北京高考真题
2024年北京高考数学真题(纯答案版)
参考答案
绝密★本科目考试启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.A
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.C
8.D
9.A 10.C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.() 4,0
12.
1
2
-
##0.5
-
13.
1 2±
14.115
mm,23mm 2
15.①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（1）
2π
3
A=
；
（2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为153 4.
17.（1）证明见解析（2）
30
18.（1）1
10
（2）(i)0.122万元 (ii)0.1252万元
19.（1）2221,4
2x y e +== （2）2t =
20.（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.
（2）证明见解析 （3）2
21.略。
北京卷高考语文真题及标准答案(完整版)
2008 年普通高等学校招生全国统一考试语文（北京卷） 第 I 卷 （选择共 30 分）本大题共 5 小题， 每小题 3 分 ，共 15 分。
1． 下列词语中， 字形和加点的字的读音全都正确的一项是A ． 传媒 难以起齿 自诩．（yǔ） 闭目塞．（ s è）听 B ． 芯片 钩玄题要豢．（ ju àn ）养 车载．（ zài ）斗量 C ． 转轨 众口铄金执拗．（ ni ù） 半嗔．（chēn ）半喜 D ． 幅射 赋于重任补给．（ j ǐ） 便．（bi àn ）宜行事 E ．2． 将下列词语依次填入下面这段话的横线处，最恰当的一组是 位于日本藤川市海滨的聂耳纪念碑，用素净的大理石 成，稍稍倾 斜地平置于长方形基座上。
四周的石砌边缘内， 着匀称的海滨卵石。
碑石 “耳”字形，有 在地上的一只巨大的耳朵，日日夜夜倾大海的呼啸和浪涛之声。
A ． 雕 铺 呈贴 B ． 塑 铺 像画 C ． 塑 摆 像贴 D ． 雕摆呈 画 E ． 3． 下列句子中，加点的成语使用不恰当．．．的一句是A ． 许多分析人士认为，微软收购雅虎这场角逐，可谓两败俱伤，而让他们强大的 对手谷歌渔．翁．得．利． 。
B ． 环境专家试图用向湖里放鱼的方法治理湖水污染， 因为这里的渔业资源已经到了竭．泽．而．渔．的地步。
C ． 一些老师担心， 如果学生满足于网上搜索素材， 很容易使写作流于复制和拼贴，这并非杞．人．忧．天． 。
D ． 上山路上，我们常找开等高线图察看，有的同学还用军事望远镜煞有介事．．．． 地东 张西望，引来不少人围观。
E ．4． 下列句子中，没有语病的一句是A ． 我国水墨画的主要万分是墨，加以清水，在宣纸上浸染，互渗，通过不同浓淡 反映不同审美趣味，被国人称为“墨宝” 。
B ． 一名韩国官员透露，有关成员国已达成一致意见，同意建立该项基金，以防止 1997年那样的金融危机不要再次发生。
精品解析：2024年北京高考历史真题(解析版)
2.西汉官员朱邑，少时为舒桐乡啬夫，为政“廉平不苛”“存问耆老孤寡”“所部吏民爱敬焉”，后“举贤良为大司农丞……以治行第一入为大司农”。上述材料可以印证西汉时期（）
①社会基层组织开始建立②中正官负责官员的考核
③政府通过察举选拔人才④官吏为政注重优抚老弱
A.①②B.③④C.①③D.②④
【答案】B
【解析】
A.隆礼重法的精神B.无为而治的理想
C.修身明德的追求D.选贤任能的理念
【答案】C
【解析】
【详解】本题是单类型单项选择题。据本题主题干的设问词，可知这是正向题。据本题时间信息可知准确时空是：春秋战国时期（中国）。据材料并结合所学可知，孔子用玉的温润、坚硬、有棱角而不伤人、下垂等特质来比喻理想人格中的仁、智、义、礼等品质。这反映了孔子希望人们通过自我修养，培养和具备这些美好的品德，以达到高尚的人格境界，C项正确；“隆礼重法”是荀子观点，且材料也未涉及“法”，排除A项；无为而治是道家观点，与儒家孔子思想不符，排除B项； 材料并未涉及选拔人才的相关内容，排除D项。故选C项。
3.“判”是古时官员断决狱讼的文本，也是唐代铨选官吏的考试科目之一。唐代的《龙筋凤髓判》是我国完整传世的一部判例集，通过模拟判例的形式陈述案例缘由，给出判决意见，并进行解释，为应试者提供了“判”的写作程式和方法。这说明唐代（）
2024北京高考语文+数学试卷(真题+答案)
2024年北京市高考语文试题一、本大题共5小题,共18分。
阅读下面材料,完成1-5题。
材料一气候的波动变化对文明发展产生了重要影响，重建古代气候变化过程具有重要意义。
由于缺乏合适的温度代用指标，我国古温度重建结果分辨率较低,且多以定性记录为主，定量的古温度重建相对较少。
全球历史温度变化曲线的重建主要借助冰芯、深海沉积物和树轮的记录，而我国是传统的农耕文明社会，陆地上的沉积记录才能更好地反映我国历史气候变化。
随着技术的革新,微生物分子化石的研究蓬勃发展,微生物分子化石中的一类化合物——brGDGTs(支链甘油二烷基甘油四醚酯)——被用于古气候研究。
brGDGTs是细菌细胞膜的组成部分，其分子结构中有4到6个甲基和0到2个环戊烷。
如同人天冷需要加衣、天热需要减衣一样,寒冷的气候条件下细菌倾向于合成更多的甲基,而温暖的环境下合成的甲基数量则减少。
微生物活体死亡后,细胞膜中的brGDGTs等大分子能在地质体中长期保留下来,可以通过brGDGTs结构中的甲基个数推断当时的温度。
六盘山北联池靠近中华文明核心区，由中国科学院、南京大学、兰州大学等单位的研究人员组成的联合团队选取这里的沉积物样品，借助brGDGTs，通过定量分析，重建了5000年以来我国北方更高分辨率的暖季(4月至10月)温度变化过程。
结合山西某地沉积物的孢粉重建的降水记录，联合团队获得了我国北方地区5000年以来完整的气候演变历程。
从重建的温度与降水结果来看，我国北方地区的气候呈现出不断变冷、变干的大趋势。
大约前3000年变化缓慢,之后的2000年变化加速。
这主要与太阳辐射变化有关，太阳辐射能量在过去5000年间持续下降。
另外，过去2000年以来的快速冷干现象还可能与太阳活动、局部火山活动等因素有关。
而且这一时期内区域植被中木本植物逐渐减少,导致地表反射率上升,也可能加快了气候变冷变干的速度。
研究人员将气候重建的结果与中国历史朝代相对应，发现不同历史时期的气候呈现出冷暖交替的特点。
2024北京高考真题物理(含答案)
2024北京高考真题物理本试卷分第一部分和第二部分．满分100分，考试时间90分钟．第一部分本部分共14小题，每小题3分，共42分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．1．已知钍234的半衰期是24天.1g钍234经过48天后，剩余钍234的质量为（）A．0g B．0.25g C．0.5g D．0.75g2．一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，汽车的制动距离为（）A．5m B．10m C．20m D．30m3．一个气泡从恒温水槽的底部缓慢上浮，将气泡内的气体视为理想气体，且气体分子个数不变，外界大气压不变．在上浮过程中气泡内气体（）A．内能变大B．压强变大C．体积不变D．从水中吸热4．如图所示，飞船与空间站对接后，在推力F作用下一起向前运动．飞船和空间站的质量分别为m和M，则飞船和空间站之间的作用力大小为（）A．MFM m+B．mFM m+C．MFmD．mFM5．如图甲所示，理想变压器原线圈接在正弦式交流电源上，输入电压u随时间t变化的图像如图乙所示，副线圈接规格为“6V，3W”的灯泡．若灯泡正常发光，下列说法正确的是（）A．原线圈两端电压的有效值为B．副线圈中电流的有效值为0.5AC．原、副线圈匝数之比为1∶4D．原线圈的输入功率为12W6．如图所示，线圈M和线圈P绕在同一个铁芯上，下列说法正确的是（）A．闭合开关瞬间，线圈M和线圈P相互吸引B ．闭合开关，达到稳定后，电流表的示数为0C ．断开开关瞬间，流过电流表的电流方向由a 到bD ．断开开关瞬间，线圈P 中感应电流的磁场方向向左7．如图所示，光滑水平轨道AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道BC 在B 点平滑连接．一小物体将轻弹簧压缩至A 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C ．下列说法正确的是（ ）A ．物体在C 点所受合力为零B ．物体在C 点的速度为零C ．物体在C 点的向心加速度等于重力加速度D ．物体在A 点时弹簧的弹性势能等于物体在C 点的动能8．将小球竖直向上抛出，小球从抛出到落回原处的过程中，若所受空气阻力大小与速度大小成正比，则下列说法正确的是（ ）A ．上升和下落两过程的时间相等B ．上升和下落两过程损失的机械能相等C ．上升过程合力的冲量大于下落过程合力的冲量D ．上升过程的加速度始终小于下落过程的加速度9．图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置．手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示．下列说法正确的是（ ）A ．0t =时，弹簧弹力为0B ．0.2s t =时，手机位于平衡位置上方C ．从0t =至0.2s t =，手机的动能增大D ．a 随t 变化的关系式为24sin(2.5π)m /s a t =10．水平传送带匀速运动，将一物体无初速度地放置在传送带上，最终物体随传送带一起匀速运动．下列说法正确的是（ ）A ．刚开始物体相对传送带向前运动B ．物体匀速运动过程中，受到静摩擦力C ．物体加速运动过程中，摩擦力对物体做负功D ．传送带运动速度越大，物体加速运动的时间越长11．如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M 、N 两点，P 、Q 是MN 连线上的两点，且MP QN =．下列说法正确的是（ ）A ．P 点电场强度比Q 点电场强度大B ．P 点电势与Q 点电势相等C ．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P 点电场强度大小也变为原来的2倍D ．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P 、Q 两点间电势差不变12．如图所示为一个加速度计的原理图．滑块可沿光滑杆移动，滑块两侧与两根相同的轻弹簧连接；固定在滑块上的滑动片M 下端与滑动变阻器R 接触良好，且不计摩擦；两个电源的电动势E 相同，内阻不计．两弹簧处于原长时，M 位于R 的中点，理想电压表的指针位于表盘中央．当P 端电势高于Q 端时，指针位于表盘右侧．将加速度计固定在水平运动的被测物体上，则下列说法正确的是（ ）A ．若M 位于R 的中点右侧，P 端电势低于Q 端B ．电压表的示数随物体加速度的增大而增大，但不成正比C ．若电压表指针位于表盘左侧，则物体速度方向向右D ．若电压表指针位于表盘左侧，则物体加速度方向向右13．产生阿秒光脉冲的研究工作获得2023年的诺贝尔物理学奖，阿秒（as ）是时间单位，181as 110s −=⨯，阿秒光脉冲是发光持续时间在阿秒量级的极短闪光，提供了阿秒量级的超快“光快门”，使探测原子内电子的动态过程成为可能．设有一个持续时间为100as 的阿秒光脉冲，持续时间内至少包含一个完整的光波周期．取真空中光速83.010m /s c =⨯，普朗克常量346.610J s h −=⨯⋅，下列说法正确的是（ ）A ．对于0.1mm 宽的单缝，此阿秒光脉冲比波长为550nm 的可见光的衍射现象更明显B ．此阿秒光脉冲和波长为550nm 的可见光束总能量相等时，阿秒光脉冲的光子数更多C ．此阿秒光脉冲可以使能量为1813.6eV( 2.210J −−−⨯的基态氢原子电离D ．为了探测原子内电子的动态过程，阿秒光脉冲的持续时间应大于电子的运动周期14．电荷量Q 、电压U 、电流I 和磁通量Φ是电磁学中重要的物理量，其中特定的两个物理量之比可用来描述电容器、电阻、电感三种电磁学元件的属性，如图所示．类似地，上世纪七十年代有科学家预言Φ和Q 之比可能也是一种电磁学元件的属性，并将此元件命名为“忆阻器”，近年来实验室已研制出了多种类型的“忆阻器”．由于“忆阻器”对电阻的记忆特性，其在信息存储、人工智能等领域具有广阔的应用前景．下列说法错误的是（ ）A．QU的单位和ΦI的单位不同B．在国际单位制中，图中所定义的M的单位是欧姆C．可以用IU来描述物体的导电性质D．根据图中电感L的定义和法拉第电磁感应定律可以推导出自感电动势的表达式I E LM∆=∆第二部分本部分共6小题，共58分．15．（8分）（1）某同学测量玻璃的折射率，作出了如图1所示的光路图，测出了入射角i和折射角r，则此玻璃的折射率n=___________________．图1（2）用如图2所示的实验装置探究影响感应电流方向的因素．如图3所示，分别把条形磁体的N极或S极插入、拔出螺线管，观察并标记感应电流的方向．图2 图3关于本实验，下列说法正确的是____________（填选项前的字母）．A．需要记录感应电流的大小B．通过观察电流表指针的偏转方向确定感应电流的方向C．图3中甲和乙表明，感应电流的方向与条形磁体的插入端是N极还是S极有关（3）某兴趣小组利用铜片、锌片和橘子制作了水果电池，并用数字电压表（可视为理想电压表）和电阻箱测量水果电池的电动势E和内阻r，实验电路如图4所示．连接电路后，闭合开关S，多次调节电阻箱的阻值R，记录电压表的读数U，绘出图像，如图5所示，可得：该电池的电动势E=____________V，内阻r=________kΩ．（结果保留两位有效数字）图4 图516．（10分）如图甲所示，让两个小球在斜槽末端碰撞来验证动量守恒定律．（1）关于本实验，下列做法正确的是____________（填选项前的字母）．A ．实验前，调节装置，使斜槽末端水平B ．选用两个半径不同的小球进行实验C ．用质量大的小球碰撞质量小的小球（2）图甲中O 点是小球抛出点在地面上的垂直投影，首先，将质量为1m 的小球从斜槽上的S 位置由静止释放，小球落到复写纸上，重复多次．然后，把质量为2m 的被碰小球置于斜槽末端，再将质量为1m 的小球从S 位置由静止释放两球相碰，重复多次．分别确定平均落点，记为M 、N 和P （P 为1m 单独滑落时的平均落点）．a ．图乙为实验的落点记录，简要说明如何确定平均落点；b ．分别测出O 点到平均落点的距离，记为OP 、OM 和ON ．在误差允许范围内，若关系式____________成立，即可验证碰撞前后动量守恒．（3）受上述实验的启发，某同学设计了另一种验证动量守恒定律的实验方案．如图丙所示，用两根不可伸长的等长轻绳将两个半径相同、质量不等的匀质小球悬挂于等高的O 点和O '点，两点间距等于小球的直径．将质量较小的小球1向左拉起至A 点由静止释放，在最低点B 与静止于C 点的小球2发生正碰．碰后小球1向左反弹至最高点A '，小球2向右摆动至最高点D ．测得小球1，2的质量分别为m 和M ，弦长1AB l =、23A B l CD l '==、．推导说明，m 、M 、1l 、2l 、3l 满足什么关系即可验证碰撞前后动量守恒．17．（9分）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S ，管口离水池水面的高度为h ，水在水池中的落点与管口的水平距离为d ．假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g ，h 远大于管口内径．求：（1）水从管口到水面的运动时间t ；（2）水从管口排出时的速度大小0v ；（3）管口单位时间内流出水的体积Q ．18．（9分）如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图．在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L 的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C 的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦．已知磁场的磁感应强度大小为B ，导体棒的质量为m 、接入电路的电阻为R ．开关闭合前电容器的电荷量为Q ．（1）求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I ；（2）求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a ；（3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v 随时间t 的变化图线．19．（10分）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样．以某一点O 为观测点，以质量为m 的小星体（记为P ）为观测对象．当前P 到O 点的距离为0r ，宇宙的密度为0ρ．（1）求小星体P 远离到02r 处时宇宙的密度ρ；（2）以O 点为球心，以小星体P 到O 点的距离为半径建立球面．P 受到的万有引力相当于球内质量集中于O 点对P 的引力．已知质量为1m 和2m 、距离为R 的两个质点间的引力势能12p m m E GR=−，G 为引力常量．仅考虑万有引力和P 远离O 点的径向运动．a ．求小星体P 从0r 处远离到02r 。
2024北京高考真题真题卷及答案
2024北京高考真题生物本试卷满分100分，考试时间90分钟。
第一部分本部分共15题，每题2分，共30分。
在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1. 关于大肠杆菌和水绵的共同点，表述正确的是（）A. 都是真核生物B. 能量代谢都发生在细胞器中C. 都能进行光合作用D. 都具有核糖体2. 科学家证明“尼安德特人”是现代人的近亲，依据的是DNA的（）A. 元素组成B. 核苷酸种类C. 碱基序列D. 空间结构3. 胆固醇等脂质被单层磷脂包裹形成球形复合物，通过血液运输到细胞并被胞吞，形成的囊泡与溶酶体融合后，释放胆固醇。
以下相关推测合理的是（）A. 磷脂分子尾部疏水，因而尾部位于复合物表面B. 球形复合物被胞吞的过程，需要高尔基体直接参与C. 胞吞形成的囊泡与溶酶体融合，依赖于膜的流动性D. 胆固醇通过胞吞进入细胞，因而属于生物大分子4. 某同学用植物叶片在室温下进行光合作用实验，测定单位时间单位叶面积的氧气释放量，结果如图所示。
若想提高X，可采取的做法是（）A. 增加叶片周围环境CO2浓度B. 将叶片置于4℃的冷室中C. 给光源加滤光片改变光的颜色D. 移动冷光源缩短与叶片的距离5. 水稻生殖细胞形成过程中既发生减数分裂，又进行有丝分裂，相关叙述错误的是（）A. 染色体数目减半发生在减数分裂ⅠB. 同源染色体联会和交换发生在减数分裂ⅡC. 有丝分裂前的间期进行DNA复制D. 有丝分裂保证细胞的亲代和子代间遗传的稳定性6. 摩尔根和他的学生们绘出了第一幅基因位置图谱，示意图如图，相关叙述正确的是（）果蝇X染色体上一些基因的示意图A. 所示基因控制的性状均表现为伴性遗传B. 所示基因在Y染色体上都有对应的基因C. 所示基因在遗传时均不遵循孟德尔定律D. 四个与眼色表型相关基因互为等位基因7. 有性杂交可培育出综合性状优于双亲的后代，是植物育种的重要手段。
六倍体小麦和四倍体小麦有性杂交获得F1。
2024年北京高考数学真题(详解版)
2024年北京⾼考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得，故选：A.2．已知，则（）．A．B．C．D．1【答案】C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得，故选：C.3．求圆的圆⼼到的距离（）A．B．2C．D．【答案】C【分析】求出圆⼼坐标，再利⽤点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆⼼坐标为，则圆⼼到直线的距离为，故选：C.4．的⼆项展开式中的系数为（）A．15B．6C．D．【答案】B【分析】写出⼆项展开式，令，解出然后回代⼊⼆项展开式系数即可得解.【详解】的⼆项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：B.5．已知向量，，则“”是“或”的（）条件．A．必要⽽不充分条件B．充分⽽不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成⽴；若，即，⽆法得出或，例如，满⾜，但且，可知充分性不成⽴；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A.6．已知，，，，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三⻆函数最值分析周期性，结合三⻆函数最⼩正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最⼩值点，为的最⼤值点，则，即，且，所以.故选：B.7．记⽔的质量为，并且d越⼤，⽔质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（）A．B．C．若，则；若，则；D．若，则；若，则；【答案】C【分析】根据题意分析可得，讨论与1的⼤⼩关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得，解得，若，则，可得，即；若，则，可得；若，则，可得，即；结合选项可知C正确，ABD错误；故选：C.8．已知以边⻓为4的正⽅形为底⾯的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的⾼为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平⾯平⾯，可知平⾯，利⽤等体积法求点到⾯的距离.【详解】如图，底⾯为正⽅形，当相邻的棱⻓相等时，不妨设，分别取的中点，连接，则，且，平⾯，可知平⾯，且平⾯，所以平⾯平⾯，过作的垂线，垂⾜为，即，由平⾯平⾯，平⾯，所以平⾯，由题意可得：，则，即，则，可得，所以四棱锥的⾼为.当相对的棱⻓相等时，不妨设，，因为，此时不能形成三⻆形，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9．已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.10．若集合表示的图形中，两点间最⼤距离为d、⾯积为S，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平⾯区域，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平⾯区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最⼤值；阴影部分⾯积.故选：C.【点睛】⽅法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到⼼中有图，⻅数想图，以开拓⾃⼰的思维．使⽤数形结合法的前提是题⽬中的条件有明确的⼏何意义，解题时要准确把握条件、结论与⼏何图形的对应关系，准确利⽤⼏何图形中的相关结论求解．⼆、填空题11．已知抛物线，则焦点坐标为．【答案】【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准⽅程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.12．已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最⼤值为．【答案】/【分析】⾸先得出，结合三⻆函数单调性即可求解最值.【详解】由题意，从⽽，因为，所以的取值范围是，的取值范围是，当且仅当，即时，取得最⼤值，且最⼤值为.故答案为：.13．已知双曲线，则过且和双曲线只有⼀个交点的直线的斜率为．【答案】【分析】⾸先说明直线斜率存在，然后设出⽅程，联⽴双曲线⽅程，根据交点个数与⽅程根的情况列式即可求解.【详解】联⽴与，解得，这表明满⾜题意的直线斜率⼀定存在，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线⽅程为，联⽴，化简并整理得：，由题意得或，解得或⽆解，即，经检验，符合题意.故答案为：.14．已知三个圆柱的体积为公⽐为10的等⽐数列．第⼀个圆柱的直径为65mm，第⼆、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的⾼为230mm，求前两个圆柱的⾼度分别为．【答案】【分析】根据体积为公⽐为10的等⽐数列可得关于⾼度的⽅程组，求出其解后可得前两个圆柱的⾼度.【详解】设第⼀个圆柱的⾼为，第⼆个圆柱的⾼为，则，故，，故答案为：.15．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.①，均为等差数列，则M中最多⼀个元素；②，均为等⽐数列，则M中最多三个元素；③为等差数列，为等⽐数列，则M中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则M中最多⼀个元素.【答案】①③④【分析】利⽤两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利⽤反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，⽽两条直线⾄多有⼀个公共点，故中⾄多⼀个元素，故①正确.对于②，取则均为等⽐数列，但当为偶数时，有，此时中有⽆穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中⾄少四个元素，则关于的⽅程⾄少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的⽅程⾄多有两个不同的解，⽭盾；若，考虑关于的⽅程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个偶数解，当有奇数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个奇数解，因为，不可能同时成⽴，故不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为为单调递增，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者⾄多⼀个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等⽐数列的性质的讨论，可以利⽤两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等⽐数列的公⽐可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题16．在△ABC中，，A为钝⻆，．(1)求；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择⼀个作为已知，求△ABC的⾯积．①；②；③．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第⼀个解答计分．【答案】(1)；(2)选择①⽆解；选择②和③△ABC⾯积均为.【分析】（1）利⽤正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利⽤正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，⾸先求出，再代⼊式⼦得，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；选择③，⾸先得到，再利⽤正弦定理得到，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；【详解】（1）由题意得，因为为钝⻆，则，则，则，解得，因为为钝⻆，则.（2）选择①，则，因为，则为锐⻆，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三⻆形内⻆，则，则代⼊得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三⻆形内⻆，则，则，则17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上⼀点，．(1)若F是PE中点，证明：平⾯．(2)若平⾯，求平⾯与平⾯夹⻆的余弦值．【答案】(1)证明⻅解析(2)【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平⾏四边形，由线⾯平⾏的判定定理可得平⾯.（2）建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，求出平⾯和平⾯的法向量后可求夹⻆的余弦值.【详解】（1）取的中点为，接，则，⽽，故，故四边形为平⾏四边形，故，⽽平⾯，平⾯，所以平⾯.（2）因为，故，故，故四边形为平⾏四边形，故，所以平⾯，⽽平⾯，故，⽽，故建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，则，则设平⾯的法向量为，则由可得，取，设平⾯的法向量为，则由可得，取，故，故平⾯与平⾯夹⻆的余弦值为18．已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元赔偿次数01234单数在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取⼀单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i）⽑利润是保费与赔偿⾦额之差．设⽑利润为，估计的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下⼀保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下⼀保险期⽑利润的数学期望．【答案】(1)(2)(i)0.122万元(ii)万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，⽤频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从⽽可求.（ⅱ）先算出下⼀期保费的变化情况，结合（1）的结果可求.【详解】（1）设为“随机抽取⼀单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得.（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，由题设中的统计数据可得，，，，故故（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为，故（万元）19．已知椭圆⽅程C：，焦点和短轴端点构成边⻓为2的正⽅形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．(1)求椭圆⽅程和离⼼率；(2)若直线BD的斜率为0，求t．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，进⼀步得，由此即可得解；（2）说明直线斜率存在，设，，联⽴椭圆⽅程，由⻙达定理有，⽽，令，即可得解.【详解】（1）由题意，从⽽，所以椭圆⽅程为，离⼼率为；（2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆⽆交点，⽭盾，从⽽设，，联⽴，化简并整理得，由题意，即应满⾜，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线⽅程中令，得，所以，此时应满⾜，即应满⾜或，综上所述，满⾜题意，此时或.20．已知在处切线为l．(1)若切线l的斜率，求单调区间；(2)证明：切线l不经过；(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？（参考数据：，，）【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明⻅解析(3)2【分析】（1）直接代⼊，再利⽤导数研究其单调性即可；（2）写出切线⽅程，将代⼊再设新函数，利⽤导数研究其零点即可；（3）分别写出⾯积表达式，代⼊得到，再设新函数研究其零点即可.【详解】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），切线的斜率为，则切线⽅程为，将代⼊则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在⽆零点，与假设⽭盾，故直线不过.（3）时，.，设与轴交点为，时，若，则此时与必有交点，与切线定义⽭盾.由（2）知.所以，则切线的⽅程为，令，则.，则，，记，满⾜条件的有⼏个即有⼏个零点.，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；因为，，所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有⼀个零点，在上必有⼀个零点，综上所述，有两个零点，即满⾜的有两个.【点睛】关键点点睛：本题第⼆问的关键是采⽤的是反证法，转化为研究函数零点问题. 21．设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．若为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．【答案】证明⻅解析【分析】分充分性和必要性两⽅⾯论证.【详解】我们设序列为，特别规定.必要性：若存在序列，使得为常数列.则，所以.根据的定义，显然有，这⾥，.所以不断使⽤该式就得到，，必要性得证.充分性：若.由已知，为偶数，⽽，所以也是偶数.我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最⼩的⼀个.上⾯已经证明，这⾥，.从⽽由可得.同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从⽽和都是偶数.下⾯证明不存在使得.假设存在，根据对称性，不妨设，，即.情况1：若，则由和都是偶数，知.对该数列连续作四次变换后，新的相⽐原来的减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2：若，不妨设.情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾.这就说明⽆论如何都会导致⽭盾，所以对任意的都有.假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.则此时对任意，由可知必有.⽽和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进⾏⼀次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，⽐原来的更⼩，这与的最⼩性⽭盾.综上，只可能，⽽，故是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。
2023年全国高考语文真题北京卷+答案+注释+解析
2023年北京高考语文试题一、非连续性文本阅读阅读下面材料，完成下面小题。
材料一：认知与身体的关系一直是认知心理学关注的一个重要问题。
最初，符号加工模式在认知心理学中居于主流地位。
该模式认为认知的本质就是计算，如果把大脑比作计算机的硬件，那么认知就是运行在这个“硬件”上的“程序”。
认知功能是相对独立的，不依赖于身体，就像程序在功能上是独立于硬件的，这就是所谓的“离身认知”。
离身认知观把人比作机器，把认知过程看成计算，认为人只能接受指令算法。
如果把某个人收到的刺激信号输入到另外一个人的大脑中，可以得到同样的感觉体验。
可是，现实情况是，不同的人对世界的感知千差万别。
面对同一事物可能会有“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”的惬意，也可能会有“感时花溅泪，恨别鸟惊心”的惆怅。
其后，联结主义模式进入认知心理学家的视野。
大脑是由神经元相互联结构成的复杂信息处理系统，联结主义建构了“人工神经网络”，力图找寻认知是如何在复杂的大脑神经元联结和并行分布加工中得以涌现的。
然而，联结主义模式与符号加工模式在“认知的本质就是计算”这一点上是相同的，认知在功能上的独立性、离身性构成了两种理论的基础。
目前，具身认知是认知心理学研究中的一个新取向。
该理论主张认知在很大程度上是依赖于身体的。
认知是身体的认知，心智是身体的心智，离开了身体，认知和心智根本就不存在。
身体的结构、身体的活动方式、身体的感觉和体验决定了我们怎样认识和看待世界。
如果我们拥有蝙蝠的生理结构，我们所感知到的世界就完全不是现在的样子。
有些认知内容是身体提供的，身体与世界的互动为我们提供了认识世界的初始概念。
例如，“冷、热、温”等概念基于身体感受，以这些概念为基础发展出了其他一些更抽象的概念。
如形容情感状态，我们会使用“冷漠、热情、温暖”。
（取材于叶浩生、苏得权等的相关文章）材料二：有许多实验支持具身认知的假设。
例如，有一个实验要求学生参加一个关于耳机舒适度的测试。
北京历年高考试卷真题数学
北京历年高考试卷真题数学【试卷说明】本试卷包含选择题、填空题和解答题，旨在全面考察学生对高中数学知识的掌握和运用能力。
考生需在规定时间内完成所有题目。
【第一部分：选择题】1. 若函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 0B. 4C. 6D. 82. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2}3. 根据题目所给的三角函数关系，求\( \sin(60^\circ) \)的值。
A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)D. 14. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为实数，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( a \)，\( b \)，\( c \)成等差数列B. \( a \)，\( b \)，\( c \)成等比数列C. \( a \)，\( b \)，\( c \)可以构成直角三角形的边长D. 以上都不是【第二部分：填空题】5. 若\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。
6. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_3 \)的值。
7. 若直线\( y = 2x + 3 \)与\( x \)轴相交，求交点坐标。
8. 已知圆的方程为\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \)，求圆心坐标。
【第三部分：解答题】9. 证明：若\( n \)为正整数，\( 1^n + 2^n + 3^n + ... + n^n \)是\( n \)的倍数。
2023年北京高考数学真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）A.{21}x x -≤<∣B.{21}x x -<≤∣C.{2}xx ≥-∣ D.{1}xx <∣【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-+D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义1z =-+，由共轭复数的定义可知1z =--.故选：D3.已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，则22||||a b -=（）A.2- B.1- C.0 D.1【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,a b满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B4.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=- D.|1|()3x f x -=【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可.【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.5.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）．A.80-B.40- C.40D.80【答案】D 【解析】【分析】写出512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项即可【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令521r -=得2r =所以512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C --=故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A.7B.6C.5D.4【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，点M 在C 上，所以M 到准线2x =-的距离为MF ，又M 到直线3x =-的距离为5，所以15MF +=，故4MF =.故选：D.7.在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选：B.8.若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】解法一：由2x yy x+=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x y y x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y y x y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+-+++--+=====-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选：C9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m【答案】C 【解析】【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠=，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接,OG OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以5tan tan 14EMO EGO ∠=∠=.因为EO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，,EO EG ⊂平面EOG ，EO EG E ⋂=，所以BC ⊥平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，.同理：OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以14EO =，所以5OG =，所以在直角三角形EOG 中，()222253149EG EO OG =+=+=在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，()22223958EB EG BG =+=+=，又因为55255515EF AB =--=--=，所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=.故选：C10.已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（）A.当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立B.当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立C.当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立D.当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立【答案】B 【解析】【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD 正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B 的正误.法2：构造()()31664x f x x =-+-，利用导数求得()f x 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项n a 所在区间，从而判断{}n a 的单调性；对于A ，构造()()32192647342h x x x x x =-+-≤，判断得11n n a a +<-，进而取[]4m M =-+推得n a M >不恒成立；对于B ，证明n a 所在区间同时证得后续结论；对于C ，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-，取[]01m m =+推得n a M >不恒成立；对于D ，构造()()32192649942g x x x x x =-+-≥，判断得11n n a a +>+，进而取[]1m M =+推得n a M <不恒成立.【详解】法1：因为()311664n n a a +=-+，故()311646n n a a +=--，对于A ，若13a =，可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤，证明：当1n =时，1363a -=≤--，此时不等关系3n a ≤成立；设当n k =时，63k a -≤-成立，则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭，故136k a +≤--成立，由数学归纳法可得3n a ≤成立.而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦，()20144651149n a --=-≥>，60n a -<，故10n n a a +-<，故1n n a a +<，故{}n a 为减数列，注意1063k a +-≤-<故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-，结合160n a +-<，所以()16694n n a a +--≥，故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，若存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭，故9461log 3Mn -<+，故n a M >恒成立仅对部分n 成立，故A 不成立.对于B ，若15,a =可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<，证明：当1n =时，10611a ---≤≤=，此时不等关系56n a ≤<成立；设当n k =时，56k a ≤<成立，则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-，故1106k a +--≤<成立即由数学归纳法可得156k a +≤<成立.而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦，()201416n a --<，60n a -<，故10n n a a +->，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列，若6M =，则6n a <恒成立，故B 正确.对于C ，当17a =时，可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤，证明：当1n =时，1061a <-≤，此时不等关系成立；设当n k =时，67k a <≤成立，则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-，故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤由数学归纳法可得67n a <≤成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +<，故{}n a 为减数列，又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-，结合160n a +->可得：()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若1164n n a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若存在常数6M >，使得n a M >恒成立，则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，故()14log 6n M ≤-，n 的个数有限，矛盾，故C 错误.对于D ，当19a =时，可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥，证明：当1n =时，1633a -=≥，此时不等关系成立；设当n k =时，9k a ≥成立，则()3162764143k k a a +-≥=>-，故19k a +≥成立由数学归纳法可得9n a ≥成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列，又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--，结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ，所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝，若存在常数0M >，使得n a M <恒成立，则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭，故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭，故946log 13M n -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误.故选：B.法2：因为()3321119662648442n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-+-，令()3219264842f x x x x =-+-，则()239264f x x x =-+'，令()0f x ¢>，得23063x <<-或2363x >+；令()0f x '<，得23236633x -<<+；所以()f x 在23,63⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和236,3⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在23236,633⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，令()0f x =，则32192648042x x x -+-=，即()()()146804x x x ---=，解得4x =或6x =或8x =，注意到4653<-<，7683<+<，所以结合()f x 的单调性可知在(),4-∞和()6,8上()0f x <，在()4,6和()8,+∞上()0f x >，对于A ，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，当1n =时，13a =，()32116643a a =--<-，则23a <，假设当n k =时，3k a <，当1n k =+时，()()331311646364k k a a +<---<-=，则13k a +<，综上：3n a ≤，即(),4n a ∈-∞，因为在(),4-∞上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列，因为()332111916612647442n n n n n n n a a a a a a a +-+=-+-+=-+-，令()()32192647342h x x x x x =-+-≤，则()239264h x x x '=-+，因为()h x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯，所以()h x '在(],3-∞上单调递减，故()()2333932604h x h ''≥=⨯-⨯+>，所以()h x 在(],3-∞上单调递增，故()()321933326347042h x h ≤=⨯-⨯+⨯-<，故110n n a a +-+<，即11n n a a +<-，假设存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，取[]4m M =-+，其中[]1M M M -<≤，且[]Z M ∈，因为11n n a a +<-，所以[][]2132431,1,,1M M a a a a a a -+-+<-<-<- ，上式相加得，[][]()14333M a a M M M -+<--+≤+-=，则[]4m M a a M +=<，与n a M >恒成立矛盾，故A 错误；对于B ，因为15a =，当1n =时，156a =<，()()33211166566644a a =-+=⨯-+<，假设当n k =时，6k a <，当1n k =+时，因为6k a <，所以60k a -<，则()360k a -<，所以()3116664k k a a +=-+<，又当1n =时，()()332111615610445a a =-+=⨯+-->，即25a >，假设当n k =时，5k a ≥，当1n k =+时，因为5k a ≥，所以61k a -≥-，则()361k a -≥-，所以()3116654k k a a +=-+≥，综上：56n a ≤<，因为在()4,6上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列，此时，取6M =，满足题意，故B 正确；对于C ，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，注意到当17a =时，()3216617644a =-+=+，3341166441664a ⎪⎛⎫⎫+=+ ⎪⎝+-⎭⎭⎛= ⎝，143346166144416a ⎢⎛⎫+=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝+ ⎪⎭⎭⎥⎦⎝⎣猜想当2n ≥时，()1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当2n =与3n =时，2164a =+与43164a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()1312164nn a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，假设当n k =时，()1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当1n k =+时，所以())()13113131122311666116664444k k k k a a +-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=+=，综上：()()13121624n n a n - =⎛⎫+≥⎪⎝⎭，易知310n->，则()13121014n -⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故()()()1312166,724n n a n -⎛⎪=⎫+∈≥ ⎝⎭，所以(],67n a ∈，因为在()6,8上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列，假设存在常数6M >，使得n a M >恒成立，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-，取[]01m m =+，其中[]*00001,N m m m m -<≤∈，则()0142log 6133m mM ->=+，故()()14log 61312m M ->-，所以)1312614m M -⎛⎫ ⎪<⎝-⎭，即()1312164m M -⎛⎫+ ⎪⎭<⎝，所以m a M <，故n a M >不恒成立，故C 错误；对于D ，因为19a =，当1n =时，()32116427634a a ==->-，则29a >，假设当n k =时，3k a ≥，当1n k =+时，()()331116936644k k a a +≥=-->-，则19k a +>，综上：9n a ≥，因为在()8,+∞上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列，因为()332111916612649442n n n n n n n a a a a a a a +--=-+--=-+-，令()()32192649942g x x x x x =-+-≥，则()239264g x x x '=-+，因为()g x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯，所以()g x '在[)9,+∞上单调递增，故()()2399992604g x g ≥=⨯-⨯+'>'，所以()()321999926949042g x g ≥=⨯-⨯+⨯->，故110n n a a +-->，即11n n a a +>+，假设存在常数0M >，使得n a M <恒成立，取[]1m M =+，其中[]1M M M -<≤，且[]Z M ∈，因为11n n a a +>+，所以[][]213211,1,,1M M a a a a a a +>+>+>+ ，上式相加得，[][]1191M a a M M M +>+>+->，则[]1m M a a M +=>，与n a M <恒成立矛盾，故D 错误.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：112.已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，则C 的方程为____________．【答案】22122x y -=【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【详解】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca=a =b ==所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=13.已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β=_________．【答案】①.9π4②.π3【解析】【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02<<<αβ，则00tan tan <αβ，取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ，因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ，则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．【答案】①.48②.384【解析】【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解,d q ，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求73,a a ，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【详解】方法一：设前3项的公差为d ，后7项公比为0q >，则4951921612a qa ===，且0q >，可得2q =，则53212a a d q=+=，即123d +=，可得1d =，空1：可得43733,48a a a q ===，空2：()127693121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=-+++L方法二：空1：因为{},37n a n ≤≤为等比数列，则527291219248a a a ==⨯=，且0n a >，所以748a =；又因为2537a a a =，则25373a a a ==；空2：设后7项公比为0q >，则2534a q a ==，解得2q =，可得()133933456712893319226,3812112a a a a q a a a a a a a a a q a +--⨯==++++++===--++，所以12396381384a a a a +++=+-=L .故答案为：48；384.15.设0a >，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤⎪>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x xa N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③【解析】【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【详解】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =a ；当x a >时，()112f x =<≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<，此时，1211MN y y >->+>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上，点Q 在()216442555f x x x ⎫=--≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<-⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()22f x a x =-图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，13PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为222PB PA AB =+=1,3BC PC ==所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BCPA ⊥，PA PB P = ，所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以1cos ,222m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭．（1）若3(0)2f =-，求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π23f ⎛⎫=⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3ϕ=-.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1ω=，π6ϕ=-.【解析】【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈，所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++---++++---+-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【答案】（1）0.4（2）0.168（3）不变【解析】【分析】（1）计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算；（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【小问1详解】根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：160.440=【小问2详解】在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．【答案】（1）22194x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意得到3c a =，24b =，再结合222ac b -=，解之即可；（2）依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MN k ，再根据题意求得CD k ，得到MN CD k k =，由此得解.【小问1详解】依题意，得53c e a ==，则53c a =，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC =，所以24b =，即2b =，所以2224a c b -==，即22254499a a a -==，则29a =，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --，因为P 为第一象限E 上的动点，设()(),03,02P m n m n <<<<，则22194m n+=，易得022303BC k +==---，则直线BC 的方程为223y x =--，033PDn n k m m -==--，则直线PD 的方程为()33n y x m =--，联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，即()332612,326326n m n M n m n m -+⎛⎫- +-+-⎝⎭，而220PA n n k m m --==-，则直线PA 的方程为22n y x m-=+，令=2y -，则222n x m --=+，解得42m x n -=-，即4,22m N n -⎛⎫-⎪-⎝⎭，又22194m n +=，则22994n m =-，2287218m n =-，所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+，又022303CD k +==-，即MN CD k k =，显然，MN 与CD 不重合，所以//MN CD .20.设函数3()e ax b f x x x +=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．【答案】（1）1,1a b =-=（2）答案见解析（3）3个【解析】【分析】（1）先对()f x 求导，利用导数的几何意义得到(1)0f =，(1)1f '=-，从而得到关于,a b 的方程组，解之即可；（2）由（1）得()g x 的解析式，从而求得()g x '，利用数轴穿根法求得()0g x '<与()0g x '>的解，由此求得()g x 的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(),0∞-，()10,x ，()12,x x 与()2,x +∞上()f x '的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得()f x 的极值点个数.【小问1详解】因为3R ()e ,ax b f x x x x +=-∈，所以()()2313eax bf x a x x++'=-，因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+，所以(1)110f =-+=，(1)1f '=-，则()311e 013e 1a ba ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得11ab =-⎧⎨=⎩，所以1,1a b =-=.【小问2详解】由（1）得()()()()231R 13e x g f x x xx x -+'-==∈-，则()()1266ex x g x x x -+'+-=-，令2660x x -+=，解得3x =±13x =，23x =，则120x x <<，易知1e 0x -+>恒成立，所以令()0g x '<，解得10x x <<或2x x >；令()0g x '>，解得0x <或12xx x <<；所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在(),0∞-，()12,x x 上单调递增，即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞，单调递增区间为(),0∞-和(3+.【小问3详解】由（1）得()31R ()ex f x x x x -+=-∈，()()23113e x f x x x -+'-=-，由（2）知()f x '在()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在(),0∞-，()12,x x 上单调递增，当0x <时，()24011e f '-=<-，()010f '=>，即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0∞-上存在唯一零点，不妨设为3x ，则310x -<<，此时，当3<x x 时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当30x x <<时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-上有一个极小值点；当()10,x x ∈时，()f x '在()10,x 上单调递减，则()(()131120f x f f '''=<=-<，故()()100f f x ''<，所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点，不妨设为4x ，则410x x <<，此时，当40x x <<时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增；当41x x x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减；所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点；当()12,x x x ∈时，()f x '在()12,x x 上单调递增，则()(()23310f x f f '''=>=>，故()()120f x f x ''<，所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点，不妨设为5x ，则152x x x <<，此时，当15x x x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当52x x x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递增；所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点；当233x x >=+>时，()232330x x xx -=-<，所以()()231013ex f x x x -+'=->-，则()f x 单调递增，所以()f x 在()2,x +∞上无极值点；综上：()f x 在(),0∞-和()12,x x 上各有一个极小值点，在()10,x 上有一个极大值点，共有3个极值点.【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断()1f x '与()2f x '的正负情况，充分利用()f x '的单调性，寻找特殊点判断即可得解.21.已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ，其中，max M表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．【答案】（1）00r =，11r =，21r =，32r =（2）,n r n n =∈N （3）证明见详解【解析】【分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意分析求解；（2）根据题意题意分析可得11i i r r +-≥，利用反证可得11i i r r +-=，在结合等差数列运算求解；（3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法分析证明.【小问1详解】由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========，当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =；当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=，故11r =；当2k =时，则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =；当3k =时，则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>，故32r =；综上所述：00r =，11r =，21r =，32r =.【小问2详解】由题意可知：n r m ≤，且n r ∈N ，因为1,1n n a b ≥≥，则111,1n n A a B b ≥=≥=，当且仅当1n =时，等号成立，所以010,1r r ==，又因为112i i i r r r -+≤+，则11i i i i r r r r +--≥-，即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=，可得11i i r r +-≥，反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤-，当i j ≥时，则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时，则11i i r r +-=，则()()()112100mm m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-，又因为11j m ≤≤-，则()2211mr m j m m m m ≥-≥--=+>，假设不成立，故11n n r r +-=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N .【小问3详解】（ⅰ）若m m A B ≥，构建,1n nn r S A B n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≥，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≥，则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<，可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≤-.①若存在正整数N ，使得0N NN r S A B =-=，即N N r A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p sq r B B A A +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =，因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y X r Y r A B A B -=-，可得Y X X r Y r A B A B +=+，可取,,,Y X p X s r q Y r r ====，使得p s q r B B A A +=+；（ⅱ）若m m A B <，构建,1n nr n S B A n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤-，则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N Nr N S B A =-=，即N N r A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =，因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y r X r Y B A B A -=-，可得Y X X r Y r A B A B +=+，可取,,,Y X p X s r q Y r r ====，使得p sq r B B A A +=+；综上所述：存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得p sq r B B A A +=+．【点睛】方法点睛：对于一些直接说明比较困难的问题，可以尝试利用反证法分析证明.。
北京卷高考真题及答案物理
北京卷高考真题及答案物理物理作为高考科目之一，一直备受考生关注。
北京卷的高考物理题目历来出题较为综合，并且考察学生对知识点的掌握和解决问题的能力。
以下将介绍一些北京卷高考物理真题及其答案，帮助考生更好地备考。
一、选择题1. 下列说法正确的是（）A. 对于同一光滑水平面上的光滑固定系数小于1的动态问题，如果物块受到一个水平方向的恒力，物块将做匀变速直线运动B. 对于同一光滑水平面上的光滑固定系数大于1的动态问题，如果物块受到一个水平方向的恒力，物块将做匀变速直线运动C. 对于同一光滑水平面上的光滑固定系数大于1的动态问题，如果物块受到一个静止方向的恒力，物块将始终静止D. 对于同一光滑水平面上的光滑固定系数小于1的静力问题，如果物块受到一个静止方向的恒力，物块将始终静止2. 关于电流的说法正确的是（）A. 电流的方向是电荷流动的方向B. 电流的方向是正电荷流动的方向C. 电流的方向是负电荷流动的方向D. 电流的方向是电子流动的方向答案：1. A 2. D二、填空题1. 某学生用滑轮组做以下实验：两个滑轮组分别悬挂在弹簧秤两端，中间另悬一重物。
此时对两个滑轮组做垂直下拉力相同时，上面滑轮组的吃力F=18N，则称此时：F=______N 。
2. 如图所示，$ R_3 $=40Ω，电压表的内阻为$ R _4 $,则并联电阻的电阻值为：$ R=$ ______。
答案：1. 18 2.20三、计算题1. 汽车的发动机输出24000W的功率，充电效率为90%。
如果用发电机为汽车充电，发电机输入功率为P W ，则P = __________(单位：W)。
2. 图中两个平面镜，它们的平面分别是a和b，请根据结果选择填空内容1) 图中a是凸镜；b是凹镜。
2) 图中a是凹镜；b是凸镜。
3) 图中a是平面镜；b是凹镜。
4) 图中a是平面镜；b是凸镜。
答案：1. 26667 2. 1以上是关于北京卷高考物理的部分真题及答案，希。
2023年北京卷高考地理真题(含解析)
2023年北京卷高考地理真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题组某校开展“时空智能，因融至慧”跨学科主题学习系列活动。
结合2023年6月10日文化和自然遗产日，同学们展示了有关二十四节气的作品。
图是学生设计创作的网页截图。
读图完成下面小题。
1．二十四节气是古人观天察地、认识自然的智慧结晶，客观反映了（）①太阳活动②四季变化③降水总量④物候现象A．①②B．①③C．②④D．③④2．据图推断（）A．甲地种冬小麦正值梅雨时节B．可以通过遥感监测乙地涝灾C．正午太阳高度甲地比乙地大D．昼长周年变化甲地小于乙地数据中心建设应考虑低碳、安全、清洁、水源等多种因素。
图为某区域景观示意图。
读图完成下面小题。
3．图中四地，适合修建数据中心的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．该区域（）A．地形崎岖，喀斯特地貌发育B．土壤肥沃，为国家粮食主产区C．河流径流量大，结冰期较长D．夏季高温潮湿，冬季寒冷干燥暴雨引发的洪水携带泥沙进入湖泊后，沉积形成砂质纹层。
某地湖泊中砂质纹层出现频次与厄尔尼诺事件频次正相关。
推算的厄尔尼诺事件频次如图所示。
读图完成下面小题。
5．由图可知（）A．距今1200年左右该地气候较稳定B．距今3500年该地河流侵蚀作用强C．厄尔尼诺事件导致该地暴雨频发D．全球气温下降引发厄尔尼诺现象6．该地最可能位于（）A．印度洋沿岸B．大西洋西岸C．亚欧大陆东部D．南美洲西部二、单选题7．某校劳动课开展附近山地自然保护区所有阔叶木本植物种类的分布调查。
学生绘制的调查结果如图所示。
完成该保护区（）A．所处纬度大约是30°N B．年降水量低于400毫米C．山麓地带起点海拔为350米D．落叶乔木仅分布在1200米以上三、选择题组图为亚洲局部地区海平面气压分布图（图中为北京时间），读图完成下面小题。
8．最可能在钓鱼岛见到日出的是（）A．①B．②C．③D．④9．①中的洋流（）A．使所经海面及附近地区气温偏高B．扰动海水导致渔业资源种类少C．促使厦门至高雄的轮船航速加快D．降低台湾岛西侧沿海空气湿度近年来，位于粤港澳大湾区的某产业园，面向轻型化、智能化制造业，构筑垂直化生产空间新形态。
北京高考语文真题及答案解析(北京卷)
2022年北京高考语文真题及答案解析(北京卷)2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)英语本试卷共11页，共100分。
考试时长90分钟。
考生务必在答题卡指定区域作答，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分知识运用(共两节，30分)第一节(共10小题;每小题1.5分，共15分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
One Monday morning, while the children were enjoying “free play”,I stepped to the doorway of the classroom to take a break. Suddenly, I1 a movement of the heavy wooden door. This was the very door I2 guided the children through to ensure their safety from the bitter cold. I felt a chill ( 寒意 ) go through my body.My legs carried me to that door, and I pushed it open. It was one of my kindergarteners who I thought was 3 that day. He had been dropped off at school late and was 4 to open the door.He must have been waiting there for quite a while! Without a word, I rushed him to the hospital. He was treated for frostbite on his hands. He’d need time to 5 , and wouldn’t come for class the next day, I thought.The next morning, one of the first to 6 was my little frostbitten boy. Not only did he run in with energy, but his 7 could be heard as loud as ever! I gave him a warm hug and told him how 8 I was to see him. His words have stayed with me all these years, “I knew you would open the door.”That cold Monday morning, he waited a long, long while for adults to 9 . To a child, every minute feels like forever. He didn’t attempt to walk back home; he waited and trusted. This five-year-old taught me a powerful lesson in 10 .1.A.caused B.spotted C.checked D.imagined2.A.hesitantly B.randomly C.dizzily D.carefully3.A.angry B.absent C.special D.noisy4.A.courageous B.content C.unable D.unwilling5.A.recover B.play C.change D.wait6.A.settle B.gather C.arrive D.react7.A.sneeze B.weep plaint ughter8.A.lucky B.happy C.curious D.nervous9.A.show up B.pull up C.hold up D.line up10.A.gratitude B.forgiveness C.faith D.kindness第二节(共10小题;每小题1.5分，共15分)阅读下列短文，根据短文内容填空。
2023年高考北京卷语文真题(含答案)
2023年高考北京卷语文真题(含答案)一、阅读理解阅读下面短文，回答问题。
某村庄模式的兴起.什么是某村庄模式呢？也许简单说就是。
在某个地方，有这么一座村庄，在那里，有一个女人，她唤作某某阿姨，她教出了一百多个孩子。
这百多个孩子，最有名的莫过于甲，乙，丙三个人。
他们不但数学厉害，创造了全县最好的成绩，而且还能搞定一篇篇英文作文。
这一切深深地吸引了家长们。
这些家长们开始纷纷把孩子从各个补班里拉走，把孩子往某村庄的课堂里塞。
于是某村庄模式开始兴起。
多年后，甲，乙，丙从高中走出来，前往不同的城市，继续自己的求学之路。
而阿姨，就一如既往地，教育着她的学生们。
虽然这后来的学生们是越来越多了，但村庄从来没有因此而变故。
从某村庄模式开始，这样的村庄在中国各地诞生了很多，其中不少还挂着醒目的口号：“A村庄模式”，“B村庄模式”……不少的孩子被家长送到这些村庄里，成了那里的学生。
村庄里的老师们，多来自基层，不是北京的师范大学毕业生就是广外的英语系毕业生。
他们从普通的老师成了名师，从名师成了“超级名师”。
班上，孩子们立志要当科学家、要当部队的指挥官、要当摇滚明星……他们没有过高的眼界，却对自己的期许有着明确的把握。
1. 某村庄模式是指什么？2. 某村庄模式为什么受到家长们的欢迎？3. 请简述某村庄模式带来的影响。
答案1. 某村庄模式是指在某个村庄里，有一个阿姨教育出了很多优秀的孩子，从而吸引了孩子家长，让更多的孩子被家长送到这个村庄接受教育，从而在各地催生出了很多以村庄为名的教育机构。
2. 因为那里的孩子研究成绩优秀，不仅能在学业上取得好成绩，还有人能够在英文作文方面表现出色，同时对学生成长、人格素养的培养与家长的期待不谋而合，所以受到了家长的欢迎。
3. 某村庄模式带来了中国教育领域的从新思考，通过基层教师的努力和实践，不断摸索，从中提炼并分享到更多的学科领域，并为不同层面的培训机构所借鉴和模仿。
同时，模式本身也带动众多基层教师们的成长，在为他们带来荣誉与尊重的同时鼓舞了他们的士气。
2024北京高考化学试卷(真题+答案)
2024北京高考真题化学本试卷满分100分，考试时间90分钟。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16第一部分本部分共14题，每题3分，共42分。
在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．我国科研人员利用激光操控方法，从Ca 原子束流中直接俘获41Ca 原子，实现了对同位素41Ca 的灵敏检测。
41Ca 的半衰期（放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间）长达10万年，是14C 的17倍，可应用于地球科学与考古学。
下列说法正确的是（）A ．41Ca 的原子核内有21个中子B ．41Ca 的半衰期长，说明41Ca 难以失去电子C ．41Ca 衰变一半所需的时间小于14C 衰变一半所需的时间D ．从Ca 原子束流中直接俘获41Ca 原子的过程属于化学变化2．下列化学用语或图示表达不正确的是（）A ．22H O 的电子式：+2-+H O O H[∶∶∶]B ．4CH 分子的球棍模型：C ．3+Al 的结构示意图：D ．乙炔的结构式：H C C H——3．酸性锌锰干电池的构造示意图如下。
关于该电池及其工作原理，下列说法正确的是（）A ．石墨作电池的负极材料B ．电池工作时，+4NH 向负极方向移动C ．2MnO 发生氧化反应D ．锌筒发生的电极反应为-2+Zn-2e Zn 4．下列说法不正确的是（）A ．葡萄糖氧化生成2CO 和2H O 的反应是放热反应B ．核酸可看作磷酸、戊糖和碱基通过一定方式结合而成的生物大分子C ．由氨基乙酸形成的二肽中存在两个氨基和两个羧基D ．向饱和的NaCl 溶液中加入少量鸡蛋清溶液会发生盐析5．下列方程式与所给事实不相符的是（）A ．海水提溴过程中，用氯气氧化苦卤得到溴单质：--222Br +Cl Br +2Cl B ．用绿矾（42FeSO 7H O ⋅）将酸性工业废水中的2-27Cr O 转化为3+2+2-+3+3+272Cr :6Fe +Cr O +14H 6Fe +2Cr +7H OC ．用245% Na SO 溶液能有效除去误食的2+2-2+44Ba :SO +BaBaSO ↓D ．用23Na CO 溶液将水垢中的4CaSO 转化为溶于酸的3CaCO ：2+2-33Ca +CO CaCO ↓6．下列实验的对应操作中，不合理的是（）A ．用HCl 标准溶液滴定NaOH 溶液B ．稀释浓硫酸C ．从提纯后的NaCl 溶液获得NaCl 晶体D ．配制一定物质的量浓度的KCl 溶液A ．AB ．BC ．CD ．D7．硫酸是重要化工原料，工业生产制取硫酸的原理示意图如下。
2023年北京市高考数学真题及答案
2023年北京市高考数学真题及答案一、选择题1. 已知函数f(x)=2x+1，g(x)=3x-2，则f(g(3))的值为多少？A. 1B. 4C. 5D. 11答案：C2. 在平面直角坐标系中，点A(-3, 4)和B(1, -2)分别为线段AB的两个端点，求线段AB的中点坐标。
A. (-1, 1)B. (-2, 2)C. (2, -1)D. (0, 0)答案：A3. 若等式x²+ 5x + k = 0恰有两个相等实数根，则k的取值范围是？A. k > 5B. k ≥ 5C. k < 5D. k ≤ 5答案：D4. 设集合A = {x | -2 ≤ x < 3}，集合B = {x | x > 0}，则A ∪ B的取值范围是？A. (-2, 3)B. (-2, 0) ∪ (0, 3)C. (-2, 3]D. [-2, 3)答案：C5. 已知正整数a、b满足a² + b² = 280，且a < b，则a的最大可能值是多少？A. 8B. 12C. 16D. 20答案：C二、填空题1. 半径为5cm的圆形的面积是多少？答案：78.5 cm²2. 设实数集合A = {x | 2x + 3 > 0}，则A的取值范围是________。
答案：(-∞, -1.5)3. 已知函数f(x) = log₂x，若f(a) = 2，则实数a的值是________。
答案：4三、解答题1. 已知直线L的斜率为2/3，且L通过点(1, 2)，求直线L的方程。
解答：设直线L的方程为y = kx + b，其中斜率k = 2/3。
由已知直线L通过点(1, 2)，代入得2 = (2/3) * 1 + b，解方程得b = 4/3。
故直线L的方程为y = (2/3)x + 4/3。
2. 某班级共有40人，男生数是女生数的2倍，求男女生各有多少人？解答：设男生人数为x，女生人数为2x。
2024北京高考政治真题卷及答案
2024北京高考真题政治本试卷满分100分，考试时间90分钟。
第一部分一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．辛亥革命后，各种政治力量反复较量，中国共产党脱颖而出，团结带领人民夺取了新民主主义革命胜利，建立了人民当家作主的新中国。
新中国成立后，党领导人民召开人民代表大会，通过了一九五四年宪法，确立了人民代表大会制度。
75年来，我国社会生产力、综合国力、人民生活水平实现了历史性跨越。
下列分析正确的是（）①中国共产党深刻改变了中国人民和中华民族的前途命运②“五四宪法”以国家根本法的形式确认了中国人民掌握国家权力的历史变革③政治制度是推动社会历史发展的决定力量④美好生活是社会主义社会发展的直接动力A．①②B．①③C．②④D．③④2．基层是国家治理的末梢，是党和政府联系服务群众的“最后一公里”。
整治形式主义为基层减负，是一项重要政治任务。
身边有什么问题线索，对基层减负有哪些意见建议，都可以到“留言板”说说。
下列选项正确的是（）①公开征集问题线索和减负建议，坚持了群众观点与群众路线②直面基层工作难点，为基层减负，要以征集的意见建议作为行动出发点③理顺基层事务职责，要坚持问题导向，勇于面对矛盾，善于化解矛盾④形式是事物存在的基础，要坚持内容与形式的统一，以形式减量促服务增量A．①②B．①③C．②④D．③④3．将青山唤作“翠微”，“十里楼台倚翠微”；将信使唤作“鸿雁”，“鸿雁几时到，江湖秋水多”；将日月星辰唤作“曜灵”“望舒”“白榆”……天地万物，草木摇落，飞禽走兽，稚子鱼虫，多有其雅称，富有诗意。
这说明（）A．人们的精神世界归根到底是由语言文字塑造的B．雅称是人们想象出来的观念，是一种个体意识C．事物的美感来自于自然界本身，不以人的意志为转移D．雅称呈现了意境之美，蕴含着中华文化的丰富内涵4．每年春天和秋天，有数百万只鸟在迁徙途中经过北京。
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北京高考真题
北京2020年高考语文试题篇。
Ⅰ.完形填空（共15小题，每小题2分，满分30分）。
阅读下面短文，掌握其大意，然后从1~15各题所给的A、B、C和D
项中，选出最佳选项。
Li Ming was a student at an ordinary middle school. He was an 1 student, but he was not very popular.
One day, he found a small 2 lying on the street. He took it to the school teacher who was 3 in biology. The teacher found out that it was a 4 of a rare bird.
The teacher asked Li Ming to take care of the bird 5 she could observe it. Li Ming never said no and 6 him. He made a small cage for the bird with his own hands. He also 7 it milk and worms every day.
The bird soon 8 itself to Li Ming. It answered when he talked to it, flew around him and 9 him when he was sad.
The teacher was very 10 by Li Ming’s dedication. She asked him to write an essay about his 11 with the bird, which he did. She then gave him a 12 as the best student and everyone in the school began to like him.
Li Ming 13 a special friendship with the bird, and even when the bird flew away one day, he still 14 it with all his heart.
This 15 shows us that small things can have a great impact on our lives.
1. A. shy B. silent C. talkative D. careless。
2. A. bird B. cat C. dog D. mouse。
3. A. expert B. interested C. skilled D. curious。
4. A. family B. feather C. species D. egg。
5. A. so that B. as if C. even though D. in case。
6. A. respected B. helped C. ignored D. teased。
7. A. took B. offered C. threw D. bought。
8. A. adapted B. accepted C. recognized D. attached。
10. A. surprised B. disappointed C. moved D. amused。
11. A. conflict B. encounter C. adventure D. experience。
12. A. reward B. medal C. award D. prize。
13. A. shared B. built C. created D. broke。
14. A. liked B. remembered C. respected D. forgot。
15. A. story B. passage C. poem D. novel。