确界原理的数学分析证明

用确界原理证明柯西收敛准则

用确界原理证明柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛的一个重要准则，它是由法国数学家柯西所提出的。

它的表述是：如果数列 ${a_n}$ 满足对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n,m>N$ 时，有 $|a_n-a_m|<varepsilon$，则称数列 ${a_n}$ 是柯西收敛的，或者称其为基本收敛的。

柯西收敛准则是收敛概念的一种等价表述，其证明可以通过极限的定义或确界原理等多种方式进行。

本文将以确界原理为基础，详细阐述柯西收敛准则的证明过程。

二、确界原理在证明柯西收敛准则之前，我们先来介绍一下确界原理。

确界原理是数学分析中的一个基本原理，它是指：非空有上界的实数集合必有上确界，非空有下界的实数集合必有下确界。

具体来说，如果实数集合 $S$ 非空且有上界，则存在一个实数$M$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xleq M$；这个实数 $M$ 被称为 $S$ 的上确界。

类似地，如果实数集合 $S$ 非空且有下界，则存在一个实数 $m$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xgeq m$；这个实数 $m$ 被称为 $S$ 的下确界。

在数学证明中，确界原理常常被用来证明一些重要定理，例如最大值定理、中值定理等。

三、柯西收敛准则的证明在进行柯西收敛准则的证明之前，我们先来说明一个引理：引理1：若数列 ${a_n}$ 满足对于任意 $nin mathbb{N}$，都有 $a_nleq a_{n+1}$，则 ${a_n}$ 收敛当且仅当 ${a_n}$ 有上界。

证明：设 ${a_n}$ 收敛于 $a$，则对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|a_n-a|<varepsilon$。

因为 $a_nleq a_{n+1}$，所以 $a_Nleqa_{N+1}leq cdots leq a_nleq a$。

六大定理互相证明总结

六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院数学与应用数学专业班级指导老师 XXX摘要在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理证明：设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b .显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞→n n n a b ∴βα=即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界{}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y .由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理2.1 单调有界原理单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明；⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列.于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞→lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞→lim 也存在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有n n k n n k b b a a ∞→∞→≥≤lim ,lim （*）由定理的另一条件： ()0lim =-∞→n n n a b ，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存在，则有()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b .从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：ξ是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 n k b a ≤≤ξ（3,2,1=k …）也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是所有区间的唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另外一个公共点'ξ，且ξξ≠'.由于n n b a ≤≤',ξξ（3,2,1=n …），故有ξξ-≥-'n n a b （3,2,1=n …）由数列极限的性质知道：()ξξ-≥-∞→'lim n n n a b由于()0lim =-∞→n n n a b ，故有0'≤-ξξ从而有ξξ='.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理3.1 区间套定理设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b ，则区间的端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理证明：设数列{}n x 递增有上界.取闭区间[]11,b a ，使1a 不是数列{}n x 的上界，1b 是数列{}n x 的上界.显然在闭区间[]11,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]11,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项. 对分[]11,b a ，取[]22,b a ，使其具有[]11,b a 的性质.故在闭区间[]22,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]22,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项.以此方法，得区间列{[,n a ]n b }.由区间套定理，ξ是所有区间的唯一公共点.显然，在ξ的任何邻域内有数列{}n x 的无穷多项，即ε∀＞0，∃*N N ∈，当n ＞N 时，有ξ-n x ＜ε. 所以ξ=∞→n n x lim 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理[1]证明：设{}n y 为有界数列，即存在两个数b a ,，使b y a n ≤≤.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个区间含有{}n y 中的无穷个数.把这个区间记为[]11,b a ，如果两个区间都含有无穷个n y ，则任取其一作为[]11,b a .再等分区间[]11,b a 为两半，记含有无穷个n y 的区间为[]22,b a .这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列{[,n a ]n b }，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）[][][]⊃⊃⊃2211,,,b a b a b a … （2）02→-=-nn n ab a b 于是由区间套定理，必存在唯一点[]b a ,∈ξ使ξξ→→n n b a ,，且[]k k b a ,∈ξ（3,2,1=k …）.每一[]k k b a ,中均含有{}n y 的无穷个元素.在[]11,b a 中任取{}n y 的一项，记为1n y ，即{}n y 的第1n 项.由于[]22,b a 也含有无穷个n y ，则它必含有1n y 以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2n y ，则1n ＜2n .继续在每一[]k k b a ,中都这样取出一个数k n y ，即得{}n y 的一个子列{}k n y ，其中1n ＜2n ＜…＜k n ＜…，且k n k b y a k ≤≤.令∞→k ，由于,,ξξ→→k k b a 故ξ→k n y .这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设{}n x 单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列{}k n x . 令a x k n k =∞→lim .于是，对ε∀＞0，∃0k ，当k ＞0k 时，有a x k n -＜ε （*）由于{}n x 单调递增，显然恒有a x n ≤（3,2,1=n …）. 由此（*）式可改成0k n x a -≤＜ε （k ＞0k ）取0k n N =，当n ＞N 时有 k n n x a x a -≤-≤0＜ε 所以 a x n n =∞→lim4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：设a x n →，则对任意给定ε＞0，有一正整数N ，当k ＞N 时，有 a x k -＜2ε从而当n m ,＞N 时，有m n m n x a a x x x -+-≤-＜2ε+2ε=ε 其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取ε=1，必有一正整数0N ，当n m ,＞0N 时，有m n x x -＜1特别地，当n ＞0N 且10+=N m 时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ＞0N 时，有 1100+++-≤N N n n x x x x ＜1+10+N x这就证明了{}n x 的有界性.由致密性定理，必有收敛子列{}k n x ，设a x k n k =∞→lim .根据子列收敛定义，对任意给定的ε＞0，必有正整数K ，当k ＞K 时，有 a x n -＜ε取一正整数()1,1m ax 0++=N K k .于是0k ＞K ，且11+≥≥+N n n N k o ＞N .因此，当n ＞N 时，由已知条件有0k n n x x -＜ε，所以a x x x a x k k n n n n -+-≤-00＜ε+ε=2ε即 a x n n =∞→lim5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：对任意给定的ε＞0，有正整数N ，当m , n ＞N 时，有m n x x -＜ε. 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设{}n x 为一递增且有上界M 的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是ε∃＞0，对*N N ∈∀，当n m ,＞N 时，有 m n x x -ε≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x . 又由于数列{}n x 为一递增的数列，所以1212n n n n x x x x -=-1≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当32,n n ＞1N 时，有123≥-n n x x 取1=ε，必有一正整数1N ，当43,n n ＞1N 时，有134≥-n n x x …………… …………… …………… 取1=ε，必有一正整数1N ，当1,+k k n n ＞1N 时，有11≥-+k k n n x x 将以上式子相加，得11+≥+k x k n ∞→ （∞→k ）与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设{}n x 为一有上界M 的数列. 假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则ε∃＞0，对*N N ∈∀，当k k n n ,1+＞N 时，有ε≥-+k k n n x x 1. 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x 取2=ε，必有一正整数2N ，当32,n n ＞2N 时，有223≥-n n x x 取3=ε，必有一正整数3N ，当43,n n ＞3N 时，有334≥-n n x x…………… …………… …………… 取k =ε，必有一正整数k N ，当1,+k k n n ＞k N 时，有k x x k k n n ≥-+1 显然与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理若开区间所组成的区间集E 覆盖一个闭区间[a ,b ],则总可以从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a ,b ]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间E ⊂R ，∀x ∈E ,有x ≤M ,任取一点0x ∈E ，假设E 无上确界，那么∀x ∈[0x ,M ]:ⅰ)当x 为E 的上界时，必有更小的上界1x ＜x ,因而x 存在一开邻域∆x ，其中每一点均为E 的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当x 不是E 的上界时，则有2x ∈E 使2x ＞x ,那么x 存在一开邻域∆x ，其中每点均不是E 的上界，称其为第二类区间.∴ 当x 取遍[0x ,M ]上每一点找出一个邻域∆x .显然∆x 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[0x ,M ]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[0x ,M ].显然M 所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间∆x 有公共点.所以∀x ∈∆x ，x 均为E 的上界.而与∆x 相邻接的开区间∆'x 有公共点，所以∀x ∈∆'x ，x 均为E 的上界. 依此类推，0x 所在的开区间也是第一类区间，则0x 为E 的上界. 又 0x E ∈，∴E 为常数集.由此矛盾引出. 得证.同理，E 有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设{}n x 是一有界数列，现在证明{}n x 有收敛子列.（1）如果{}n x 仅由有限个数组成，那么至少有一个数ξ要重复无限多次，即ξ===21n n x x …==kn x … 因而子列{}kn x 收敛于ξ.（2）如果{}n x 是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间[]b a ,，使对一切自然数n 都有a ＜n x ＜b在[]b a ,内至少存在一点0x ，使对于任意的正数δ，在()δδ+-00,x x 内都含有{}n x 中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于[]b a ,中每一点x ，都有x δ＞0，在()x x x x δδ+-,内，仅有{}n x 中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：{=μ(,x x δ-)x x δ+}，μ完全覆盖了闭区间[]b a ,，依有限覆盖定理，存在μ中的有限多个区间.()11111,x x x x δδ+-=∆，…，()n n x n x n n x x δδ+-=∆,，他们也覆盖了[]b a ,，并且在每一个i ∆（,2,1=i …,n ）中都只含{}n x 中的有限多个数.因此{}n x 也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾. 于是，对于k δ=k1（,3,2,1=k …），于()k k x x δδ+-00,内取{}n x 中无穷多个点，就得到{}n x 的子列{}k n x 满足：0x x k n -＜kk 1=δ（,3,2,1=k …）从而∞→k lim 01x x n =得证.总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX 老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：[1] 陈传璋金福临朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7。

确界不等式的证明方法

确界不等式的证明方法
确界不等式是数学分析中一种重要的不等式，它影响着许多重要分析问题。

证明确界
不等式时，需要应用下列六个步骤：
一、明确涉及的函数
要证明确界不等式，首先要明确该确界不等式中涉及的函数。

二、估计函数的界限
估计函数的界限时，需要讨论有关的条件空间和最大最小值。

从空间的角度考虑，
通过合理估计其定义域、值域，选取函数的有效区域又该空间的连续性来估计该函数的界，其中，积分定理也可以用于估计函数的界限。

三、定义变量和函数
在证明确界不等式时，需要定义变量和函数，用来描述该不等式。

四、建立数学模型
建立数学模型时，可以通过熟悉的方法建立简单的模型，并加以修正和完善，使得模
型能够更好地反映不等式中的实际情况。

从模型的思想出发，运用数学变量，将不等式的结果表示成凸组合形式的一个数学函
数形式。

六、证明不等式
最后，通过合理的变换、矩阵乘法，建立数学关系，就可以证明确界不等式成立。

以上是证明确界不等式的具体步骤，要想证明成功还需对函数的特性及边界处理等细
节进行正确把握，因此，证明确界不等式是一个需要不断深入思考的过程。

《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明

《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。

实数完备性是指实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。

实数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。

下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。

第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。

它的表述是：有上界的非空实数集必有上确界。

证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。

接下来我们来证明M是S的上确界。

首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。

其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元素s∈S，使得M-ε<s≤M。

这两点都可以使用导致上确界的性质来证明。

因此，我们证明了确界定理。

第二个定理是区间套定理。

它的表述是：若{[an,bn]}是一个递减的闭区间序列，并且满足an≤bn，则存在一个唯一的实数x同时含于所有闭区间[an,bn]中。

证明如下：首先，我们证明了区间套的任意两个闭区间之间的交集不为空。

其次，我们证明了{an}是一个递增有上界的实数序列，{bn}是一个递减有下界的实数序列。

因此，根据实数完备性的定义，存在唯一的实数x满足an≤x≤bn，即x属于所有闭区间的交集。

第三个定理是柯西收敛准则。

它的表述是：一个实数序列是收敛的充分必要条件是它满足柯西收敛准则，即对于任意ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，有，am-an，<ε。

证明如下：首先，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的有界性。

其次，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的单调性。

因此，根据实数完备性的定义，实数序列的柯西收敛准则是实数序列收敛的充分必要条件。

第四个定理是实数域的离散性。

它的表述是：任意两个实数之间必存在有理数和无理数。

证明如下：假设a和b是两个实数，并且a<b。

数集确界原理

数集确界原理数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。

在数学分析中，确界原理是指对于有上（下）界的非空实数集合必存在最小（大）上（下）确界。

这一原理在实际问题中有着重要的意义，下面我们将深入探讨数集确界原理及其应用。

首先，我们来了解一下数集的上确界和下确界。

对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M，那么M就是A的上确界，记作supA。

类似地，如果存在一个实数m，使得对于A中的任意元素x，都有x≥m，那么m就是A的下确界，记作infA。

上确界和下确界是数学分析中非常重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。

数集确界原理指出，对于有上（下）界的非空实数集合，必存在最小（大）上（下）确界。

这一原理在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，对于某种商品的价格集合，我们可以通过确界原理得到最低价和最高价，这对于市场分析和决策具有重要意义。

在工程学中，对于某种材料的强度集合，我们可以通过确界原理得到最小强度和最大强度，这对于设计和生产具有重要意义。

在物理学中，对于某种物理量的测量结果集合，我们可以通过确界原理得到最小值和最大值，这对于实验结果的分析具有重要意义。

除了在实际问题中的应用，数集确界原理在数学分析中也有着重要的理论意义。

它为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。

通过确界原理，我们可以证明实数集合的某些性质，例如实数集合的稠密性、实数集合的有界性等。

这些性质对于实数集合的理论研究和应用具有重要意义。

总之，数集确界原理是数学分析中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用，并且为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。

通过对数集确界原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解和运用实数集合的性质，为实际问题的分析和解决提供重要的理论支持。

希望本文对读者对数集确界原理有所帮助，谢谢阅读。

确界原理的证明

确界原理的证明确界原理是指在一定条件下，一个有上界的非空实数集必有上确界。

这一原理在数学分析中具有重要的地位，对于实数的性质有着深远的影响。

下面，我们将从数学的角度出发，对确界原理进行证明。

首先，我们来定义一下确界的概念。

对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M成立，那么M就是A的上界。

而A的上确界，是指A的上界中最小的那个实数，即如果存在一个实数M，对于A中的任意元素x，都有x≤M成立，并且对于任意小于M的正实数ε，都存在A中的元素a，使得M-ε<a≤M成立，那么M就是A的上确界。

接下来，我们将证明确界原理。

假设A是一个非空的实数集合，且A有上界。

我们需要证明A有上确界。

首先，我们来证明A的上确界存在。

由于A有上界，所以A的上界的集合非空。

我们可以定义B为A的上界的集合，即B={x∈R|对于A中的任意元素a，都有a≤x成立}。

由于B非空且有上界，根据实数的完备性公理，B必有上确界，我们将其记为M。

接下来，我们需要证明M是A的上确界。

首先，对于A中的任意元素a，都有a≤M成立，因此M是A的上界。

其次，对于任意小于M的正实数ε，我们需要证明存在A中的元素a，使得M-ε<a≤M成立。

假设不存在这样的元素a，即对于任意M-ε<a≤M，都有a不属于A。

这意味着M-ε是A的上界，但这与M是A的上确界相矛盾。

因此，存在A中的元素a，使得M-ε<a≤M成立。

综上所述，我们证明了A的上确界存在，并且M是A的上确界。

因此，确界原理得证。

通过以上证明，我们可以得出结论，在一定条件下，一个有上界的非空实数集必有上确界。

确界原理在实数的性质中具有重要的地位，对于数学分析有着深远的影响。

这一原理的证明，不仅在理论上具有重要意义，也为实际问题的解决提供了重要的数学工具。

在数学分析中，确界原理的应用十分广泛，例如在实数序列的收敛性证明、连续函数的最值存在性证明等方面都有着重要的作用。

六大定理互相证明总结

六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院数学与应用数学专业班级指导老师 XXX摘要在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理证明：设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b .显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞→n n n a b ∴βα=即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界{}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y .由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理2.1 单调有界原理单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明；⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列.于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞→lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞→lim 也存在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有n n k n n k b b a a ∞→∞→≥≤lim ,lim （*）由定理的另一条件： ()0lim =-∞→n n n a b ，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存在，则有()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b .从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：ξ是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 n k b a ≤≤ξ（3,2,1=k …）也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是所有区间的唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另外一个公共点'ξ，且ξξ≠'.由于n n b a ≤≤',ξξ（3,2,1=n …），故有ξξ-≥-'n n a b （3,2,1=n …）由数列极限的性质知道：()ξξ-≥-∞→'lim n n n a b由于()0lim =-∞→n n n a b ，故有0'≤-ξξ从而有ξξ='.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理3.1 区间套定理设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b ，则区间的端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理证明：设数列{}n x 递增有上界.取闭区间[]11,b a ，使1a 不是数列{}n x 的上界，1b 是数列{}n x 的上界.显然在闭区间[]11,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]11,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项. 对分[]11,b a ，取[]22,b a ，使其具有[]11,b a 的性质.故在闭区间[]22,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]22,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项.以此方法，得区间列{[,n a ]n b }.由区间套定理，ξ是所有区间的唯一公共点.显然，在ξ的任何邻域内有数列{}n x 的无穷多项，即ε∀＞0，∃*N N ∈，当n ＞N 时，有ξ-n x ＜ε. 所以ξ=∞→n n x lim 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理[1]证明：设{}n y 为有界数列，即存在两个数b a ,，使b y a n ≤≤.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个区间含有{}n y 中的无穷个数.把这个区间记为[]11,b a ，如果两个区间都含有无穷个n y ，则任取其一作为[]11,b a .再等分区间[]11,b a 为两半，记含有无穷个n y 的区间为[]22,b a .这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列{[,n a ]n b }，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）[][][]⊃⊃⊃2211,,,b a b a b a … （2）02→-=-nn n ab a b 于是由区间套定理，必存在唯一点[]b a ,∈ξ使ξξ→→n n b a ,，且[]k k b a ,∈ξ（3,2,1=k …）.每一[]k k b a ,中均含有{}n y 的无穷个元素.在[]11,b a 中任取{}n y 的一项，记为1n y ，即{}n y 的第1n 项.由于[]22,b a 也含有无穷个n y ，则它必含有1n y 以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2n y ，则1n ＜2n .继续在每一[]k k b a ,中都这样取出一个数k n y ，即得{}n y 的一个子列{}k n y ，其中1n ＜2n ＜…＜k n ＜…，且k n k b y a k ≤≤.令∞→k ，由于,,ξξ→→k k b a 故ξ→k n y .这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设{}n x 单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列{}k n x . 令a x k n k =∞→lim .于是，对ε∀＞0，∃0k ，当k ＞0k 时，有a x k n -＜ε （*）由于{}n x 单调递增，显然恒有a x n ≤（3,2,1=n …）. 由此（*）式可改成0k n x a -≤＜ε （k ＞0k ）取0k n N =，当n ＞N 时有 k n n x a x a -≤-≤0＜ε 所以 a x n n =∞→lim4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：设a x n →，则对任意给定ε＞0，有一正整数N ，当k ＞N 时，有 a x k -＜2ε从而当n m ,＞N 时，有m n m n x a a x x x -+-≤-＜2ε+2ε=ε 其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取ε=1，必有一正整数0N ，当n m ,＞0N 时，有m n x x -＜1特别地，当n ＞0N 且10+=N m 时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ＞0N 时，有 1100+++-≤N N n n x x x x ＜1+10+N x这就证明了{}n x 的有界性.由致密性定理，必有收敛子列{}k n x ，设a x k n k =∞→lim .根据子列收敛定义，对任意给定的ε＞0，必有正整数K ，当k ＞K 时，有 a x n -＜ε取一正整数()1,1m ax 0++=N K k .于是0k ＞K ，且11+≥≥+N n n N k o ＞N .因此，当n ＞N 时，由已知条件有0k n n x x -＜ε，所以a x x x a x k k n n n n -+-≤-00＜ε+ε=2ε即 a x n n =∞→lim5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：对任意给定的ε＞0，有正整数N ，当m , n ＞N 时，有m n x x -＜ε. 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设{}n x 为一递增且有上界M 的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是ε∃＞0，对*N N ∈∀，当n m ,＞N 时，有 m n x x -ε≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x . 又由于数列{}n x 为一递增的数列，所以1212n n n n x x x x -=-1≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当32,n n ＞1N 时，有123≥-n n x x 取1=ε，必有一正整数1N ，当43,n n ＞1N 时，有134≥-n n x x …………… …………… …………… 取1=ε，必有一正整数1N ，当1,+k k n n ＞1N 时，有11≥-+k k n n x x 将以上式子相加，得11+≥+k x k n ∞→ （∞→k ）与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设{}n x 为一有上界M 的数列. 假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则ε∃＞0，对*N N ∈∀，当k k n n ,1+＞N 时，有ε≥-+k k n n x x 1. 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x 取2=ε，必有一正整数2N ，当32,n n ＞2N 时，有223≥-n n x x 取3=ε，必有一正整数3N ，当43,n n ＞3N 时，有334≥-n n x x…………… …………… …………… 取k =ε，必有一正整数k N ，当1,+k k n n ＞k N 时，有k x x k k n n ≥-+1 显然与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理若开区间所组成的区间集E 覆盖一个闭区间[a ,b ],则总可以从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a ,b ]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间E ⊂R ，∀x ∈E ,有x ≤M ,任取一点0x ∈E ，假设E 无上确界，那么∀x ∈[0x ,M ]:ⅰ)当x 为E 的上界时，必有更小的上界1x ＜x ,因而x 存在一开邻域∆x ，其中每一点均为E 的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当x 不是E 的上界时，则有2x ∈E 使2x ＞x ,那么x 存在一开邻域∆x ，其中每点均不是E 的上界，称其为第二类区间.∴ 当x 取遍[0x ,M ]上每一点找出一个邻域∆x .显然∆x 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[0x ,M ]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[0x ,M ].显然M 所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间∆x 有公共点.所以∀x ∈∆x ，x 均为E 的上界.而与∆x 相邻接的开区间∆'x 有公共点，所以∀x ∈∆'x ，x 均为E 的上界. 依此类推，0x 所在的开区间也是第一类区间，则0x 为E 的上界. 又 0x E ∈，∴E 为常数集.由此矛盾引出. 得证.同理，E 有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设{}n x 是一有界数列，现在证明{}n x 有收敛子列.（1）如果{}n x 仅由有限个数组成，那么至少有一个数ξ要重复无限多次，即ξ===21n n x x …==kn x … 因而子列{}kn x 收敛于ξ.（2）如果{}n x 是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间[]b a ,，使对一切自然数n 都有a ＜n x ＜b在[]b a ,内至少存在一点0x ，使对于任意的正数δ，在()δδ+-00,x x 内都含有{}n x 中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于[]b a ,中每一点x ，都有x δ＞0，在()x x x x δδ+-,内，仅有{}n x 中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：{=μ(,x x δ-)x x δ+}，μ完全覆盖了闭区间[]b a ,，依有限覆盖定理，存在μ中的有限多个区间.()11111,x x x x δδ+-=∆，…，()n n x n x n n x x δδ+-=∆,，他们也覆盖了[]b a ,，并且在每一个i ∆（,2,1=i …,n ）中都只含{}n x 中的有限多个数.因此{}n x 也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾. 于是，对于k δ=k1（,3,2,1=k …），于()k k x x δδ+-00,内取{}n x 中无穷多个点，就得到{}n x 的子列{}k n x 满足：0x x k n -＜kk 1=δ（,3,2,1=k …）从而∞→k lim 01x x n =得证.总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX 老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：[1] 陈传璋金福临朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7。

利用确界原理证明阿基米德定理

利用确界原理证明阿基米德定理阿基米德定理，也称为浮力定律，它指出浸没在流体中的物体所受到的浮力等于物体排除的流体的重量。

阿基米德定理可以通过确界原理进行证明。

确界原理是数学分析中的一种常用方法，它基于物理学原理，通过对一个系统的性质进行界定，从而进行演绎推理。

下面我将详细说明如何利用确界原理证明阿基米德定理。

首先，我们先给出阿基米德定理的数学表达式：在流体中浸没的物体受到的浮力等于其排除流体的重量：F_b = ρfgV其中，F_b表示浸没物体的浮力，ρf表示流体的密度，g表示重力加速度，V表示浸没物体排除流体的体积。

现在，我们来利用确界原理证明这个定理。

首先，我们将物体的浸没过程划分为n个微小的堆积过程。

对于每个堆积过程，我们令M表示浸没物体与流体接触的面积，将M划分为n个微小区域Mi。

且每个微小区域的面积都可以用dA(i)表示。

假设F_c表示在上述划分中第k个微小区域Mi出现时，堆积物体受到的浮力，F_d表示在上述划分中第k个微小区域Mi离开时，堆积物体受到的浮力。

根据阿基米德定理，我们有F_c = ρfgdV(i)，其中dV(i)表示第k 个微小区域Mi的体积。

因此，我们可以得到：F_c = ρf(gdV(i))。

结合堆积过程，我们可以得到堆积过程中物体所受到的浮力之和：F_d = F_c1 + F_c2 + ... + F_ck。

在每个微小区域离开时，它所受到的浮力F_dk可以表示为：F_dk = ρf(gdV(i)) = (ρf/g)(g⋅dV(i)) = (ρf/g)(g⋅Mi⋅dA(i))。

根据确界原理，对于每个堆积过程，在Mi的定界曲线C上，满足如下不等式：F_dk - F_c ≤ 0。

将以上表达式代入上述不等式，我们可以得到：(ρf/g)(g⋅Mi⋅dA(i)) - ρf(gdV(i)) ≤ 0。

化简以上不等式，我们可以得到：ρfMi⋅dA(i) - ρfdV(i) ≤ 0。

对于每个微小区域，我们可以得到：ρfMi⋅dA(i) ≤ ρfdV(i)。

数学分析1.2数集与确界原理

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

区间套证明确界原理

区间套证明确界原理引言：在数学中，区间套证明确界原理是一种常用的证明方法，用于证明实数集合中存在唯一的确界。

该原理可以帮助我们确定数集的上界和下界，从而更好地理解数学问题的性质和特点。

本文将详细介绍区间套证明确界原理的定义、原理和应用。

一、区间套的定义在数学中，区间是指由两个实数端点构成的集合。

设有一系列区间{[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...}，满足以下条件：1. 对于任意的正整数n，区间[a_n, b_n]包含在区间[a_(n+1), b_(n+1)]中，即[a_n, b_n]⊆[a_(n+1), b_(n+1)]；2. 区间的长度逐渐减小，即对于任意的正整数n，有b_n - a_n >= b_(n+1) - a_(n+1)。

二、区间套证明确界原理的原理区间套证明确界原理是基于一种递推的思想。

假设存在一个实数集合，这个集合的每个元素都是一系列区间的交集。

如果这些区间满足区间套的定义，那么这个实数集合必定存在唯一的上界和下界。

三、区间套证明确界原理的证明1. 首先，根据区间套的定义，我们可以得到以下结论：- 对于任意的正整数n，区间[a_n, b_n]包含在区间[a_(n+1),b_(n+1)]中；- 区间的长度逐渐减小。

2. 接下来，我们要证明这个实数集合存在上界和下界。

根据区间套的定义，我们可以得到以下结论：- 对于任意的正整数n，a_n <= a_(n+1)，即区间的左端点逐渐增大；- 对于任意的正整数n，b_n >= b_(n+1)，即区间的右端点逐渐减小。

3. 基于以上结论，我们可以得到以下两个结论：- a_n是一个递增数列，存在上界；- b_n是一个递减数列，存在下界。

4. 根据实数的完备性定理，递增数列存在上确界，递减数列存在下确界。

5. 接下来，我们要证明这个实数集合的上确界和下确界是唯一的。

假设存在两个上确界c和d，其中c < d。

数集确界原理

数集确界原理
数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。

在数学分析中，确界原理是指有界数集必有上确界和下确界。

下面我们将详细介绍数集确界原理及其应用。

首先，我们来解释一下什么是数集的上确界和下确界。

对于一个有限的数集，
如果存在一个实数M，使得数集中的所有元素都小于等于M，那么M就是这个数
集的上确界。

同理，如果存在一个实数m，使得数集中的所有元素都大于等于m，那么m就是这个数集的下确界。

接下来，我们来讨论数集确界原理的应用。

首先，确界原理常常用于证明数列
的收敛性。

通过找到数列的上确界和下确界，我们可以判断数列是否有极限，从而得出数列的收敛性。

其次，确界原理也常用于解决最优化问题。

在最优化问题中，我们常常需要找到一个数集的上确界或下确界，从而得出最优解。

此外，确界原理还在实数的连续性和完备性证明中有着重要的应用。

在实际问题中，数集确界原理也有着广泛的应用。

比如在金融领域，确界原理
常用于证明利率的收敛性和最优投资组合的选择；在工程领域，确界原理常用于优化设计和资源分配等问题；在物理学中，确界原理也有着重要的应用，比如在能量的最优分配和系统的稳定性分析等方面。

总之，数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它不仅在理论研究中有着
重要的地位，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

通过深入理解数集确界原理，我们可以更好地理解数学中的各种问题，并且能够更好地应用数学知识解决实际问题。

希望本文对读者能够有所帮助，谢谢阅读！。

用柯西收敛准则证明确界原理

用柯西收敛准则证明确界原理用柯西收敛准则证明确界原理什么是确界原理•确界原理是数学中的一个基本原理，也被称为上确界原理或最大元原理。

在实际问题中，确界原理常常用于证明数列或函数的存在性及性质。

什么是柯西收敛准则•柯西收敛准则是数学分析中用于判断数列的收敛性的一种方法。

根据柯西收敛准则，如果对于任意给定的正数ε，序列的后续项差的绝对值小于ε时，我们可以说这个序列是收敛的。

如何用柯西收敛准则证明确界原理1.首先，让我们考虑一个数列{a_n}，假设它是一个有上界的数列。

2.我们借助确界原理来证明这个数列必然存在一个上确界。

3.根据确界原理，我们需要证明数列的上确界是存在的、唯一的。

4.为了证明数列的上确界存在，我们需要使用柯西收敛准则。

5.根据柯西收敛准则，我们需要证明对于任意给定的正数ε，数列的后续项差的绝对值小于ε。

6.我们可以假设存在一个正数ε，使得数列的后续项差的绝对值大于等于ε，即|a_m - a_n| >= ε，其中m、n为自然数且m > n。

7.由于数列有上界，所以存在一个上确界M，使得M >= a_n对于所有的n。

8.考虑数列的后续项差a_m - a_n，由于数列有上确界，所以存在一个N，使得a_N >= M - ε。

9.由于a_N >= M - ε，所以a_m >= a_N，即a_m >= M - ε。

10.综合前两步得到的不等式，我们可以得到a_m - a_n >= (M - ε)- a_n。

11.由于|a_m - a_n| >= ε，所以(M - ε) - a_n >= ε，即M -2ε >= a_n。

12.这与M >= a_n矛盾，因此假设不成立。

13.因此，对于任意给定的正数ε，数列的后续项差的绝对值小于ε，即数列满足柯西收敛准则。

14.根据柯西收敛准则，数列是收敛的。

15.则存在一个上确界M，即数列的确界是存在的。

§2--数集-·-确界原理--数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<点的空心邻域； (;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域； (;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域； (;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域； (;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；. ； max :S S 数集的最大值min:S S 数集的最小值后退前进目录退出定义1 有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即即即[]102[]1,M x M M +=>+>取证取 L = 1, {2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1 例2 2+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证 2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故 S 有下界. 因此 S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2 注1 由定义,下确界是最大的下界.注4 (ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明是的一个上界, S η比小的数都不是的上界,从而是最小的上界 S ηη界, 条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证先证 sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明.0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的存在性, 不一定有最小值, 例如 (0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4 .inf sup B A ≤且证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意证由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤ y . 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A ≤inf B.一数 x 都是 B 的下界.因此由确界原理, A 有上确这样, sup A 又是 B 的一个下界,例5 ,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证 ,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有 ,sup S x ≤于是 .sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使 ,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且 ,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中 ,S x ∈必有 ,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在 ,0S x ∈使 0sup ,x S ε'>-因此 0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界. .sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集 1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证设 sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是 0001,.y B y x ε=∈<且因此 inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若 inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否 3. 在上确界的定义中， 00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为 00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为 00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。

数学分析1.2数集与确界原理

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明

实数完备性的证明第一部分七个定理的证明1.单调有界定理→区间套定理证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n limna = r ，同理可知{n b }存在极限，设∞→n lim n b =r ' ，由∞→n lim （nna b-）=0得r r '-=0即r r '=∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。

下面证明唯一性。

用反证法。

如果不然。

则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，令221'r r r +=显然2'1r r r <<⇒A r ∈'，B r ∈'，这与B A |是R 的一个分划矛盾。

唯一性得证。

定理证完。

2.区间套定理→确界定理证明：由数集A 非空，知∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ，b ]，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a+是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[1a ，211b a+]；如果211b a+不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[211b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点222b a+二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，便得区间套[na ，nb ]。

其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。

由区间套定理可得，∃唯一的 ∞=∈1],[n n nb ar ，使∞→n lim n a =∞→n limn b = r 。

A x ∈∀，由≤x n b （n=1，2，……），令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r是A 的上界。

关于确界性质的讨论2

关于确界性质的讨论岳俊瑞黄小琳（安康学院数学系陕西安康 725000）摘要：在集合内讨论确界与最值的关系,并用它解决有关问题,研究数集四则运算后集合的确界的性质,以及讨论在数列中确界与极值的关系. 关键字：确界；最大值；最小值一.确界的概念上确界的定义:S 是集合,η是常数,η是S 的最小上界,称η是S 的上确界.记为{}x S Sx ∈==sup sup η⇔①对η≤∈∀x S x ,；②对ηεηε≤<∈∃>∀00-,0x S x 使得，.下确界的定义:S 是集合,ξ是常数,ξ是S 的最大下界,称ξ是S 的下确界.记为{}x S Sx ∈==inf inf ξ⇔①对ξ≥∈∀x S x ,；②对εξξε+<≤∈∃>∀00,,0x S x 使得.确界原理:设S 为非空数集,若S 有上界,则S 必有上确界;若S 有下界,则S 必有下确界. 二．确界的性质关于数集的确界，一般的数学分析教材主要讨论一个集合的确界情形，比如什么样的集合存在确界，确界在存在情况下有哪些性质等，在这里我们讨论了一下确界与最值之间的关系，有助于大家对确界的理解. 1.确界与最值的关系.1.1当集合S 存在上、下确界时,最大值、最小值不一定存.例如：对于(){}内的有理数为区间1,0|X X S =，有1s u p=S ,0inf =S ,但是该集合并不能取到最大值与最小值。

1.2当集合存在最大值(最小值)时,则上(下)确界一定存在且等于最大值(最小值).例如：对于[]1,0=S ，有1sup =S ,0inf =S ,该集合的最大值与最小值也分别是1,0。

1.3当集合存在上确界（下确界）且上确界（下确界）包含在这个集合中,则这个集合有最大值（最小值）,其值就为上确界..此性质也可转述为:minS.infS (2)maxS,S supS )1(=⇒==⇒∈=ξξηη 证明:()1设,sup S S ∈=η则对一切S x ∈有η≤x ,而S ∈η,故η是数集S 中最大的数,即S max =η.()2设,inf S S ∈=ξ则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ.例如:对于{}2|2≤=x x S ,因22≤x ,等价于22≤≤-x ,即有2m a x s u p ==S ,2min inf -==S .有界性是函数的一个重要特点,但并不是所有的函数都具有该性质,为了加强对有界性的理解,我们应该熟悉掌握一些关于有界性的性质.以下介绍了它的几个简单性质.2.函数在四则运算法则下确界的性质2.1.设f 、g 为定义在D 上的有界函数,满足()()x g x f ≤,D x ∈. 则)1(()()()()x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈≤≤inf inf )2(;sup sup证明:()1记()x g Dx ∈=sup η,则对任意D x ∈有,()η≤x g ,又因)()x g x f ≤,所以()()η≤≤x g x f .因此η是()x f 的上界,而()x f Dx ∈sup 是()x f 的最小上界,故()≤∈x f Dx sup )x g Dx ∈=sup η.()2同理可证.2.2.()()则上的有界函数为设,,D x g x f()()()(){}()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈∈∈∈+≤+≤+≤+sup sup sup infinfinf inf证明:[思路分析]下确界仍是下界且下界之和仍为和的下界.()()()()D x x g x f x g x f Dx Dx ∈+≤+∈∈,inf inf .即()()x g x f Dx Dx ∈∈+inf inf 是()()x g x f +在D 上的一个下界.由下确界的定义,另一方面，由下确界的定义,()(){}x g x f Dx +∈inf()()()()D x x g x f x g x f Dx ∈+≤+≤∈,sup()()()(){}x g x f x g x f Dx Dx Dx +≤+∈∈∈infinf inf 有∴()(){}x g x f Dx +∈inf()()()()x g x f x g x f D x Dx D x D x ∈∈∈∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤sup inf sup inf由上确界的定义,得()()x f x f Dx Dx ∈∈≤sup inf()()()()x g x f x g x Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈+≤+∴sup sup sup inf2.3.设f 为定义在D 上的有界函数,则:(){}()(){}()x f x f x f x f Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈-=--=-sup inf )2(;inf sup )1(证明:()()ξ=∈x f Dx inf 1记.由下确界的定义知,对任意的,(),,x ξ≥∈x f D 即()ξ-≤-x f ,可见-是()x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在Dx∈0,使()εξ+<x f,即()εξ-->-x f,可见ξ-是()x f -的上界中最小者. (){}()x f x f x Dx ∈∈-=-=-i nf sup ξ所以.)2(同理可证结论成立,也可直接用)1(的结论来证.事实上,在)1(中换()()()(){}(){}得两边同乘得为1,in f )(s u p s u p ,---=--=-∈∈∈x f x f x f x f x f Dx Dx Dx(){}()x f x f Dx Dx ∈∈-=-sup inf例如:设()()2cos ,sin +==x x g x x f 为定义在R 上的有界函数,且()()().1inf ,3sup ,1inf ,1sup ==-==∈∈∈∈x g x g x f Rx Rx Rx Rx()()x g x f ≤ )1(,()()()().inf inf )2(;sup sup 成立显然有x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈≤≤()()2cos sin )2(++=+x x x g x f()(){}()(){}22inf,22sup -=++=+∴∈∈x g x f x g x f Rx Rx .()()()(){}()()()().sup sup sup inf infinf inf 成立显然x g x f x g x f x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈∈∈∈+≤+≤+≤+(3) (){}()()x f x x f Rx Rx Rx ∈∈∈-==-=-inf 1sin sup sup .(){}()()x f x x f Rx Rx Rx ∈∈∈-=-=-=-sup 1sin inf inf .(){}()(){}().sup inf ;inf sup 成立x f x f x f x f Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈-=--=-∴2.4.设f 、g 为D 上的非负有界函数,()()()(){}x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤⋅inf inf inf 1）（；()(){}()().sup sup sup 2x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈⋅≤）（证明:()()(),0,0,1≥≥∈x g x f D x 对任意的()()()()x g x g x f x f Dx Dx ≤≤≤≤∈∈inf 0,inf 0有,()()()()x g x f x g x f Dx Dx ≤⋅∈∈inf inf 于是有,()()()(){}x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤⋅infinf inf 故()()(),0,0,2≥≥∈x g x f D x 对任意的()()()()x g x g x f x f Dx Dx ∈∈≤≤≤≤sup 0,sup 0有()()()()x g x f x g x f Dx Dx ∈∈⋅≤⋅sup sup 于是有,()(){}()()x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈⋅≤sup sup sup 故.()()[]且上的非负有界函数是定义在设例,1,01,11:+=+=x x g x x f []()[]()[]()[]()()()1.2sup ,1inf ,1sup ,21inf1,01,01,01,0=⋅====∈∈∈∈x g x f x g x g x f x f x x x x 而[]()(){}[]()(){}1supinf1,01,0==∴∈∈x g x f x g x f x x 有, ()()()(){}x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤⋅infinf inf 显然,()(){}()()x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈⋅≤sup sup sup 成立3.确界在收敛数列中有着广泛的应用.特别的当一个数列单调时,极限与确界有着紧密的联系,这就是以下所叙述的单调有界定理.（单调有界定理）在实数系中,有界的单调递增（递减）数列必有极限，且极限为其上确界(下确界).证明：{}a n不妨设为有上界的递增数列.由确界原理,{}a n数列有上确界,记{}a n a sup =为. {}a na 就是下面证明的极限.事实上,0>ε任给,按上确界的定义，存在{}a n 数列中的某一项a N ,aNa <-ε使得.又{}a n 由的递增性,当N n ≥时有 aanNa ≤<-ε,这就证a ann =∞→lim 得.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限记为它的下确界.证明：不妨{}a n 设为有上界的递增数列。

§1.2确界

《数学分析》(1)
§1.2 数集确界原理
四、非正常确界
1. 规定 (i ) a R, a ; (ii )若 S 无上界, 记 sup S . 若 S 无下界, 记 inf S .
2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.
例1 sup N , inf{2n | n N } .

a
a
x
点a的去心的邻域 :
U (a； ) { x | 0 x a }
o
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4
《数学分析》(1)
§1.2 数集确界原理
右邻域： U (a; ) [a, a ) 左邻域： U (a; ) (a , a]
• 对下确界有类似的结论.
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17
《数学分析》(1)
§1.2 数集确界原理
定理1.1
(确界原理)
设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界, 则 S 必有下确界.
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上确界 M 上界
M1
M2
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为S的下确界.
下界 m2 m1 m
下确界
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《数学分析》(1)
§1.2 数集确界原理
1. 是上界；最小上界的定义2. 小一点不再是上界 .
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
14
《数学分析》(1)

戴德金分割中确界存在定理的证明

戴德金分割中确界存在定理的证明引言：戴德金分割中确界存在定理是数学分析中的一条重要定理，它为我们提供了一种切实可行的方法来确定实数集中的确界。

本文将详细讲解戴德金分割中确界存在定理的证明过程。

一、戴德金分割的定义在开始证明之前，我们先来了解一下戴德金分割的概念。

给定一个实数集合A，如果将A分为两个非空子集L和R，并且满足以下条件：1. L中的任意元素小于R中的任意元素；2. L中没有最大元素；3. R中没有最小元素；则称这样的分割为戴德金分割。

二、戴德金分割中确界存在定理的表述戴德金分割中确界存在定理的表述如下：对于任意一个实数集合A，如果A满足戴德金分割的定义，那么A 存在唯一的确界。

三、戴德金分割中确界存在定理的证明1. 唯一性的证明：假设A存在两个确界a和b，并且a<b。

根据确界的定义，对于任意的ε>0，存在x∈A，使得a<x<a+ε，同时存在y∈A，使得b-ε<y<b。

那么我们可以推出a+ε<y，从而得到a<y<b，与a和b都是确界的假设相矛盾。

因此，A的确界是唯一的。

2. 存在性的证明：我们定义一个实数集合A的下界集合B如下：B={x∈R|x是A的下界}显然，B不为空，因为A的下界一定存在。

接下来，我们定义一个数集C如下：C={x∈R|对于集合B中的每个元素y，存在A中的元素z，使得z>x>y}也就是说，对于集合B中的每个下界y，我们可以在A中找到一个元素z，使得z比y更接近于正无穷大的方向。

注意，这里的C可能为空集。

现在，我们假设A不存在确界。

根据戴德金分割的定义，我们可以得到以下两个结论：a) 对于集合C中的每个元素x，存在A中的元素y，使得y>x；b) 对于集合B中的每个元素y，存在A中的元素z，使得z<y。

我们将a)和b)结合起来，可以得到一个重要的结论：对于集合B中的每个元素y，存在A中的元素z，使得z>x>y，即z>x，与C的定义矛盾。

§2数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理

§2 数集·确界原理
有界集
确界
确界的存在性定理
非正常确界
第四讲确界原理
数学分析第一章实数集与函数
高等教育出版社
§2 数集·确界原理
有界集
确界
确界存在性定理
确界的存在性定理
非正常确界
定理1.1（确界原理）
设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界;
若 S 有下界, 则 S 必有下确界.
证 (i) x a S a, 其中 x S, 必有 x sup S,
于是
x a sup S a.
0,
且因此
x0 S, 使 x0 sup S , 从而
x0 a S a,
x0 a (sup S a) ,
sup( S a) sup S a.
数学分析第一章实数集与函数
该定理作为公理,不予证明.
数学分析第一章实数集与函数
高等教育出版社
§2 数集·确界原理
有界集
确界
确界的存在性定理
例1 设 A, B 为非空数集. 满足 :
x A, y B,有 x y.
非正常确界
证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，且 sup A inf B.
证由假设, B 中任一数 y 都是 A 的上界, A 中的任
一数 x 都是 B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确
界, B 有下确界. 由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意
yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界, 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.
数学分析第一章实数集与函数
令
1 M