§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
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（若 ）
ω = k
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
ω1 ω2 群速度： vg = k = k k = ω ω = v1 =ν 2 1 m 1 2 2 ν1 ν 2 ωm ω1 ω2
当两单色光波在色散介质中传播时，其群 速度将不等于相速度。 即：合成波振幅最大点的传播速度（群速 度）将不等于两单色光波的相速度，也不 等于合成波的相速度。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
若 ＞0，即波长长的波比波长短的波相速 度较大。即处于正常色散。 （ λ ↑, n ↓ ）群速度小于相速度。 dv 若 dλ ＜0，反常色散，群速度大于相速度。
（ ）
dv d λ
复杂波的群速度可以看作是振幅最大点的 移动速度，波动携带的能量与振幅的平方 成正比，所以群速度可以认为是光能量或 光信号的传播速度。
引入平均角频率ω，平均波数 k ： 引入调制频率ω 和调制波数k 引入调制频率ωm和调制波数km
1 ωm = (ω1 ω2 ) 2
1 ω = (ω1 + ω2 ) 2
1 k = (k1 + k2 ) 2
1 km = (k1 k2 ) 2
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
则合波动式可写成：
E = 2a cos(kz ωt) cos(km z ωmt) 令： A = 2a cos(k z ω t) m m 则 E = Acos(kz ωt) ω 即合成波可看成一个频率为 ，而振幅受到 调制（随时间和位置在–2a到2a之间变化） 调制（随时间和位置在–2a到2a之间变化） 的波。 由于光波频率很高为5 由于光波频率很高为5×1014HZ。若ω1≈ω2， HZ。若ω ω 则 ＞＞ ωm，因而振幅变化缓慢而场振动 变化极快。
dt k
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
振幅恒值点的移动速度，群速度：
vg =
ωm
km
当叠加的两单色光波在无色散介质中传播 当叠加的两单色光波在无色散介质中传播 时，它们的速度相同，因而合成的是一个 稳定的拍，群速度和相速度相等。 稳定的拍，群速度和相速度相等。 若频率 f = f 1 2 则：相速度 ω ω1 + ω2 ω1 + ω2 v= = = =ν1 =ν 2 k k1 + k2 ω1 ω2 + ν1 ν 2
§2-4 不同频率的两个单色光Baidu Nhomakorabea的叠加
通常利用光脉冲(光信号) 通常利用光脉冲(光信号)进行光速测量时测 量到的时光脉冲的传播速度，即群速度而 不是相速度。 可以证明：对于多个不同频率的单色光波 合成的复杂波，只要各个波的频率相差不 大，他们只集中在某个“中心” 大，他们只集中在某个“中心”频率附近， 且介质色散不大，就可以认为上述结论仍 然适用。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
合成波的强度为
I = A = 4a cos (km z ωmt)
2 2 2
I = A2 = 2a2[1+ cos 2(km z ωmt)]
可见合成波的强度随时间和位置在0 可见合成波的强度随时间和位置在0～4a2之 间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。 由式可知，拍频为2 由式可知，拍频为2ωm， ωm为两单色光波 角频率之差的一半。
E1 = acos(k1z ω2t)
E2 = acos(k2 z ω2t)
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
合振动（波）
E = E1 + E2 = a[cos(k1z ω1t) + cos(k2 z ω2t)]
和差化积：
1 1 E = 2a cos [(k1 + k2 )z (ω1 + ω2t)]cos [(k1 k2 )z (ω1 ω2 )t] 2 2
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
这种由两个交变物理量产生一个差频物理 量的现象称为“拍频现象” 量的现象称为“拍频现象”。 其主要应用价值在于，它把高频信号中的 频率信息和位相信息转移到差频信号之中， 使它们由难以测量变的容易测量。 如用多普勒雷达测量运动物体的速度等， 及光外差探测技术。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
§2-4 不同频率的两个 单色光波的叠加
光学拍： 群速度和相速度：
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
本节讨论两个在同一方向传播的、振动 方向相同、振幅相等而频率相差很小的 单色波的叠加，这样两个波叠加的结果 将产生光学上有意义的“ 将产生光学上有意义的“拍”现象。 一、光学拍： 设频率为ω 设频率为ω1、ω2的两个单色波沿z轴方 的两个单色波沿z 向传播，它们的波函数为：
二、群速度和相速度： 前面所提到的传播速度都是指它的等相面的 速度，及相速度。对于两个单色波的合成波：
E = 2a cos(kz ωt) cos(km z ωmt)
它包含两种速度：等相面的传播速度和等幅面的 传播速度。 ω 相速度：v = k 由 kz t = c 两边对t 两边对t求导 dz =
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
dω 由 vg = 可得到vg与v之间的关系。 可得到v dk
由 k= λ dk = 2π dλ 则 λ2 dv vg = v λ 故 dλ dv 此式表明，λ 越大，即波的相速度随波长的变 d 化越大时，群速度和相速度两者相差也越大。
2π
dω dkv dv vg = = = v+k dk dk dk
ω = k
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ω1 ω2 群速度： vg = k = k k = ω ω = v1 =ν 2 1 m 1 2 2 ν1 ν 2 ωm ω1 ω2
当两单色光波在色散介质中传播时，其群 速度将不等于相速度。 即：合成波振幅最大点的传播速度（群速 度）将不等于两单色光波的相速度，也不 等于合成波的相速度。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
若 ＞0，即波长长的波比波长短的波相速 度较大。即处于正常色散。 （ λ ↑, n ↓ ）群速度小于相速度。 dv 若 dλ ＜0，反常色散，群速度大于相速度。
（ ）
dv d λ
复杂波的群速度可以看作是振幅最大点的 移动速度，波动携带的能量与振幅的平方 成正比，所以群速度可以认为是光能量或 光信号的传播速度。
引入平均角频率ω，平均波数 k ： 引入调制频率ω 和调制波数k 引入调制频率ωm和调制波数km
1 ωm = (ω1 ω2 ) 2
1 ω = (ω1 + ω2 ) 2
1 k = (k1 + k2 ) 2
1 km = (k1 k2 ) 2
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
则合波动式可写成：
E = 2a cos(kz ωt) cos(km z ωmt) 令： A = 2a cos(k z ω t) m m 则 E = Acos(kz ωt) ω 即合成波可看成一个频率为 ，而振幅受到 调制（随时间和位置在–2a到2a之间变化） 调制（随时间和位置在–2a到2a之间变化） 的波。 由于光波频率很高为5 由于光波频率很高为5×1014HZ。若ω1≈ω2， HZ。若ω ω 则 ＞＞ ωm，因而振幅变化缓慢而场振动 变化极快。
dt k
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
振幅恒值点的移动速度，群速度：
vg =
ωm
km
当叠加的两单色光波在无色散介质中传播 当叠加的两单色光波在无色散介质中传播 时，它们的速度相同，因而合成的是一个 稳定的拍，群速度和相速度相等。 稳定的拍，群速度和相速度相等。 若频率 f = f 1 2 则：相速度 ω ω1 + ω2 ω1 + ω2 v= = = =ν1 =ν 2 k k1 + k2 ω1 ω2 + ν1 ν 2
§2-4 不同频率的两个单色光Baidu Nhomakorabea的叠加
通常利用光脉冲(光信号) 通常利用光脉冲(光信号)进行光速测量时测 量到的时光脉冲的传播速度，即群速度而 不是相速度。 可以证明：对于多个不同频率的单色光波 合成的复杂波，只要各个波的频率相差不 大，他们只集中在某个“中心” 大，他们只集中在某个“中心”频率附近， 且介质色散不大，就可以认为上述结论仍 然适用。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
合成波的强度为
I = A = 4a cos (km z ωmt)
2 2 2
I = A2 = 2a2[1+ cos 2(km z ωmt)]
可见合成波的强度随时间和位置在0 可见合成波的强度随时间和位置在0～4a2之 间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。 由式可知，拍频为2 由式可知，拍频为2ωm， ωm为两单色光波 角频率之差的一半。
E1 = acos(k1z ω2t)
E2 = acos(k2 z ω2t)
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
合振动（波）
E = E1 + E2 = a[cos(k1z ω1t) + cos(k2 z ω2t)]
和差化积：
1 1 E = 2a cos [(k1 + k2 )z (ω1 + ω2t)]cos [(k1 k2 )z (ω1 ω2 )t] 2 2
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
这种由两个交变物理量产生一个差频物理 量的现象称为“拍频现象” 量的现象称为“拍频现象”。 其主要应用价值在于，它把高频信号中的 频率信息和位相信息转移到差频信号之中， 使它们由难以测量变的容易测量。 如用多普勒雷达测量运动物体的速度等， 及光外差探测技术。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
§2-4 不同频率的两个 单色光波的叠加
光学拍： 群速度和相速度：
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
本节讨论两个在同一方向传播的、振动 方向相同、振幅相等而频率相差很小的 单色波的叠加，这样两个波叠加的结果 将产生光学上有意义的“ 将产生光学上有意义的“拍”现象。 一、光学拍： 设频率为ω 设频率为ω1、ω2的两个单色波沿z轴方 的两个单色波沿z 向传播，它们的波函数为：
二、群速度和相速度： 前面所提到的传播速度都是指它的等相面的 速度，及相速度。对于两个单色波的合成波：
E = 2a cos(kz ωt) cos(km z ωmt)
它包含两种速度：等相面的传播速度和等幅面的 传播速度。 ω 相速度：v = k 由 kz t = c 两边对t 两边对t求导 dz =
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
dω 由 vg = 可得到vg与v之间的关系。 可得到v dk
由 k= λ dk = 2π dλ 则 λ2 dv vg = v λ 故 dλ dv 此式表明，λ 越大，即波的相速度随波长的变 d 化越大时，群速度和相速度两者相差也越大。
2π
dω dkv dv vg = = = v+k dk dk dk