§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
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物理光学-2光波的叠加与分析201
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )
物理光学 不同频率光波的叠加与分析
合成波的光强为 I A2 4a2 cos2 (km z mt) 2a2[1 cos2(kmz mt)]
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
天津大学2020硕士研究生初试考试自命题科目大纲807工程光学与光电子学基础
一、考试模块划分方式：考试内容分为A、B 两个模块，考生可任选其中一个模块。
A 模块为工程光学，B 模块为光电子学基础。
二、各模块初试大纲：A模块：工程光学（一）考试的总体要求本门课程的考试旨在考核学生有关应用光学和物理光学方面的基本概念、基本理论和实际解决光学问题的能力。
考生应独立完成考试内容，在回答试卷问题时，要求概念准确，逻辑清楚，必要的解题步骤不能省略，光路图应清晰正确。
（二）考试的内容及比例考试内容包括应用光学和物理光学两部分。
“应用光学”应掌握的重点知识包括：几何光学的基本理论和成像概念、理想光学系统理论、光学系统中的光束限制、平面和平面系统对成像的影响、像差的基本概念和典型光学系统的性质、成像关系及光束限制等。
具体知识点如下：1、掌握几何光学基本定律与成像基本概念，包括：四大基本定律及全反射的内容与现象解释；完善成像条件的概念和相关表述；几何光学符号规则以及单个折射球面、反射球面的成像公式、放大率公式等。
2、掌握理想光学系统的基本理论和典型应用，包括：基点、基面的主要类型及其特点；图解法求像的方法；解析法求像方法（牛顿公式、高斯公式）；理想光学系统三个放大率的定义、计算公式及物理意义；理想光学系统两焦距之间的关系；正切计算法以及几种典型组合光组的结构特点、成像关系等。
3、掌握平面系统的主要种类及应用，包括：平面镜的成像特点及光学杠杆原理和应用；反射棱镜的种类、基本用途及成像方向判别；光楔的偏向角公式及其应用等。
4、掌握典型光学系统的光束限制分析，包括：孔径光阑、入瞳、出瞳、孔径角的定义及它们的关系；视场光阑、入窗、出窗、视场角的定义及它们的关系；渐晕、渐晕光阑、渐晕系数的定义；物方远心光路的工作原理；光瞳衔接原则及其作用；场镜的定义、作用和成像关系等。
5、了解像差基本概念，包括：像差的定义、种类和消像差的基本原则；7 种几何像差的定义、影响因素、性质和消像差方法等。
6、掌握几种典型光学系统的基本原理和特点，包括：正常眼、近视眼和远视眼的定义和特征，校正非正常眼的方法；视觉放大率的概念、表达式及其意义；显微镜系统的结构特点、成像特点、光束限制特点及主要参数的计算公式；临界照明和坷拉照明系统的组成、优缺点；望远系统的结构特点、成像特点、光束限制特点及主要参数的计算公式；摄影系统的结构特点、成像特点、光束限制特点及主要参数的计算公式；投影系统的概念、计算公式以及其照明系统的衔接条件等。
3第二章 光的叠加与分析
这一结论不仅适用于椭圆偏振光，也适用于圆偏振光和自然光。
由此结论，说明两振动方向互相垂直的光波在叠加区域内 各点的光强度都应等于两个光波的强度之和，即此时不发 生干涉现象。
2.3.5 利用全反射产生椭圆偏振光和圆偏振光
利用菲涅耳菱体：入射线偏振光振动方向与入射面成450。经 过菱体的下两次全反射后，出射光就是圆偏振光。
可见：P点的振动也是一个简谐振动，振动频率和振动方向都与 两单色光波相同，而振幅A和初位相分别由上两式决定。 若两个单色光波在P点振幅相等，即a1=a2=a 则P点的合振幅：
2 1 2 2 A a1 a2 2a1a2 cos( 2 1 ) 4a cos ( ) 4a cos 2 2
2a2
β 0 Ex
2a1
2.3.2 几种特殊情况
Ex E y E 2 2 cos sin 2 a a2 a1a2
2 x 2 1 2 Ey
由上式可知，椭圆形状由两叠加光波的位相差δ和振幅比 a2/a1 决定。 在两种特殊情况下,合成光波仍是线偏振光。 1. δ=0 或 ±2π的整数倍时， 椭圆方程为： E y
Aexp i exp it
A exp i t
该式取实部之后正是（2.7）式。
A A exp i A exp i *
2
其振幅和位相的计算结果均与代数方法相同。
2.1.3相幅矢量法
这是一种图解法。 相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它与ox轴的夹角等于该 振动的位相。 利用相幅矢量的概念，通过简单的矢量求和运算，也可以得到 与前相同的结论。
线偏振光
54.370 54.370
圆偏振光
物理光学A---第二章 光波的叠加与分析
一束单色光波垂直入射到两种介质的界面上时，入射光波和反 射光波成为两个频率相同、振动方向相同、传播方向相反的单 色波，它们的叠加将形成驻波。 参见图2-4：两介质界面的投影沿Y轴方向，两介质折射率分别 为n1、n2，设入射、反射光的沿Z轴方向传播，且两光振幅近似 相等。
入射波和反射波的波函 数为 E1/ a coskz t E1 a coskz t
两波在P点处叠加后的合振动为 E x0 E x y 0 E y x0 a1 cos kz1 t y 0 a 2 coskz2 t 合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程： 2 2 E Ex E y Ex y 2 2 1 2 cos sin 2 1 2 2 a1 a 2 a1 a2 这个方程表明：合振动 矢量末端的轨迹是一个 椭圆。
A a a2 2a1a2 cos(2 1 ) a1 sin 1 a2 sin 2 tg a1 cos1 a2 cos 2
2 2 1 2
相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它与ox轴的夹角等于该 振动的位相角。 P54 例2.2
2.驻波
2.2.1 驻波的形成
为简化E的表达式，引入平均角 频率 、平均波数k 、调制角频率 m、 调制波数k m： 1 1 1 2 k k1 k 2 2 2 1 1 m 1 2 k m k1 k 2 2 2 E的表达式简化为 E 2a cosk m z m t cos k z t 令振幅A 2a cosk m z m t , 上面的波函数进一步简 化为 E A cos k z t 这表明：合成波是一个 频率为 、振幅随时间和位置变 化的波，如图
入射波和反射波的波函 数为 E1/ a coskz t E1 a coskz t
两波在P点处叠加后的合振动为 E x0 E x y 0 E y x0 a1 cos kz1 t y 0 a 2 coskz2 t 合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程： 2 2 E Ex E y Ex y 2 2 1 2 cos sin 2 1 2 2 a1 a 2 a1 a2 这个方程表明：合振动 矢量末端的轨迹是一个 椭圆。
A a a2 2a1a2 cos(2 1 ) a1 sin 1 a2 sin 2 tg a1 cos1 a2 cos 2
2 2 1 2
相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它与ox轴的夹角等于该 振动的位相角。 P54 例2.2
2.驻波
2.2.1 驻波的形成
为简化E的表达式，引入平均角 频率 、平均波数k 、调制角频率 m、 调制波数k m： 1 1 1 2 k k1 k 2 2 2 1 1 m 1 2 k m k1 k 2 2 2 E的表达式简化为 E 2a cosk m z m t cos k z t 令振幅A 2a cosk m z m t , 上面的波函数进一步简 化为 E A cos k z t 这表明：合成波是一个 频率为 、振幅随时间和位置变 化的波，如图
光波的叠加课件
2、3 对叠加结果得分析:(主要对象为合成得光强)
说明！I＝A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2 )
当＝ 2m时，有cos 1
2
I＝IMAX 4I0
当＝ (m 1)2，有cos 0
2
2
I＝IMIN 0
（m 0，1，2，)
＝1－ 2
2
n(r1
r2 )
光程差：＝n(r1 r2 )； 分析叠加结果的重要物理量
一、波得叠加原理
1、波得叠加现象 2、波得叠加原理 波得叠加原理:两个(或多个)波在相遇点产生得合 振动就是各个波单独在该点产生得振动得矢量和。 波得叠加服从叠加原理,光波也同样。叠加原理 就是波动光学得基本原理。
合振动公式
11-119
合振动公式得意义
1、 波得叠加原理表明了光波传播得独立性。一 个光波得传播方向不会因为其她光波得存在而受 到影响。 2、 两个光波在相遇后又分开,每个光波仍保持原 有得特点(频率、波长、振动方向等),按照原理得 传播方向继续前进。 听写说明:1？？ 2？？
说明！结论一样！
总结:p、325
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
三、驻波(Standing Wave)
在波得传播路径上,对于介质不同点有不同振幅
两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反得 单色光波得叠加将形成驻波。垂直入射得光波和
她得反射光波之间将形成驻波。
相反 波
E＝E1＋E2＝a cos(kz t)＋a cos(kz t ) 式中：是反射时的位相差
式中：
1 2 ， 2
m
1
2 2
k k1 k2 2
km
k1
k2 2
五、两个不同频率得单色光波叠加——光学拍,P、330 合成波得强度变化
2光波的叠加及分析
率相同、振动方向相同的 单色波的叠加 2.2 驻波 2.3两个频率相同、振动方向互相垂直 的光波的叠加 2.4 不同频率的两个单色波的叠加
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )
光波的叠加综述
即若给定一个复杂波的函数形式，对他进行傅里叶分析，只需由式（3）决定它的各个分波的振幅便可。
2-5光波的分析
§2-5光波的分析
例：如图示，空间周期为λ的矩形波，在一个周期内它可用如下函数表示： f(z)为奇数：则A0=0，An=0
z
f(z)
+1
-1
0
λ/2
λ
-λ/2
得到B1=4/π，B2=0，B3=4/3π，B4=0，B5=4/5π，…
第三章 光的干涉和干涉仪
其中，“光源”的性质由位置、大小、亮度分布和光谱组成等因素决定；
“干涉装置”的性质主要体现它对各个光束引入的位相延迟；
“干涉图形”由辐照度分布描述，包括干涉条纹的形状、间距、反衬度和颜色等。通常它可以被直接测量。
第三章 光的干涉和干涉仪
第三章 光的干涉和干涉仪
2-3 两个频率、传播方向相同、 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹满足如下方程： E与x轴的夹角满足： 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 振动方向互相垂直的光波的叠加
椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， sinδ>0 左旋情况 sinδ<0 右旋情况 强度： 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向互相垂直的单色光波的强度之和，它与两个叠加波的位相无关。
作为有效空间角频率范围，认为波列包含的诸分波的空间角频率处于这一范围内，由k=2π/λ，则用空间周期表示为：
2-5光波的分析
2-5光波的分析
式子表明波列长度2L和波列所包含的单色分波的波长范围成反比关系，波列愈短，波列所包含的单色波的波长范围就愈宽；相反,波列愈长，波列包含的单色分波的波长范围就愈窄。当波列长度等于无穷大时,λ等于零。即为单色光波。 若波列的持续时间为Δt时，则可以证明，波列所包含的单色波的时间频率范围为 Δt的大小与波列长度对应，Δν的宽窄与Δλ对应。
2-5光波的分析
§2-5光波的分析
例：如图示，空间周期为λ的矩形波，在一个周期内它可用如下函数表示： f(z)为奇数：则A0=0，An=0
z
f(z)
+1
-1
0
λ/2
λ
-λ/2
得到B1=4/π，B2=0，B3=4/3π，B4=0，B5=4/5π，…
第三章 光的干涉和干涉仪
其中，“光源”的性质由位置、大小、亮度分布和光谱组成等因素决定；
“干涉装置”的性质主要体现它对各个光束引入的位相延迟；
“干涉图形”由辐照度分布描述，包括干涉条纹的形状、间距、反衬度和颜色等。通常它可以被直接测量。
第三章 光的干涉和干涉仪
第三章 光的干涉和干涉仪
2-3 两个频率、传播方向相同、 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹满足如下方程： E与x轴的夹角满足： 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 振动方向互相垂直的光波的叠加
椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， sinδ>0 左旋情况 sinδ<0 右旋情况 强度： 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向互相垂直的单色光波的强度之和，它与两个叠加波的位相无关。
作为有效空间角频率范围，认为波列包含的诸分波的空间角频率处于这一范围内，由k=2π/λ，则用空间周期表示为：
2-5光波的分析
2-5光波的分析
式子表明波列长度2L和波列所包含的单色分波的波长范围成反比关系，波列愈短，波列所包含的单色波的波长范围就愈宽；相反,波列愈长，波列包含的单色分波的波长范围就愈窄。当波列长度等于无穷大时,λ等于零。即为单色光波。 若波列的持续时间为Δt时，则可以证明，波列所包含的单色波的时间频率范围为 Δt的大小与波列长度对应，Δν的宽窄与Δλ对应。
2光波的叠加与分析
y
干涉图样在x、y方向的空间频率分别为:
fx sin 1 sin 2 , f y 0,
相应的空间周期为:
dx
sin 1 sin 2
,d y ,
xy平面的干涉条纹是一族与y轴平行间距为 d的等宽直线;若两束光从法线同侧入射,只需 把fx、dx中的”+”号换成”-”号,即两平行光束 的夹角越小,则形成的干涉条纹的间距越大. 讨论:
A 2 [ A exp( i )] [ A exp( i )]
结果： I A 2＝ a 2 a 2 2 a 1 a 2 cos( 1 2 ) 1 2
A exp( i )＝ a 1 cos 1＋ a 2 cos 2 i ( a 1 sin 1＋ a 2 sin 2 )
k x sin 2
x
Q
a
O
k1
θ2 k2
z
解: 1)后焦面F’上为两束平行光干涉，条纹间距为：
x
sin 1 sin 2
F(x,y)
Q
F’(x’,y’)
k1 θ2 k2
f a
a
O
z
条纹形状为平行于y ’轴与O，Q 点连线正交的 一组平行条纹
当接收屏幕移动时，由于平行光束的倾角不变，所以 条纹形状，间隔，取向均不变；但条纹总体上发生平 移.当点源Q在x轴上方，且屏幕移远时，条纹向下方 移动.在屏幕远离透镜过程中，两光束的 交叠区也随 之减小，将使条纹数目降低.
k1
E2 2A
E 3 A exp( ikx sin )
θ θ
k3
k2
z
在z=0的平面,其光强分布:
《物理光学》光波的叠加综述
2 x 2 1 2 y
E与x轴的夹角满足： E2 E20 cos(kz −ωt +ϕ20 ) tgα = = E1 E10 cos(kz −ωt +ϕ10 ) 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 或光程差∆和振幅比a 旋向由δ 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， 或光程差∆ sinδ sinδ>0 左旋情况 sinδ sinδ<0 右旋情况 强度： I = I x + I y 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和， 它与两个叠加波的位相无关。
20 10
i(ϕ10 +ϕ20 ) ) exp[ ]exp[−iωt)] 2
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹 满足如下方程：
E Ex Ey E + 2 −2 cosδ = sin 2 δ a1a2 a a2
k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析
傅里叶级数也可以表示为复数形式: 傅里叶级数也可以表示为复数形式: f (z) = ∑C exp(inkz) (4)
∞ n=−∞ n
其中系数
λ
Cn =
1
λ−
∫ f (z) exp(−inkz)dz λ
2
2
E与x轴的夹角满足： E2 E20 cos(kz −ωt +ϕ20 ) tgα = = E1 E10 cos(kz −ωt +ϕ10 ) 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 或光程差∆和振幅比a 旋向由δ 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， 或光程差∆ sinδ sinδ>0 左旋情况 sinδ sinδ<0 右旋情况 强度： I = I x + I y 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和， 它与两个叠加波的位相无关。
20 10
i(ϕ10 +ϕ20 ) ) exp[ ]exp[−iωt)] 2
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹 满足如下方程：
E Ex Ey E + 2 −2 cosδ = sin 2 δ a1a2 a a2
k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析
傅里叶级数也可以表示为复数形式: 傅里叶级数也可以表示为复数形式: f (z) = ∑C exp(inkz) (4)
∞ n=−∞ n
其中系数
λ
Cn =
1
λ−
∫ f (z) exp(−inkz)dz λ
2
2
光波的叠加与分析
E2(z 0) E1(z 0) E2(z 0) 0
1
5 10 7 1 10 6 1.5 10 6 2 10 6
1.827 2
110 7
z
210 6
以光强度表示为
20 10
I
4I0
cos2
2
在P点的迭加光强度决定于位相差：
极大：
I 4I0
2m
n z2 z1 m
极小：
I 0
两个振动方向相同、振幅相等、频率相差很小单色光
波迭加
2.4.1 光学拍
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1z 这两个光波的迭加得到 ： E2 E0 cos 2t k2z
——椭圆偏振光 §2.3
❖ 同方向不同频率的光波的叠加 §2.4
——光学“拍”
线性媒质：
波的独立传播原理：几个波的传播,互不干扰,按 照各自的规律传播。每一个波独立的产生作用， 不因其他波的存在而受到影响。
波的迭加原理：几个波在相遇点产生的合振动是 各个波单独产生的振动的矢量和。
真空中普遍成立，介质中微扰条件（线性） 照射场小于：原子外层电子电场1010V/m.
E
E1
E1 '
2E10
cos
2
z cos
cos
wt
x平面合波z=0：
E
E1 E1 '
2E10
cos
2
x sin
wt
2.3 两个频率相同、振动方向互相垂直的光 2.3.1 椭圆偏振光 波的迭加
两个频率相同而振动方向相互垂直的单色光波的迭加。
s1
s2
y
x
p
z
1
5 10 7 1 10 6 1.5 10 6 2 10 6
1.827 2
110 7
z
210 6
以光强度表示为
20 10
I
4I0
cos2
2
在P点的迭加光强度决定于位相差：
极大：
I 4I0
2m
n z2 z1 m
极小：
I 0
两个振动方向相同、振幅相等、频率相差很小单色光
波迭加
2.4.1 光学拍
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1z 这两个光波的迭加得到 ： E2 E0 cos 2t k2z
——椭圆偏振光 §2.3
❖ 同方向不同频率的光波的叠加 §2.4
——光学“拍”
线性媒质：
波的独立传播原理：几个波的传播,互不干扰,按 照各自的规律传播。每一个波独立的产生作用， 不因其他波的存在而受到影响。
波的迭加原理：几个波在相遇点产生的合振动是 各个波单独产生的振动的矢量和。
真空中普遍成立，介质中微扰条件（线性） 照射场小于：原子外层电子电场1010V/m.
E
E1
E1 '
2E10
cos
2
z cos
cos
wt
x平面合波z=0：
E
E1 E1 '
2E10
cos
2
x sin
wt
2.3 两个频率相同、振动方向互相垂直的光 2.3.1 椭圆偏振光 波的迭加
两个频率相同而振动方向相互垂直的单色光波的迭加。
s1
s2
y
x
p
z
2.3垂直光波叠加2.4不同频率光波叠加
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
可以证明：对于多个不同频率的单色光波合成的复杂波，只要各个波的频率相差不大，他们只集中在某个“中心”频率附近，且介质色散不大，就可以认为上述结论仍然适用。
作业： 2.1、2.2、2.3、2.4、2.6、2.7、 2.9、 2.10、
一、椭圆偏振光
为讨论方便,将两原光波分别写为: 由叠加原理： 令kz1=α1,kz2=α2 可得到合矢量末端轨迹方程
一、椭圆偏振光
(3) ×cosα2 ,(4) ×cosα1 (5)-(6): (3) ×sinα2 ,(4) ×sinα1
一、椭圆偏振光
(8)-(9): 对上两式两边取平方再求和： 令α2-α1=δ，则： 为教材上的结果
三、左旋和右旋：
对于某一时刻，传播路程上各点的合矢量末端位置构成一个螺旋线，螺旋线的空间周期为光波波长，各点场矢量的大小不一，其末端在与传播方向垂直 的平面上的投影为 一个椭圆。
z
x
y
四、椭圆偏振光的强度
在矢量形式下光波的强度一般地可写成 在同一介质内时 对于椭圆偏振光：它是由振动方向互相垂直地两线偏振光叠加构成：则 即 此式表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向互相垂直的单色光波的强度之和，它与两个叠加波的位相无关。
三、左旋和右旋：
通常规定:迎着光传播方向看去，合矢量是顺时针方向旋转时，偏振光是右旋的。反之，是左旋的。 分析过程只需将不同时刻的两原光波的位相差 （ ）比较后即可看出； sinδ>0 左旋情况 sinδ<0 右旋情况 在左旋椭圆偏振光情况下，各点场矢量的末端构成的螺旋线的旋向与光传播方向成右手螺旋系统；而右旋椭圆偏振光的情形、螺旋线的旋向与关传播方向成左手螺旋系统。
华中科技大学物理光学第二章
E A
2
S1
r1 r2
P
S2
E 1 = a 1 cos (kr 1 − ω t ) = a 1 cos (α 1 − ω t ) = a 2 cos (kr 2 − ω t ) = a 2 cos (α = a 12 + a 2 + 2 a 1 a 2 cos (α 2 a 1 sin α 1 + a 2 sin α 2 a 1 cos α 1 + a 2 cos α 2
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振 动。 代数加法
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E = E1 + E2 + ... = ∑ En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
频率虽有差别，但差别很小， E 1 = acos (k 1 z − ω 1 t ) E 2 = acos (k 2 z − ω 2 t )
A = 2 acos (k m z − ω m t )
E = E 1 + E 2 = Acos (k z − ω t )
(2 - 45)
k m = (k 1 − k 2 ) 2 , ω m = (ω 1 − ω 2 ) 2
2
S1
r1 r2
P
S2
E 1 = a 1 cos (kr 1 − ω t ) = a 1 cos (α 1 − ω t ) = a 2 cos (kr 2 − ω t ) = a 2 cos (α = a 12 + a 2 + 2 a 1 a 2 cos (α 2 a 1 sin α 1 + a 2 sin α 2 a 1 cos α 1 + a 2 cos α 2
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振 动。 代数加法
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E = E1 + E2 + ... = ∑ En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
频率虽有差别，但差别很小， E 1 = acos (k 1 z − ω 1 t ) E 2 = acos (k 2 z − ω 2 t )
A = 2 acos (k m z − ω m t )
E = E 1 + E 2 = Acos (k z − ω t )
(2 - 45)
k m = (k 1 − k 2 ) 2 , ω m = (ω 1 − ω 2 ) 2
《物理光学》第2章,光波的叠加与分析
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
s p cos sin 2 n 2 tg tg 2 2 sin 2
450 (1 sin 2 ) sin 2 n 2 tg 2 2 sin 4
又 n 1 / 1.5, 450
53015或 50013
E E1 E2 A cos( t )
a1 sin 1 a2 sin 2 tan a1 cos1 a2 cos 2
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成
两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反
的单色光波的迭加。
n1<n2
n2
E1 a cos(kz t ) E2 a cos(kz t )
p
方位角45度时， 反射两次输出圆偏振光
5437’
5437’
例题：如图所示的菲涅耳棱体的折射率为1.5 ，入射线偏振光 电矢量与图面成450，问:1)要使从棱体射出圆偏振光，棱体顶 角φ应为多少？2)若棱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光。
解：1）要使棱体的出射光为圆偏振光，出射p波和S波的振 幅必须相等, 位相差必须等于 / 2 。光束在棱体内以相同条 件全反射两次，每次全反射后p波和s波的位相差必须等于/ 4
6
2.2.2 维纳的实验： (用驻波概念证明电矢量感光）
证实了光驻波的存在 证实了光波对乳胶起感光作用的是电矢量而不是磁矢量。
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
s p cos sin 2 n 2 tg tg 2 2 sin 2
450 (1 sin 2 ) sin 2 n 2 tg 2 2 sin 4
又 n 1 / 1.5, 450
53015或 50013
E E1 E2 A cos( t )
a1 sin 1 a2 sin 2 tan a1 cos1 a2 cos 2
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成
两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反
的单色光波的迭加。
n1<n2
n2
E1 a cos(kz t ) E2 a cos(kz t )
p
方位角45度时， 反射两次输出圆偏振光
5437’
5437’
例题：如图所示的菲涅耳棱体的折射率为1.5 ，入射线偏振光 电矢量与图面成450，问:1)要使从棱体射出圆偏振光，棱体顶 角φ应为多少？2)若棱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光。
解：1）要使棱体的出射光为圆偏振光，出射p波和S波的振 幅必须相等, 位相差必须等于 / 2 。光束在棱体内以相同条 件全反射两次，每次全反射后p波和s波的位相差必须等于/ 4
6
2.2.2 维纳的实验： (用驻波概念证明电矢量感光）
证实了光驻波的存在 证实了光波对乳胶起感光作用的是电矢量而不是磁矢量。
光波的叠加ppt
δ = (2m + 1)π
P点光强有最小值， I = 0 点光强有最小值， 相位差介于两者之间时，P点光强在0和4I0之间。 相位差介于两者之间时， 点光强在0 之间。
两光波在P 两光波在P点的相位差可写成
δ = α 2 − α1 = k (r2 − r1 ) =
2π
λn
(r2 − r1 )
λn 为单色光波在传播介质中的波长
若两个单色光波在P的振幅相等， a1 = a2 = a 若两个单色光波在P的振幅相等，
I 0 = a 2 表示单个光波在P点的强度 表示单个光波在P δ = α 2 − α1 表示两光波在P点的相位差 表示两光波在P
2 I = A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
光源S 光源S1和S2发出两个频率相同而振动方向互相垂直的单色 光波，其振动方向分别平行于X轴和Y 光波，其振动方向分别平行于X轴和Y轴，并沿Z轴方向传播。 并沿Z轴方向传播。 考察在Z轴方向上任一点P处的叠加。 考察在Z轴方向上任一点P处的叠加。
两光波在该处产生的光振动可写为（假定光振动的初相位为零） 两光波在该处产生的光振动可写为（假定光振动的初相位为零）
两光波在空间相遇， 两光波在空间相遇，如果它们在源点发出时的初 相位相同， 相位相同，则光波在叠加区相遇点的强度将取决于两光 光程差或相位差。 波在该点的光程差或相位差 波在该点的光程差或相位差。
若在考察时间内，两光波的初相位保持不变， 若在考察时间内，两光波的初相位保持不变，光 程差也恒定，则该点的强度不变， 程差也恒定，则该点的强度不变，叠加区内各点的强 度也不变，则在叠加区内将看到强弱稳定的强度分布， 度也不变，则在叠加区内将看到强弱稳定的强度分布， 把这种现象称为干涉现象，产生干涉的光波称为相干 把这种现象称为干涉现象，产生干涉的光波称为相干 干涉现象 光波，其光源称为相干光源 相干光源。 光波，其光源称为相干光源。 实际光波产生干涉必须要满足一些条件： 实际光波产生干涉必须要满足一些条件：两叠加 光波的位相差固定不变，光矢量振动方向相同， 光波的位相差固定不变，光矢量振动方向相同，频率 相同。 相同。
§2-4不同频率的两个单色光波的叠加
实验结果
展示不同频率的两个单色光波叠加后的光强分布图、相位 变化曲线等实验结果，对实验数据进行详细记录。
分析和讨论
根据实验结果，分析不同频率的两个单色光波叠加后的物 理现象和规律，探讨波长对叠加效果的影响，并与理论预 测进行比较。
结论
总结实验结果和分析讨论，得出相关结论，并提出可能的 应用前景和进一步研究的方向。
绘制相位变化图
以时间为横坐标，相位为 纵坐标，绘制出叠加过程 中相位随时间的变化图， 反映相位的变化规律。
三维图表展示
采用三维图表展示叠加后 光波在空间中的分布情况， 更加形象地展示实验结果。
结果分析讨论
叠加效果分析
根据实验数据，分析不同频率单色光波叠加 后的效果，探讨其物理机制和影响因素。
相位变化对叠加效果的影响
结合相位变化图，分析相位变化对叠加效果的影响 ，解释相位在光波叠加中的重要作用。
实验误差与改进方案
分析实验中可能存在的误差来源，提出相应 的改进方案，提高实验精度和可靠性。
06 结论总结与未来展望
本次研究主要发现概述
单色光波叠加原理
当两个不同频率的单色光波叠加时，它们会在空间中形成 稳定的干涉图样。这一现象遵循光的波动性和叠加原理。
01
相位关系是指两个单色 光波在叠加时的相对相 位差。
02
相位差会影响叠加后光 波的振幅和相位，进而 改变光强的分布。
03
当两个单色光波同相时，叠 加后的光强增强；当它们反 相时，叠加后的光强减弱。
04
相位关系在光学干涉、 衍射等现象中起着重要 作用。
04 实验设计与实施过程描述
实验目标设定
探究不同频率单色光 波叠加后的光波特性。
对于单色光波而言，叠加后的 光波仍然保持原有的频率，但 振幅和相位可能发生变化。
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引入平均角频率ω，平均波数 k ： 引入调制频率ω 和调制波数k 引入调制频率ωm和调制波数km
1 ωm = (ω1 ω2 ) 2
1 ω = (ω1 + ω2 ) 2
1 k = (k1 + k2 ) 2
1 km = (k1 k2 ) 2
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
则合波动式可写成：
E = 2a cos(kz ωt) cos(km z ωmt) 令： A = 2a cos(k z ω t) m m 则 E = Acos(kz ωt) ω 即合成波可看成一个频率为 ，而振幅受到 调制（随时间和位置在–2a到2a之间变化） 调制（随时间和位置在–2a到2a之间变化） 的波。 由于光波频率很高为5 由于光波频率很高为5×1014HZ。若ω1≈ω2， HZ。若ω ω 则 ＞＞ ωm，因而振幅变化缓慢而场振动 变化极快。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
合成波的强度为
I = A = 4a cos (km z ωmt)
2 2 2
I = A2 = 2a2[1+ cos 2(km z ωmt)]
可见合成波的强度随时间和位置在0 可见合成波的强度随时间和位置在0～4a2之 间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。 由式可知，拍频为2 由式可知，拍频为2ωm， ωm为两单色光波 角频率之差的一半。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
这种由两个交变物理量产生一个差频物理 量的现象称为“拍频现象” 量的现象称为“拍频现象”。 其主要应用价值在于，它把高频信号中的 频率信息和位相信息转移到差频信号之中， 使它们由难以测量变的容易测量。 如用多普勒雷达测量运动物体的速度等， 及光外差探测技术。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
dt k
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
振幅恒值点的移动速度，群速度：
vg =
ωm
km
当叠加的两单色光波在无色散介质中传播 当叠加的两单色光波在无色散介质中传播 时，它们的速度相同，因而合成的是一个 稳定的拍，群速度和相速度相等。 稳定的拍，群速度和相速度相等。 若频率 f = f 1 2 则：相速度 ω ω1 + ω2 ω1 + ω2 v= = = =ν1 =ν 2 k k1 + k2 ω1 ω2 + ν1 ν 2
§2-4 不同频率的两个 单色光波的叠加
光学拍： 群速度和相速度：
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
本节讨论两个在同一方向传播的、振动 方向相同、振幅相等而频率相差很小的 单色波的叠加，这样两个波叠加的结果 将产生光学上有意义的“ 将产生光学上有意义的“拍”现象。 一、光学拍： 设频率为ω 设频率为ω1、ω2的两个单色波沿z轴方 的两个单色波沿z 向传播，它们的波函数为：
二、群速度和相速度： 前面所提到的传播速度都是指它的等相面的 速度，及相速度。对于两个单色波的合成波：
E = 2a cos(kz ωt) cos(km z 和等幅面的 传播速度。 ω 相速度：v = k 由 kz t = c 两边对t 两边对t求导 dz =
（若 ）
ω = k
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
ω1 ω2 群速度： vg = k = k k = ω ω = v1 =ν 2 1 m 1 2 2 ν1 ν 2 ωm ω1 ω2
当两单色光波在色散介质中传播时，其群 速度将不等于相速度。 即：合成波振幅最大点的传播速度（群速 度）将不等于两单色光波的相速度，也不 等于合成波的相速度。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
通常利用光脉冲(光信号) 通常利用光脉冲(光信号)进行光速测量时测 量到的时光脉冲的传播速度，即群速度而 不是相速度。 可以证明：对于多个不同频率的单色光波 合成的复杂波，只要各个波的频率相差不 大，他们只集中在某个“中心” 大，他们只集中在某个“中心”频率附近， 且介质色散不大，就可以认为上述结论仍 然适用。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
若 ＞0，即波长长的波比波长短的波相速 度较大。即处于正常色散。 （ λ ↑, n ↓ ）群速度小于相速度。 dv 若 dλ ＜0，反常色散，群速度大于相速度。
（ ）
dv d λ
复杂波的群速度可以看作是振幅最大点的 移动速度，波动携带的能量与振幅的平方 成正比，所以群速度可以认为是光能量或 光信号的传播速度。
E1 = acos(k1z ω2t)
E2 = acos(k2 z ω2t)
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
合振动（波）
E = E1 + E2 = a[cos(k1z ω1t) + cos(k2 z ω2t)]
和差化积：
1 1 E = 2a cos [(k1 + k2 )z (ω1 + ω2t)]cos [(k1 k2 )z (ω1 ω2 )t] 2 2
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
dω 由 vg = 可得到vg与v之间的关系。 可得到v dk
由 k= λ dk = 2π dλ 则 λ2 dv vg = v λ 故 dλ dv 此式表明，λ 越大，即波的相速度随波长的变 d 化越大时，群速度和相速度两者相差也越大。
2π
dω dkv dv vg = = = v+k dk dk dk