【高中数学】第4章 4.3.1 等比数列的概念(第2课时)

4.3.1 等比数列的概念(第2课时)
素养目标
学科素养
1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质．
2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点)
3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.
1.数学运算； 2．逻辑推理
情境导学
一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！
1．等比数列的性质
(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m ·
a n . (2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n
}，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a
n 仍为等比数列．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)在等比数列{a n }中，若a m a n ＝a p a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×)
(2)若数列{a n }，{b n }都是等比数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等比数列．(×) (3)若数列{a n }是等比数列，则{λa n }也是等比数列．(×)
2．等比数列性质的应用
一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或a
q ，a ，aq ，此时公
比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，a
q
，aq ，aq 3(公比为q 2)．
(1)在等比数列{a n }中，若a 1＝1
9
，a 4＝3，则该数列前五项的积为__1__.
(2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
D 解析：当下标成等差数列时，对应的项成等比数列． 2．在等比数列{a n }中，若a 2a 8＝9，则a 3a 7＝( ) A ．3 B ．±3 C ．9
D ．±9
C 解析：∵2＋8＝3＋7，∴a 3a 7＝a 2a 8＝9.
3．在等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( ) A ．48 B ．72 C ．144
D ．192
D 解析：∵a 6a 7a 8
a 3a 4a 5＝q 9＝8(q 为公比)，
∴a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8q 9＝24×8＝192.
4．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．
43 解析：因为a 4a 6＝a 25，所以a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.因为a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，所以log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43
. 5．在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.
b 9a 8 解析：因为a 19＋a 20＝a 9q 10＋a 10q 10＝(a 9＋a 10)q 10＝aq 10＝b ，所以q 10＝b a ，a 99＋a 100＝q 90(a 9＋a 10)＝a ⎝⎛⎭⎫b a 9＝b 9
a 8.
【例1】(1)在等比数列{a n }中，若a 3＝1
2
，a 9＝2，则a 15＝________.
(2)已知公比为q 的等比数列{a n }，a 5＋a 9＝q ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为________． (3)在等比数列{a n }中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20
a 10等于________．
(1)8 (2)1 (3)32或2
3
解析：(1)∵a 3a 15＝a 2
9，∴a 15＝a 29a 3＝22
1
2
＝8.
(2)∵a 5＋a 9＝q ，∴a 4＋a 8＝1，
∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝1.
(3)设公比为q .
∵a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝3，a 14＝2，
∴q 10＝a 14a 4＝32或2
3，
∴a 20a 10＝q 10＝32或2
3
.
等比数列的常用性质：
(1)设{a n }为等比数列，m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p .
(2)若{a n }为等比数列，m ，n ∈N *，则a m a n ＝q m －n .
(3)若{a n }为等比数列，则数列{a 2n }为等比数列．
(4)若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是公比为1
q 的等比数列．
(5)等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k ＋
1.
在等比数列{a n }中，a 2＋a 5＝18，a 3·a 4＝45，求a n .
解：设等比数列{a n }的公比为q .
根据题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2a 5＝a 3a 4＝45，a 2＋a 5＝18，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 5＝15或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝15，
a 5＝3.
∴q ＝513或q ＝5－13
.
∴a n ＝3×5n －23或a n ＝3×55－n 3
.
【例2】2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a 和25a ，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%. (1)哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？ 解：(1)由题意可得
16a (1＋25%)n －
1＝25a (1－20%)n －
1， 解得n ＝2，
故到2019年两林场木材的总存量相等．
(2)令n ＝5，则a 5＝16a ⎝⎛⎭⎫544
＋25a ⎝⎛⎭⎫454<2(16a ＋25a )， 故到2021年不能翻一番．
一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．
一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．
45 解析：3分钟后占据内存22 KB ，两个3分钟后占据内存23 KB ，三个3分钟后占据内存24 KB ，……，n 个3分钟后占据内存为2n ＋
1 KB ．令2n ＋
1＝64×210＝216，得n ＝15.所以
15×3＝45(分钟)，故开机后45分钟，该病毒占据内存64 MB ．
探究题1 已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．2
D ．－2
A 解析：∵a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴a 22＝a 1a 5＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3.
探究题2 已知等比数列{a n }，各项都是正数，且a 1，1
2a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )
A ．3＋2 2
B ．1－ 2
C ．1＋ 2
D ．3－2 2 A 解析：∵a 1，1
2a 3,2a 2成等差数列，
∴a 3＝a 1＋2a 2.
∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，即q 2－2q －1＝0， ∴q ＝1±2.
∵a n >0，∴q ＝1＋ 2.
∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝(a 7＋a 8)q 2a 7＋a 8
＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 探究题3 有四个实数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，前三个数之积为27，中间两个数之和为9，求这四个数．
解：(方法一)设前三个数分别为a
q ，a ，aq (a ≠0)，则第四个数为2aq －a .
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a q ·a ·qa ＝27，a ＋aq ＝9，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
q ＝2，
∴这四个数分别为3
2
，3,6,9.
(方法二)设后三个数分别为a －d ，a ，a ＋d (a ≠0)，则第一个数为(a －d )2
a
.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
(a －d )2a (a －d )a ＝27，
a －d ＋a ＝9，
化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝3，2a －d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6，d ＝3，
∴这四个数分别为3
2
，3,6,9.
(方法三)设前三个数分别为a ，aq ，aq 2(a ≠0)，则第四个数应为2aq 2－aq .
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ·
aq ·aq 2＝27，aq ＋aq 2＝9，
化简得⎩⎪⎨⎪⎧
aq ＝3，aq (1＋q )＝9，解得⎩⎪
⎨⎪⎧
a ＝3
2，q ＝2，
∴这四个数分别为3
2
，3,6,9.
探究题4 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这三个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．
解：由题意，这三个数成等差数列，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .∵a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，
∴a ＝2，即三个数分别为2－d,2,2＋d .
①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )， 解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )， 解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则有22＝(2＋d )(2－d )， 解得d ＝0(舍去)．
综上可知，这三个数是－4,2,8或8,2，－4.
探究题5 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；
(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .
解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1， 可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，
两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又∵a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，
故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n －
1.
(2)设{b n }的公差为d ，
由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d . 又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，
由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10. ∵等差数列{b n }的各项为正， ∴d >0， ∴d ＝2，∴b 1＝3.
∴T n ＝3n ＋n (n －1)
2
×2＝n 2＋2n .
巧设等差数列、等比数列的方法：
(1)若三个数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d ；若三个数成等比数列，常设成a
q ，a ，aq
或a ，aq ，aq 2(a ≠0，q ≠0)．
(2)若四个数成等比数列，可设为a
q
，a ，aq ，aq 2(a ≠0，q ≠0)．
等差数列{a n }中，a 4＝10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .
由a 3，a 6，a 10成等比数列得，a 3a 10＝a 26， 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0， 解得d ＝0或d ＝1.
当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；
当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， S 20＝20a 1＋20×192
d ＝20×7＋190＝330.
因此，S 20＝200或S 20＝330.
1．在等比数列{a n }中，a 3＝－9，a 7＝－1，则a 5的值为( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3
D ．不存在
C 解析：a 25＝a 3·a 7＝9，所以a 5＝－3或a 5＝3(舍去)． 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 8＝( ) A ．243 B ．128 C ．81
D ．64
B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，
∴q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2，∴a 1＋a 2＝3a 1＝3，即a 1＝1，
∴a 8＝a 1q 7＝128.
3．等比数列{a n }不具有单调性，且a 5是a 4和3a 3的等差中项，则数列{a n }的公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2
D ．－3 A 解析：∵a 5是a 4和3a 3的等差中项，∴2a 5＝a 4＋3a 3，得2a 1q 4＝a 1q 3＋3a 1q 2，解得q ＝
3
2或q ＝－1.又等比数列{a n }不具有单调性，故q ＝－1.故选A ．
4．等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝1
2(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，
则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ≥Q B ．P <Q C ．P ≤Q
D ．P >Q
D 解析： P ＝1
2(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 6，Q ＝log 0.5a 3＋a 92≤log 0.5a 3a 9＝
log 0.5a 6 (当且仅当a 3＝a 9时取等号)． ∵{a n }各项均为正数且q ≠1，∴a 3≠a 9， ∴Q <log 0.5a 6.∴P >Q .故选D ．
5．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 3＝3
4a 2.求{a n }的通项公式．
解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 3a 2＝3
4.
因为a 1＝1，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫34n －1
.
1．等比数列的性质及其应用
一方面，等比数列的性质要与等差数列的性质对比记忆，加深理解并作区分；另一方面，等比数列一般运算量大，巧用等比数列的性质，减少计算量这一点很重要．
2．等比数列各项之间可由公比建立关系，在三个(四个)数成等比数列问题中，应注意灵活设项．
课时分层作业(八) 等比数列的概念(第2课时)
(60分钟 110分) 基础对点练
基础考点 分组训练
知识点1 等比数列的性质
1．(5分)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，若a 2a m ＝4，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10
D ．11
B 解析：∵公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，∴a 5a 6＝a 4a 7＝4. ∵a 2·a m ＝4，∴2＋m ＝5＋6＝11，解得m ＝9.故选B ．
2．(5分)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A ．12
B ．
22
C ． 2
D ．2
B 解析：∵a 3a 9＝a 26，∴a 6＝2a 5，∴q ＝ 2. ∵a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝
2
2
. 3．(5分)在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于( ) A ．－213 B ．213 C ．26
D ．－26
A 解析：a 1·a 2·…·a 13＝(a 7)13＝(－2)13＝－213. 知识点2 等比数列的实际应用
4．(5分)一张报纸的厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为( ) A ．8a ，18b
B ．64a ，1
64b
C ．128a ，1
128
b
D ．256a ，1
256
b
C 解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和12
， ∴对折7次后的厚度为27·a ＝128a ，
面积为⎝⎛⎭⎫127·b ＝b 128
. 5．(5分)某工厂去年产值为a ，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ？( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
C 解析：由题意知每年的产值构成以1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，则a n ＝a ·1.1n . ∴a ·1.1n >2a .∵1.17<2,1.18>2，∴n ＝8.
知识点3 等比数列的综合应用
6．(5分)已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 均不为零，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3
＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
D 解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，
∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，
∴d 2＝a 1d .
又d ≠0，a 1≠0，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1≠0，
∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝a 1＋5a 1＋9a 12a 1＋3a 1
＝3.故选D ． 7．(5分)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则数列{a n }前6项的和为( )
A ．－20
B ．－18
C ．－16
D ．－14
B 解析：∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1·a 4.
∴(a 1＋4)2＝a 1·(a 1＋6)．∴a 1＝－8.
∴S 6＝6×(－8)＋6×5×22
＝－18. 8．(5分)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13
(a 5＋a 7＋a 9)的值为( )
A ．－5
B ．－15
C ．5
D ．15
A 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，
∴log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，∴log 3a n ＋1a n ＝1， ∴a n ＋1a n
＝3，∴{a n }是等比数列，公比为3. ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[(a 2＋a 4＋a 6)·q 3]＝log 13
(9×27)＝－5. 9．(5分)已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6＝a 2a 10.设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9＝2a 7，则S 17＝( )
A ．34
B ．39
C ．51
D ．68
D 解析：∵a 6＝a 2a 10＝a 26， ∴a 6＝1.∴a 7＝2a 6＝2.
∴b 9＝4.∴S 17＝17(b 1＋b 17)2
＝17b 9＝17×4＝68. 能力提升练能力考点 拓展提升
10.(5分)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠±1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
C 解析：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝q 10＝a 11，
∴m ＝11.
11．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( )
A ．33
B ．84
C ．72
D ．189
B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 1＋a 3＝4a 2，即12＋3q 2＝4×3q ，解得q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3×(22＋23＋24)＝84.
12．(5分)(多选)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则( )
A ．q 2＝3
B ．a 32＝4
C ．a 4a 6＝2 3
D ．n ＝14
BD 解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a 32＝
4，a 35＝12，AC 不正确．
又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －
3＝324，
因此q 3n －
6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.故选BD ．
13.(5分)已知数列{a n }是等比数列，且a 3＋a 5＝18，a 9＋a 11＝144，则a 6＋a 8＝________.
±362 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 9＋a 11a 3＋a 5
＝q 6＝14418＝8， ∴q 3＝±2 2.
∴a 6＋a 8＝(a 3＋a 5)·q 3＝18×(±22)＝±36 2.
14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.
16 解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.
15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18
，且a 2，a 4，a 3成等差数列，求a 1.
解：设{a n }的公比为q (q ≠1)，
∵a 1a 2a 3＝a 32＝－18，∴a 2＝－12
. ∵a 2，a 4，a 3成等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 3.
∴2×⎝⎛⎭⎫－12·q 2＝－12＋⎝⎛⎭
⎫－12·q ， 解得q ＝－12
或q ＝1(舍)． ∴a 1＝a 2q
＝1. 16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32
，求这四个数．
解：设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，q ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝8，q ＝－14.
故所求四个数依次为－18，12，－2,8或8，－2，12，－18
. 17.(10分)已知数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．
(1)求证：当0<q <1时，{a n }是递减数列．
(2)若对任意k ∈N *，都有a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，求q 的值．
(1)证明：∵a n ＝q n －1，
∴a n ＋1－a n ＝q n －q n －1＝q n －
1(q －1)．
当0<q <1时有q n －1>0，q －1<0，
∴a n ＋1－a n <0，
∴{a n }为递减数列．
(2)解：∵a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列， ∴2a k ＋2＝a k ＋a k ＋1.
∴2q k ＋1－(q k －1＋q k )＝0，
即q k －1·(2q 2－q －1)＝0.
∵q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12
. 18.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，且b n ＝a n ＋1－2a n .
(1)求证：数列{b n }是等比数列．
(2)求数列{a n }的通项公式．
(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得 S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n
＝2. 当n ＝1时，由S 2＝4a 1＋2得a 2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3，
∴{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知等比数列{b n }中，首项b 1＝3，公比q ＝2，
∴a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，则a n ＋12
n ＋1－a n 2n ＝34， ∴因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列， ∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14
， ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.。