利用形心坐标计算旋转体的体积和表面积

解：示意图如图 6，球可以看成半圆盘绕直径旋转所得，其体积为 4 π R 3 ，半圆盘的 3
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面积为
1 2
π
a2
，形心绕 y 轴旋转一周的周长为 2π
xc
。它们的关系为：
V
=
2π
xc
⋅
1 2
π
R2
=
4 3
π
R3
，所以：
xc
=
4R
。
3π
例 3：求半圆盘绕 y 轴旋转一周所得立体的体积。
A
=
2π
xc
⋅π
R
=
4π
R2
，所以： xc
=
2R π
。
例 6：求半圆盘绕 y 轴旋转一周所得立体的表面积。
yR
y
H x
R
x
图 10 例 6 示意图
图 11 例 7 示意图
解：示意图如图 10，半圆周的弧长为 π R ，形心的坐标为
xc
=
R
−
2R π
=
π −2 π
R
。故所求表面积为：
A
=
A1
+
A2
=
2π
2 形心的坐标为： x c =
0 x 2dx = 4 / 5 = 3 。
A
4/3 5
故所求体积：V = 2π 3 ⋅ 4 = 8π 53 5
5. 结论
在平面图形形心已知和平面曲线形心已知的情况下，用古鲁金定理求旋转体的体积和 表面积，运算非常简单。因此，第二古鲁金定理适于求圆、半圆、三角形、矩形、梯形绕其 平面内不相交的直线旋转所得立体之体积；第一古鲁金定理适于求圆、半圆、三角形、梯形、 矩形、直线段绕其平面内某直线旋转所得立体之表面积。
∑ ∫∫ y c =
m i yi = M
yρ ds
S
ρ ds
S
如果研究对象是均质的，各点的密度相同（ρ 为常数），把分子分母中的 ρ 消去，则有
形心的坐标公式：
b
∫∫ ∫ ∫ x c =
xds
S
=
ds
S
xds
S
=
S
xydx
a
S
(1)
∫∫ ຫໍສະໝຸດ Baidu ∫ y c =
yds
S
=
ds
S
yds
S
=
S
d
xydy
c
S
如果研究对象是均质的平面曲线，则形心坐标为：
∫ 由式（1）可知： a x y d x = S ⋅ xc 。代入上式有：
V = 2π xc S
（3）
式（3）表明：平面图形绕与其不相交的轴旋转一周所得立体的体积，等于平面图形的
面积与形心绕同一转轴旋转的周长之积。这就是第二古鲁金定理[2]。
3. 旋转面的面积
如图 3 所示，平面曲线 L 绕 y 轴旋转一周，其面积为：
此曲线的弧长与形心绕同一轴旋转的周长之积。这就是第一古鲁金定理[2]。
对于图 4 所示平面曲线与转轴相交的情况，可以以交点为界，分别求出上下两段的形心，
再用式（4）分别求得两个侧面积，而后求和。
4. 应用举例
例 1：已知圆盘的半径为 a，圆心到 y 轴的距离为 b (b>a)。求圆盘绕 y 轴旋转一周所得 立体的体积。
R2 + H 2 ，
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例 8：求由 x = y 2 , x = 1 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得立体的体积。
y
x
图 12 例 8 示意图
解：示意图如图 12，平面图形面积为：
∫ ∫ A = 2
1
ydx =2
11
x 2dx
=
4
0
0
3
∫1 3
y b
a x
y R
x
图 5 例 1 示意图
图 6 例 2 示意图
解：示意图如图 5，圆盘的面积为 π a 2 ，形心绕 y 轴旋转一周的周长为 2π b 。故所 求体积为：V = 2π b ⋅ π a 2 = 2π 2 a 2 b
例 2：已知球的体积为V = 4 π R 3 ，求半圆盘的形心坐标。 3
b
xds
x
∫ ∫ x c =
L
=
ds
a
∫L
1 + y '2 d x L
(2)
b
yds
y
∫ ∫ y c =
L
=
ds
a
∫L
1 + y '2 d x L
2. 旋转体的体积
如图 2 所示，平面图形绕 y 轴旋转一周，其体积用柱壳法可以表示为：
∫ V = 2π
b
xydx
a
y
C Pi x
P
图 2 柱壳法求体积
b
-2-
∫ A = 2π
b
x
1 + y '2 dx
a
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y
y
L
C
P
x
图 3 旋转曲面的面积
x
图 4 曲线与转轴相交的旋转曲面
∫b
由式（2）可知： x a
1 + y '2 d x = L ⋅ xc ，代入上式有：
A = 2π xc L
（4）
式（4）表明：平面曲线绕与其不相交的轴旋转一周得到一个旋转曲面，其表面积等于
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利用形心坐标计算旋转体的体积和表面积
吴雄华，孙明珠
天津工业大学理学院数学系，天津（300160）
E-mail：wuxionghua2003@163.com
摘 要：本文从形心的坐标公式出发，结合柱壳法求旋转体体积的公式以及求旋转体 侧面积的公式，推证了古鲁金定理。列举了 8 个例题，说明古鲁金定理的应用。 关键词：坐标公式；柱壳法；古鲁金定理 中图分类号 O172．2
图 9 例 5 示意图
例 5：已知球的表面积 A = 4π R 2 ，求半圆周的形心坐标。
解：示意图如图 9，球面可以看成半圆周绕直径旋转所得，其表面积为 4π R 2 ，半圆
周 的 弧 长 为 π R ， 形 心 绕 y 轴 旋 转 一 周 的 周 长 为 2π xc 。 它 们 的 关 系 为 ：
解：示意图如图 8，半圆盘的面积为 1 π 2
R2
，形心的坐标为 x c
=
b+
4R 3π
。故所
求体积为：
V
=
2π
xc
⋅
1 2
π
R2
=
2π (b +
4R ) 1 π R2 3π 2
= 1 π (3π b + 4 R ) R 2 3
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y R
b
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R x
图 8 例 4 示意图
Computing the volume and the proface area of solid of rotation by using centroid coordinate formula
Wu Xionghua，Sun Mingzhu
School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin （300160） Abstract
如果形体的密度是均质的，用这两个定理亦可方便地求出旋转体的质量，只须乘以密 度即可。如果形体的密度是不均质的，只要质心坐标容易求得，也可以用古鲁金定理求出旋 转体的质量。即：
M = 2π xcm
∫∫ 其中 m 是平面薄板或平面曲线的质量，对于平面薄板： m = ρ ( x, y )ds ；对于平面 S
R
⋅2R
+
2π
π
− π
2
R
⋅π
R
= 2π 2 R 2
例 7：求圆锥的侧面积。已知圆锥的高为 H, 底圆半径为 R。
解：示意图如图 11，圆锥可以看成直线绕 y 轴旋转而成。直线段的长为
形心坐标为 x c
=
1 2
R 。故所求侧面积为：
A = 2π R ⋅ R 2 + H 2 = π R R 2 + H 2 2
With the help of formula of centroid coodinate,this paper proves the P.Guldin theorem by using the method of cylindric hell which can be used to computing the volumes and the lateral areas of the revolutions.Finally,the paper gives eight examples by using the P.Guldin theorem. Keywords：Coordinate formula；Method of cylindric hell；P.Guldin theorem
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y
C
pi
x P
图 1 重心坐标
同理有：
∑ ∫∫ ∫∫ y c =
pi yi = P
ydp
S
=
dp
S
yρ gds
S
ρ gds
S
在地球表面附近，我们研究对象的尺寸有限，可以认为各处的重力加速度相等，约分
后，于是有质心的坐标公式：
∑ ∫∫ x c =
m ixi = M
xρ ds
S
ρ ds
S
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∫ 曲线： m = ρ ( x, y)dl 。其中， ρ ( x, y) 是面密度或线密度。 L
参考文献
[1] 同济大学应用数学系．高等数学（上册）[M] ．北京：高等教育出版社，2005． [2] 邹本腾，漆毅，王奕清．高等数学辅导[M]．北京：机械工业出版社，2003.9．
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yR
x
图 7 例 2 示意图
解：示意图如图 7，半圆盘的面积为 1 π 2
R 2 ，形心的坐标为 x c
=
R
−
4R 3π
。故所
求体积为：
V
=
2π
xc
⋅
1 2
π
R2
=
2π (R −
4R ) 1 π R2 3π 2
= 1 π (3π − 4 ) R 3 3
例 4：求半圆盘绕 y 轴旋转一周所得立体的体积。
1. 重心与形心
在图 1 中，设总重力作用在 C( x c , y c )，它对原点的力矩必须等于诸分力对原点的力
矩之和，即：
∑ ∑ P xc =
pi xi =
ρi gxi∆si
∑ ∫∫ ∫∫ ∴ x c =
pixi = P
xdp
S
=
dp
S
xρ gds
S
ρ gds
S
这就是重心 x 的坐标公式[1]。