初中数学几何：一题多解

初中数学培优专题：一题多解

一题多解是数学学科的奇妙所在，尤其体现在几何的学习过程之中. 很多学生会从喜

欢上几何从而喜欢上数学的原因，就在于几何图形的变换中，对“多解”的追求给他们带来思

维创造的快乐. 数学教师在解题教学中也会通过“多解”的呈现和对比来调动学生思维的积极

性、激发学生思维的灵活性. 笔者在教学过程中，通过对几何的“多解”探索，使笔者

又有了新的认识.

C

1 题目呈现

如图1，在等腰直角三角形ABC 中，点P 为斜边AB 上一个动点( 不

与A 、B 两点重合) ，以CP 为斜边在直线CP 的左侧作等腰直角D

CDP ，判断ADP 的形状并证明. A P B

2 教学过程简录

方法一：如图2，过C 点作CQ

图1 AB ，连接DQ .

易证DQ 平分CQA ，∴CQD DQA 45

∴CQD ≌AQD （SAS ），∴AD CD ，

又∵CD PD ∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形

图2方法二：如图3，过C 点作CQ AB ，连接DQ .

易证CDQ ∽CPB ，∴DQC B 45

∴CQD ≌AQD （SAS ）以下同方法一.

方法三：如图4，过C 点作CQ

图3 CP 交PD 的延长线于点Q ，

连接AQ . 易证CQA ≌CPB

∴AQ PB ，CAQ CBP 45

∴QAP90 . 在等腰直角CPQ 中，D 点是PQ 的中点，图4

∴在Rt PAQ 中，AD 1

PQ ，∴AD

2

DP ∴ADP 是等腰三角形.

方法四：如图5，过点C 作CM CD ，过P 点作PM PD 交CM 于点M ，过C 点作CQ AB 交AB 于点Q ，

连接QM ，BM . 易证四边形CDPM 为正方形，

QM 平分CQP ，∴CQM PQM 45 ，图5

∴CQM ≌BQM （SAS）

∴BM CM ，又∵CM PD ∴BM PD

易证CMB ≌CDA ，∴BM AD ，∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形.

方法五：如图6，过点C 作CQ CD ，过P 点作PQ PD

交CQ 于点Q ，过点 D 作DM AB 交AB 于点M ，

过点Q 作QN AB 交AB 于点N .

易证PDM ≌QPN ，CQB ≌CDA . 图6

∴PQ PD ，QB AD ,CDA CQB ，PQN PDM90 .

又∵ADP360ADC CMB 270ADC

PQB CQB CQP CQB 90

∴ADP PQB180 ，∴BQN ADM90 ，

∴BQN DAM ，易证ADM ≌QBN ，

∴AD QM ，∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形.

3 对解法的再认识

该图形简单又漂亮，更重要的是我们在初二几何里学的常见的辅助线的构造都可以在

该图形中呈现.

比如方法一，看到等腰三角形想“三线合一”，故过C 点作CQ AB 交AB 于点Q ，由于CDP 是等腰直角三角形，则得到了常见的基本图形，如图7：如果

CDP 为等腰三角形，CQ QP ，那么连接直角三角形的直角顶点DQ ，

则DQ 是CQP 的外角平分线，即CQD DQA45 ，我们平时称

该图形为“钻石三角形”. 再由CQD 和AQD 对称全等，得结果.

与方法一类似，还可以构造“钻石三角形”的内角平分线，如图 5. 由等腰图7 直角CDP 想到构造正方形CDPM ，那么在图形CQPM 中，如图8：因为

CMP 是等腰直角三角形，CQ QP ，所以连接QM ，则QM 平分CQP . （“钻石三

角形”内角平分线），其它见方法四.

在原题中，如图1，仔细观察该图形，是一个等腰三角形的顶点对另一个等腰三角形的

底角的形式（简称“两个等腰三角形的顶对底”），我们还可以想到“加倍或减半”进行构造.

图8

“加倍”如图4，就得到了共顶点的两个等腰直角三角形CPQ 和CBA ，构造“手拉手”基本模型，得全等，即CDP ≌CQA . 其实图 5 当中构造正方形也是另外一种形

式的“加倍”, 同样可构造“手拉手”基本模型.

“减半”即把CAB 减半，如图3. 减半之后就得到了两个底角对底角的等腰直角三

角形，CDP 和CQB .那么通过“边对边、底对低”可得三角形相似，即CDQ 和CPB 相似，既而得到DQC B 45，具体思路见方法二.

或者看到等腰直角三角形，想到构造“三垂直”，如图 6. 但这种方法要比其它方法复

杂一点，就是要看到ADP 和PQB 互补，证明方法见方法五. 不过该方法也有它特别的一面，就是再往后研究，我们可以发现ADP 和BQP 不仅都是等腰三角形，而且面积也

相等.

综上以上五种方法可用一句话总结：过 C 点通过旋转或翻折构造全等或相似.

几何图形很神秘、很美妙、很漂亮，经常会有让人看它一眼就再也无法忘记的特别

存在. 我们就是这样被它吸引着，不知不觉中发现了它们各自的独特美又发现了它们美的通

性，而自己的思维与想象也在不断的发生着变化，从量变到质变，眼界与能力同时也得到了

升华.