初中数学几何：一题多解

初中数学培优专题：一题多解
一题多解是数学学科的奇妙所在，尤其体现在几何的学习过程之中. 很多学生会从喜
欢上几何从而喜欢上数学的原因，就在于几何图形的变换中，对“多解”的追求给他们带来思
维创造的快乐. 数学教师在解题教学中也会通过“多解”的呈现和对比来调动学生思维的积极
性、激发学生思维的灵活性. 笔者在教学过程中，通过对几何的“多解”探索，使笔者
又有了新的认识.
C
1 题目呈现
如图1，在等腰直角三角形ABC 中，点P 为斜边AB 上一个动点( 不
与A 、B 两点重合) ，以CP 为斜边在直线CP 的左侧作等腰直角D
CDP ，判断ADP 的形状并证明. A P B
2 教学过程简录
方法一：如图2，过C 点作CQ
图1 AB ，连接DQ .
易证DQ 平分CQA ，∴CQD DQA 45
∴CQD ≌AQD （SAS ），∴AD CD ，
又∵CD PD ∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形
图2方法二：如图3，过C 点作CQ AB ，连接DQ .
易证CDQ ∽CPB ，∴DQC B 45
∴CQD ≌AQD （SAS ）以下同方法一.
方法三：如图4，过C 点作CQ
图3 CP 交PD 的延长线于点Q ，
连接AQ . 易证CQA ≌CPB
∴AQ PB ，CAQ CBP 45
∴QAP90 . 在等腰直角CPQ 中，D 点是PQ 的中点，图4
∴在Rt PAQ 中，AD 1
PQ ，∴AD
2
DP ∴ADP 是等腰三角形.
方法四：如图5，过点C 作CM CD ，过P 点作PM PD 交CM 于点M ，过C 点作CQ AB 交AB 于点Q ，
连接QM ，BM . 易证四边形CDPM 为正方形，
QM 平分CQP ，∴CQM PQM 45 ，图5
∴CQM ≌BQM （SAS）
∴BM CM ，又∵CM PD ∴BM PD
易证CMB ≌CDA ，∴BM AD ，∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形.
方法五：如图6，过点C 作CQ CD ，过P 点作PQ PD
交CQ 于点Q ，过点 D 作DM AB 交AB 于点M ，
过点Q 作QN AB 交AB 于点N .
易证PDM ≌QPN ，CQB ≌CDA . 图6
∴PQ PD ，QB AD ,CDA CQB ，PQN PDM90 .
又∵ADP360ADC CMB 270ADC
PQB CQB CQP CQB 90
∴ADP PQB180 ，∴BQN ADM90 ，
∴BQN DAM ，易证ADM ≌QBN ，
∴AD QM ，∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形.
3 对解法的再认识
该图形简单又漂亮，更重要的是我们在初二几何里学的常见的辅助线的构造都可以在
该图形中呈现.
比如方法一，看到等腰三角形想“三线合一”，故过C 点作CQ AB 交AB 于点Q ，由于CDP 是等腰直角三角形，则得到了常见的基本图形，如图7：如果
CDP 为等腰三角形，CQ QP ，那么连接直角三角形的直角顶点DQ ，
则DQ 是CQP 的外角平分线，即CQD DQA45 ，我们平时称
该图形为“钻石三角形”. 再由CQD 和AQD 对称全等，得结果.
与方法一类似，还可以构造“钻石三角形”的内角平分线，如图 5. 由等腰图7 直角CDP 想到构造正方形CDPM ，那么在图形CQPM 中，如图8：因为
CMP 是等腰直角三角形，CQ QP ，所以连接QM ，则QM 平分CQP . （“钻石三
角形”内角平分线），其它见方法四.
在原题中，如图1，仔细观察该图形，是一个等腰三角形的顶点对另一个等腰三角形的
底角的形式（简称“两个等腰三角形的顶对底”），我们还可以想到“加倍或减半”进行构造.
图8
“加倍”如图4，就得到了共顶点的两个等腰直角三角形CPQ 和CBA ，构造“手拉手”基本模型，得全等，即CDP ≌CQA . 其实图 5 当中构造正方形也是另外一种形
式的“加倍”, 同样可构造“手拉手”基本模型.
“减半”即把CAB 减半，如图3. 减半之后就得到了两个底角对底角的等腰直角三
角形，CDP 和CQB .那么通过“边对边、底对低”可得三角形相似，即CDQ 和CPB 相似，既而得到DQC B 45，具体思路见方法二.
或者看到等腰直角三角形，想到构造“三垂直”，如图 6. 但这种方法要比其它方法复
杂一点，就是要看到ADP 和PQB 互补，证明方法见方法五. 不过该方法也有它特别的一面，就是再往后研究，我们可以发现ADP 和BQP 不仅都是等腰三角形，而且面积也
相等.
综上以上五种方法可用一句话总结：过 C 点通过旋转或翻折构造全等或相似.
几何图形很神秘、很美妙、很漂亮，经常会有让人看它一眼就再也无法忘记的特别
存在. 我们就是这样被它吸引着，不知不觉中发现了它们各自的独特美又发现了它们美的通
性，而自己的思维与想象也在不断的发生着变化，从量变到质变，眼界与能力同时也得到了
升华.。