高三数学-函数与方程思想复习课件
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=
2n+2
=
2n+12n+3
42n+n+112-1>1(n=2,3,…),
∴f(n+1)>f(n).
即 f(n)(n=2,3,…)是单调增函数.
又 f(2)=1+513=
1465>
1664=12,
∴当
n=2,3,…时,恒有
1 f(n)>2.
故1+131+15…1+2n1-1> 1+2 2n(n=2,3,…).
①对 x∈R 恒成立⇔a2≤t(x)min=2.
③
令 s(x)=1+cos2x+sinx=-sinx-122+94≤94,
②对 x∈R 恒成立⇔a2-a≥94.
④
由③④可得所求实数 a 的取值范围是- 2
≤a≤1-2
10 .
[点评] 此类已知恒成立的不等式求参数的问题,常 见的解题思路:一是分离参数与已知范围的变化,通过求 函数最值来确定参数的取值范围;二是数形结合,寻找参 数满足的关系式,进而求出参数的取值范围.在解题过程 中注意区分以下情形:
综上,f(x)=22xx, -x1为 ,奇x为数偶数 .
类型二 利用函数的思想证明不等式
【例 2】 求证:对于一切大于 1 的正整数 n 恒有
1+131+15…1+2n1-1>
1+2n 2.
[分析] 此类问题可以看成是变量为正整数 n 的函
数,而原不等式等价于1+131+151+…21n+2n1-1>12.
考情分析
•化为方程模型加以解决.函数与方程思 想几乎渗透到中学数学的各个领域,在解 题中有着广泛的应用.
要点串讲
函数与方程思想是高中数学的一条主线,也是数学 最本质的思想之一.函数思想使常量数学进入了变量数 学,高中数学中的初等函数、数列、不等式、解析几何 等问题都可以转化为函数与方程问题.
• 一般地,函数思想是构造函数从而利用函 数的性质解题,经常利用的性质是:单调 性、奇偶性、周期性、最大值和最小值等, 这就要求我们熟练掌握一次函数、二次函 数、幂函数、指数函数、对数函数、三角 函数的具体特性.在解题中,善于挖掘题 目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙 用函数的性质,这是应用函数思想的关 键.函数与方程问题、不等式问题和某些 代数问题在一定条件下可以相互转化.函
不等式的左边可构造关于 n 的函数,利用这个函数的单调 性解决问题.
[证明]
令 f(n)=1+131+151+…21n+2n1-1
(n=2,3,…).
则 f(n+1)=
1+131+15…1+1+22nn+1-111+2n1+1(n=2,3,…).
又fn+1=1+2n1+1· 1+2n
fn
2n+3
3.函数的思想与方程的思想的关系 在中学数学中,很多函数的问题需要用方程的知识和 方法来支持,很多方程的问题需要用函数的知识和方法去 解决.对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x) =0,也可以把函数 y=f(x)看作二元方程 y-f(x)=0,函 数与方程可相互转化.
(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max; (2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min; (3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min; (4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.
【探究 3】 已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t) 值域内的所有实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成 立,求 x 的取值范围.
又 f(1)=1132,对一切正整数 n,f(n)>a-7 都成立的充 要条件是 1132>a-7,
所以 a<9172,故所求正整数 a 的最大值是 8.
点评:本题是构造函数解题的很好的例证.如果对数 列求和,那就是误入歧途了.本题构造函数 f(n),通过单 调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题.利用函数思 想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其 性质,才能使解题思路灵活变通.
[分析] 若 y=k+ x+2是闭函数,∵y=k+ x+2 在[-2,+∞)上单调,设[a,b]⊆[-2,+∞),∴y=k + x+2在[a,b]上的值域应为[a,b].故可建立方程求出 k 的取值范围.
[解] y=k+ x+2在 x∈[-2,+∞)上是单调递增 的函数.
设[a,b]⊆[-2,+∞),则 y=k+ x+2在[a,b]上
高频考点
类型一 利用函数的思想解决“范围”问题 【例 1】 若抛物线 y=-x2+mx-1 和两端点 A(0,3),B(3,0)的线段 AB 有两个不同的交点,求 m 的取 值范围. [分析] 先将曲线的交点问题转化为方程解的问 题.进而转化为二次函数的实根分布问题,再通过解不 等式组求得范围.
求出线 段AB 的方程
其视为关于 cosx 的一元二次方程,因为 0≤x≤2π,所以
-1≤cosx≤1,因此方程应该在[-1,1]上有实数根,设 t
=cosx,令 g(t)=t2+4y2t+5y2-1,由于 g(-1)=y2≥0,
g(1)=9y2≥0,故有-Δ≥1≤0 -2y2≤1 ,
即-16y14≤--202yy22+≤41≥0 ,解得 y2≤14,即所求的值域 为-12,12.
f2n+1-f2n=3 f[2n-1+1]-f2n-1=1
,
两式相加得 f(2n+1)-f(2n-1)=4.
因此 f(1),f(3),f(5),…,f(2n-1)成等差数列.
即{f(2n-1)}(n∈N*)是等差数列.
(2)由题意得ff21- +ff12= =15 ,解得ff12= =23 .
所以 f(2n-1)=f(1)+(n-1)×4=2(2n-1),因此当 x 为奇数时,f(x)=2x.又因为当 x 为奇数时,f(x+1)-f(x) =1,所以 f(x+1)=2x+1=2(x+1)-1,故当 x 为偶数时, f(x)=2x-1.
•性、应用性等方面都有一定的要求,所以是 高考考查的重点.我们应用函数与方程思想 解题时可以从以下几个方面去思考:
• 1.研究具体函数,求解函数性质问题, 如最值、极值、单调区间等.
• 2.构造函数关系,利用函数的性质解题.
• 3.实际应用问题,翻译成数学语言,建立 数学模型和函数关系式,应用函数性质或 不等式等知识解题.
【探究 4】 (重庆文)函数 f(x)= 5+sin4xcosx(0≤x≤2π)
的值域是( )
A.[-14,14]
B.[-13,13]
C.[-12,12]
D.[-23,23]
解析:由 y=
sinx 得 5+4cosx
y2=5+si4nc2xosx,即
1-cos2x
=5y2+4y2cosx,整理得 cos2x+4y2cosx+5y2-1=0,将
解:∵t∈[ 2,8],∴f(t)∈[12,3], 原不等式可化为 m(x-2)+(x-2)2>0 在 m∈[12,3]上 恒成立, 当 x=2 时,不等式不成立,∴x≠2. 令 g(m)=m(x-2)+(x-2)2,m∈[12,3],
问题转化为 g(m)在 m∈[12,3]上恒大于 0,则 g12>0 ,解得 x>2 或 x<-1. g3>0
答案:C
好方法好成绩
1.函数的思想 用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关 系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题获得解决.
2.方程的思想 在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题中所涉 及的各量间的等量关系,建立方程或方程组,求出未知数 及各量的值,或者运用方程的性质去分析、转化问题、使 问题获得解决.
第三部分 思想方法专题
第二十四讲 函数与方程思想
考情分析
• 函数与方程思想是中学数学的基本思想, 也是历年高考经久不衰的热点和重 点.函数思想,就是用运动和变化的观 点、集合与对应的思想,去分析和研究 数学问题中的数量关系,建立函数关系 或构造函数,运用函数的图象和性质去 分析问题、转化问题,从而使问题获得 解决.方程思想即将问题中的数量关系 运用数学语言转
→
抛物线与线段AB 的方程联立方程组, 有两组实数解
→
构造二次 函数得不 等式组
→
解不等式 组求范围
[解] 线段 AB 的方程为 x+y=3(0≤x≤3),由题意
得方程组xy=+-y=x32+0≤mxx-≤13,,②① 有两组实数解. ①代入②得 x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)有两个实
根, 令 f(x)=x2-(m+1)x+4,
的值域为[a,b],则ba==kk++
a+2, b+2.
所以 a,b 是方程 x=k+ x+2的两不等实根,即等
价转化为方程 x2-(2k+1)x+k2-2=0 在[k,+∞)上存在
两相异实根,
Δ>0, 所以2k+ 2 1>k,
k2-2k+1·k+k2-2≥0.
解得-94<k≤-2.
[点评] 解答本题应注意以下几种转化: (1)由单调函数的定义域及值域构造方程. (2)a,b 是方程 x=k+ x+2的两相异实根. (3)依据二次方程根的分布建立 k 的关系式.
利用定义域和 增减性去掉 函数符号f
→
将参数a 与变量x 的式子分离
→
求关于x 的函数 的最值
→
确定a的 取值范围
[解] 原式等价于 a+1+cos2x≤a2-sinx≤3,对 x ∈R 恒成立
⇔aa22-≤a3≥+1si+nxc,os2x+sinx,①② 对 x∈R 恒成立. 令 t(x)=3+sinx,则
【探究 1】 已知 f(x)是定义在正整数集 N*上的函数, 当 x 为奇数时,f(x+1)-f(x)=1,当 x 为偶数时,f(x+ 1)-f(x)=3,且满足 f(1)+f(2)=5.
(1)求证:{f(2n-1)}(n∈N*)是等差数列; (2)求 f(x)的解析式.
解:(1)证明:设 n∈N*,由题意得
[点评] 数列就是变量为正整数 n 的函数,函数 f(n) 单调性的研究,可通过作差法或作商法.本题先构造函数 f(n),然后利用作商法证明其单调性.
【探究 2】 求正整数 a 的最大值,使不等式n+1 1+ n+1 2+…+3n1+1>a-7 对一切正整数 n 都成立.
解:令 f(n)=n+1 1+n+1 2+…+3n1+1(n∈N*), 对任意的 n∈N*, f(n+1)-f(n)=3n1+2+3n1+3+3n1+4-n+1 1 =3n+13n2+23n+4>0, 所以 f(n)在 N*上是增函数.
• 4.含有多个变量的数学问题中,选定合适 的主变量,从而揭示其中的函数关系.
• 5.将函数解析式转化为方程,利用方程有 解的条件解决函数值域等问题.
• 6.等差、等比数列中,通项公式、前n项 和公式都可以看成n的函数,数列问题也可 以用函数方法解决.
• 7.函数与不等式、数列、方程等知识的综 合推理问题.
因此,问题转化为二次函数 f(x)=x2-(mwenku.baidu.com1)x+4 在 x∈[0,3]上有两个实根,故有
Δ=m+12-16>0, 0<m+2 1<3,
f0=4>0, f3=9-3m+1+4≥0.
解得 3<m≤130,
故 m 的取值范围是(3,130].
[点评] 本题将两曲线有两个不同的交点转化为列 出的方程组有两组实数解.通过消元得到一元二次方程, 对这个方程实根的研究转化为二次函数 f(x)在[0,3]上与 x 轴有两个交点的问题,进而建立 m 的不等式组求出 m, 整个过程体现了用函数、方程、不等式的转化解决问题的 思想.
类型三 利用函数思想求解恒成立的不等式的参数 【例 3】 设 f(x)为定义在(-∞,3]上的减函数,已 知 f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对于 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. [分析] 由函数的单调性定义去掉函数符号 f,进而 将参数 a 与变量 x 的关系式进行分离,再转化为求函数的 最值.
点评:首先明确本题是求 x 的取值范围,这里注意另 一个变量 m,将不等式恒成立问题转化为关于 m 的一次 函数恒大于 0 的问题,因此依据一次函数的特性得以解 决.在多个字母变量的问题中,选准“主元”往往是解题 的关键.
类型四 方程思想的应用 【例 4】 对于函数 y=f(x),(x∈D),若同时满足下 列条件:①f(x)在 D 内是单调函数;②存在区间[a,b]⊆ D,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么 y=f(x)叫做闭 函数.若 y=k+ x+2是闭函数,求实数 k 的取值范围.