠-1时，21=+++λλn n a a （常数）．此时，数列}{λ+n a 是以λλ+=+11a 为首项，2为公比的等比数列，∴ 12)1(-⋅+=+n n a λλ，于是12)1(-⋅+=+n n a λλ． ………………………6分 （2）当λ=1时，a n =2n -1，∴ n n nb 2=. ……………………………………………………………………7分 ∴ n n nS 2232221321++++= ，两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S两式相减得 12221212121+-+++=n n n nS12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n， ∴nn n nS 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分 ∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴8.070101040>++=n na b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分 即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …………6分 （2）由题意：nnn n a b a b >++11， 即an nna n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0， 即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0， 化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD .∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)(><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6.…………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADCAC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分 在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AECAC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， …6分 ∴θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCEθθc o s)120sin(11627⋅-︒⋅=， …………………7分 令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º， ∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++=)602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º， ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1， ∴43≤f (θ)≤2143+， ∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴)32(427-≤DCE S ∆≤12327．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-ab，23-=a c ， 得b =3a ，c =-6a . ………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11，把b =3a ，c =-6a 代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1.………………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(333)(2-+=-+='x x b x x x g ． 列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意，知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=仅有一个交点， 于是m =10或0<m <29. ………………………………………………………13分 21．解：（1）1111)(+=-+='x xx x f ， ∴当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ，即f (x )在(-1，0)上是增函数，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是减函数．∴ f (x )的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f (x -1)+x >k )31(x -变形得)31()1(ln xk x x x ->+--，整理得x ln x +x -kx +3k >0，令g (x )=x ln x +x -kx +3k ，则.2ln )(k x x g -+=' ∵ x >1， ∴ ln x >0若k ≤2时，0)(>'x g 恒成立，即g (x )在(1，+∞)上递增， ∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21->k ， ∴ .221≤<-k 又∵ k ∈Z ， ∴ k 的最大值为2．若k >2时，由ln x +2-k >0解得x >2-k e ，由ln x +2-k <0，解得1<x <2-k e . 即g (x )在(1，2-k e )上单调递减，在(2-k e ，+∞)上单调递增． ∴ g (x )在(1，+∞)上有最小值g (2-k e )=3k -2-k e ， 于是转化为3k -2-k e >0(k >2)恒成立，求k 的最大值． 令h (x )=3x -2-x e ，于是23)(--='x e x h ．∵ 当x >2+ln3时，0)(<'x h ，h (x )单调递减，当x <2+ln3时0)(>'x h ，h (x )单调递增． ∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值． ∵ 1<ln3<2， ∴ 3<2+ln3<4， ∵ 013)1(>-=eh ，h (2+ln3)=3+3ln3>0，h (4)=12-e 2>0，h (5)=15-e 3<0， ∴ k ≤4．∴ k 的最大取值为4．∴ 综上所述，k 的最大值为4.…………………………………………………9分 （3）假设存在这样的x 0满足题意，则 由20)(210x a e x f -<等价于01120020<-++x e x x a （*）． 要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )=1122-++x ex x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可． ∵ )1()(xe a x x h -='， 令)(x h '=0，得e x =a1，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ， 在0<x <x 0时，)(x h '<0，在x >x 0时，)(x h '>0，∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )=1ln )(ln 22-++a a a a a， 下面只需证明：在0<a <1时，1ln )(ln 22-++a a a a a<0成立即可．又令p (a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，a ∈(0，1)， 则2)(ln 21)(a a p ='≥0，从而p (a )在a ∈(0，1)时为增函数． ∴ p (a )<p (1)=0，因此x 0=-ln a 符合条件，即存在正数x 0满足条件． …………………………………………………14分。
2015年高考理科数学(新课标全国卷1)(含解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|= （ ）A ．1BCD ．2 2．sin 20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A．BC ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2nn n ∀∈N 2，＞ B ．2nn n ∃∈N 2，≤ C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212 xC y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A．( B．( C．( D．( 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3[)21,e -B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数()=(ln f x x x 为偶函数，则a =________.14．一个圆经过椭圆22=1164x y +的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i ωω=8i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c =＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.1sin20cos10cos20sin10sin302+==，故选10<数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）2exy，AB 的取值范围是(62,62)-+．11111111=235572123n b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=AC FG G=，⊥平面AFC⊂平面AEC3数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）60（Ⅰ）连接AE 90， 90，90，∴DE 是圆1AE =，CE BE ，212x -，解得∴60ACB ∠=．90，可得1sin45=2．数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word版含答案
2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试数 学（理工农医类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}102,73<<=<≤=x x B x x A ,则=B A(A) {}73<≤x x (B) {}73<<x x (C) {}72<≤x x (D) {}102<≤x x 2.函数)2sin(1π-+=x y 的图象(A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线2π=x 对称3．二项式52)1xx +（的展开式中，x 的系数为 (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 254.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ， 则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件. ③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是 (A) 2 (B) 4(C) 8(D) 166.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点)24(--，P 的抛物线的标准方程是 (A) x y -=2(B) y x 82-=(C) x y 82-=或y x -=2(D) x y -=2或y x 82-=7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起， 则不同的站法有 (A) 192种(B) 120种(C) 96种 (D) 48种8.已知单位向量m 和n 的夹角为60,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A) 30(B) 60 (C) 120 (D) 1509.双曲线)0,012222>>=-b a by a x （的左右焦点为21F F ，,P 是双曲线右支上一点，满足条件212F F PF =,直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为(A)45(B)3 (C)332 (D)3510.设函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是(A) 2 (B)12 (C) 14 (D)第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知i 是虚数单位，则21i i=+▲.12.函数x x x f ln )(2+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲.13.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为▲.14.在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A 的中心，点Q 在线段PD 上运动，则异面直线BQ 与11D A 所成角θ最大时，=θcos ▲.15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有正确结论的序号是▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 16.（本题满分12分）已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；（II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.17.（本题满分12分）在2014年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：℃)有关，若日平均气温不超过15 ℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15℃但不超过20 ℃，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20 ℃，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门预测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15 ℃，超过15 ℃但不超过20 ℃，超过20 ℃这三种情况发生的概率分别为P 1，P 2，P 3，又知P 1，P 2为方程5x 2－3x ＋a ＝0的两根，且P 2＝P 3. （I ）求P 1，P 2，P 3的值；（II ）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)，求ξ的分布列及数学期望．18.（本题满分12分）如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC.（I ）证明:GH //平面ACD ；（II ）若AC=BC=BE =2,求二面角O-CE-B 的余弦值.19. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)21,12-=n （b ,满足条件b a λ=,R ∈λ且0≠λ.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设函数x x f )21()(=，数列{}n b 满足条件21=b ，)(,)3(1)(1*+∈--=N n b f b f n n(i) 求数列{}n b 的通项公式；(ii)设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 和n T .20. （本题满分13分）已知点Q P ,的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，直线QM PM ,相交于点M ,且它们的斜率之积是14-（I ）求点M 的轨迹方程；（II ）过点O 作两条互相垂直的射线，与点M 的轨迹交于,A B 两点.试判断点O 到直线AB的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由.21. （本题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=234)(，在y 轴上的截距为5-，在区间[]10，上单调递增，在[]21，上单调递减，又当2,0==x x 时取得极小值. （I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）能否找到函数)(x f 垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；（Ⅲ）设使关于x 的方程5)(22-=x x f λ恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，且两个非零实根为12,x x ,试问：是否存在实数m ，使得不等式2122x x tm m -≤++对任意[]A t ∈-∈λ,3,3恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.高中2012级一诊测试数学（理工类）试题参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题（每小题5分，共25分）11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13. 4π14. 15. ①③④三、解答题（共75分）16.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)42sin(2πω+x ..................................................................（4分）∵π=T 且0ω>， 故1,22==ωπωπ则......................................................................（6分）(2):由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ................................................................................（7分） ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx .......................................................................................（9分）∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y 取得最大值为2............................................（12分）17.解：（I ）由已知得1231223135P P P P P P P++=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得：123122,, (4555)P P P ===（分） （II ）ξ的可能取值为200，250，300，350，400...........................5（分）11(200),55124(250)2,552512228(300)2,555525228(350)2,5525224(400) (105525)P P P P P ξξξξξ==⨯==⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=（分）随机变量ξ的分布列为所求的数学期望为14884200250300350400320() (122525252525)E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=瓶（分）18.解： (1)证明：连结GO,OH∵GO//AD,OH//AC ...................................................................................................................（2分）∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O ...............................................................（.4分） ∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD.....................................................................................................................（6分） (2)法一：以CB 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系 则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)平面BCE 的法向量)0,1,0(=m ，设平面OCE 的法向量),,(000z y x n =.......................（8分）)0,1,1(),2,0,2(==CO CE∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CO n CE n 则⎩⎨⎧=+=+0220000y x z x ，故⎩⎨⎧-=-=0000x y x z令)1,1,1(,10-=-=n x ..........................................................................................................（10分）∵二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则33311cos cos =⨯<=m θ................................................................（12分）法二：过H 作HM ⊥CE 于M ，连结OM∵DC ⊥平面ABC ∴平面BCDE ⊥平面ABC 又∵AB 是圆O 的直径 ∴AC ⊥BC,而AC//OH∴OH ⊥BC ∴OH ⊥平面BCE ..........................................................................................（8分） ∴OH ⊥CE ,又HM ⊥CE 于M ∴CE ⊥平面OHM∴CE ⊥OM ∴OMH ∠是二面角O-CE-B 的平面角...................................................（10分） 由,~CBE Rt CMH Rt ∆∆且CE=22. ∴2212=⇒=HM CE CH BE HM ∴22=HM 又OH=121=AC分）∴332622cos ===∠OH HM OMH ......................................................................................（12分）19.（Ⅰ）因为a=λb 所以22,12211-=-=+n n n n S S .当2≥n 时，n n n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+- ...........................................（2分）当1=n 时，2221111=-==+S a ，满足上式所以n n a 2= ..................................................................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）)3(1)(,)21()(1n n x b f b f x f --==+ 11(b )(3)n n f f b +=--n n b b --=∴+3)21(1)21(1nn b b +=∴+321211∴ 31+=+n n b b3-1=+n n b b ，又2)1(1=-=f b ∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列∴13-=n b n ................................................................（8分）（ⅱ） n n n nn a b c 213-==n n n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=- 143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n nn n n T-得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T 1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （n n n n T 213)21-1321--+=-（nn n n T 21323-321--+=- nn n T 253-5+= ................................................................（12分）20.（Ⅰ）解：,)Mx y （，由题可得1.224y y x x =-+- ..............................（4分） 2214x y +=所以点M 的轨迹方程为2214x y +=2)x ≠±（ . .............................（6分 ） （Ⅱ）点O 到直线AB 的距离为定值 ，设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； ............................（8分）② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与2212)4x y x +=≠±（联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+ ............................（9分） 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k所以2222222448(1)01414m k m k m k k-+-+=++，整理得2254(1)m k =+，........................（12分 ）所以点O 到直线AB 的距离d ==综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552........................（13分 ）21.解：（Ⅰ）易知5c =- ……………………(1分)又32()432f x x ax bx '=++由(1)0f '=，得32 4.................................a b +=-①……………………(2分) 令()0f x '=，得2(432)0x x ax b ++=由(2)0f '=，得380.................................a b ++=②……………………(3分)由①②得4,4b a ==- 432()445f x x x x ∴=-+- ……………………(4分)（Ⅱ）若()f x 关于直线x t =对称（显然0t ≠）， 则取点(0,5)A -关于直线对称的点(2,5)A t '-必在()f x 上，即(2)5f t =-，得22(21)0t t t -+= ……………………(6分) 又0t≠1t ∴= ……………………(7分)验证，满足(1)(1)f x f x -=+ ……………………(9分)（也可直接证明()()f t x f t x -=+，计算较繁琐；） （Ⅲ）由（1）知，432224455x x x x λ-+-=-，即4322244x x x x λ-+=又0x=为其一根，得224(4)0x x λ-+-=22164(4)40λλ∴∆=--=>且21240x x λ=-≠故{|022}A R λλλλ=∈≠≠≠-且且 ……………………(10分)版权所有：中华资源库 又1221244x x x x λ+=⎧⎨=-⎩，得222121212()()44x x x x x x λ-=+-=， 12||2||x x λ∴-=，故,2||0A λλ∀∈>且2||4λ≠ , ……………………(11分) 2[3,3],,22||t A m tm λλ∴∀∈-∈++≤对使恒成立’ 即只需[3,3],t ∀∈-220m tm ++≤恒成立 ……………………(12分) 设2()2,[3,3]g t mt m t =++∈-(3)012(3)021g m g m ≤≤≤⎧⎧∴⇒⇒⎨⎨-≤-≤≤-⎩⎩无解即不存在满足题意的实数m. ……………………(14分)。
2015年3月2015届高三第一次全国大联考(四川版)理数卷(正式考试版)
第1页 共2页 ◎第2页 共2页 【2015年第一次全国大联考【四川卷】理科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分 命题人：学科网大联考命题中心第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝{x |ln 12x +＜1}，N 是自然数集，则A ∩N ＝( )A .{1，2，3，4}B .{0，1，2，3，4，5}C .{1，2，3，4，5}D .{0，1，2，3，4} 2.已知i 是虚数单位，则复数z ＝2ii+的共轭复数在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知命题p :∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0.则⌝p 是( ) A .∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0 B .∃x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0 C .∀x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0D .∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥04.十字路口的信号灯计时器是由7根发光灯管构成(如图)，每根灯管的功率为50瓦，为节约能源，交管部门决定将其更换为节能发光管，每根灯管的功率仅为10瓦， 如果一天内这个计时器都是从9秒倒计时到0秒，并循环往复，那么，经过更换， 这个计时器每天(24小时)可以节约的电量约为( )A .4.3千瓦时B .4.5千瓦时 .4.7千瓦时 D .5.0千瓦时 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，现需要用一个球装下这个几何体，则该球的体积最小为( ). ABCD6.已知函数的部分图象如右图所示，则Φ＝( ) A .π6- B .π6 C .π3- D .π37.已知实数x y 、满足约束条件22,24,4 1.x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩若()(),,3,1a x y b ==-，设z 表示向量a 在向量b方向上射影的数量，则z 的取值范围是( )A .3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B .[]1,6- C.⎡⎢⎣ D.⎡⎢⎣ 8.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A .若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β B .若l ∥α，l ∥β，则α∥βC .若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βD .若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β9.已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的中心为O ，左焦点为F ，P 是双曲线上的一点0OP PF ⋅=uu u r uu u r 且24OP OF OF ⋅=u u u r u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率是( )ABCD10.已知定义在{|,}x x k k Z ≠∈上的奇函数()f x 对定义域内的任意实数x 满足:(2)()f x f x +=-，且1＜x ＜2时，f (x )＝x 2－x ，则下列结论错误．．的是( ) A .函数f (x )的周期为4;B .y ＝f (x )在32x =处的切线的斜率为2; C .f (x )在(2014，2015)上单调递减;D .方程f (x )＝log 2|x |的解的个数为6.第Ⅱ卷(共100分)二、填空题(每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上)11.已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行， 则它们之间的距离是___________ 12.设，则的值为_________.13.执行下列程序框图，则输出m 的的值为_______.14.若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ______.15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数Φ(x)组成的集合：对于函数Φ(x)，存在一个正数M ，使得函数Φ(x)的值域包含于区间[],M M -.例如，当Φ1(x)＝x 3，Φ2(x)＝sinx 时，Φ1(x)∈A ，Φ2(x)∈B.现有如下命题：()10102210102xa x a x a a x+⋅⋅⋅+++=-()()293121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++第3页 共4页 ◎第4页 共4页 ①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则； ④若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号)三、解答题 (本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)一次数学测验，某班50名的成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五段：第一段[90，100)，第二段[100，110)，……，第五段[130，140].按上述分段方法得到 的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良 好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的 人数； (Ⅱ)现将分数在[90，110)内同学分为第1组，在[110， 120)内的分为第2组，在[120，140)内的分为第3组， 然后从中随机抽取2人，用ξ表示这2人所在组数之 差的绝对值，求ξ的分布列和期望.17.(本小题满分12分)已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f ，其中ω是使得函数图象相邻两对称轴间的距离不超过23π的最小正整数，若将)(x f 的图象先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数. (Ⅰ)求)(x f 的解析式，并求)(x f 的对称中心； (Ⅱ)△ABC 中，如果f (26B π+)＝1，b ＝且asinA －bsinB ＝sinC (c)，求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)已知∠ABC ＝45°，B 、C 为 定点且BC ＝3，A 为动点，作AD ⊥BC ，垂足 D 在线段BC 上且异于点B ，如图1。
2012—2015年绵阳一诊考试(理数)汇编：(选填题)
考点一向量线性运算
（2010级，6）如图，在 中， ， ，若 ，
，则 ( )
A． B．
C． D．
（2012级，4）如图，正六边形 的边长为1，则 ( )
A．
B．
C．3
D．
考点二向量坐标运算
（2011级，3）若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与b的夹角为( )
A．0B． C． D．π
A． B． C． D．
考点五函数图象
（2011级，6）已知函数 在 上是奇函数，且是增函数，则函数g(x)=loga(x-k)的大致图象是( )
A．B．C．D．
（2012级，9）已知函数 的图象上关于 轴对称的点至少有3对，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
考点六函数零点
（2010级，5）函数 的零点所在的区间为( )
考点二基本不等式的应用
（2011级，7）若正数a，b满足 ，则 的最小值为( )
A．1B．6C．9D．16
【专题七】数列
（2010级，3）已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
（2011级，11）设数列 的前 项和 ，则 __________．
（2011级，3）设各项均不为0的数列 满足 ， 是其前n项和，若 ，则 ( )
A． B．
C． D．
（2012级，2）下列说法中正确的是( )
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ≤1”
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ≤1”
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”
D．命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ≥ ，则 ≥ ”
考点三复合命题真假判断
2015年全国1卷高考理科数学试卷及答案(精校word详细解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(A )32-(B )32 (C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 (5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：=1 上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 (7)设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC =-(8)函数f （x ）=cos （ωx+ϕ）的部分图像如图所示， 则f (x )的单调递减区间为A ．（k π﹣，k π+，），k ∈z B ．（2k π﹣，2k π+），k ∈z C ．（k ﹣，k+），k ∈zD ． （，2k+），k ∈z(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝(A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20π，则r ＝(A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ,其中a 1,若存在 唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ . (14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ______________________ .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ______________________ .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，2243n n n a a S +=+ (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设 11n n n b a a +=，求数列}的前n 项和.(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC ＝120°E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()i ii w w yy =--∑46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑A B C F E D(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点.(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- .(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若OA= CE ，求∠ACB 的大小．(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I ）理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题 数学理 Word含答案
绵阳南山中学. 南山中学实验学校绵阳市“一诊”模拟考试试题理科数学本试卷分I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.集合{}2,0,1,2M -=，{}211N x x =->,则N M ⋂=( ) A.｛-2,1,2｝ B.｛0,2｝ C.｛-2，2｝ D.［-2，2］2.已知a =(2,1), (),3b x =,且 b a//，则x 的值为（ ）A.2B.1C.3D.63.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1113810a aa a +=+（ ）A.1-或3B.3C.1或27D.27 4.下列说法错误的是 （ ）A ．若2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠；B ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件；C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；D ．若1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题.8.已知函数(){2014sin ,01log ,1x x x x f x π≤≤>=若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则a b c++的取值范围是( ).A.(1,2014)B.(1,2015)C.[2,2015]D.(2,2015)9.已知定义为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增.如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ） A. 恒小于0B.恒大于0C ．可能为0D ．可正可负10.设函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意x R ∈都有()()'f x f x >成立，则（ ） A. 3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f <C. 3(ln 2)2(ln3)f f =D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．) 11.幂函数2(33)m y m m x =-+过点()2,4，则m = . 12. 计算31log 4233log 6log 243-+- 的结果为 .13已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=. 若1AE AF ⋅=，则λ的值为 .14.已知22,,12y x y R x +∈+=，则12的最大值为 . 15.已知()()()112212,,,A x y B x y x x >是函数()3f x x x=-图象上的两个不同点，且在,A三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共75分） 16. （本小题满分12分）已知函数()2cos sin 333f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（Ⅰ）求()f x 的值域和最小正周期；（Ⅱ）若对任意0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()20m f x ⎡++=⎣恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足12121 (12)n n n b b b a a a +++=-，*n N ∈，求{}n b 的前n 项和n T18. （本小题满分12分）已知函数())(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-≤<的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. （I ）求ω和ϕ的值；（II ）若()2f α= ,( 263ππα<<)，求3cos()2πα+的值.19. （本小题满分12分）已知二次函数2()(0),(1)3,f x Ax Bx A f =+≠=其图象关于1x =-对称，数列{}n a 的前n 项和为n S ,点()()*,n n S n N ∈均在()y f x =图象上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式，并求n S 的最小值； （Ⅱ）数列{}n b , 1n nb S =, {}n b 的前n 项和为n T ,求证：11313443n T n n -<<-+.20．（本小题满分13分）设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈）． （Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的极值； （Ⅱ）当R a ∈时，讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅲ）若对任意(2,3)a ∈及任意1x ，[]2,12∈x ，恒有12ln 2()()ma f x f x +>-成立，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分14分） 已知()ln ()f x x mx m R =-∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =过点P(1,1)-，求曲线在P 点处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证212x x e >.绵阳南山中学. 南山中学实验学校绵阳市“一诊”模拟考试试题理科数学参考答案一、CDDBA CADAB 二、填空题11.2 12. -1 13．2 14. 3815.（-1,0）三、解答题16.解： (1)f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－23cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3.∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. ∴－2－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3≤2－3，T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，此时f(x)＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[3，2].由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋3＝－2m，即3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1.17.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d,(d 0≠),则2514,,a a a 构成等比数列，∴22145a a a =，即2(14)(1))113)d d d +=++ 解得d=0（舍去）或d=2, ∴n a =1+2(n-1)=2n-1 ……………….3分（II ）由已知1212...n nb b b a a a +++112n =-（*n N ∈） 当n=1时，11b a =12； 当2n ≥时，n nb a =（112n -）11(1)2n ---=12n ，∴n nb a ==12n ，（*n N ∈） 由（I ），n a =2n-1（*n N ∈），∴212n nn b -=（*n N ∈）…………7分 12313521...2222n nn T -=++++ 2341113521 (22222)n n n T +-=++++ 两式相减得234111222221(...)2222222n n n n T +-=+++++-，=113121222n n n -+---， ∴n T =2332nn +- …………….12分 18.解：（I ）6π-φ2ω,.6π-φ)6π-2sin(3)12π-(2sin 3f(x)∴2πφ≤2π-0)12π()4-3π(∴3π2ω⇒|ω|π2∴π=====<======，所以，，且为对称轴由题可知，周期x x f T f x T T ………………………….5分（II ）8153)23παcos(,.8153214152341)23παcos(∴.415)6π-αcos(2π6π-α0∴32πα6π21)6π-αcos(23)6π-αsin(]6π)6π-αsin[(αsin )23παcos(41)6π-αsin(43)6π-αsin(3∴43)2α(+=++=•+•=+=<<<<•+•=+==+===所以，，即 f……………………12分 19.解：（1）(1)3,12Bf A B A=+=-=-, ∴21,2,,()2A B f x x x ===+ ……………..1分点()()*,n n S n N ∈均在y=f(x)图象上，∴22n S n n =+①………………..2分21(1)2(1)n S n n -=-+-（2n ≥）②①-②得121n n S S n --=+，即n a =2n+1 （2n ≥）……………………….4分， 又113a s == ……………5分∴n a =2n+1（*n N ∈） ………………6分 （2）211111()(2)222n b n n n n n n===-+++ ………………….7分 111111[(1)()...()23242n T n n =-+-++-+] =1111[(1)]2212n n +--++=3111()4212n n -+++ ………9分即证313111()434212n n n ->-++++ 即证211()312n n n <++++， 1111,3132n n n n <<++++，所以右边成立……..10分， 又n T 随n 的增大而增大，1111334n T T n>=>-，左边成立…………..11分 所以，原不等式成立 . ……………………….12分 20.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，当1a =时，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x-=-=-= 令'()0, 1.f x x ==得，当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >，()(0,1)f x ∴在单调递减，在(1,)+∞单调递增，()(1)1f x f ∴==极小值，无极大值 ；…… 4分 （Ⅱ）21(1)1[(1)1](1)'()(1)a x ax a x x f x a x a x x x-+--+-=-+-==1(1)()(1)1a x x a x----=………………5分 ①1a ≤时，(1)10a x -+>,()f x 在(0,1)单减，(1,)+∞单增； ②12a <<时，111a >-，()f x 在(0,1)单增，在1(1,)1a -单减，1(,)1a +∞-单增；③当111a =-即2a =时，2(1)'()0,()(0,)x f x f x x -=-≤+∞在上是减函数；④当111a <-，即2a >时，令'()0f x <，得1011x x a <<>-或,令'()0f x >，得111x a <<- ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当(2,3)a ∈时，()[1,2]f x 在上单调递减，当1x =时，()f x 有最大值，当2x =时，()f x 有最小值，123|()()|(1)(2)ln 222a f x f x f f ∴-≤-=-+，3ln 2ln 222a ma ∴+>-+ ， 而0a >经整理得13113230,22422m a a a>-<<-<-<由得 0m ∴≥．……13分 21．解：（1）因为点P （1，-1）在曲线上，所以f(1)=-1,得m=1/1()1f x x=-，∴/(1)f =0，故切线方程为y=-1. ……3分 （2） /1()f x m x=-=1mxx-①当m ≤0时，(1,)x e ∈； (1,)x e ∈，/()f x >0, ()f x 单增，max ()f x =f(e)=1-me ； ② 当1e m ≥，即10m e<≤时，(1,)x e∈，/()f x >0, ()f x 单增，max ()f x =f(e)=1-me ；③ 当11e m <<时，即111e m <<时，(1,)x e ∈，()f x 在1(1,)m 单增，在1(,)e m单减， max ()f x =1()f m=ln 1m --④当11m≤即1m ≥时，(1,)x e ∈，/()f x 0<，()f x 单减，max ()f x = f(1)=-m∴()f x 在［1，e ］上的最大值max ()f x=………………………………8分(3)不妨设120x x >>，12()()0f x f x ==，∴11ln 0x mx -=，22ln 0,x mx -=1212ln ln ()x x m x x +=+，1212ln ln ()x x m x x -=-， 要证212x x e >，即证12ln ln x x +2>，即证12()m x x +2>，………10分1212ln ln x x m x x -=-，即证1212ln ln x x x x --122x x >+，即证12ln ln x x -12)122(x x x x ->+，即证1121222(1)ln 1x x x x x x ->+，……………12分 令12x x =t,则1t >，即证1ln 1t t t ->+，1()ln 1t t t t ϕ-=-+，则/()t ϕ=22214(1)0(1)(1)t t t t t --=>--，函数()t ϕ在(1,)+∞单增，∴()t ϕ(1)ϕ>=0，∴原不等式成立. ……………………14分。
绵阳市高中2015级第一次诊断性考试(理综)完整版
D。
6.某 鳞翅 目昆虫的性别决定方式为 ZW型 ,其 成年个体有 白色 、浅黄和深黄三种颜色 。体色
的遗传 由常染色体基因 的是
A。
B。 C。
a)和 性染色体基因
(z:、
zb)共 同决定 ,A和 z:共 同存在
时,表 现为深黄色 ,仅 有 A而 无 z:表 现为浅黄色 ,其 佘均为白色 。下列有关叙述不正确 该昆虫群体 ,与 体色有关的基因型种类雄性多于雌性 不考虑变异 ,白 色个体随机交配 ,后 代的体色均为白色
理科综合试题 第 2页 (共 12页
)
吏 嗣
10.柠 檬烯具有 良好的镇咳、祛痰 、抑菌作用 ,其 结构如图所示 。下列关于柠檬
A。
法正
确的是 分子式为 ClOH⒕ B。 能发生取代反应和加成反应 C。 属于 乙烯的同系物 D。 分子中所有碳原子可能都处于同一平面 上 11.炖 为阿伏加德罗常数的值 。下列说法正确的是 A。 1mo11g。 H^中 含有 11炼 个质子 B.标 准状况下 ,11.2L HF所 含原子数为 岷 C。 2.8g乙 烯和 一氧化碳 混合气体中,所 含分子总数为 0.1岷 D。 0.1moyL KI与 0.1mo1凡 FeCl3完 全反应转移的电子数为 0.1蚝 12.a、 b、 c、 d、 e为 原子序数依次增大且不同主族的短周期元素 ,a的 原子中只有 一个 电子; b3^与 d3+离 子的电子层结构相同 ;c原 子最外层电子数是次外层电子数的 3倍 。下列叙述 错误的是 A。 简单离子的半径 :c>d B。 简单氢化物的热稳定性 :o>b C.a、 b、 G可 能形成离子化合物 D。 e的 最高价氧化物对应的水化物是强酸 13.利 用一种微生物可将废水中苯酚的化学能直接转化为电能 ,装 置如图所示 。电池工作时 下列说法正确的是 A。 a为 正极 ,发 生氧化反应 B。 b极 上的电极反应为 低浓度 低浓度 Nol废 水 2NoⅠ +1⒉矿-1oe飞 =NzI+6H20
四川省绵阳市2015届高三第一次诊断试题 数学理 Word含答案
某某 ★ 启用前 【考试时间：2014年10月31日15:00—17:00】某某市高中2012级第一次诊断性考试数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。
第I 卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第I 卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1． 已知集合A ={x ∈Z |x 2-1≤0}，B ={x |x 2-x -2=0}，则A ∩B =(A) ∅(B) {2}(C) {0}(D) {-1}2．下列说法中正确的是(A)命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1” (B)命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1” (C)命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若22b a <，则b a <” (D)命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若2a ≥2b ，则a ≥b ”3．设各项均不为0的数列{a n }满足n n a a 21=+(n ≥1)，S n 是其前n 项和，若5422a a a =，则S 4=(A) 42(B)28 (C) 233+(D) 266+4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则DB AD ⋅=(A) -3 (B)3- (C) 3(D)35．已知53)4cos(=-x π，那么sin 2x =(A)2518 (B)2524±(C)257- (D)2576．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-，，，0330101y x y x y x 则2x -y 的最大值为(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4 7．已知x ∈[π-，π]，则“x ∈]22[ππ，-”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A)充要条件(B)必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件8．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 (A)c b a <<(B)c a b << (C)b a c <<(D)a b c <<9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值X 围是 (A) )330(，(B) )155(，(C))133(， (D))550(， 10．已知∈b a ，R ，且1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，则ab 的最大值是(A)321e (B)322e (C) 323e (D)3e第II 卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
2015年四川高考数学试卷试卷及参考答案(理科)word版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB （ ）A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3} 2.设i 是虚数单位，则复数32i i- =（ ） A.3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（ ） A.32 B.3212D.124.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+C. sin 2cos 2y x x =+ D sin cos y x x =+5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）（Ａ） （B ） （C ）6 （D ）6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则.AM NM =（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81210.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2012—2015年绵阳一诊考试(理数)汇编：函数与基本初等函数
绵阳市开元中学高2014级高三一轮复习绵阳市“一诊”考试（理工类）数学 解答题专题：函数与基本初等函数编辑：王小凤 学生姓名：（2010级，19）己知二次函数()y f x =的图象过点()1,4-，且不等式()0f x <的解集是()0,5. (I )求函数()f x 的解析式；(II)设()()34105g x x k x =--+若函数()()()2h x f x g x=+在[]4,2--上单调递增，在[]2,0-上单调递减，求()y h x =在[]3,1-上的最大值和最小值.（2011级，19）已知函数f (x )=x 2+bx +2，g (x )=|x 2-1|，x ∈R ．(I )若函数f (x )满足f (3+x )=f (-x )，求使不等式()()f x g x ≥成立的x 的取值集合；(II)若函数h (x )= f (x )+g (x )+2在(0，2)上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数b 的取值范围．（2011级，20）已知函数2lg(1)y tx x =+-的定义域为M ，t R ∈．(I )若32t =，求函数f (x )=2342x x +⋅-在M 上的最小值及相应的x 的值；(II)若对任意12x x M ∈，，函数22()1x tg x x -=+满足12()()3g x g x -<，求t 的取值范围．（2012级，17） 已知函数()()2log 2f t t =-为D ． (I )求D ；(II)若函数()222g x x mx m =+-在D 上存在最小值2，求实数m 的值．（2013级，20）已知()32112f x ax bx cx =++-的导函数为'()f x ，且不等式'()f x 0≥的解集为{}21x x -≤≤．(I )若函数()f x 的极小值为11-，求实数a 的值；· (II)当[]3,0x ∈-时，关于x 的方程()10f x ma -+=有唯一实数解，求实数m 的取值范围．。
2015年高考全国Ⅰ卷理科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前 试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学适用地区：河南 河北 山西 江西 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4． 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z 满足1 − z 1 − z= i ，则| z | =（A ）1（B（C（D ）2（2）sin20°cos10° − cos160°sin10° =（A ）-（B （C ）12-（D ）12（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n（D ）∃n ∈N, 2n =2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312（5）已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是（A ）（−33，33） （B ）（−36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233） （6） 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 （A ）14斛（B ）22斛 （C ）36斛（D ）66斛（7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（A ）1433AD AB AC =-+（B ）1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+（D ）4133AD AB AC =-（8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ） 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，如果输入的t = 0.01，则输出的n = （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（A ）10（B ）20（C ）30（D ）60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示。
南充市高2015届第一次诊断性考试_数学理科精彩试题扫描版含参考问题详解
市高2015届第一次高考适应性考试市高2015届第一次高考适应性考试数学（理科）参考答案及评分标准11.120 12.105 13.36 14. 15. ①③⑤ 三、解答题16. 解：)cos (sin 2)sin )(cos sin (cos )(x x x x x x x f -+-+=………………………2分 x x x x x x 2sin 2cos cos sin 2sin cos 22-=--= )42sin(2π--=x …………………………………………………………5分（1）由最小正周期公式得：π=T ………………………………………………6分（2）]43,4[ππ∈x ，则]45,4[42πππ∈-x令242ππ=-x ，则83π=x ，从而)(x f 在]83,4[ππ单调递减，在]43,83[ππ单调递增 ………………10分即当83π=x 时，函数)(x f 取得最小值2- ……………………………12分17.解：（1）根据茎叶图，有从事礼宾接待的志愿者12人，有从事语言翻译的志愿者18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51306=。
所以抽中的从事礼宾接待的志愿者有11226⨯=人，从事语言翻译的志愿者有11836⨯=人。
用事件A 表示“至少有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，则23257()1()110C P A P A C =-=-=………………………………………………………6分(2)由题意：ξ的可能取值为0，1，2，3.则3831214(0)55C P C ξ===,124831228(1)55C C P C ξ===,214831212(2)55C C P C ξ===,343121(3)55C P C ξ===, 因此，故0123155555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………12分18.解（1）证明：方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则N ABB C B 111面⊥,且在面N ABB 1，易证1BNB ∠为直角。
2015年四川省绵阳市南山实验高中高考数学一诊试卷(理科)
2015年四川省绵阳市南山实验高中高考数学一诊试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.集合M={-2，0，1，2}，N={x||2x-1|＞1}，则M∩N=（）A.{-2，1，2}B.{0，2}C.{-2，2}D.[-2，2]【答案】C【解析】解：因为集合M={-2，0，1，2}，N={x||2x-1|＞1}={x|x＜0或x＞1}，则M∩N={-2，2}．故选C．求出集合N，然后求解M∩N．本题考查集合的求法，交集的运算，注意元素的特征，考查计算能力．2.已知=（2，1），=（x，3），且∥，则x的值为（）A.2B.1C.3D.6【答案】D【解析】解：∵平面向量=（2，1），=（x，3），又∵向量∥，∴x-2×3=0解得x=6故选：D．根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为0”的原则，我们可以构造一个关于x的方程，解方程即可得到答案．本题考查的知识点是平行向量与共线向量，其中根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0，构造一个关于x的方程，是解答本题的关键．3.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，，，成等差数列，则=（）A.-1或3B.3C.27D.1或27【答案】C【解析】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，公比为q，∵，，成等差数列，∴a3=3a1+2a2，可得a1q2=33a1+2a1q2，解得q=-1或3，∵正数的等比数列q=-1舍去，故q=3，∴====27，故选C；已知各项均为正数的等比数列{a n}，设出首项为a1，公比为q，根据，，成等差数列，可以求出公比q，再代入所求式子进行计算；此题主要考查等差数列和等比数列的性质，是一道基础题，计算量有些大，注意q=-1要舍去否则会有两个值；4.下列说法错误的是（）A.若命题p：∃x∈R，x2-x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2-x+1≠0B.“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C.命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D.已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2-x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题【答案】B【解析】解：对于A，命题p：∃x∈R，x2-x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2-x+1≠0，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确．对于B，“sinθ=”则θ不一定是30°，而“θ=30°”则sinθ=，所以是必要不充分条件，B不正确；对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”判断正确．对于D，p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2-x+1＞0，则“p∧￢q”一假就假，所以为假命题，D正确．错误命题是B．故选B．利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；本题考查命题的真假的判断充要条件的应用，基本知识的考查．5.为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位【答案】A【解析】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．6.设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）-e x]=e+1（e 是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A.1B.e+lC.3D.e+3【答案】C【解析】解：设t=f（x）-e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7.若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是（）A.0B.4C.D.【答案】A【解析】解：作出可行域如图，由，可得A，，由，可得B（0，），由，可得C（0，-5）．A、B．C坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=-1时，z取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN时x+y+1=0．z都取得最小值0．故选A．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z 最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8.已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A.（1，2014）B.（1，2015）C.（2，2015）D.[2，2015]【答案】C【解析】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．9.已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（）A.恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负【答案】A【解析】解：定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），将x换为-x，有f（4-x）=-f（x），∵x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，∴4-x1＞x2＞2，∵函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴f（4-x1）＞f（x2），∵f（4-x）=-f（x），∴f（4-x1）=-f（x1），即-f（x1）＞f（x2），∴f（x1）+f（x2）＜0，首先根据条件f（-x）=-f（x+4）转化为f（4-x）=-f（x），再根据函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，将x1转换为4-x1，从而4-x1，x2都在（2，+∞）的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断f（x1）+f（x2）的值的符号．本题主要考查函数的单调性及应用，运用条件，正确理解函数单调性的定义，特别是单调区间，是解决此类问题的关键．10.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A.3f（ln2）＞2f（ln3）B.3f（ln2）=2f（ln3）C.3f（ln2）＜2f（ln3）D.3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定【答案】C【解析】解：令g（x）=，则′′=′，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即＜，所以＜，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.幂函数y=（m2-3m+3）x m过点（2，4），则m= ______ ．【答案】2【解析】解：∵幂函数y=（m2-3m+3）x m过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．由题意得，由此能求出m=2．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．12.计算log36-log32+4-3的结果为______ ．【答案】-1解：log36-log32+4-3=log3+2-4=1+2-4=-1．故答案为：-1直接利用对数的运算法则以及指数的运算法则求法即可．本题考查指数与对数的运算法则的应用，基本知识的考查．13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为______ ．【答案】2【解析】解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=-2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4-2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14.已知x，y∈R+，x2+=1，则x的最大值为______ ．【答案】【解析】解：由题意得，x，y∈R+，x2+=1，则设x=cosθ＞0，y=sinθ＞0，所以x===≤×==，当且仅当2cos2θ=1+2sin2θ时取等号，此时sinθ=，所以x 的最大值为：，故答案为：．根据椭圆的方程可设x =cos θ、y =2sin θ，代入式子x 化简后，根据基本不等式和平方关系求出式子的最大值．本题考查椭圆的参数方程，以及基本不等式求最值问题，关键是变形后利用平方关系得到和为定值．15.已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＞x 2）是函数f （x ）=x 3-|x |图象上的两个不同点，且在A ，B 两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ______ ． 【答案】 （-1，0） 【解析】解：由题意，f （x ）=x 3-|x |=，， ＜， 当x ≥0时，f ′（x ）=3x 2-1， 当x ＜0时，f ′（x ）=3x 2+1，因为在A ，B 两点处的切线互相平行，且x 1＞x 2， 所以x 1＞0，x 2＜0 （否则根据导数相等得出A 、B 两点重合），所以在点A （x 1，y 1）处切线的斜率为f ′（x 1）=3 -1，在点B （x 2，y 2）处切线的斜率为f ′（x 2）=3 +1所以3 -1=3+1， 即，（x 1＞x 2，x 2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（-1，0），故答案为：（-1，0）．首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A ，B 两点处的切线互相平行，即在A ，B 两点处的导数值相等，分析出A 点在y 轴的右侧，B 点在y 轴的左侧．根据A ，B 两点处的导数相等，得到x 1与x 2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．本题考查了导数在研究切线方面的应用，同时考查了数形结合的思想，综合性较强，难度较大．本题的关键是把问题转化成图形的几何意义求解．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f （x ）=2cos （x +）[sin （x +）- cos （x +）]． （1）求f （x ）的值域和最小正周期；（2）若对任意x∈[0，]，使得m[f（x）+]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）=2cos（x+）sin（x+）-2cos2（x+）=sin（2x+）-cos（2x+）-=2sin（2x+-）-=2sin（2x+）-∵A=2，B=-，故f（x）的值域为[-2-，2-]，∵ω=2，故f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故sin（2x+）∈[，1]，此时f（x）+=2sin（2x+）∈[，2]，由m[f（x）+]+2=0恒成立得：m≠0，∴f（x）+=-，即-∈[，2]，解得：m∈[，-1]，故实数m的取值范围为：[，-1]【解析】（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω=2，可得f（x）的最小正周期；由A，B的值，可得f（x）的值域；（2）若对任意x∈[0，]，使得m[f（x）+]+2=0恒成立，f（x）+=，进而可得实数m的取值范围．本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．17.设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴a n=1+（n-1）×2=2n-1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1--（1-）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知a n=2n-1，n∈N*，∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，则T n=++…++．两式相减，得T n=+（++…+）-=--，∴T n=3-．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1--（1-）=，再由（Ⅰ）可求得b n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．18.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合-≤φ＜可得φ=-．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α-）=，∴sin（α-）=．再根据0＜α-＜，∴cos（α-）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α-）+]=sin（α-）cos+cos（α-）sin=+=．【解析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合-≤φ＜可得φ的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α-）=．再根据α-的范围求得cos（α-）的值，再根据cos （α+）=sinα=sin[（α-）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．19.已知二次函数f（x）=A x2+B x（A≠0），f（1）=3，其图象关于x=-1对称，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*均在y=f（x）图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式，并求S n的最小值；（Ⅱ）数列{b n}，，{b n}的前n项和为T n，求证：-＜T n＜-．【答案】（Ⅰ）解：f（1）=A+B=3，，∴A=1，B=2，f（x）=x2+2x，点，均在y=f（x）图象上，∴①，（n≥2）②，①-②得S n-S n-1=2n+1，即a n=2n+1（n≥2），又a1=S1=3，∴a n=2n+1（n∈N*）．由=（n+1）2-1，该函数在[-1，+∞）上为增函数，又n∈N*，∴当n=1时，（S n）min=3；（Ⅱ）证明：，，==．即证＞，也就是证＜，∵＜，＜，∴右边成立，又T n随n的增大而增大，＞＞，左边成立．∴原不等式成立．【解析】（Ⅰ）由f（1）=3，二次函数f（x）=A x2+B x的对称轴为x=-1列式求得A，B的值，则函数解析式可求，结合点（n，S n）在y=f（x）图象上得到数列数列的前n项和，由a n=S n-S n-1求得数列的通项公式．由函数的单调性求得S n的最小值；（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列{b n}的前n项和为T n，然后利用放缩法证得数列不等式．本题是数列与不等式的综合题，考查了数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．20.设函数f（x）=x2+ax-lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．当a=1时，，′．令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值…（4分）（Ⅱ）′===（5分）当，即a=2时，′，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当＜，即a＞2时，令f′（x）＜0，得＜＜或x＞1；令f′（x）＞0，得＜＜．当＞，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或＞；令f′（x）＞0，得＜＜．（7分）综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a＞2时，f（x）在，和（1，+∞）单调递减，在，上单调递增；当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和，∞单调递减，在，上单调递增（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上单调递减，∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．∴∴ma+ln2＞（10分）而a＞0经整理得＞由2＜a＜3得＜＜，所以m≥0．（12分）【解析】（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值；（Ⅱ）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；（Ⅲ）确定f（x）在[1，2]上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得＞，从而可求实数m的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．21.已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．【答案】解：（1）因为点P（1，-1）在曲线y=f（x）上，所以-m=-1，解得m=1．因为f′（x）=-1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y=-1．（2）因为f′（x）=-m=．①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1-me．②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max=f（e）=1-me．③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f（x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，则f（x）max=f（）=-lnm-1．④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max=f（1）=-m．综上，①当m≤时，f（x）max=1-me；②当＜m＜1时，f（x）max=-lnm-1；③当m≥1时，f（x）max=-m．（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f（x1）=f（x2）=0，所以lnx1-mx1=0，lnx2-mx2=0，可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1-lnx2=m（x1-x2）．要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．因为m=，所以即证明＞，即ln＞．令=t，则t＞1，于是lnt＞．令ϕ（t）=lnt-（t＞1），则ϕ′（t）=-=＞0．故函数ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，所以ϕ（t）＞ϕ（1）=0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．【解析】（1）中求出斜率，代入切线方程即可；（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同；（3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．本题是关于导数的综合应用，利用导数求斜率，求函数的单调区间以及区间上的最值是最主要的题型之一．。
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绵阳市高中2012级第一次诊断性考试数 学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．00220022221Z|10},{|20},()(){2}(){0}(){1}2()"(0,),21""(0,),21"()"(0,),21""(0,),21"()","","()x x x x x x B x x x A B C D A x x B x x C a b a b a b a b D ∈-≤=--=∅-∀∈+∞>∃∉+∞≤∀∈+∞>∃∈+∞≤>><<、已知集合A={则A B=、下列说法中正确的是命题的否定式命题的否定式命题则的逆否否定式则命222212454","","3{}(1),=2()()()3()66241()3()()3(353cos(),sin 24518()()25n n n n a b ab a b a b a a n s a a a A B C D ABCDEF AD DB A B C D x x A B π+>>≥≥=≥=++=---==±题则的逆否否定式则、设个项均不为0的数列满足是其前n 项和若，则s 、如图，正六边形的边长为，则、已知那么2477()()252525C D -106,10,330()1()2()3()47[,],[,]"sin(sin )cos(cos )22()()()()8()'()0'()(x y x y x y x y x y A B C D x x x x A B C D f x f x x xf x f ππππ-+≥⎧⎪+-≥-⎨⎪--≤⎩∈-∈-<>-、已知满足则2的最大值为、已知则"是"成立"的充要条件必要不充分条件充分不必要条件既不充分又不必要条件、是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，0.2220.222(2)(0.2)(log 5))0,20.2log 5()()()()sin()1,09()2log (0,1),0()(0,()(,1)()(0,353510a f f f x a c A a b cB b a cC c a bD c b ax x f x y x a a x A B C D π<===<<<<<<<<⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩记,b ,,则、已知函数,的图像上关于轴且对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是、13333,R e 1()()()()222x a b ax b ab A e B e C e D e +∈≥+已知且对恒成立，则的最大值是第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
作图题可先用笔绘出，确认后再用0.5毫米墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.3sin 2cos 11.,.32sin cos 12.(1,2),(2,0),(1,2).13.(*)116.a b a b c C q q N p q αααααλλ+=-==+=-=∈=1若tan =-，则已知向量若向量与向量共线，则实数某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本与产量的函数关系式为C=100+4q ，销售单价与产量的函数关系式为p=25-q 要使没见产品的平均利润最大，则产量q 等于000032123201414.(),()()()().21201520152015201515.()()()(()||0x fx f f f f x y f x x x f b f a f x y f x b ax y x -=++++=-=-=-=已知函数则定义：如果函数在定义域内给定区间[a,b]上存在(a<<b)，满足)=，则称函数是[a,b]上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是[-2,2]上的“平均值函数”，就是它的均值点0200()cos 1[2,2]().2()1()ln .f x x a by f x x f x x mx f x x x x ππ=--+=≥=--=∈≥①函数是上的“平均值函数”.②若是[a,b]上的“平均值函数”，则它的均值点③若函数是[-1,1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是m (0,2).④若是区间[a,b](b>a 1)上的，给出以下命题：“平均值函数”，是它的一个均值点，则ln 其中的真命题有(写出所有真命题的序号).三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量m =(sin ωx,cos ωx),n =(cos ωx,cos ωx),其中ω>0,函数 f(x)=2m·n -1的最小正周期为π. (I)求ω的值;(II)求函数f(x)在[,]64ππ上的最大值.17.（本小题满分12分）已知函数2()log (2)f t t =-的定义域为D.(I)求D;(II)若函数g(x)=x 2+2mx-m 2在D 上存在最小值2，求实数m 的值. 18.（本小题满分12分）在∆ABC 中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，AB=5，1cos 5ABC ∠=.(I)若BC=2，求sin ACB ∠的值;(II)若D 是边AC 中点，且BD=72，求边AC 的长.19.（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为Sn,S 3=9，a 3,a 5,a 8成等比数列. (I)求数列{a n }的通项公式a n 及Sn; (II)若22(),1,2,3,,nCn n n a λ=⋅-=⋅⋅⋅问是否存在实数λ，使得数列{Cn}为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数f(x)=e x-ax-1(e 为自然对数的底数)，a>0. (I)若函数f(x)恰有一个零点，证明：a a =e a-1;(II)若()0f x x R ≥∈对任意恒成立，求实数a 的取值集合.21.（本小题满分14分）已知函数ln ()=(, 2.71828)xm x nf x m n e e+=⋅⋅⋅为常数，是自然对数的底数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是2y e=.ln ()=(, 2.71828)xm x n f x m n e e +=⋅⋅⋅为常数，是自然对数的底数(I)求m,n 的值;(II)求()f x 的单调区间;(III)设ln(1)()'()('()())2x e x g x f x f x f x +=其中为的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1+e -2.绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． DBDAC BACDA 7.上为cos(cosx)下为sin(sinx)9.原问题等价于函数()sin()1,0()log ()(10),02a g x x x h x x a x π=-<=->><与至少有三个不同交点。
则(5)log ((5))2a h -=-->-即2log 5log a a a ->（a>1显然只有一个交点）10题提示：由1+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤1+x e -ax ． 若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a 1+x e -a 2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f (x )的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．设)0(ln 2)(22>-=a a a a a g ，求导可以求出g(a )的最大值为32321)(e e g =， 即ab 的最大值是321e ，此时232321e b e a ==，．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．53-12．-1 13．40 14．3021 15．①③④15题提示：①容易证明正确．②不正确．反例：x x f =)(在区间[0，6]上．③正确．由定义：21020m m mx x --=--得1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又0x )11(，-∈所以实数m 的取值范围是)20(，∈m ． ④正确．理由如下：由题知ab a b x --=ln ln ln 0．要证明ab x 1ln 0<，即证明： b aa b aba b a b ab a b a b -=-<⇔<--ln 1ln ln ，令1>=t a b ，原式等价于01ln 21ln 2<+-⇔-<tt t t t t ． 令)1(1ln 2)(>+-=t tt t t h ，则0)1(12112)(22222<--=-+-=--='t t t t t t t t h ， 所以0)1(1ln 2)(=<+-=h tt t t h 得证．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω=)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin2)(max πππ+==x f …………………………………10分 3sin 4cos23cos4sin 2ππππ+==213+．…………………………………………………………12分17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分 (Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值； ②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增， 此时221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，2BC =，由余弦定理：ABC BC BA BC BA AC ∠⋅⋅-+=cos 2222=52+22-2×5×2×51=25，∴ 5=AC ． ……………………………………………………………………3分又(0,)π∠∈ABC ，所以562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABC ACACB AB ∠=∠sin sin ， 得562sin sin =∠⨯=∠AC ABC AB ACB ．………………………………………6分(Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 在△ABC 中，335145245cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ABC BC BA BC BA AC ， 即33=AC ．…………………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知=n c )12(2λ-+n n ．若使}{n c 为单调递减数列，则=-+n n c c 1)22(21λ-++n n -)12(2λ-+n n =0)1224(2<-+-+λn n n 对一切n ∈N *恒成立， …………………8分即： max )1224(01224+-+>⇔<-+-+n n n n λλ，又1224+-+n n =322232)1)(2(22++=++=++nn n n n n n n ，……………………10分 当1=n 或2时， max )1224(+-+n n =31．∴31>λ．………………………………………………………………………12分B CD A E20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，，∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1} ……………………………13分21．解：(Ⅰ)由xen x m x f +=ln )(得x xe xmx nx m x f ln )(--='(0>x )． 由已知得0)1(=-='e nm f ，解得m =n ．又ee nf 2)1(==，即n =2，∴ m =n =2．……………………………………………………………………3分(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得)ln 1(2)(x x x xex f x --='，令=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ， 当x ∈(0，1)时，0)(>x p ；当x ∈(1，+∞)时，0)(<x p ，又0>x e ，所以当x ∈(0，1)时，0)(>'x f ； 当x ∈(1，+∞)时，0)(<'x f ， ∴ )(x f 的单调增区间是(0，1)，)(x f 的单调减区间是(1，+∞)．……8分(Ⅲ) 证明：由已知有)ln 1()1ln()(x x x xx x g --+=，)0(∞+∈，x ， 于是对任意0>x ，21)(-+<e x g 等价于)1()1ln(ln 12-++<--e x xx x x ， 由(Ⅱ)知=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，x ， ∴ )ln (ln 2ln )(2---=--='e x x x p ，)0(∞+∈，x ． 易得当)0(2-∈e x ，时，0)(>'x p ，即)(x p 单调递增；当)(2∞+∈-，e x 时，0)(<'x p ，即)(x p 单调递减． 所以)(x p 的最大值为221)(--+=e e p ，故x x x ln 1--≤21-+e ．设)1ln()(x x x q +-=，则01)(>+='x xx q ， 因此，当)0(∞+∈，x 时，)(x q 单调递增，0)0()(=>q x q ．故当)0(∞+∈，x 时，0)1ln()(>+-=x x x q ，即1)1ln(>+x x．∴ x x x ln 1--≤21-+e <)1()1ln(2-++e x x．∴ 对任意0>x ，21)(-+<e x g ． ……………………………………………14分。