数列的概念与简单表示法第二课时(改)

ak≥ak－1

对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
ak≥ak＋1
即k＋11110k≥k1110k－1， k＋11110k≥k＋21110k＋1.
∴1k11＋0k1＋≥11110≥kk＋，2.
解得 9≤k≤10.
则 k 的值为________．
∵Sn＝n2－9n， 8
∴n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10， a1＝S1＝－8 适合上式，∴an＝2n－10 (n∈N*)， ∴5<2k－10<8，得 7.5<k<9.∴k＝8.
4 判断数列的单调性
【例5】已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1，试判断该数
思路一
数列是一个特殊的函数，我们可以利用函数求最值的方 法去求解数列中的最值问题.
思路二
利用数列的单调性求解. 判断数列的单调性往往只需要比较相邻两项an和an+1的大小。 这一点源于函数的单调性而有充分利用了数列的特殊性.
思路三
利用an最大的一个必要条件
an≥an-1 求解. an≥an+1
首先求得满足条件的n的取值范围，然后找出此范围内的正整数
列的单调性．
[思路探索] 作差法，比较相邻两项an＋1与an的大小． 解 an＋1－an＝n＋n＋112＋2 1－n2n＋2 1 ＝n＋1[2nn＋2＋112＋－1n]2[n2n＋＋112＋1] ＝[n＋122n＋＋1]1n2＋1， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 解 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于 a1 也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋b，
【例5】 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[思路探索] (1)令an＜0即可；(2)利用求函数最值的方法求 解；或利用an≤an＋1及an≤an－1求最小项． 解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N*，∴n＝2,3. ∴数列中有两项是负数． (2)法一 ∵an＝n2－5n＋4＝n－522－49，
单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单 调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与 an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增 数列；若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数列．用作 差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形； ③定号；④结论．
5 求数列的最大(小)项
确定 n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或 最小项．
【变式2】已知数列{an}的通项公式 an＝(n＋1)1110n(n∈N*)，试问
数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若
没有，说明理由．
解 法一 假设数列{an}中存在最大项．
∵an＋1－an＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n
16
f x x2
连续的曲线
9
4
an n2
孤立的点
1
01 234 5 6
5
做出常数数列：4,4,4,4,图象
4
是些孤立点

3
做出摆动数列：- 1，1，- 1，1，图象
2
1
0
1
2
3
4
5
根据数列的前若干项写出的通项公式 的形式唯一吗？请举例说明。
以数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ···为例
解 :据题意可知：a1=1,
a2
=
1+
1 a1
=
1+
1= 1
2,
a3 = 1+
1 a2
= 1+
1= 2
3, 2
1
25
a4 =
1+
a3
= 1+
= 3
, 3
1
38
a5
=
1+
a4
=
1+
= 5
. 5
an 的前5项是:1,2, 3 , 5 , 8 .
235
题型二 由递推关系式求数列的通项公式
例3. 数列{an}中, a1=2, nan+1=(n+1)an
当n-1≥1即n≥2时Sn-1才有意义.
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3．Sn与an之间的关系： 由的定义可知，当n=1时，S1=a1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，
即an

S1(n 1) Sn Sn1(n

2)
说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一 种方法.
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例 4 已知下列数列{an}A的组前 n 专项项和 基Sn，础训练
又 k∈N＋，∴数列{an}中存在的最大项是第 9 项和第 10 项．且 a9＝a10＝1101190.
补充提高：
1、递推公式： 如果已知数列an 的第1项（或前几项），且任一项 a n 与它的另一项ak（或另
几项）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推
公式.
2、 an 与前n项和Sn之间的关系式为：
4. 数列的通项公式：
如果数列 an 的第n项 an与项数n之间的关系可以用一个公式
an=f(n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 5 .数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,...n})为 定义域的函数an=f(n)
与函数一样，数列也可以用图象、列表等方法来表示
S1 ， n=1 an = Sn-Sn-1 ， n ≥ 2
注意： 由前n项和sn求通项公式an=f(n)时，要n=1与n ≥ 2两种情况分别进行运算，然 后验证两种情况可否用统一式子表示。若不能，就用分段函数表示. 3、 判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小
通项公式法: an=2n
列表法： n an
图象法：
123 246
(n>1)
4 5… 8 10 …
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几
项分别是下列各数：
(1) 22 1 , 32 1 , 42 1 , 52 1; an
2
3
4
5
n 1 2 1 n 1
(2) 1 , 1 , 1 , 1 2 6 12 20
的值，最后比较它们对应项的大小，其中最大的一项就是an的最大值.
(1)通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知
道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项an；而 递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多 个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an. (2)如何用递推公式给出一个数列
用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列
＝1110n·9－11n， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an， 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第 9,10 项， 且 a9＝a10＝1101190. 法二 假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，则
解这个不等式组，得 2≤n≤3，
∴n＝2,3.∴a2＝a3 且最小． ∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利 用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由
an≤an＋1，
an≥an＋1，

来确定 n，求最大项可由
来
an≤an－1.
an≥an－1.
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当 b＝－1 时，a1 适合此等式； 当 b≠－1 时，a1 不适合此等式．
∴当 b＝－1 时，an＝2·3n－1； 当 b≠－1 时，an＝32＋·3nb－，1，
n＝1， n≥2.
练习．已知数列{an}的前An组项和专Sn项＝基n2－础9训n，练第 k 项满足 5<ak<8，
(1)求{an}的前4项;
(2)猜想{an}的通项公式
a2

2 1
a1

4
a3

3 2
a
2

6
a4

4 3
a
3
8
an 2n
2．数列的前n项和：
数列{an}中，a1+a2+…+an称为数列的前n项和，记为Sn. S1表示前1项之和：S1=a1 S2表示前2项之和：S2=a1+a2
……
Sn-1表示前n-1项之和：Sn-1=a1+a2+…+an-1 Sn表示前n项之和：Sn=a1+a2+…+an. ∴当n≥1时Sn才有意义；
复习回顾:
1. 数列的定义： 按一定顺序排成的一列数叫做数列.
2.数列中的每一个数叫做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列的首项，第2项，···，第n项， ···
数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，，an ，简记为{an}
3.数列的分类 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列