辅助函数的构造
高数罗尔定理构造辅助函数的方法
高数罗尔定理构造辅助函数的方法《高数罗尔定理构造辅助函数的方法》一、解决方案1.高数罗尔定理高数罗尔定理是数学中一类有用的关系，高数罗尔定理可以用来通过构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题。
具体的内容是：高数罗尔定理指出，若有一组函数，其中E相互独立，则它们可以表示为一个独立的恒等函数的联合。
2.建立模型在利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题之前，必须首先建立一个合理的数学模型，并将数据录入模型中，这样可以使模型能够有效地进行数学求解。
为此，应该在建立模型前充分考虑数学问题的解决思路，确定引入的变量，确定公式的计算过程等。
在建立模型完成后，就可以利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法进行求解了。
二、构造辅助函数1.基本思路利用高数罗尔定理构造辅助函数的基本思路是将数学模型中的函数表示为一个独立的恒等函数的联合，从而实现问题的求解。
用以下公式可以描述这一思路：F(x) = f(x1,x2,…,xn)其中，f(x1，x2，…，xn)表示原模型，F(x)表示新恒等函数2.具体步骤（1）将模型中的变量按某一意义顺序进行排列；（2）将原模型按变量的顺序推导至最小阶段；（3）设置恒等函数，例如F(x1,x2,…,xn)，x1＝F(x2,x3,…,xn)；（4）依然利用原模型，推出另外一个恒等函数，例如G(x2,x3,…,xn)，x2＝G(x3,x4,…,xn)；（5）将A和B抽象为新的恒等函数P(x)，比如P(x)=F(G(x))；（6）根据原函数模型将恒等函数的每一部分的参数定义为求解问题的变量；（7）根据设定的变量，用高数罗尔定理，把P(x)表示为恒等函数的联合，即：P(x)=F(x1,x2,…,xn)=G(x1,x2,…,xn)（8）利用推导至恒等函数的形式进行求解，从而解决数学问题。
三、总结以上针对如何利用高数罗尔定理构造辅助函数的方法解决复杂的数学问题进行了详细阐述。
高数罗尔定理可以一定程度上解决求解复杂的数学问题，但也存在一定的局限性，比如当数学模型中的变量数量较多时，可能就不能满足高数罗尔定理的要求。
【最新精选】辅助函数法的构造及应用
浅析辅助函数的构造及应用陈小亘(湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048)摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造辅助函数的方法应用.关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A1 引言辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.2 辅助函数的基本特点及构造原则所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形,由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用. 3 几种构造辅助函数的方法应用3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法)原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数)(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关于ξ及其函数的代数式成立”这类命题的证明.构造辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；第三步：用观察法或积分法求出原函数，为方便积分常数常常取为零；第四步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F .例3.1 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()()()(====b g a g b f a f ，0)(≠x g ,0)(≠''x g ，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 分析：令x =ξ，则)()()()(ξξξξg f g f ''''=⇒)()()()(x g x f x g x f ''''= ⇒)()()()(x f x g x g x f ''=''⇒dt t g t f dt t g t f xx o ⎰⎰''=''0)()()()(⇒dt t g t f x g x f dt t g t f x g x f xx o ⎰⎰''-'=''-'0)()()()()()()()( ⇒)()()()(x g x f x g x f '='⇒0)()()()(='-'x g x f x g x f .证明：令x =ξ，=)(x F )()()()(x g x f x g x f '-'，依条件，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b F a F ，由罗尔中值定理可知，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξF ，即 0)()()()(='-'ξξξξg f g f . 由于0)(≠ξg ,0)(≠''ξg ，故)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--.3.2 参数变易法参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x ,从而构造出相应的辅助函数的方法. 命题的证明思路：第一步：将命题中的某一参数(a 或b )换成x ；第二步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F ；第三步：根据有关定理完成命题的证明.例3.2 设)(),(t g t f 是在],[b a 上连续增加函数，0,>b a ，证明：⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()( 证明：把上式中的b 换成x ，移项，然后作辅助函数 ⎰⎰⎰--=x ax a xa dt t g t f a x dt t g dt t f x F )()()()()()(. 由于)()()()()()()()()()(x g x f a x dt t g t f dt t f x g dt t g x f x F x a x a x a ---+='⎰⎰⎰ ))()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰--+=xa x a x ax a dt x g x f dt t g t f dt t f x g dt t g x f ⎰---=xa dt t g x g t f x f )]()()][()([. 又)(),(t g t f 均为连续增加函数，因此，0)(<'x F ，)(x F 为减少函数.0)()(=≤a Fb F . 即0)()()()()(≤--⎰⎰⎰ba b a ba dt t g t f ab dt t g dt t f . 所以⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()(. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果)(x f 是在],[b a 上连续函数，且0)(>x f ，则2)()(1)(a b dx x f dx x f b a b a -≥⎰⎰. 3.3 泰勒公式法泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数)(x f 有二阶或二阶以上连续导数”这类命题的证明.命题的证明思路：第一步：令辅助函数⎰=xa dt t f x F )()(；第二步：将)(x F 在所需点处进行泰勒展开；第三步：对泰勒余项作适当处理(可考虑用介值定理).例 3.3设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得⎰ba dx x f )(=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ) 证明：令⎰=xa dt t f x F )()(，则有0)(=a F ，)()(x f x F ='，)()(x f x F '=''，)()(x f x F ''='''，)(x F 在0x 2b a +=处的二阶泰勒公式为 2)2)(2(!21)2)(2()2()(b a x b a F b a x b a F b a F x F +-+''++-+'++=+3)2)((!31b a x F +-'''ξ F =)2(b a ++f )2(b a +-x (2b a +）f '+!21)2(b a +-x (2b a +2)+)(!31ξf ''-x (2b a +3) 其中ξ在x 与2b a +之间. 分别将b x =，a x =代入上式，并相减，则得 2)()()(241)2()()()(213ξξf f a b b a f a b a F b F +''-++-=-， 其中1ξ，2ξ分别在2b a +与b ，a 与2b a +之间. 不妨设)()(21ξξf f ''≤''，则2)()()(211ξξξf f f ''+''≤'')(2ξf ''≤，考虑到)(x f ''的连续性及介值定理，可知在1ξ，2ξ之间至少存在一个),(b a ∈ξ使2)()()(21ξξξf f f ''+''=''. 故 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ). 3.4常数k 值法在要证明的命题中，把常数分离，然后用以下步骤求辅助函数：第一步：将常数部分记作k ；第二步：恒等变形,使等式一端为a 的代数式，另一端为b 的代数式；第三步：分析关于端点的表达式是否为对称式，若果是，只要把端点a 改成x ，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.这样的方法就是常数k 值法.例3.4 设)(x f ''在],[b a 上存在，b c a <<，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(21))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+--. 分析：令k b c a c c f c b a b b f c a b a a f =--+--+--))(()())(()())(()(. ⇒))()(()()()()()()(c b c a b a k c f b a b f a c a f c b ---=-+-+-，这是关于端点c b a ,,的轮换对称式，令x b =(可以令x a =或x c =)，于是))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=.证明：令))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=,则)(x F 在],[],,[b c c a 上满足罗尔定理，于是分别存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ使得0)()(21='='ξξF F ，又))(())(()()()()()(c a x a k c x c a k x f a c c f a f x F -----+'-+-='.)(2)()()(c a k x f a c x F -+''-=''. 由罗尔中值定理，至少存在),(),(21b a ⊂∈ξξξ，使得0)(=''ξF ，即0)(2)()(=-+''-c a k f a c ξ. 从而)(21ξf k ''=. 命题得证. 3.5 微分方程法微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.构造出辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：移项使等式一边为零，得一个常微分方程；第三步：求得常微分方程的通解，在通解中的常数令为零可得辅助函数.例3.5 设函数)(x f 在]1,0[上可导，且满足关系 )1()(2210f dx x xf ⎰=. 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 0)()(=+'ξξξf f .分析：令x =ξ，0)()(=+'ξξξf f ⇒0)()(=+'x x f x f ⇒xx f x f 1)()(-='，积分得c x x f ln ln )(ln +-=⇒xc x f =)(⇒c x xf =)(. (令0=c ). 令)()(x xf x F =. 证明：由条件知)()(x xf x F =在]1,0[上连续，在)1,0(可导. 于是由积分中值定理，至少存在一点),0(21∈η，使得 )()(2)(2)1(210210ηηηηf dx f dx x xf f ⎰⎰===.可见)()()1()1(ηηηf F f F ===. 对)()(x xf x F =，由罗尔中值定理，至少存在一点)1,(ηξ∈，使得0)(=ξF ，即0)()(='+ξξξf f . 也就是0)()(=+'ξξξf f .总之，构造辅助函数有许多方法(见[1],[2],[3],[4],[5],[6]). 对于不同的命题，我们必须根据实际情况灵活地选择不同的构造辅助函数的方法. 有时，对于一个命题，可以同时利用不同的方法来完成命题的证明.这就要求我们在教与学的过程中不断去探索新的方法.参考文献:[1 ] 同济大学. 高等数学(第五版) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2 ] 刘玉琏,付沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3 ] 龚冬保. 高等数学典型题解法、技巧、注释[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 2000.[4 ] 陈文灯. 考研数复习指南[M] . 北京: 世界图书出版公司,2009.[5 ] 李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[ J ]. 数学的实践与认识, 2004, 34 (10) : 165 - 169.[6 ] 郭乔. 如何作辅助函数解题[J ]. 高等数学研究, 2002, 3 (5) , 48- 49.A Brief of the Construct Method and Its Application for Auxiliary FunctionChen Xiaogen(School of Information Science and Technology , Zhanjiang Normal College Zhanjiang Guangdong 524048) Abstract: This paper elaborate the basic characteristic of the auxiliary function and the principle of coustructing the auxiliary function, meanwhile, introduce the several typical applications of methods for coustructing the auxiliary function.Key words: Auxiliary function; Primary function mothod; the method of variation of parameters; Constant -k- value methnod附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
例谈辅助函数的构造方法
由ｎ Ｉ （ 。一１ ） ， 凡＞ ２ ， 知
ｎ
ｂ
∑ ≠ ０ ∑ ＝ ｏ ｎ ｌ （ ６ ＋ １ ） ．
ｉ ＝０ Ｊ ：ｕ
易证 ， 当ａ ， ｂ 分别模 几 余 １ 、 一１ 时， 矩形边 界七 和内部 ， 剩余 系每个元素 出现的次数相 同．
２ ０ １ ３年第 ５期
△Ａ Ｂ Ｃ 有
２ ＋ ｖ２ ＋ ２
构造 辅助 函数
Ｆ （ ） ＝ ａ ｌ ｎ 口 ＋ ｘ ｌ ｎ 一 （ 口 ＋ ｘ ） ｌ ｎ 半 ．
证明 不 妨设 ａ＜ｂ ．
作辅 助 函数 Ｆ （ ） ＝ａ ｌ ｎ口＋ｘ ｌ ｎ 一（ ０＋ ｘ ） ｌ ｎ ，
＞２ ｘ ｙ ｃ ｏ ｓ Ｃ ＋２ ｙ ｚ ｃ ｏ ｓ Ａ ＋２ ｚ ｘｃ ｏ ｓ Ｂ．
￣
【 构造思路 】 要证原不等式成立 ， 即证
＋ ＋Ｚ ２
一
（ ２ ｘ ｙ ｃ ｏ ｓ Ｃ ＋ ２ ｙ ｚ Ｃ Ｏ Ｓ Ａ＋ ２ ｇ Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ Ｂ ） ９ ０ ．
其中， ≥ａ ．
要证 ｃ ＜ａ ￣ ｂ ， 只需证 Ｆ （ ） ＞ ０即可．
故 可构造 辅 助 函数
的直线方 程 为
Ｙ ＝ （ ／ ， ５—１ ） ＋ １ ． 猜想： ￣ ／ ， ４ ＋ １ ＞ （ √ ５ — １ ） ＋ １ （ ０ ＜ ＜ １ ） ．
要证 明猜想 成 立 ， 如图 １ ， 只需 证 明辅助 函数 ． 厂 （ ） 为凹 函数 即可．
过程． 本文将结合实例 ， 展示思维过程 ， 探讨
数学 教 育 大 师 波 利 亚提 出 ： “ 人 的 高 明
．
厂 （ ） ＝Ｊ ａ ｘ ＋ ｌ （ Ｏ＜ ＜ １ ） ．
罗尔定理构造辅助函数万能公式
罗尔定理构造辅助函数万能公式郭元春陈思源马晓燕1.西安思源学院基础部陕西西安 710038；2.西安思源学院高等教育营销研究中心陕西西安 710038微分中值定理在微积分学中占有十分重要的地位，是用函数局部性质推断整体性质的有力工具。
罗尔定理是微分中值定理中最为基础的一个，定理内容：若函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式f′(ξ)=0。
利用罗尔定理证明中值等式问题的难点就是辅助函数的构造。
刘文武、张军、肖俊等人[1-3]采用逆向思维法对该类问题做了相应的研究。
逆向思维法是从结果出发分析中值等式的特点，选择适当的方法构造辅助函数。
微分中值等式问题常见的形式是：已知函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(x)满足某些附加条件，求证存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式F(ξ，f(ξ)，f′(ξ))=0。
该等式左边看作是某个函数g(x)在点ξ处的导数，即g′(ξ)=0。
由拉格朗日中值定理可知，g(x)=C 是满足该等式的最简单的函数。
显然这个隐函数是原微分方程的通解，因此，在微分中值问题中，一般把通解中的积分常数令为辅助函数。
本文采用逆向思维法，对微分中值问题中构造辅助函数的常见题型作归纳和总结。
一、利用分离变量法构造辅助函数(一)证明的等式是关于ξ，f(ξ)，f′(ξ)的微分方程例1[4]:设函数f(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，证明：在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
证明：令F(x)=f(x)sinx，显然，F(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，且F(0)=F(π)，故由罗尔定理知，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ，也就是说，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
一元微积分学中的构造辅助函数法
一、什么是构造辅助函数法？
构造辅助函数法是一元微积分学的简易方法。
它的作用是帮助学生快速找出一元微积分的原函数。
构造辅助函数法把几何形状分解成可以快速被积分的函数，从而实现快速求微积分的目的。
二、构造辅助函数法的运用
构造辅助函数法在一元微积分学中被广泛应用。
一般来说，不论曲线形状是什么，都可以用构造辅助函数法来积分。
具体来说，学习者要做的就是观察图形，分解出可以被分解处理的函数，由此能够获得较为准确的结果。
例如，当内接圆的半径是a的时候，可以把它分解为一个关于y的抛物线，然后通过微积分的方法计算出半径为a的内接圆的面积。
三、构造辅助函数法的优势
1.构造辅助函数法相比其它方法较快。
构造辅助函数法可以让学生在计算微积分的过程中少把精力花在一般的函数上，而多放在观察函数的几何形状上，从而更快的获得结果。
2.构造辅助函数法能够更好的理解函数的几何形状。
构造辅助函数法是一个抽象的概念，
但是它可以让学生用简单的描述来更好的理解一元函数的几何形状。
3.构造辅助函数法可以更快的求出极限。
用构造辅助函数法可以更加有效的求出一元微积分变量x进行极限求法，而且更容易理解。
总结
以上就是构造辅助函数法在一元微积分学中的用法，该方法的优势是方便、高效，可以辅助学生们解决许多一元微积分的问题。
罗尔定理中辅助函数的构造法
科教论坛科技风2021年1月DOI：10.19392/ki1671-7341.202101020罗尔定理中辅助函数的构造法张磊于飞吕佳佳王辉沈阳航空航天大学理学院辽宁沈阳110136摘要：辅助函数的构造是应用罗尔定理证明方程问题的关键。
通过微分与积分的互逆关系，将积分思想用于构造辅助函数,探究含中值的等式证明问题，并通过例题介绍凑微分法、还原法和分组法的适用情况。
关键词：中值定理；辅助函数;等式证明中图分类号：O172文献标识码:A一、绪论微分中值定理建立了导数的局部性与函数整体性的联系,有着非常重要的应用价值。
罗尔定理虽是微分中值定理中最基础的一个，但其应用最为广泛，是处理微分中值定理的证明问题时最常见的方法。
该类证明题的普遍难点在于辅助函数的构造,一旦确定了辅助函数，那么后续的证明步骤也就水到渠成了。
可见，辅助函数的构造是求证微分中值问题的关键，也是方程问题考查的重难点。
近日，石丽娜等引入了待定系数法［1］,张军等%2&利用微分方程求通解的方法用于构造辅助函数。
辅助函数的构造虽然千变万化,但并非毫无规律可循。
“特征结论变形”和“还原”是罗尔定理证明题涉及的两种构造辅助函数的常用技巧，本文在常见辅助函数构造法的基础上，借助逆向思维法,结合经典例题分类梳理辅助函数的构造方法。
罗尔定理⑶若函数3+)满足:①3+)在闭区间［-,.上连续;②3+)在开区间(-,.上可导；③3-)=/(b)成立;则在开区间(-,b)内至少存在一点"满足3("=0#这里，我们称"为中值，称微分方程3"=0为特征结论#此类证明通常以“至少存在一点"*(-,b),使5("/ ("/("，…/!)("))=0成立”的形式岀现#中值定理证明题的特征结论多种多样，但都可以通过等价变换改写成“5 ("=0”的形式，其中5(+)通常由+,/(+)/(+)等经过四则运算构成#证明方法是,从结论中的等式岀发，通过等价变换将其化简，构造满定理条件的函数#(+),其中#'(+)=5 (+,/(+),3(+),…/"〉(+))#接下来我们探讨常见辅助函数的构造方法#二、凑微分法观察罗尔定理的条件③,如果能构造一个函数#(+)，使得#(+)=5(+),且#(-)=#(b),就可以由罗尔定理得出5 (+)在开区间(-,b)内存在零点#由等式#'(+)=5(+)解出# (+)，这是一个求原函数的过程，因此求不定积分可以作为构 造辅助函数的一种方法#为了突岀构造法的中“凑”巧妙，习惯上我们将这种方法称为凑微分法#凑微分法构造辅助函数的要点在于“凑”,具体步骤如下:①将特征结论中的中值"改写成+;②经移项、去分母等恒等变换，将特征结论整理为5(+)=0；③令#(+)=5(+),解微分方程得岀函数#(+);④验证#(+)是否满足罗尔定理条件，完成证明#例2.1设3+),g(+)在%-,b］上连续，在'-,b)内可导, g(+)#0,g"(+)#0,且/(-)=b)=g(-)=g(b)=0#证明存分析：由凑微分法，将特征结论顒=3"改写为吧6("6("6(+) =马4;移项去分母整理得/(+)g"(+)-6(+广(+)=0；令# 6(+)(+)=+)6"(+)-6(+)f'(+),等式右端积分得#(+)二+ (/(+)6(+)-6(+)f(+))7+，再由分部积分可得#(+)=/(+) 6‘(+)~f(+)6(+)+C,从而构造辅助函数#(+)==(+)6‘(+) 一/(+)6(+)#解:令#(+)二=(+)6‘(+)f(+)6(+) #显然#(+)在闭区间［-,b］上连续，开区间(-,b)上可导，且#(-) =#(b)#由罗尔定理,在(-,b)内至少存在一点"满足#("二0#又由于6(+)#0,g"(+)#0(-<+b)，所以今^3"#6("6("例2.2用凑微分法构造辅助函数,证明拉格朗日(La-Oranoe)中值定理⑶:设函数代+)在闭区间％-,b］上连续，在开区间'-,b)内可导,则存在"*(-,b)，使得3"=(忖-)#分析:将特征结论3"=(中3-)改写为3+)--*b-(-)=0;去分母整理得/(+)(b--)f/(b)f(-))=0;-令#(+)=f(+)(b--)-(/(b)f(-))，从而构造辅助函数# (+)二=(+)(b-)-(/(b)-(-))+#解:令#(+)==(+)(b--)-(/(b)-(-))+,显然#(+)在闭区间［-,b］上连续，开区间(-,b)上可导，且#(-)=b(-) -(b)=#(b)#由罗尔定理，在(-,b)内至少存在一点",满足#("= 0,即3"(b--)-3b)-(-))=0,亦即3"=(y-)#38科技风2021年1月科教论坛值得注意的是，拉格朗日中值定理作为微积分的经典定理，它的证明方法有很多。
凑原函数法构造辅助函数
凑原函数法构造辅助函数在微积分中，求函数的原函数是一个常见的问题。
对于一些简单的函数，我们可以通过凑原函数法来构造辅助函数，从而求得原函数。
本文将介绍凑原函数法的基本思想和具体步骤，并通过几个例子来说明如何使用这种方法。
一、凑原函数法的基本思想凑原函数法是一种通过构造辅助函数来求函数的原函数的方法。
其基本思想是将待求函数的形式进行变换，使得变换后的函数能够方便地求得原函数。
这种方法常用于一些特殊的函数，如多项式函数、指数函数和三角函数等。
二、凑原函数法的具体步骤凑原函数法的具体步骤如下：1.观察待求函数的形式，找出其中的特点或规律。
2.根据特点或规律，构造一个辅助函数，使得辅助函数的求导结果与待求函数相差一个常数。
3.对辅助函数求导，并将求导结果与待求函数进行比较。
4.通过比较，确定待求函数与辅助函数的差别，从而求得待求函数的原函数。
三、凑原函数法的例子1.求函数f(x)=x^3的原函数。
观察函数f(x)=x^3，我们可以发现它与多项式函数x^n的形式相似，其中n为正整数。
因此，我们可以构造辅助函数F(x)=Ax^4，其中A 是待定常数。
对辅助函数F(x)求导，得到F'(x)=4Ax^3。
将F'(x)与待求函数f(x)进行比较，可以发现它们的差别是4Ax^3与x^3之间相差了一个常数3Ax^3。
因此，我们可以得出待求函数的原函数为F(x)-3Ax^3+C，其中C为常数。
2.求函数f(x)=e^x的原函数。
观察函数f(x)=e^x，我们可以发现它与指数函数的形式相同。
因此，我们可以构造辅助函数F(x)=e^x，其中F(x)的导函数就是f(x)。
根据这个特点，我们可以直接得出待求函数的原函数为F(x)+C，其中C为常数。
四、总结凑原函数法是一种通过构造辅助函数来求函数的原函数的方法。
它的基本思想是将待求函数的形式进行变换，使得变换后的函数能够方便地求得原函数。
通过观察待求函数的特点或规律，并构造合适的辅助函数，我们可以利用凑原函数法来求得函数的原函数。
浅谈辅助函数的构造及其应用
浅谈辅助函数的构造及其应用[摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性．[关键词] 中值定理；辅助函数；应用一、 辅助函数方法的构造利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法．1“按图索骥”法例1 证明21()>+n n y x ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2()1,,0,0>≠>>n y x y x证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于'f()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当y x y x ≠>>,0,0时，有()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 ()nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+2212“逆向思维”法例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=2121，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()()'f f θθθ=-．证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．将()()'f f θθθ=-变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ''f f x xf x +==可考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F因为()()dx x xf f ⎰=21021，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得()().1ξξf f =而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()()θθθf f ='3“图象”法例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及10≤≤t ，有证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中21121,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有()21,x x x x f y ≤≤≥即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()310110161⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰dt t f dz z f y f x f dy dx证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=xdt t f x F 0则有 ()()()()()x f x F F dt t f F ===⎰1',00,1，即()x F 是()x f 的原函数()()()()()()dy z F y f dx x f dz z f y f x f dy dx xy x⎰⎰⎰⎰⎰=101101010=()()[]()()()[]()[]()31033210611610161121⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-⎰⎰dt t f F F F x dF x F F 5“旁征博引”法例5 证明对任意的数c b a ,,有52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc证明 这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表面上的联系不多，须见多识广，经验丰富．因为c b a ,,是正数，所以可令222,,z c y b x a ===，则不等式变为5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x ，将该不等式两边同时取对数，有5222222527ln ln 3ln ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤++z y x z y x ，故考虑作辅助函数，()z y x z y x F ln 3ln ln ,,++=，我们首先求函数()z y x F ,,在球面22225R z y x =++上的极大值()0,0,0>>>z y x ，解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+==+==+=05023'021'021'2222R z y x z z F y yF x x F zy x λλλ 得R z R y R x 3,,===，所以()z y x F ,,的极大值是()533ln 3ln 3ln ln R R R R =++即 25225353333ln ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=≤zy x R xyz 两边平方得 5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x令 c z b y a x ===222,,，即得52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc6 “几何变形（面积）”法例6 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -=-ξ'证明：设曲线()x f 上的动点()()x f x M ,，则以M ，A ，B 为顶点的三角形面积()()()()11121b f b a f a x f xx S ±= 可取辅助函数为：()()()()111b f ba f ax f xx G = 显然 ()()()x G b G a G ,0==在[]b a ,上满足罗尔定理条件，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0'=ξG ，()()()()a b f a f b f -=-ξ'综上所述，作辅助函数是求解数学问题的方法之一，有时可以利用逆向思维法，几何法，图象法等可构造辅助函数，从而使问题迎刃而解．二、辅助函数在数学解题中的应用辅助函数法是数学分析中解决问题的一种重要方法．通过作辅助函数，不仅反映了事物内部的数量特征和制约关系，揭示了其内在的联系，而且在处理和解决问题时常用此法，并在现代数学理论中发挥着重要作用．数学分析中许多理论问题的解决都涉及到作辅助函数的方法．某些很复杂的问题构造一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单．具体体现在： （1） 微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完满的解决． （2） 定积分的基本公式,牛顿—莱布尼兹公式()()()()⎰-==ba b aa Fb F x F dx x f （其中()()x f x F ='的证明用到了辅助函数即积分上限函数()()[]b a x dt t f x xa,,∈=⎰φ）．（3） 多元函数求条件极值用到了辅助函数即拉格朗日乘数法，通过拉格朗日乘数法将多元函数的条件极值问题转化为多元函数的普通极值问题．（4） 多元函数的泰勒公式的证明用到了辅助函数通过构造辅助函数将多元函数问题转化为一元函数问题．（5） 常微分方程中的常数变易实质上也是引入了辅助函数，使用权一阶微分方程的解得以实现．由此可见，辅助函数在数学分析上的证明和计算中发挥着十分重大的作用．利用辅助函数来解决问题要求主体具有良好的知识结构和发散性的直觉思维能力，并要求主体具有广泛的联想能力．如对微分中值定理当我们弄清了命题的几何背景，以及拉格朗日定理与洛尔定理的关系，同时认识到柯西定理只不过是拉格朗日定理的不同表达之后，就会联想到要作辅助函数，从而使定理得以证明．利用辅助函数的两种方法：几何推导法和代数分析法．下面以拉格朗日定理为例加以说明：从几何推导法着手给出了辅助函数()x φ，在此不再叙述；现以代数分析法入手给出辅助函数()x φ．分析：要使()()()a b a f b f x f --='，只须()()()0'=---ab a f b f x f ，从而证明拉格朗日定理就归结为寻找辅助函数()x φ，使()x φ满足洛尔定理的条件，并且()=ξφ'()()()ab a f b f f ---ξ'．拉格朗日定理证明的关键就是找一个满足洛尔定理的条件的函数()x φ，使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'．而要使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'，只须()=x 'φ()()()a b a f b f x f ---'，从而得到辅助函数的一般表达()=x φ()()()C x ab a f b f x f +---（其中C 是任意常数），此时只要()x f 满足垃格朗日的条件，()x φ就满足洛尔定理的条件，从而定理得证，而且对于C 的每一个具体的数值，就得到一个具体的辅助函数，并对应一个具体的证法．辅助函数方法实质就是当遇到实际问题时，设法利用问题来列出函数关过对函数问题的研究使问题得以解决的一种数学思想方法．在处理和解决问题时构造一个适当的辅助函数，往往使问题的解决变得非常简单．利用辅助函数解决问题的一般方法是直接依据问题的特点，构造与之相适应的函数关系式，通过研究函数，使问题得以解决．1 利用辅助函数求极限在求离散型变量的极限时往往通过构造辅助函数，使离散变更连续化，然后利用求函数极限的方法，使离散型的变量极限得以解决．例1 求n n n ∞→lim解:作辅助函数()x x x f 1=,则()xx ex f ln =()1lim lim 01limln limln =====∴+∞←∞→=+∞→+∞→e eeex f xxx xx x x x x故n n n ∞→lim = =()1lim =∞→n f n2利用辅助函数证明不等式证明不等式()()[]b a x x g x f ,,∈≥，只要作辅助函数()()()x g x f x F -=，这时证明不等式的问题就归结为证明()x F 在[]b a ,最小值大于等于零的问题．例2 (柯西—舒瓦茨不等式)设()x f 和()x g 在区间[]b a ,上连续，证明：()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析一：由于定积分只与积分区间和被积函数有关以及定积分的定义，易知给定间上的定积分是一个常数，不妨令()()()().,,22dx x g C dx x g x f B dx x fA ba b a ba⎰⎰⎰===则命题转换为证,2AC B ≤联想到一元二次函数的判别式，利用化归思想，则可构造函数：()()()[]dx x g t x f t F ba2⎰+=()()()()02222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f t dx x ftba b a ba因为对任意的实数t ，关于它的上述类型的一元二次函数均肺腑，所以判别式.0≤∆即()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析二：欲证()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，只需要证明()()()()0222≤⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰dx x g dx x fdx x g x f ba b ab a而()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222若把上式视为某个函数()x F 在b a ,两点的函数值的大小之比较，即证当a b <时()()b F a F >，如果可以证明函数()x F 在[]b a ,上是单调递减函数，则命题得证．证明：作辅助函数()x F =()()()()dt t g dt t fdt t g t f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，依题意易知函数()x F 在[]b a ,上可导，且 ()()()()()⎰-=xax fdt t g t f x g x f x F 2)(2'()()()⎰⎰-x a xadt t fx g dt t g 222()()()()()()()()⎰⎰⎰--=x axaxa dt t f x g dt t g x f dt t g t f x g x f 22222()()()()()()()()[]⎰--=xa dt t f x g t g x ft g t f x g x f 22222()()()()[]⎰≤+-=xa dt t f x g t g x f 02故函数()x F 在[]b a ,上单调递减，因此，当a b <时，()()b F a F >，有()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()2220b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰命题得证． 注：在知道被积函数连续的条件下，积分不等式的证明用构造辅助函数的方法更为简洁．例3 求证 ()()0,1ln >+>x x x证明：作辅助函数()()x x x F +-=1ln ，则()xx F +-=111' 0>x 时，()0'>x F ，即当0>x 时()x F 是增函数，而()00=F()()0,0>>∴x x F故当0>x 时，()x x +>1ln 3 利用辅助函数讨论方程的根解方程()0=x F 实质上就是求函数()x f 的零点，关于函数零点的问题一般是利用连续函的介值性及微分中值定理来解决． 例4 设()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导求证：在()b a ,内至少存在一个ξ，使()()()()ξξξ'f f ab a af b bf +=--分析：令()()k ab a af b bf =--，因此，()()()()()ka a af kb b bf a b k a af b bf -=--=-,，此为对称式，且a 与b 互换等式不变．所以，对此类型的问题作辅助函数为()()kx x xf x F -= 证明：令()()()()x ab a af b bf x xf x F ---=（由分析得），显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导．又因为()()()(),0=---=a a b a af b bf a af a F ()()()()0=---=b ab a af b bf b bf b F ．所以()()0==b F a F ．因此，在[]b a ,上满足罗尔定理，于是存在一个ξ，()b a ,∈ξ，使(),0'=ξF ()()()()0'=---+ab a af b bf f f ξξξ所以，()()()()x a b a af b bf f f --=+ξξξ'，证毕．4 利用辅助函数计算积分有时计算积分确定被积的原函数是十分困难的，若能引如适当的辅助函数，困难就解决了．例5 计算()⎰++=102,11ln dx x x I 解:引入辅助函数()()120ln 11x I t dx x +=+⎰,则()1I I =()00I =，且()()211ln ,xx t x f ++=，及()()()tx x x t x f t ++=11,'2，在[]10,10≤≤≤≤t x 上连续()t I ∴满足积分号下求导数条件 ()()()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=++=∴12242ln 211ln 1111't t t dx tx x xt I π ()()10'ln 214I t dt I π∴=-⎰而()()()10'10,I t dt I I =-⎰故()2ln 81π==I I同样利用辅助函数不难计算⎰+∞sin dx xx，只要引入辅助函数()⎰+∞-=0sin dx x x e y I yx，即可计算得出2sin 0π=⎰+∞dx x x5 利用辅助函数计算多元函数的极值多元函数的条件极值问题在数学分析教材中以作了较详细的叙述，在此不在重述，此类问题只要引入拉格朗日函数就可以得到完满的解决．此外在实际经济活动、操作、经营和决策者经常要思考怎样才能以最低成本，最短时间获得最大经济效益，这也属于数学上的最优化问题，最优化问题的解决也是通过构造辅助函数，把最优化问题归结为求函数的最值问题．综上所述，全面掌握，深刻领会辅助函数方法，无论在理论方面还是应用方面，都具有重要的意义．参考文献：[1] 刘玉琏、傅沛仁.数学分析[M].北京:高教出版社,1992.[2] 翟连林、姚正安.数学分析方法论[M].北京:农业大学出版社,1992[3] 郭乔 .如何作辅助函数解题[J].西安:高等数学研究,2002,3(5):48-49Talking About the Construction of AuxiliaryFunction and Its ApplicationAbsract: On the basis of studying and analyzing mathematical proposition,through proving a few mathematical problems,some methods about construction of auxiliary are proposed.This paper discusses the application of auxiliary function in the process of proving and the importance of auxiliary function in mathematical analysis and extension of its application.Key words: auxiliary function ; application ;theorem of mean。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
辅助函数构造
辅助函数构造
辅助函数构造是一种软件技术，允许软件程序员以更加有效的方式编写程序。
与基础类似，它不是一种基础构造，而是一种补充构造，程序员可以用它来更轻松地实现特定结构的特定功能。
辅助函数构造的最大优势是它可以帮助软件程序员更轻松地实
现特定的功能。
它把原本需要更复杂的程序结构和更复杂的代码分解成一系列更容易理解的步骤，使软件程序员能够更快地完成任务并实现自己的思路。
另外，辅助函数构造还有助于开发维护容易和管理可靠的软件系统。
它可以帮助改善软件系统的可读性，使软件构建变得更容易维护和更可靠。
例如，软件程序员可以使用辅助函数来规范软件程序的语法，使它更易于理解和管理。
此外，辅助函数构造还可以帮助软件程序员更容易地重用特定的功能。
它可以帮助程序员实现最佳实践，而不需要重复编写相同的代码，这样可以节省大量时间和精力。
因此，软件工程师可以用少量的时间和精力开发出高质量的软件产品。
辅助函数构造还可以帮助软件工程师更容易地实现复杂的功能。
因为它们把复杂的程序结构分解成更容易理解的步骤，软件工程师可以更好地理解并处理复杂问题，并实现该功能。
最后，辅助函数构造在软件开发过程中可以帮助改善代码质量。
由于它可以帮助改善软件程序的可读性，软件工程师可以更轻松地查看代码，更快速地解决问题，并且可以更好地控制软件产品的质量。
总之，辅助函数构造是一种重要的软件技术，能够帮助软件程序员更快、更高效地实现特定功能。
它可以帮助改善软件程序的可读性，使软件程序员可以更容易地查看、管理和维护软件系统，从而提高软件开发的效率。
辅助函数的构造
4ax3 3bx2 2cx （a b c） 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个根.
分析： 上述两个方程的左端构成的函数 g( x ) 在所给的
闭区间上都是连续，在开区间内可导的. 但例 2 中 g(0) g(a b) b a[1 sin( a b)] 0 ，
例 4：设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 证明：在 (a , b) 内至少存在一个 ，使
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba
------------------------------------------bf ( b ) a f ( a ) [ xf ( x ) ] 【分析】即证 ba
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
由零点定理：至少存在一点 (0, a b ) ，
使得 F ( ) 0 ；
由(1)、(2)即知 是方程 x a sin x b 0 ( a , b 0 ) 在 ( 0, a b] 上的正根.
4 3 2 F ( x ) ax bx cx (a b c) x , 例 3 证明：设
(3) 分析关于端点的代数表达式是否为对称式或轮换对称式，
若是，只要把端点的 a 改成
x ，相应的函数值 f (a ) 改成
高等数学辅助函数的构造方法及应用
高等数学辅助函数的构造方法及应用1.极限函数构造方法：极限函数是研究极限存在性、计算极限值的重要辅助工具。
在构造极限函数时，可以利用基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的性质和运算法则，通过运算、组合或分解等方法得到所需的函数。
应用：a.利用极限函数构造方法可以证明柯西收敛准则、介值定理等数学定理。
b.在计算极限的过程中，可以应用极限函数构造方法将原式转化为更容易计算的形式。
2.反函数构造方法：反函数是研究函数的性质、解方程、求极值等问题时经常用到的工具。
在构造反函数时，需要保证原函数为一一映射（即可逆），并通过交换自变量和因变量的位置得到反函数。
应用：a.反函数构造方法可以应用于解方程，通过求解反函数可以得到原方程的解。
b.在求函数的导数时，可以应用反函数构造方法将原函数转化为反函数的形式，从而简化计算。
3.特殊函数构造方法：特殊函数是高等数学中具有特定性质和重要应用的函数，包括阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。
这些函数在构造时需要考虑其特定的性质和定义条件。
应用：a.特殊函数构造方法可以应用于求解微分方程、积分等问题，通过引入特殊函数可以简化问题的求解过程。
b.特殊函数的性质和应用广泛，可以用于研究数学、物理、工程等各个领域的问题。
4.递推函数构造方法：递推函数是指通过前一项和已知条件来递推出后一项的函数。
在构造递推函数时，需要给出递推公式和初始条件，并通过递推关系得到所需的函数。
应用：a.递推函数构造方法可以应用于解决递推关系式、数列求和等问题，通过递推公式可以快速计算出数列的项或求和结果。
b.在组合数学中，递推函数构造方法常用于证明组合恒等式、计算组合数等问题。
总之，高等数学辅助函数的构造方法多种多样，根据问题的具体要求和性质选择适当的构造方法非常重要。
这些函数的应用广泛，涉及数学、物理、工程等各个领域，对于问题的分析和求解都起到了重要的作用。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法
一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法微分中值定理在数学分析中起着非常重要的作用，关于定理本身的证明以及应用中值定理证明某一些等式，都需要构造相应的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件，从而达到证明目的。
一、构造辅助函数的具体方法证明中值定理及相关等式往往与函数在某一点?灼的导数有关，因此在构造辅助函数时一般需分三个步骤：第一，先将等式两端的点?灼换成x；第二，分别求出等式两端函数的原函数；第三，求出等式两端原函数的差即为所求的辅助函数。
如拉格朗日中值定理的结论是f′（?灼）=，首先将?灼换成x，即为f′（x）=，而左端的原函数为f（x），右端的原函数为x，令f（x）=f（x）-x，则容易验证f（x）满足罗尔定理的三个条件，因此定理立即得证。
例1，设f（x）在［a，b］上可微，试证明存在?灼∈（a，b），使2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）分析：将?灼换成x得2x［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（x），左端的原函数为x2［f（b）-f（a）］，右端的原函数为（b2-a2）f （x），于是作辅助函数f（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f （x）即可。
证明：令f（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f（x），则f （x）在［a，b］上可微，且满足f（a）=a2f（b）-b2f（a）=f（b），所以f（x）在［a，b］上满足罗尔定理条件，于是存在?灼∈（a，b），使得f′（?灼）=0，即f′（?灼）=2?灼［f（b）-f（a）］-（b2-a2）f′（?灼）=0，从而得2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）。
二、构造辅助函数的简单技巧某一些中值恒等式不能直接应用上述三个步骤证明，因此在证明之前需要先作恒等变形，或者先将?灼换成x后再作恒等变形。
例如：柯西中值定理结论为=，将?灼换成x后为=，而的原函数不易求得，因此将等式变形为f′（x）=g′（x），而后求得左端的原函数为f（x），右端的原函数为g（x），于是令辅助函数f（x）=f （x）-g（x），则易证f（x）满足罗尔定理的条件，于是定理容易得证。
罗尔中值定理构造辅助函数
罗尔中值定理构造辅助函数
罗尔定理证明题中构造辅助函数的基本方法
罗尔定理虽是微分中值定理中最基础的一个，但其应用相当广泛，许多涉及中值定理的证明题都可以用罗尔定理解决。
中值定理证明题的普遍难点在于辅助函数的构造。
（甚至可以说这是唯一难点，如果告诉你用什么辅助函数，就差不多等于告诉你答案了。
）辅助函数的构造法虽千差万别，但也不是毫无规律可循。
“条件变形”和“原函数法”是解罗尔定理证明题时两种构造辅助函数的常用方法。
（“条件变形”能解决的题目通常比较容易，我们重点介绍“原函数法”。
）
罗尔中值定理是微积分解题需要用到的基本定理之一，是研究函数及其导函数关系的重要工具。
本文首先对罗尔中值定理进行论述，然后通过例题对其应具体应用进行分析，重点阐述应用罗尔中值定理构造辅助函数的一般方法，使学生能够掌握罗尔中值定理在微积分解题中的使用技巧。
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式积分不等式在数学中有着非常重要的应用，其可以用来证明其他更加复杂的定理，同时也具有广泛的实际应用。
在本文中，我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式。
1. 变上限积分变上限积分，又称为广义积分，是指积分上限不确定的积分。
更具体地说，如果$f(x)$是在$[a,b)$上的可积函数，那么$f(x)$在$[a,b]$上的变上限积分定义为：$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx$$$t \to b^-$表示$t$从左侧逼近$b$，也就是说，$t$可以任意接近$b$但不等于$b$。
可以看出，如果$\int_a^t f(x)dx$无限趋近于一个确定的值，那么$\int_a^bf(x)dx$就存在。
反之，如果无限趋近于$\infty$或$-\infty$，那么$\int_a^b f(x)dx$就不存在。
2. 构造辅助函数下面我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数。
如果$f(x)$是一个连续可导的函数，那么我们可以通过构造辅助函数来研究$f(x)$的性质。
具体地说，我们定义函数$F(x)$如下：$a$是一个常数。
然后，我们利用$f(x)$和$F(x)$之间的关系，构造一个函数$g(x)$：我们可以通过对$g(x)$求导来研究$f(x)$的性质。
具体来说，我们有：于是，如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相同，那么$f(x)$就是单调递增或单调递减的。
如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相反，那么$f(x)$就在$x$处有极值。
这个结论非常有用，在证明一些积分不等式时经常会用到。
3. 应用举例下面我们将通过举例来演示如何使用上述方法证明一些积分不等式。
例1：证明斯特林公式：$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$证明：定义函数：$$f(x) = ln(x)$$函数的图像如下所示：然后，我们计算$F(x)$：$$g(x) = ln(x)e^{-\lambda((x-1)ln(x)-x+1)}$$我们要证明的是：$$\int_1^n ln(x)dx - \frac{1}{2}(ln(2\pi)+ln(n)+ln(1-\frac{1}{n^2})) \to 0$$我们现在对$f(x)$和$g(x)$分别使用上面的结论。
构造辅助函数的典型方法
则 由罗 尔定理 可知 ， 至少存 在一 点 （ ６， ｎ ）使 ， 显与端 点有 关 ， 有 关端 点的表 达 式 均在 等 且 Ｆ ） ：０ 式 左 边 ， 以 用 常 数 值 法。 所
：
＠ （ ） 分 ： 结 明 ￣ ＝ ＋ 析本 论 ： ４ ） 题
在 ６ 连续 ， ６内 可导 ， ４＝ （ ＝ 。 】 上 在（ ） 且） Ｆ６ ０ ）
ｆ（） ［，（）。 处 理 这 一 类 的 问题 时 ， ＝ ， 】在
可 以 先 解 微 分 方 程 ： （ Ｙ ， 到 通 解 Ｏ ，） 得 ｘ Ｆ ： （ ｊ ， 种处 理的 方法 就是 微分 方程 （ Ｇｘ ＇这 ，）
常数 值法适 用于 常数部 分可 分离 出的 命 Ｏ（，） ｘ ＝口 ，则 可 构 造 出 辅 助 函 数 为 通解 法 。 （）将 常数部 分令作 １ 例（） 函数， 在 ｂ区间上 连续 ， ３设 （） １ 在（ （） 等变形 ， ２作恒 使等式一 端为口 及＿ 构 ， 厂） （ ｂ 内 可 导 ，且 ｆ ｘ≠０ ，ｘ 舀 。若 ） （） ∈（，） 成 的数 学式 ， 另一端 为 ｂ 及 ６构 成的 数学 ， ） ｆａ＝ （ （ ，∞＝０ ） 。证 明 ： 任意 的 实 数 ， 在 对 存 式； （） 关于 端点的 表达式 是否为 轮换兑 点 ∈ 峨 ３分析 （ 使 得 Ｋ。 换式 ， 若是 ， 只要 将端 点 ａ或 ６ 改写成 ， （ ） 相应
微 分 方 程 通 解 法 适 用 于 结 论 形 式 为 ， ＝ ） 量， ］ 命 题 ， 构 造 辅 助 函 数 的 （） 的 其 步 骤如下 ： （） 换成 ｘ １将 ， （） 令 ： （ ， 到微分 方程 ＝ 力 ， ２再 ， 得 ≯ （） ３解得 其通解 为 ｙ ＝ ） Ｃ， （） ４ 可构 造 辅助 函 数Ｆ ： ＿ 。 ∽ ， ∽ 在命 题 中 经常 会遇 到 这样 的形 式 ， 函数
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bf (b ) a f (a ) x ba
则 F ( x ) f ( x ) x f ( x )
bf (b ) a f (a ) ， ba
则 F ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，
令 F( x) g( x) ， 对 F ( x ) 应用零点定理.
例 3 中 g(0) g(1) (a b c ) ( 3a 2b c ) 符号不定；
3 2 F ( x ) 4 ax 3 bx 2cx （a b c） 令
4 3 2 F ( x ) ax bx cx (a b c) x , 对 F( x) 应用罗尔定理. 则
f ( b ) f ( a ) f ( ) ln b a
f (b ) f ( a ) f ( ) 【分析】 原结论变形： ， ln b ln a
令
f (b) f (a ) k ， ln b ln a
f ( b ) k ln b f (a ) k ln a （这是对称式） ，
(3) 分析关于端点的代数表达式是否为对称式或轮换对称式，
若是，只要把端点的 a 改成
x ，相应的函数值 f (a ) 改成
f ( x) ， 则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数 F ( x ) .
例 4：设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 证明：在 (a, b) 内至少存在一个 ，使
则 F ( x ) 在 [0, 1] 上连续， 在 ( 0, 1) 内可导，
且 F ( 0 ) F (1) 0 ，
F ( x) 4ax3 3bx2 2cx （a b c）
使得 F ( ) 0 由罗尔定理：在 (0, 1) 内至少存在一点 ，
3 2 4 ax 3 bx 2 cx a b c 在 (0, 1) 即 是方程
例 5： （P146 习题 3.1 第 7 题） 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一个
例 3(P147EX10).证明：方程
4ax3 3bx2 2cx （a b c） 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个根.
分析： 上述两个方程的左端构成的函数 g( x ) 在所给的
闭区间上都是连续，在开区间内可导的. 但例 2 中 g(0) g(a b) b a[1 sin( a b)] 0 ，
及可导，会考虑利用介值定理或零点定理. 如果证明中
缺少区间端点的函数值的性质， 要考虑利用最值定理后,
再利用介值定理.
例 1.设 f (x) 在 [a, b]上连续，xi [a, b]，ti 0 (i 1, 2, , n) ，
t 且
i 1
n
i
1
，证明：至少存在一个 [a , b] ，使得
则 F ( x ) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
f (b ) f (a ) 又 F ( a ) f ( a ) ln b ln a ln a
ln b f (a ) ln a f (a ) ln a f (b) ln a f (a ) ln b ln a
2 2
F (a ) F (b) ，
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少 一个 (a , b ) ，使得 F ( ) 0
即
f ( ) f ( ) bf (b) a f (a ) 0 ba
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) 亦即 ba
构造辅助函数法
介值定理：
设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续， 且 f (a ) f (b) ，
至少存在一 则对介于 f (a ) 与 f (b) 之间的任意一个数 ， 点 (a , b) ，使得 f ( ) .
一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数， 但不涉
ln b f (a ) ln a f (b) ln b ln a
F (b) f (b )
f (b) f (a ) ln b ln b ln a
ln b f (b) ln a f (b) ln b f (b) ln b f (a ) ln b ln a
ln b f (a ) ln a f (b) ln b ln a
F (a) F (b)
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少 一个 (a , b) ，使得 F ( ) 0
f (b) f (a ) 1 f ( ) 0 即 ， ln b ln a
ab 0
b 亦即 f (b ) f (a ) f ( ) ln a
f ( ) t i f ( xi )
i 1
n
分析： 命题中涉及闭区间上连续函数，但不涉及可导，
t f ( x ) 是一个常数， 考虑利用介值定理.
i 1 i i
n
但命题中缺少 f (x) 在区间端点的函数值的性质，
故考虑先用最值定理, 再用介值定理.
证：因为 f (x) 在 [a, b]上连续，
由零点定理：至少存在一点 (0, a b ) ，
使得 F ( ) 0 ；
由(1)、(2)即知 是方程 x a sin x b 0 ( a , b 0 ) 在 ( 0, a b] 上的正根.
4 3 2 F ( x ) ax bx cx (a b c) x , 例 3 证明：设
f ( ) t i f ( xi )
i 1
n
零点定理：
设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续， 且
f (a ) f (b) 0 ，则至少存在一点 (a , b ) ，使得
f ( ) 0 .
罗尔定理：
设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续，在开区间
(a , b) 内可导， 且 f (a ) f (b ), 则至少存在一点
(a , b ) ， 使得 f ( ) 0 .
由于两个定理中给出的都是函数 f ( x ) 的性质，
欲证明的是在 (a , b) 内方程 f ( x ) 0 或 f ( x ) 0 是否有根 .
于是，至少 一个 (a , b ) ，
F (b) F (a ) F ( ) 使得 ba
即
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba
例 5： （P146 习题 3.1 第 7 题） 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一 个 ，使得
、 m，使得对 x[a, b]，都有 m f (x) M ， 所以 M
因此，当 xi [a, b]， ti 0 (i 1, 2, , n) 时，有
m ti m
i 1
n
t
i 1
n
i
f ( x i ) ti M M
i 1
n
由介值定理，至少存在一个 [a , b] ，使得
例 2 证明： 设 F( x) x a sin x b ，
则 F ( x ) 在 [0, a b ] 上连续，
且 F ( 0) F ( a b ) b a[1 sin( a b )] 0 ，
(1)若 F (0) F (a b ) 0 ，
即 sin( a b ) 1 ，则取 a b ， 有 F ( ) 0 ； (2)若 F (0) F (a b ) 0 ，
则令 F ( x ) g ( x ) ，
(即把等式左端的 g ( x ) 看作是某个函数 F ( x ) 的导数).
对 F ( x ) 0 积分或解微分方程(未学积分前只能观察)
得 F ( x ) ， 这个 F ( x ) 就是我们要构造的辅助函数，
然后用罗尔定理证明命题； 这个方法叫原函数法。
例 4：设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 证明：在 (a , b) 内至少存在一个 ，使
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba
------------------------------------------bf ( b ) a f ( a ) [ xf ( x ) ] 【分析】即证 ba
内的一个根.
常数 K 值法： （往往可以用拉氏、柯西中值定理证明的题）
此法适用于结论中的常数为分式且已与 分离命题。
构造辅助函数的步骤：
(1) 令常数部分为 k ;
(2) 对所令的表达式恒等变形， 使等式的一端为
a及 f ( a )
构成的代数式，另一端为 b 及 f ( b ) 构成的代数式；
首先将命题中的 (或 x0 )改写成 x ， 通过移项使
等式的右端为(有时需要先交叉相乘再移项) 0 ,
即变为形式： g ( x ) 0 .
一.若易验证 g( x ) 在区间的两个端点处的函数值异号，
用零点定理证明命题； 则构造辅助函数 F ( x ) g( x ) ，
二.若不易验证 g( x) 在区间的两个端点处的函数值异号，
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba