九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲数学建模(含答案)

趣题引路】 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元。因为在生产过程中，平均每生产 一件产品有0.5m ）污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1：工厂污水先净化 处理后再排出：每处理Inf 污水所有原材料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工 厂将污水排到污水厂统一处理，每处理lnr ：污水需付14元排污费.

问题：（1）设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 元，分别求岀依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式：（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前 提下，应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明.

解析（1）设选用方案1，每月利润为屮，元，选用方案2,每月利润为户，元，贝叽

yi=（5O-25） X -2X 0.5A -30000=24.1-30000,），2=（50~25） A -14x0.5.x-1 8A .

故 yj=24A —30000, >'2= 18x ：

（2）当 *6000 时，yi=24x6000-30000= 114000 （元），力=1 8A -= 18x6000= 108000 （元）

答：我若作为厂长，应选方案1.

点评本例是生产经营决策问题，英难点在于建立相应的数学模型，构建函数关系式，然后，通过问题 中所给的条件判断，若不能判断，就要进行分类讨论.

知识延伸】

例 某工厂有14m 长的旧墙一面，现在准备利用这而旧墙，建造平面图形为矩形，而积为126m?的厂

房，工程条件为：①建lm 新墙的费用为“元：②修lm 旧墙的费用为£元；③拆去Im 旧墙，用所得材料 4 建适lm 新墙的费用为£元，经过讨论有两种方案：（I ）利用旧墙的一段兀m （A <14）为矩形厂房一面的边 2 长：（1【）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x （x>14）.问：如何利用旧墙，即x 为多少米时，建墙费用最省？ （I ）（II ）两种方案哪个更好？

解析 设利用旧墙的一面矩形边长为xm,则矩形的另一边长为竺m ・ x

（I ）利用旧墙的一段xm （x<14）为矩形一而边长，则修旧墙费用为元.将剩余的旧墙拆得材料建新 4

墙的费用为（14小£号元，其余建新墙的费用为（"+艺竺"4）・“元. 2 x

故总费用为 y = 巴 + —_ + （2x + 兰？ — 14 \^a = 7a\ 丄 4- —— 1）・（0

第二十讲 数学〕

・•.注7卡护弓一 1 =35^7.当且仅当中=弓，即T2m 时，ymin=35“（元）：

（II ）若利用旧墙的一而矩形边长 总14,则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为 4 2

（2r+ —-14）"元

x

故总费用为 y = f a+ （ + 一 14 = fa + 列 — 7 j （A >14）

设 14 则 Xl-X2<0t X1A*2>196|

•••函数y=x+ —-14在区间（14,址）上为增函数.

x

故当入=14 时，y min = Z a+2a （\4+ — -7）=35.5t/>35r/

2 14

综上讨论可知，采用第（I ）方案，建墙总费用最省，为35“元.

点评解答选择方案应用题同处理其他应用题一样，重点要过好三关（1）事理关：读懂题意，知逍讲 的是什么事情，要比较的对象是什么：（2）文理关：把实际问题文字语言转化为数学的符号语言，然后用 数学式子表达数学关系式；（3）数理关：在构建数学模型的过程中，要对数学知识有检索的能力，认左或 构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化.

好题妙解】

佳题新题品味

例任一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出他们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1500 元，以后每月工资比上一年工资增加230元：B 公司允诺第一个月工资为2000元，以后每月工资在上一年 月工资基础上递增5%,设某人年初被A 、B 两家公司同时录取、试问：

（1） 若该人打算在A 公司或B 公司连续工作“年，则他第“年的月工资收入各为多少？

（2） 如该人打算连续在一家公司工作10年，仅以工资收入来看，该人去哪家公司较合算？

解析⑴ 此人在儿B 公司第料年的月工资数分别为 ^1500+230（^1）, ^=2000（l+5%r *t 其中兀为 正整数； （2）若该人在A 公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12（ai+a 2+……+aio ）=3O42OO （元）.若该 人在B 公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12（析+6+……+^1<）） =301869 （元）故该人应选择在A 公司工作.

点评最佳方案的选择问题充分体现了数学在生活中的无穷乐趣，同时也从数学角度诠释了“知识就是 力量"，“知识就是财富''的道理.

126 126

126 A. +——

中考真题欣赏

例(长沙市)某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：

(1)在所给的直角坐标系(图1)中：

①根据提供的数据描出实数对(x, >■)对应点：

②猎测并确左日销售量y件与日销售单价尤元之间的函数关系式，并画出图象.

(2)设经营此商品的日销售利润为"元，根拯日销售规律：

①试求出日销售利润"元与日销售单价*元之间的函数关系式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问：日销售利润“是否存在最小值？若有，试求岀，若无，试说明理由；

②在给左的直角坐标系中，画出日销售利润"元与日销售单价x元之间的函数图象，观察图象，写出x 与P 的取值范围.

解析(1)①准确描出四点位宜：

②猜测它是一次函数y=k.x+b,

由两点(3, 18), (5, 14)代人上式求得k=-2, b=24,则有尸-2r+24. (9, 6), (11, 2)代人同样满足，・•・所求函数关系式为尸-2x+24.由实际意义知，所求函数关系式为：尸-2x+24(g<12)和尸0(.°12).

(2)(X)p=xy'~2y t即p=y(x~2)=( 24~2x)(x~2) =-2V2+28A—48=-2(x-7)2+50.

当x=7时，日销售利润取最大值50元.

当x>12时，此时无人购买，故此时利润p=0 (A>12).

由实际意义知，当销售价.=0即亏完本卖出，此时利润尸-48,即为最小值；

②据实际意义有：0$<2时，亏本卖出.

当x=2或*12时，利润尸0.当Q12时，即髙价卖出，无人购买，尸0・故作出图象，(图2)由图象知，x>0, 一48祜50.