大学物理介质中的高斯定理
大学物理 高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
第1章 静止电荷的电场 章
10
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
第1章 静止电荷的电场 章
11
大学 物理学1.6 高斯定理源自一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第1章 静止电荷的电场 章
12
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
3.高斯定理源于库仑定律 3.高斯定理源于库仑定律 高于库仑定律 高斯 定理
(2)高斯定理高于库仑定律 (以下将要证明) (2)高斯定理高于库仑定律 以下将要证明) A.
库仑 定律
第1章 静止电荷的电场 章 4.静电场性质的基本方程 4.静电场性质的基本方程
7
大学 物理学
1.6 高斯定理
r r 1 ∫ E ⋅ dS =
q2
q3 q6
∫
S
r r r r r r r r r E ⋅ dS = ？ E = E1 + E 2 + E 3 + E 4 + E 5 + E 6
∫
S
r r E ⋅ dS =
∫
S
r r E1 ⋅ d S +
∫
S
r r E 2 ⋅ dS +
∫
S
r r E3 ⋅ dS
+
=
∫
S
r r r r r r E 4 ⋅ dS + ∫ E5 ⋅ dS + ∫ E6 ⋅ dS
2
=∫
q
dS = 2
q
大学物理电磁学部分07电介质的极化和介质中的高斯定理
10
总度结矢：量在P和外电电介场质E的0作形用状下决，定电了介极质化发电生荷极的化面；密极度化强，
而场各物E理又，量激而的发总关附电加场E电0又场决E定，着pE极又化影强响度电矢介量质内P部。Pn的总电
系如下：
EE0E' E'
在电介质中，电位移矢量、极化电荷、附加电场 和总场强这此量是彼此依赖、互相制约的。
计规律。
在外电场中，在有极分子电介
质表面出现极化电荷，
E 0 F
E0
这种由分子极矩的转向而引起的极化现象称为取向极化
6
外场越大，电矩趋于外场方向一致性越好，电矩 的矢量和也越大。
说明：电子位移极化效应在任何电介质中都存在，而 分子转向极化只是由有极分子构成的电介质所特有的， 只不过在有极分子构成的电介持中，转向极化效应比 位移极化强得多，因而是主要的。
代替电介质对电 场的影响。
在外电场
E
中，介质极化产生的束
0
缚部电都荷产， 生在 附其 加周 电围 场无E论'，介称质为内退部极还化是场外。
' '
退极化场
任一点的总场强为： EE0E'
注意：决定介质极化的不是原来的场
际的 场 E。
E
而是介质内实
0
E'又总是起着减弱总场 E的作用，即起着减弱极化
的作用，故称为退极化场。
为了计算它们当中的任何一个量，都需要和其它量 一起综合加以考虑。
这种连环套的关系太复杂，在实际计算中比较繁 琐。物理学追求“和谐、对称、简洁！
11
四、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
真空中的高斯定理 SE0dS
q0
大学物理-5第五讲静电场中的电介质,电位移、介质中的高斯定理
q '1 R 1 R3
R2
又因内球接地，电势为零
q
' 1
q
' 2
4 0 R 1 4 0 R 2
三式解得：
q3' 0
4 0R3
q1' R1R2RR12RR23qR1R3
q2'
R1R2q
R1R3R2R3R1R2
9
q '3
q '2
q '1 R 1 R3
R2
q2' q'3q
q3' qq2'
q(R2 R1)R3 R1R3R2R3 R1R2
球壳的电势：
U3
q1'
4 0r
q
' 2
4 0 r
q
' 3
4 0 R 3
另一种方法：先用高 斯定理求场强再积分
(R2R1)q
40(R1R3R2R3R1R2)
10
§18-2 静电场中的介质、介质中的高斯定理
电介质—绝缘体。
特点：分子中正负电荷束缚很紧，整个分子中电荷代 数和为零。介质内几乎没有自由电子，因而导电能力 很差。
二、极化现象的微观解释
1.分子中的正电荷与负电荷都有一个等效的电荷作 用中心。
无极分子—正、负电荷作用中心重合
的分子。 有极分子—正、负电荷作用中心不重
+-
合的分子。
12
有极分子对外影响等效于一个电偶极子，电矩 Pe ql
q为分子中所有正电荷的代数和； l 为从负电荷作用中心指向正电荷作用中心的有向
录像片：“大气电场下——雷电及其防护”
1
静电场中的导体例题续
大学物理论文-高斯定理的意义和应用
高斯定理的意义和应用摘要：为了解决库伦电荷定律中平方反比问题，素有数学王子之称的德国数学家高斯创造性的提出了高斯定理，由此拉开了近代“场物理学”寻求库伦电、磁、万有引力三大定律统一的序幕！高斯定理从本质上讲是一个关于照度描述的几何学定理，但他与法拉第力线及其密度空间分布结合起来去解释库伦电荷力定律，从而将场物理学引领到用几何化描述场的统一数学范式时代。
高斯定理在物理学中应用有二种描述形式：（1）电荷高斯定理（球面密度），（2）磁荷高斯定理（平面密度），但这二种应用形式与物理意义既有共性，也有差别。
随着高斯定理在电磁学的成功应用，后人将万有引力定律也纳入到高斯定理应用领域。
关键词：高斯定理；意义；应用1、高斯定理高斯定理是受法拉第电荷力线思想影响，用法拉第电荷力线空间分布思维去解决库伦定理中的平方反比规律问题，因此，他首先接受电荷电场球体分布观念，后用荷的球体曲面密度去描述电荷电场；随后，由于磁体磁场分布不呈球形分布状态，无法套用电场高斯定理，于是，高斯又给出了磁场高斯定理；因此，电磁学中高斯定理有电场高斯定理和磁场高斯定理之分，具体描述如下：1.1 高斯定理（电场）[1]高斯定理是表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系：真空中高斯定律积分形式为；其中，E为电场，为闭合曲面A的微分面积（如图-1所示，称为高斯曲面），由曲面向外定义为其方向，Q为闭合曲面内的电荷，为真空电容率，为此处电介质的介电常数（如果是真空的话，其数值为1）。
其微分形式为：，其中为电荷密度(单位 C/m ³)。
在线性材料中，等式变为；其中为材料的电容率。
此方程是卡尔·高斯在1835年提出的，但直到1867年才发布。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由反平方定律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。
第四节电介质中的高斯定理
S
由 : q' = − ∫ P ⋅ d S
S
∫ (ε
S
0
E + P ) ⋅ d S = q0
高斯定理可以重新写为：
令 : D = ε0 E + P
则有 : ∫ D ⋅ d S = q0
S
《大学物理》
教师：
胡炳全
2、电位移
D = ε0 E + P
叫电位移。它是一个矢量。它没 有直接的物理意义。
若电介质是线性极化的，则有：
+
-+ E0 -+ D
+
-
+
-
-+
P
+
E’
+
-σ0
+
-
-
-+
《大学物理》
教师：
胡炳全
5、电介质中高斯定理的应用 应用电介质中的高斯定理可以很方便地求解电荷和电 介质都对称分布时的电场的场强。 例题1、如图所示，一个均匀带电球体外有一个电介质球 壳。试求场强分布。 解：如图取高斯面，则有：
∫ D ⋅ d S = ∫ D ⋅ d S cosθ = ∫ D ⋅ dS = D ∫ dS
S S S S
R2 ε Q r R1
= D 4πr = q0
2
Q r3 q0 = Q 3 R1
r > R1 r < R1
Q 4πr 2 D = Qr 4πR13
r > R1 r < R1
《大学物理》 根据
教师：
胡炳全
D =εE
ε 0 , r < R1 ε = ε , R1 < r < R2 ε , r>R 2 0 Qr 4πε R 3 , r < R1 0 Q , R1 < r < R2 E= 2 4πεr Q , r > R2 2 4πε 0 r
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
大学物理 第七章 高斯定理
。 解：电荷及场分布：柱对称性，场方向沿径向。
高斯面：与带电圆柱同轴的圆柱形
R
闭 合面,高为l,半径为r
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
qin
0
由高斯定理知 E qin
2 0lr
r
l
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（1）当r<R 时，高斯面内电荷量为：
半径R,电荷量为q
高斯面
E
问题关键：高斯面的选取
+ +P+
+
+q
+
A:球壳内任意一点P的场强如何求？
+ +
+ +
e E dS
0
+
+
+++ +
S
径向
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e EdS EdS
S
s
E dS E 4 r2 0 S
E 0 (r R)
高斯面
E
+ +P+
+
+q
+
+
+
+ +
qin
q
4 R3
4r3
3
q
r
3
R
3
e EdS EdS E dS
S
S
S
E 4 r2 qin
0
E
高斯面
P+
+ +r +
+
E
qr
4 0 R 3
(r R)
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大学物理高斯定理公式
大学物理高斯定理公式大学物理中的高斯定理公式是一种关于电场和电流分布的基本定律。
高斯定理可以用于描述物体电场和电流分布，同时可以用于计算一般电场和电流分布情况下的电容量和电侵蚀率。
这里介绍几种常用的高斯定理公式。
一、单点电荷的高斯定理公式通常情况，单一的常规的静电场的电荷分布是具有点特征的，此时只需要考虑一个点电荷的作用，可以根据高斯定理，给出点电荷产生的电场的表达式：$$E(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$其中，$E$ 是点电荷$q$所产生的电场，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r$是测量点相较于点电荷的距离。
二、多点电荷组合的高斯定理公式当考虑多点电荷时，就没有简单地表达式了，首先根据高斯定理，给出多点电荷产生的电场的概念的表达式：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
有时，我们可以使用梯度运算来分析多点电荷组合作用下的电场，即：$$\nabla E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi\epsilon_0 r_i^3}$$三、静电场介电体上的高斯定理公式静电场介电体的电场分布可以根据高斯定理给出：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi \epsilon(r)r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的介电体静电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon(r)$是介电体在多点电荷源处的介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
《大学物理学》习题解答(第12章 静电场中的导体和电介质)(1)
（2）两输电线的电势差为 U
xR
E dl
R
Ed x
d R ln 0 R
（3）输电线单位长度的电容 C
U
0 / ln
d R d 0 / ln 4.86 1012 F R R
【12.9】半径为 R1 的导体球被围在内半径为 R2 、外半径为 R3 、相对电容率为 r 的介质球壳内，它们是同 球心的。若导体带电为 Q ，则导体内球表面上的电势为多少？ 【12.9 解】先求各区域电场 （1）
Q 4 0 R3
( R3 r )
B 球壳为等势体，其电势为
V
R3
E dr
Q 4 0
R3
r
dr
2
【12.2】一导体球半径为 R1,外罩一半径为 R2 的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为 Q,而内球的电势为 V0.求此系统的电势和电场分布。 【12.2 解】已知内球电势为 V0 ，外球壳带电 Q 。 （1）先求各区域的电场强度：设内球带电荷 q 。由高斯定理，有
E
U
z
2R
（ 1 ）一根带电 的输电线在两线之间、距其轴心 x 处 p 点的场强为
x
dx
p
E i 2 0 x
另一根带电 的输电线在 p 点产生的电场强度为
x
E
2 0 ( d x )
i
p 点的总电场强度为
E E E
d R
1 1 ( )i 2 0 x d x
E1 0
(r R1 ) ( R1 r R2 ) 4 r 2 D Q ， D 0 r E3
大学物理课件-4静电场中的电介质电介质中的电场高斯定理电位移
谢谢观看
2021/3/18
26
4πe r
Q R12
2
4πR1
er
1 Q
er
在外表面上的正极化电荷的总量为
q外
外 S外
er 1 4πe r
Q R22
4πR22
er 1Q er
2021/3/18
21
例2：平行板电容器充满两层厚度 +
为 d1 和 d2 的电介质(d=d1+d2 )，
相对电容率分别为e r1 和e r2 。
S1
求：1.电介质中的电场 ；2.电容量。
2021/3/18
12
在保持电容器极板所带电量不变的情况下， 电容与电势差成反比，所以
C C0
U012 U12
er
即
C = e r C0
式中C0是电介质不存在时电容器的电容。
可见，由于电容器内充满了相对电容率为e r的 电介质， 其电容增大为原来的e r倍。
2021/3/18
13
四、电介质存在时的高斯定理
但随着外电场的增强，排列整齐的程度要增大。
无论排列整齐的程度如何，在垂直外电场的两个端面上 都产生了束缚电荷。
结论：有极分子的电极化是由于分子偶极子在外电场的作用 下发生转向的结果，故这种电极化称为转向电极化。
说明：在静电场中，两种电介质电极化的微观机
理显然不同，但是宏观结果即在电介质中出现束缚
电荷的效果时确是一样的，故在宏观讨论中不必区
在宏观上测量到的是大量分子电偶极矩的统计
平均值，为了描述电介质在外场中的行为引入电极化
强度矢量。
2021/3/18
6
为表征电介质的极化状态，定义极化强度矢量：
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
《大学物理》有介质的高斯定理
还可用串联求C 还可用串联求
e.g.3:平行板电容器 : 已知: 已知: ε r1 , ε r1 , S,± Q 0 求: , E, P, σ′, C, We 高 D 斯 Solution: 面 D = σ 0 i σ01S/2 + σ01S/2 = Q0 σ 0 i ε = ε 0 ε r1 E= ε = ε0εr 2 E1d = E 2 d ε
第三节 高斯定理
Gauss' Theorem With Dielectric 有介质的
1313-3-1电介质在静电场中 1. 分析 1)真空中的高斯定理 (1)真空中的高斯定理
1 Φ e = ∫∫ E dS = S ε0
+ σ0 σ′
i
+ σ′
E0
σ0
∑q
S in
高 斯 面
(2)有介质时 2)有介质时
D = ε0E + P P
ε r1
S 2 S 2
ε r1 ε r 2
d
Q Sε 0 C= ( ε r1 + ε r 2 ) U ± = E1d = E 2 d C = U± 2d
P = σ' σ'
还可用并联求C 还可用并联求
物理史 (1)
1 r
2+ ε
(History of Physics)
ε << 1 1769 Robinson 万有引力
高 斯 面
σ0
σ0 Q0 ∫∫SE dS = ε0εr s = ε0εr
E'
E
∫∫
S
( ε 0 ε r E ) dS = Q 0
2. 电位移矢量 D (1)分析 1)分析
(2)说明 2)说明 ① D 辅助矢量 M: ③ D, E, P 的关系
4介质中的高斯定理
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
∫v D
S
⋅
v dS
=
∑
qi
说明:
∫ Dv S
⋅
v dS
=
∑
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2.
真介空质中中:的高Pv斯=定0理包含所了以真:空中D的v 高=斯ε 0定Ev理+.
v P
=
ε
0
v E
∫ ∫ ∫ v D
⋅
v dS
=
ε
S
S
3.
电位移矢量
v D
量是电场强度
v 0E
⋅
v dS
=
∑
qi
v E
⋅
v dS
=
1
S
ε0
是E.v一个辅助量.描写电场的基本物理
∑
qi
介质中的高斯定理
对于各向同性的电介质:
v P
=
χ
eε
0
v E
( ) v
D
=
ε
0
v E
+
v P
=
ε
0
v E
+
χ
eε
0
v E
=
Dv
ε
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为σ0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+σσ´0
D⋅S =σ0S D = σ0
D +σ´
E = D = σ0
介质中的高斯定理
v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
大学物理 第三篇 电位移矢量和有电介质时的的高斯定理
1Q W 2 C
2
四.场能密度
单位体积内的电能
能量储存于场中 dW we dV
以平行板电容器的场为特例可以 导出 在带电为 Q 时 We 电场能量密度为 we V (自证)
r
S
d
1 we D E 2
普遍
1 单位体积内的电能 we D E 2
例 导体球的电场能ຫໍສະໝຸດ 二. D 的高斯定理
S
D dS
q
i
0i
自由电荷
证： E dS
S
q
i
i
0
i
q q
i i
oi
0 E dS P dS qoi
S S
D dS q0i
S i
0
i
在具有某种对称性的情况下，可 以首先由高斯定理出发 解出 D
W Aq1
q2
q 2 E 1 dl q 2 E1 dl r r
q U 2 21 40 r
q1
在处的电势
q1 在 q2 所
也可以先移动 q2
q2 在 q1所
在处的电势
状态a
q2 W q1 q1U 12 40 r 作功与路径无关 q2U 21
Q E 2 40 r
We
Q D 2 4 r
r
ED
all space of field
we dV
Q 2 2 4 4 r dr 32 0 r R
2
We
Q
2
8 0 R
与前面计 算结果同
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r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D
dS
4
r
2
D
q
S
R2
R1 r2
D1
q 4r 2
D2
q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
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28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
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40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D
i
0
d
2
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d
r
0
Ox
23
xd 2
E
D
0r
0 x
i
0 r
P
r
1 0 x
r
i
xd
2
E
D
i
0d
均匀场
0 0
20
P 1 E 0 r
2.0
104
0.866 C
/
m2
0.258
5.95107C / m2
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32
E2
D2
2
5 .95 10 7 6 .5 8 .85 10 12 V
/m
1 .03 10 4V / m
电场小于击穿场强，所以陶瓷不会被击穿。
（2）极化电荷的面密度为
1 d 1 1 C S 0 S 0 r C1 C2
电容变大：电介质有使空间比起实际尺寸变得更小
（大）的属性
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14
（3) D 的具体空间分布由自由、束缚电荷共同决定。 例3：D线
+
－
+
－
－
+ + + +
－ － － －
+－
+
+
+
+－ +
－ － － －
－
（1）电场强度垂直导体表面 & 电场在介质平面两侧的切向分 量相等—— 可得
Q er
Q
a
2a
E1 E 2 E(r)er
电场强度在两半球均沿径向，电场具有球对称性！ 两侧的电位移矢量则不相同！
两部分的导体表面自由电荷面密度不同！
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38
(2) 利用高斯定理：
D1(r)2r2 D2(r)2r2
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24
第 13 章 电介质
§ 13. 1 电介质及其极化 § 13. 2 极化强度 § 13. 3 介质中的高斯定理 § 13. 4 介质边界两侧的静电场
1. 界面两侧的电场强度关系 2. 界面两侧的电位移关系 3. 电场线电位移线的折射
§ 13. 5 静电场的能量
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的电介质，它们的相对介电常数为r1和r2，极
板面积为S。求电容。
解：
D o
E1
o o r1
d1 d2
r1 r2
E2
o o r2
U
E1d1
E2d1
o o
d1
r1
d2
r2
C oS oS
U d1 d2
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r
解:
E E0 E
E0
0 0
E 0
Pn
Pn ~ E
E
E0
0 0
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2
1. 介质中的静电场
在电介质存在空间的电场由自
由电荷和束缚电荷共同产生
E
E0
E
+
－
－
+
+－
－
+
+
+－
+
+
－ － － －
+
－
环路定律、高斯定理仍成立
第 13 章 电介质
§ 13. 1 电介质及其极化 § 13. 2 极化强度 § 13. 3 介质中的高斯定理
1. 介质中的静电场 2. 电位移矢量 3. 介质中的高斯定理 4. 高斯定理应用
§ 13. 4 介质边界两侧的静电场 § 13. 5 静电场的能量
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1
例：平行板电容器 自由电荷面密度为σ0，充满均匀 各向同性线性电介质，如何求板内的场。
25
1. 界面两侧的电场强度关系
取一非常扁的矩形环路
E
dl
0
1
E
1
1
E1 sin 1 E2 sin 2
E1t E2t
电场强度切向分量连续
E 2
2
2
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26Biblioteka 2. 界面两侧的电位移关系
设界面无自由电荷，取一
非常扁的柱形高斯面：
D
P
dS
qi0
S
S
i
S
o
E
P
dS
qi
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4
定义矢量
D
0
E
P
得介质中的高斯定理
D dS q0i
S
i
在任何静电场中，通过任意闭合曲面的D通量 等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。
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5
3. 电位移矢量
自由电荷，求介质板内外的D, E, P
解： 对称分析 D、E、P
取坐标系如图
d
x0 处 E0
r
0
以x =0 处的面为对称面
过场点作正柱形高斯面S
底面积设S0
Ox
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22
D dS q0i
S
i
xd 2
2 DS 0 0 2 x S 0
D 0 xi
*
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8
（2) D 线起始于正自由电荷，终止于负自由电荷在没 有自由电荷处不中断。
*
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9
例1：
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10
例2：平行板电容器（S, d），介质厚(, r ),极板带电Q,
求E， D，P，，C
Q
解：
Q
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11
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D dS Q
S
D1(r) 0E(r)
D2 (r) 0r E(r) 0E(r)2r2 0rE(r)2r2 Q
E(r)
Q
20(1 r
)r2
Q er
Q
a
2a
极化电荷分布可由 0r E(r) 求得。
电容器电容可由电容定义求得
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+
－
+
－
+
－
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15
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16
4. 高斯定理应用
在具有某种对称性的情况下，可以首先由高斯 定理出发解出 D
三个步骤…
D
E
P
q
D P
E
0
r
1E
q
Pn
P
dS
S 上海交通大学 董占海
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例: 一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2
E1
q
4or1r2
E2
q
4or2r2
能画出大致的E分布？D分布？
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19
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20
U
R2 qdr
R1 4 o r1r 2
R3 qdr
R2 4 o r 2 r 2
q r2R3 R2 R1 r1R1 R3 R2
dS
0
S
D1 cos1 D2 cos 2
1
1
D1
D2
2
2
D1n D2n
界面无自由电荷时电位移矢量法向分量连续