固体物理作业
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1. 泡利自旋磁化率.传导电子在零度T 0 时的自旋磁化率
用其它的方法讨论令 n+=n(1+η)/2; n n1/2
表示自旋向上和向下的电子浓度
解:(1)在外磁场 B0, 电子气自旋向上部分的总能量为
E
0 (1)5/3
-
1 2
nB
B0
(1),
这里 0
3 10
n1
x3/
2en
/
x
dx
n1
(
3)!n5/ 2
2
3 4
n5/ 2
n1
3 4
(1.333) 1.772)
解：低温时，热激发产生的自旋波量子的能量很低。
kBT 0
状态空间中 k k dk 的体积是厚度为 dk 的球壳层 4 k 2dk 。频率
0 ，为一级相变。
8
2． 试分别画出第一类第二类超导体的相图和磁化曲线；
B0
BC 0
SN
转 变 曲 BC T
(
BC T1
S （超导态）
N
正常 态
T1
TC
T
第一类超导体相图
B0 BC20 BC10
N
混合
Meissne TC T
第二类超导体的相图
9
M 0 B0 0M 0
3
率为
0e2
4me
2 ，具体过程见课本 306 页。
r 令电子轨道半径的方均根平均值为
2
1 2
。设电子轨道平面为
xy平面，
则 2 x2 y2 ，如果原子具有对称性，半径为 。
因此可得：
2
2 3
r2
（1）
在外磁场中附加磁矩为
e 2me
l
0e2
H ex
2 i j
J i j Si
S j 叫 Heisenberg
哈密顿量
（2）表征铁磁体中自旋电子之间的直接相互作用。
6
（3）根据分子场理论推得的居里-外斯定律，与实验不符。当 T Tc 时，
临界指数 的实验值与用分子场计算的 1 不符。在解释自发磁化
强度时，分子场理论在中间温度范围很成功，但是在 T ~ 0 和T ~ TC 时
n F
,费米能量 F
是在零场(B0=0)时的能量.求相似表达
E−.
（2）最小能量值 Etotal E E 与 相关， 1，计算磁化率为
M
3n
2 B
B0
/
2 F
解： n n1/ 2， n n(1)/ 2 分别表示自旋向上和向下的电子浓
度。由在外磁场 B0 电子气向上部分的总能量为
在 k 到k dk 的态密度为
(
)
(k
)
dk
d
1
2
3
4 k 2
dk
d
1
2
3
4 k 2
1
d dk
1
(2 )2
12 32
自旋波的总能量为：
max
U nk k nk k ( ) d
k
0
4
2
Pb F
Al F
eV
eV
Pb
Al
时，
Pb F
上移
Al ， Pb 的费米面与 Al 的能隙顶相平，此
10
处 Al 的状态密度 N ( ) 很大，而且是空能级。故 Pb 中大量的正电子穿过势垒进入 Al 的单电子能级，形成正常电子隧道
电流，Ｉ急剧增加。
当 Pb Al eV Pb Al 时，Al 的能隙顶部上移到对应于 Pb 的激发
，
这里 B0 为平板体外的磁场并平行与平板，x=0 为平板的
中心。
（2） 平板的磁化强度定义为 B(x) B0 4M (x) ，对于δ<<λL， 证明
4M
(x)
B0
(
1 82L
)(
2
4x2
)
，
这里是高斯制。对于国际单位制，4π需用μ0 代替。
解：（１）由超导面的穿透方程：
2B
一、超导作业
1, 试证明对于超导体 T=Tc 时为二级相变；0<T<Tc 时为一级 相变。
7
证：单位体积金属由超导体变成正常态吸收的热量为超导体的相变潜
热
Q T S (T ) （1）
S
g T
p,
B0
（2）
未加外场时 g(T , 0) gN (T , 0) gS (T , 0) （3）
12
B (x / 2) B0 Esin( / 2L) F cos( / 2L)
解得：
E
0,
F
B0
cosh( /
2L )
所以平板体内磁场为：
B(x)
B0
与实验不符。
6. 碱金属 Na，贵金属 Cu，过渡金属 Cr、Fe 和 V，各属哪类 磁性物质？并说明相应类磁性的主要特点。
答：碱金属 Na、贵金属 Cu 具有抗磁性；Fe 在温度大于 Tc 时具有顺磁 性，温度低于 Tc 时具有铁磁性；Cr 和 V 属于反铁磁性物质。 抗磁性的主要特点是在外磁场中所产生的磁矩或磁化强度很小，磁化 率小于零，并与外磁场方向相反，且磁化率与外磁场和温度均无关。 顺磁性的主要特点是磁化率很小的正数，在无外磁场时顺磁离子的固 有磁矩取向是杂乱无章的，当加外磁场时，各固有磁矩的取向倾向与 外加磁场的方向排列。 铁磁性的主要特点是磁化率是很大的正数，比顺磁体磁化率大 5-6 个 数量级。当温度低于铁磁居里温度时才存在，高于此临界时转变为顺 磁性。
E
5
0 (1)3
1 2
nB B0 (1)
（2）
E
0 (1)5/3
-
1 2
n
B
B0
(1
),
E
5
0 (1)3
1 2
nB B0 (1)
所以总能量
Etotal E E
0
(1)5/3
-
1 2
nB
B0
(1)
0
5
(1)3
1 2
态能级的状态密度较小处，出现电流随电压的增大而减少的负阻现象，
并减小到最低值。
当 eV Pb Al 时， Al 的能隙底部移到与 Pb 的能隙顶部相平。此
时， Al 中的正常电子开始穿过势垒，进入 Pb 的激发态能级，电流
随电压的增大持续增大。
设 Al 的能隙为
Al ， Pb 的能隙为
Pb
，由图可知
n1
3 4
(1.333) 1.772
得到（1）式可写成
5
U
(kBT )52
4 2 ( )32
1.772
U0T
52
，其中U0 =
4
kB52
2 ( )32
单位体积自旋波比热为：
CVm
U T
U0T32
4，给定三个外观相同的物体：（1）永久磁体；（2）顺磁材料； （3）未磁化的铁磁材料。不用任何外加磁场，可以鉴别它们 吗？若可能，请描述方法；若不行，请给出理由。
Pb Al eV1 11.8 104 eV
Al Pb eV2 15.2 104 eV
解得： Al 1.7 104 eV ， Pb 13.5 104 eV
（２）当 Al-Al2O3-Pb 结构中的 Pb 为正常态态而 Al 为超导态时，就
会出现如题所述的情况。 TC Al 1.2K ,TC Pb 7.2K ，所以可将温度由
E
0
(1
)5/3
-
1 2
n B B0 (1 )
5
0
2n n
3
B B0n
考虑到存在外加磁场 B0 时，自旋方向相反的自旋磁矩在磁场中的取向
能为 B B0 ，所以
5
E
0
2n n
3
B B0n
将 n n(1) / 2 代入上式得
0.5K 升到1.2K 即可。
（３）V3 应与ａ图中V2 相等
V3 13.5104 eV / e 13.5104V
4，超导面的磁场穿透。穿透方程可以写成
2
B
2 L
B
，λL
是伦
敦渗透深度，
（1） 对于厚度为δ的超导体平板，证明其体内的磁场为
11
B(x)
B0
cosh(x / L ) cosh( / 2L )
答：可以鉴别。
准备好一盒小铁钉。不加外磁场时对铁钉由吸引的是永磁铁。经过外 磁场磁化后对小铁钉有吸引作用的是铁磁体，无作用的是顺磁体。
5. （1）什么是 Heisenberg 哈密顿量？（2）它表征铁磁体 的什么相互作用？（3）为什么平均场理论不能适用于铁磁体 的低温态？
答：（1）表示自旋-自旋系统相互作用的哈密顿量
gN 与 B0 无关，故上式可写成 g (T , 0) BC2 / 20 （4）
进一步推出
S
(T
,
0)=
T
g (T
,
0)=
T
BC2
20
BC
0
dBC dT
（5）
将（5）式代入（1）式中得到
Q TBC
0
dBC dT
当 T=TC 时 BC 0 ， Q 0
推出 代入上式中得到
2 3
n
F
nB
B
0
3B B 2 F
Etotal
3 5
n F
3n
2 B
B
2
2 F
上式中第二项为磁化能，故磁化强度为：
2
M
3n
2 B
B
2 F
2．氢原子的抗磁磁化率。氢原子在基态时的波动函数是
(a03 ) 1/ 2 e r / a0 ，其中 a0 2 / me 2 0.529 108 cm ，电荷
H
450 Mei N Bc Bo 第一类超导体的磁化曲线
0M
N
Merssner 混合态
BC1
BC2 B0
第二类超导体磁化曲线
3
解：（1）Al-Al2O3-Pb 是 M-I-M 结构（Metal-Isolater-Metal）
当
V=0
时，
Al F
Pb F
,无电子运动，I=0
当 V 0 时，Al 和 Pb 的费米面相对运动
（6）
CS
CN
T
d dT
(S) T
d dT
BC
0
dBC dT
T
0
dBC dT
2
BC
dBC2 dT 2
CS
CN
TC
0
dBC dT
2 TC
0
故超导相变为二级相变
当
0<T<Tc
时，
dBC dT
0 ，故 Q
nB B0
(1)
5
0(1)5/3 0(1)3 nBB0
3 10
n
F
(1)5/3
3 10
n F
5
(1)3
nB B0
当能量取极小值时
Etotal
1 2
n
F
(1
)2/3
1 2
n
F (1)2/3 nB B 0
当 1时，将上式用泰勒级数展开并只取一级近似得：
4me
B 2，（2）
将（1）式代入（2）式中可得：
0e2
6me
B
r2
氢原子轨道电子数是 1，单位体积内含有 N 个原子，其磁化率为
c
N 0e2
6m
r2
在
r2
3
a
2 0
态时，代入上式
c
wenku.baidu.com
N 0e2
2m
a 0
2
6.62
1023
12.57 107 22.4
32
max 0
32d exp( / kBT ) 1
(kBT )52
4 2 ( ) 32
max 0
x 32dx ex 1
（1）
由积分公式
x3/ 2
0
dx ex 1
n1
x3
/
2en
/
xdx
n1
(
3)!n5/ 2
2
3 4
n5/ 2
(1.6 1019 )2 2 0.911030
(0.529
1010）2
-1.46 10-7 m/L*kg
3、磁振子的热容。利用磁振子色散近似 ak 2 导出三维情
4
况下铁磁体在低温时的热容量。其中 k 是波数。
(Integral:
x3/ 2
0
dx ex 1
（二）氢原子的轨道电子数为 1. 电子做轨道运动在外磁场中受磁力矩
作用而产生的附加反磁矩，因而具有抗磁性。
B0
附加
原子实中一个轨道电子在外磁场作用下产生的磁矩为
'
设电子的轨道角动量为 l 。
l
'
e 2me
'
如果垂直平面施加外磁场，其磁场强度为 B 。由外层电子引起的的磁化
2 L
B
可以解得方程的通解为： B E sin(x / L ) F cos(x / L )
Ｂ
2
2
ｘ
B0 为平板体外的磁场并平行与平板，x=0 为平板的中心。所以又边界条 件得：
B(x / 2) B0 E sin( / 2L ) F cos( / 2L )
密度为 (x, y, z) e 2 ，根据波动函数的统计意义，给出 r 2 3a02 的态，并计算出氢原子的抗磁磁化率。
解：（一）氢原子基态波函数为
(a03 ) 1/ 2 e r / a0
r 2 3a02 时的态为：
a ( a03 )1/2 e 3a0
用其它的方法讨论令 n+=n(1+η)/2; n n1/2
表示自旋向上和向下的电子浓度
解:(1)在外磁场 B0, 电子气自旋向上部分的总能量为
E
0 (1)5/3
-
1 2
nB
B0
(1),
这里 0
3 10
n1
x3/
2en
/
x
dx
n1
(
3)!n5/ 2
2
3 4
n5/ 2
n1
3 4
(1.333) 1.772)
解：低温时，热激发产生的自旋波量子的能量很低。
kBT 0
状态空间中 k k dk 的体积是厚度为 dk 的球壳层 4 k 2dk 。频率
0 ，为一级相变。
8
2． 试分别画出第一类第二类超导体的相图和磁化曲线；
B0
BC 0
SN
转 变 曲 BC T
(
BC T1
S （超导态）
N
正常 态
T1
TC
T
第一类超导体相图
B0 BC20 BC10
N
混合
Meissne TC T
第二类超导体的相图
9
M 0 B0 0M 0
3
率为
0e2
4me
2 ，具体过程见课本 306 页。
r 令电子轨道半径的方均根平均值为
2
1 2
。设电子轨道平面为
xy平面，
则 2 x2 y2 ，如果原子具有对称性，半径为 。
因此可得：
2
2 3
r2
（1）
在外磁场中附加磁矩为
e 2me
l
0e2
H ex
2 i j
J i j Si
S j 叫 Heisenberg
哈密顿量
（2）表征铁磁体中自旋电子之间的直接相互作用。
6
（3）根据分子场理论推得的居里-外斯定律，与实验不符。当 T Tc 时，
临界指数 的实验值与用分子场计算的 1 不符。在解释自发磁化
强度时，分子场理论在中间温度范围很成功，但是在 T ~ 0 和T ~ TC 时
n F
,费米能量 F
是在零场(B0=0)时的能量.求相似表达
E−.
（2）最小能量值 Etotal E E 与 相关， 1，计算磁化率为
M
3n
2 B
B0
/
2 F
解： n n1/ 2， n n(1)/ 2 分别表示自旋向上和向下的电子浓
度。由在外磁场 B0 电子气向上部分的总能量为
在 k 到k dk 的态密度为
(
)
(k
)
dk
d
1
2
3
4 k 2
dk
d
1
2
3
4 k 2
1
d dk
1
(2 )2
12 32
自旋波的总能量为：
max
U nk k nk k ( ) d
k
0
4
2
Pb F
Al F
eV
eV
Pb
Al
时，
Pb F
上移
Al ， Pb 的费米面与 Al 的能隙顶相平，此
10
处 Al 的状态密度 N ( ) 很大，而且是空能级。故 Pb 中大量的正电子穿过势垒进入 Al 的单电子能级，形成正常电子隧道
电流，Ｉ急剧增加。
当 Pb Al eV Pb Al 时，Al 的能隙顶部上移到对应于 Pb 的激发
，
这里 B0 为平板体外的磁场并平行与平板，x=0 为平板的
中心。
（2） 平板的磁化强度定义为 B(x) B0 4M (x) ，对于δ<<λL， 证明
4M
(x)
B0
(
1 82L
)(
2
4x2
)
，
这里是高斯制。对于国际单位制，4π需用μ0 代替。
解：（１）由超导面的穿透方程：
2B
一、超导作业
1, 试证明对于超导体 T=Tc 时为二级相变；0<T<Tc 时为一级 相变。
7
证：单位体积金属由超导体变成正常态吸收的热量为超导体的相变潜
热
Q T S (T ) （1）
S
g T
p,
B0
（2）
未加外场时 g(T , 0) gN (T , 0) gS (T , 0) （3）
12
B (x / 2) B0 Esin( / 2L) F cos( / 2L)
解得：
E
0,
F
B0
cosh( /
2L )
所以平板体内磁场为：
B(x)
B0
与实验不符。
6. 碱金属 Na，贵金属 Cu，过渡金属 Cr、Fe 和 V，各属哪类 磁性物质？并说明相应类磁性的主要特点。
答：碱金属 Na、贵金属 Cu 具有抗磁性；Fe 在温度大于 Tc 时具有顺磁 性，温度低于 Tc 时具有铁磁性；Cr 和 V 属于反铁磁性物质。 抗磁性的主要特点是在外磁场中所产生的磁矩或磁化强度很小，磁化 率小于零，并与外磁场方向相反，且磁化率与外磁场和温度均无关。 顺磁性的主要特点是磁化率很小的正数，在无外磁场时顺磁离子的固 有磁矩取向是杂乱无章的，当加外磁场时，各固有磁矩的取向倾向与 外加磁场的方向排列。 铁磁性的主要特点是磁化率是很大的正数，比顺磁体磁化率大 5-6 个 数量级。当温度低于铁磁居里温度时才存在，高于此临界时转变为顺 磁性。
E
5
0 (1)3
1 2
nB B0 (1)
（2）
E
0 (1)5/3
-
1 2
n
B
B0
(1
),
E
5
0 (1)3
1 2
nB B0 (1)
所以总能量
Etotal E E
0
(1)5/3
-
1 2
nB
B0
(1)
0
5
(1)3
1 2
态能级的状态密度较小处，出现电流随电压的增大而减少的负阻现象，
并减小到最低值。
当 eV Pb Al 时， Al 的能隙底部移到与 Pb 的能隙顶部相平。此
时， Al 中的正常电子开始穿过势垒，进入 Pb 的激发态能级，电流
随电压的增大持续增大。
设 Al 的能隙为
Al ， Pb 的能隙为
Pb
，由图可知
n1
3 4
(1.333) 1.772
得到（1）式可写成
5
U
(kBT )52
4 2 ( )32
1.772
U0T
52
，其中U0 =
4
kB52
2 ( )32
单位体积自旋波比热为：
CVm
U T
U0T32
4，给定三个外观相同的物体：（1）永久磁体；（2）顺磁材料； （3）未磁化的铁磁材料。不用任何外加磁场，可以鉴别它们 吗？若可能，请描述方法；若不行，请给出理由。
Pb Al eV1 11.8 104 eV
Al Pb eV2 15.2 104 eV
解得： Al 1.7 104 eV ， Pb 13.5 104 eV
（２）当 Al-Al2O3-Pb 结构中的 Pb 为正常态态而 Al 为超导态时，就
会出现如题所述的情况。 TC Al 1.2K ,TC Pb 7.2K ，所以可将温度由
E
0
(1
)5/3
-
1 2
n B B0 (1 )
5
0
2n n
3
B B0n
考虑到存在外加磁场 B0 时，自旋方向相反的自旋磁矩在磁场中的取向
能为 B B0 ，所以
5
E
0
2n n
3
B B0n
将 n n(1) / 2 代入上式得
0.5K 升到1.2K 即可。
（３）V3 应与ａ图中V2 相等
V3 13.5104 eV / e 13.5104V
4，超导面的磁场穿透。穿透方程可以写成
2
B
2 L
B
，λL
是伦
敦渗透深度，
（1） 对于厚度为δ的超导体平板，证明其体内的磁场为
11
B(x)
B0
cosh(x / L ) cosh( / 2L )
答：可以鉴别。
准备好一盒小铁钉。不加外磁场时对铁钉由吸引的是永磁铁。经过外 磁场磁化后对小铁钉有吸引作用的是铁磁体，无作用的是顺磁体。
5. （1）什么是 Heisenberg 哈密顿量？（2）它表征铁磁体 的什么相互作用？（3）为什么平均场理论不能适用于铁磁体 的低温态？
答：（1）表示自旋-自旋系统相互作用的哈密顿量
gN 与 B0 无关，故上式可写成 g (T , 0) BC2 / 20 （4）
进一步推出
S
(T
,
0)=
T
g (T
,
0)=
T
BC2
20
BC
0
dBC dT
（5）
将（5）式代入（1）式中得到
Q TBC
0
dBC dT
当 T=TC 时 BC 0 ， Q 0
推出 代入上式中得到
2 3
n
F
nB
B
0
3B B 2 F
Etotal
3 5
n F
3n
2 B
B
2
2 F
上式中第二项为磁化能，故磁化强度为：
2
M
3n
2 B
B
2 F
2．氢原子的抗磁磁化率。氢原子在基态时的波动函数是
(a03 ) 1/ 2 e r / a0 ，其中 a0 2 / me 2 0.529 108 cm ，电荷
H
450 Mei N Bc Bo 第一类超导体的磁化曲线
0M
N
Merssner 混合态
BC1
BC2 B0
第二类超导体磁化曲线
3
解：（1）Al-Al2O3-Pb 是 M-I-M 结构（Metal-Isolater-Metal）
当
V=0
时，
Al F
Pb F
,无电子运动，I=0
当 V 0 时，Al 和 Pb 的费米面相对运动
（6）
CS
CN
T
d dT
(S) T
d dT
BC
0
dBC dT
T
0
dBC dT
2
BC
dBC2 dT 2
CS
CN
TC
0
dBC dT
2 TC
0
故超导相变为二级相变
当
0<T<Tc
时，
dBC dT
0 ，故 Q
nB B0
(1)
5
0(1)5/3 0(1)3 nBB0
3 10
n
F
(1)5/3
3 10
n F
5
(1)3
nB B0
当能量取极小值时
Etotal
1 2
n
F
(1
)2/3
1 2
n
F (1)2/3 nB B 0
当 1时，将上式用泰勒级数展开并只取一级近似得：
4me
B 2，（2）
将（1）式代入（2）式中可得：
0e2
6me
B
r2
氢原子轨道电子数是 1，单位体积内含有 N 个原子，其磁化率为
c
N 0e2
6m
r2
在
r2
3
a
2 0
态时，代入上式
c
wenku.baidu.com
N 0e2
2m
a 0
2
6.62
1023
12.57 107 22.4
32
max 0
32d exp( / kBT ) 1
(kBT )52
4 2 ( ) 32
max 0
x 32dx ex 1
（1）
由积分公式
x3/ 2
0
dx ex 1
n1
x3
/
2en
/
xdx
n1
(
3)!n5/ 2
2
3 4
n5/ 2
(1.6 1019 )2 2 0.911030
(0.529
1010）2
-1.46 10-7 m/L*kg
3、磁振子的热容。利用磁振子色散近似 ak 2 导出三维情
4
况下铁磁体在低温时的热容量。其中 k 是波数。
(Integral:
x3/ 2
0
dx ex 1
（二）氢原子的轨道电子数为 1. 电子做轨道运动在外磁场中受磁力矩
作用而产生的附加反磁矩，因而具有抗磁性。
B0
附加
原子实中一个轨道电子在外磁场作用下产生的磁矩为
'
设电子的轨道角动量为 l 。
l
'
e 2me
'
如果垂直平面施加外磁场，其磁场强度为 B 。由外层电子引起的的磁化
2 L
B
可以解得方程的通解为： B E sin(x / L ) F cos(x / L )
Ｂ
2
2
ｘ
B0 为平板体外的磁场并平行与平板，x=0 为平板的中心。所以又边界条 件得：
B(x / 2) B0 E sin( / 2L ) F cos( / 2L )
密度为 (x, y, z) e 2 ，根据波动函数的统计意义，给出 r 2 3a02 的态，并计算出氢原子的抗磁磁化率。
解：（一）氢原子基态波函数为
(a03 ) 1/ 2 e r / a0
r 2 3a02 时的态为：
a ( a03 )1/2 e 3a0