组合数学卢开澄课后习题答案

组合数学卢开澄课后习题答案

组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。第一章：集合与命题逻辑

1.1 集合及其运算

习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。

习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。

答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。综上所述，B=C。

1.2 命题逻辑

习题1：将下列命题用命题变元表示：

（1）如果今天下雨，那么我就带伞。

（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。

答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。

（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为

P∨Q。

习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：

（1）(P∨Q)→(P∧Q)

（2）(P→Q)∧(Q→P)

答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。

（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。

第二章：排列与组合

2.1 排列

习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。

习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？

答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。

2.2 组合

习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。

答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。

习题2：证明组合恒等式C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。

答案：根据二项式定理可得(1+1)^n=2^n，展开后可得

C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n，因此组合恒等式成立。

通过以上习题的解答，我们可以巩固和加深对组合数学的理解。组合数学在实际应用中有着重要的作用，例如在密码学中，组合数学的知识可以用于设计安全的密码算法；在计算机科学中，组合数学的知识可以用于解决图论、优化等问题。希望大家在学习组合数学的过程中能够坚持做习题，提高自己的解题能力和应用能力。