北师大数学八年级下册第四章-因式分解经典讲义

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北师大版八年级数学下册第四章因式分解小结与复习课件

⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
解：原式=(2x+y-1)2
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2
(8) (x+1)(x+5）+4
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2
2. 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k= （ ±140）
3.计算(-2)101+(-2)100
解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100
=(-2)100(-2+1) =2100·(-1)=-2100
4.已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
解：原式=x3-x2+5x2-x39
=4x2-9 =(2x+3)(2x-3) 又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
三分 ③再考虑分组分解法
四查 ④检查：特别看看多项式因式是否分解彻底
课堂小结
因式分解
概念
与整式乘法的关系
提公因式法
方法公式法
平方差公式
完全平方差公式
提：公因式步骤运：运用公式
查：检测结果是否彻底
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随堂训练
1.把下列各式分解因式：
(1) 4x2-16y2
(2) x2+xy+ y2.
第四章因式分解
小结与复习
知识归纳
复习点一（一）分解因式的概念：
把一个多项式化成几个整式的积的情势，叫做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积

北师大数学八年级下册第四章-因式分解进阶经典讲义

第02讲_因式分解进阶知识图谱因式分解的高级方法知识精讲一．十字相乘法二．分组分解法分组分解法分解因式常用的思路有：十字相乘法 2(0)ax bx c a ++≠ 若a 1 c 2+a 2 c 1 =b ，则 21122()()ax bx c a x c a x c ++=++ 分解思路为“看两端，凑中间” 21232x x ++21232=(8)(4)x x x x ++++a 1a 2c 2c 1a 1c 2 + a 2c 1分组分解法（1）适用场景：不能直接运用提公因式法和公式法（2）方法：把这个多项式分成几组，对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解四项=二项+二项（按字母分组、按系数分组、符合公式的两项分组）四项=三项+一项（先完全平方公式后平方差公式）五项=三项+二项（完全平方公式）六项=三项+三项（完全平方公式）六项=二项+二项+二项（各组之间有公因式）六项=三项+二项+一项（完全平方公式）三．换元法四．拆、添项法三点剖析一．考点：1．十字相乘法；2．分组分解法；3．换元法；4．拆、添项二．重难点：十字相乘法；分组分解法；换元法；拆、添项．三．易错点：（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：在上式中，竖向的两个数必须满足关系12a a a =，12c c c =；斜向的两个数必须满足关系1221a c a c b +=，分解思路为“看两端，凑中间．”（2）换元法换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来，并最终对每一项都彻底因式分解．c 1c 2a 2a 1换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，简化运算过程设，则原式易错点：换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来。

并再次对每一项彻底的因式分解拆、添项（1）在多项式中添上两个符号相反的项，再使用分组分解法进行分解因式（2）将多项式中的某一项拆成两项或多项，再使用分组分解法十字相乘法例题1、如果把多项式x 2﹣8x+m 分解因式得（x ﹣10）（x+n ），那么m+n=_____________．【答案】 -18【解析】 ∵x 2﹣8x+m=（x ﹣10）（x+n ）， ∴x 2﹣8x+m=x 2+（﹣10+n ）x ﹣10n ， ∴﹣10+n=﹣8，m=﹣10n ，解得：n=2，m=﹣20， m+n=﹣20+2=﹣18．例题2、因式分解：﹣2x 2y+8xy ﹣6y=_______．【答案】 ﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）【解析】原式=﹣2y （x 2﹣4x+3）=﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）例题3、甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9），则a=__，b=__．【答案】 6；9【解析】分解因式x 2+ax+b ，甲看错了b ，但a 是正确的，他分解结果为（x+2）（x+4）=x 2+6x+8， ∴a=6，同理：乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9）=x 2+10x+9， ∴b=9，例题4、因式分解：221999199911999x x .【答案】 ()()199911999x x +- 【解析】该题考查的是因式分解．十字相乘可得原式()()199911999x x =+- 例题5、把下列多项式因式分解（1）22273x xy y -+（2）22675x xy y --【答案】（1）(3)(2)x y x y --（2）(2)(35)x y x y +-【解析】（1）22273(3)(2)x xy y x y x y -+=--（2）22675(2)(35)x xy y x y x y --=+- 例题6、把下列多项式因式分解（1）2532x x -- （2）2568x x +- （3）26525x x -- （4）26113x x -+【答案】（1）(52)(1)x x +- （2）(54)(2)x x -+（3）(25)(35)x x -+（4）(23)(31)x x --【解析】利用十字相乘法进行因式分解可得（1）2532(52)(1)x x x x --=+- （2）2568(54)(2)x x x x +-=-+ （3）26525(25)(35)x x x x --=-+ （4）26113(23)(31)x x x x -+=-- 例题7、分解因式：2214425x y xy +- 【答案】 ()212x -【解析】略例题8、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2－4x ＋m 有一个因式是（x ＋3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x ＋n ），得 x 2－4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）则x 2－4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ∴343n m n +=-⎧⎨=⎩．解得：n ＝－7，m ＝－21 ∴另一个因式为（x －7），m 的值为－21 问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2＋3x －k 有一个因式是（2x －5），求另一个因式以及k 的值．【答案】另一个因式为（x ＋4），k ＝20 【解析】设另一个因式为（x ＋a ），得2x 2＋3x －k ＝（2x －5）（x ＋a ）则2x 2＋3x －k ＝2x 2＋（2a －5）x －5a ∴2535a a k -=⎧⎨-=-⎩解得：a ＝4，k ＝20故另一个因式为（x ＋4），k 的值为20．随练1、如果x 2－px ＋q ＝（x ＋1）（x －3），那么p 等于（） A.－2 B.2 C.－3 D.3【答案】 B【解析】已知等式整理得：x 2－px ＋q ＝（x ＋1）（x －3）＝x 2－2x －3，可得－p ＝－2，q ＝3，解得：p ＝2．随练2、分解因式：22268x y x y -++- 【答案】 (4)(2)x y x y -++-【解析】 ()()22222682169x y x y x x y y -++-=++--+()()()()22131313x y x y x y =+--=++-+-+ 随练3、阅读下列材料，并解答相应问题：对于二次三项式x 2+2ax+a 2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a ）2的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x 2+2ax ﹣3a 2=x 2+2ax+a 2﹣a 2﹣3a 2=（x+a ）2﹣（2a ）2=（x+3a ）（x ﹣a ）（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是； A ．提公因式法 B ．十字相乘法 C ．配方法 D ．公式法（2）这种方法的关键是；（3）用上述方法把m 2﹣6m+8分解因式．【答案】（1）B ；（2）利用完全平方公式及平方差公式变形（3）（m ﹣2）（m ﹣4）【解析】（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是十字相乘法；（2）这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形；（3）原式=m 2﹣6m+9﹣1=（m ﹣3）2﹣1=（m ﹣3+1）（m ﹣3﹣1）=（m ﹣2）（m ﹣4），故答案为：（1）B ；（2）利用完全平方公式及平方差公式变形随练4、把下列多项式因式分解（1）2232x xy y ++ （2）2276x xy y -+ （3）22421x xy y --（4）22215x xy y +-【答案】（1）()(2)x y x y ++（2）()(6)x y x y --（3）(3)(7)x y x y +-（4）(3)(5)x y x y -+【解析】（1）()()22322x xy y x y x y ++=++（2）2276()(6)x xy y x y x y -+=-- （3）22421(3)(7)x xy y x y x y --=+-（4）22215(3)(5)x xy y x y x y +-=-+ 随练5、把下列多项式因式分解（1）2383x x +- （2）2352x x -+ （3）42627x x -- （4）2236a b a ab +--【答案】（1）(31)(3)x x -+（2）(32)(1)x x --（3）2(3)(3)(3)x x x -++（4）(2)(13)a b a +-【解析】（1）2383(31)(3)x x x x +-=-+ （2）2352(32)(1)x x x x -+=--（3）()()()()()4222262793333x x x x x x x --=-+=+-+ （4）()()()()2236232213a b a ab a b a a b a b a +--=+-+=+- 随练6、把下列多项式因式分解（1）2273x x -+ （2）2675x x -- （3）4268x x ++（4）2()4()3a b a b +-++【答案】（1）(3)(21)x x --（2）(21)(35)x x +-（3）22(2)(4)x x ++（4）(1)(3)a b a b +-+- 【解析】（1）利用十字相乘法进行因式分解得（1）2273(3)(21)x x x x -+=-- （2）2675(21)(35)x x x x --=+- （3）422268(2)(4)x x x x ++=++（4）2()4()3(1)(3)a b a b a b a b +-++=+-+-分组分解法例题1、已知：a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】 a ＝b ＝c【解析】 ∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0， ∵2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0，a 2＋b 2－2ab ＋b 2＋c 2－2bc ＋a 2＋c 2－2ac ＝0，即（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2＝0， ∵a －b ＝0，b －c ＝0，c －a ＝0， ∵a ＝b ＝c ．例题2、已知a=998，b=997，c=996，则a 2﹣ab ﹣ac+bc=______________．【答案】 2【解析】原式=a （a ﹣b ）﹣c （a ﹣b ） =（a ﹣b ）（a ﹣c ） =（998﹣997）（998﹣996） =1×2 =2，例题3、分解因式a 2﹣b 2﹣2b ﹣1=__________．【答案】（a+b+1）（a ﹣b ﹣1）．【解析】 a 2﹣b 2﹣2b ﹣1 =a 2﹣（b 2+2b+1） =a 2﹣（b+1）2 =（a+b+1）（a ﹣b ﹣1）．例题4、把下列多项式因式分解（1）224484a b a b ab +-+-（2）222xy xz y yz z --+-【答案】（1）(2)(24)a b a b ---（2）()()y z x y z --+【解析】（1）()()()()()()2222244844448242224a b a b ab a ab b a b a b a b a b a b +-+-=-+--=---=---（2）()()()()2222xy xz y yz z x y z y z y z x y z --+-=---=--+例题5、仔细阅读下列解题过程：若a 2＋2ab ＋2b 2－6b ＋9＝0，求a 、b 的值．解：∵a 2＋2ab ＋2b 2－6b ＋9＝0 ∴a 2＋2ab ＋b 2＋b 2－6b ＋9＝0 ∴（a ＋b ）2＋（b －3）2＝0 ∴a ＋b ＝0，b －3＝0 ∴a ＝－3，b ＝3根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知x 2－2xy ＋2y 2－2y ＋1＝0，求x ＋2y 的值；（2）已知a 2＋5b 2－4ab －2b ＋1＝0，求a 、b 的值；（3）若m ＝n ＋4，mn ＋t 2－8t ＋20＝0，求n 2m －t 的值．【答案】（1）3 （2）a ＝2；b ＝1 （3）1【解析】（1）∵x 2－2xy ＋2y 2－2y ＋1＝0 ∴x 2－2xy ＋y 2＋y 2－2y ＋1＝0 ∴（x －y ）2＋（y －1）2＝0 ∴x －y ＝0，y －1＝0， ∴x ＝1，y ＝1， ∴x ＋2y ＝3；（2）∵a 2＋5b 2－4ab －2b ＋1＝0 ∴a 2＋4b 2－4ab ＋b 2－2b ＋1＝0 ∴（a －2b ）2＋（b －1）2＝0 ∴a －2b ＝0，b －1＝0 ∴a ＝2，b ＝1；（3）∵m ＝n ＋4，∴n （n ＋4）＋t 2－8t ＋20＝0 ∴n 2＋4n ＋4＋t 2－8t ＋16＝0 ∴（n ＋2）2＋（t －4）2＝0 ∴n ＋2＝0，t －4＝0 ∴n ＝－2，t ＝4 ∴m ＝n ＋4＝2∴n 2m －t ＝（－2）0＝1．例题6、阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法．（1）am+an+bm+bn=（am+bm ）+（an+bn ）=m （a+b ）+n （a+b ）=（a+b ）（m+n ）；（2）x 2﹣y 2﹣2y ﹣1=x 2﹣（y 2+2y+1）=x 2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x+y ﹣1）试用上述方法分解因式：（1）a 2+2ab+b 2+ac+bc （2）4a 2﹣x 2+4xy ﹣4y 2．【答案】（1）（a+b ）（a+b+c ）（2）（2a+x ﹣2y ）（2a ﹣x+2y ）【解析】（1）原式=（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ）=（a+b ）2+c （a+b ）=（a+b ）（a+b+c ）；（2）原式=4a 2﹣（x 2﹣4xy+4y 2）=4a 2﹣（x ﹣2y ）2=（2a+x ﹣2y ）（2a ﹣x+2y ）．例题7、把下列多项式因式分解（1）251539a m am abm bm -+-（2）432x x x x +++（3）432433x x x x ++++ （4）22ax bx bx ax a b -+-+-（5）2223(1)()22x x xy y x y xy +-+++（6）222x x y xy x y y -+-+-【答案】（1）()()353m a a b -+；（2）()()211x x x ++；（3）()()2213xx x +++；（4）()()21a b x x --+；（5）()222(1)x x xy y +++；（6）()()21y x x y --+【解析】（1）()()()()2515395333353a m am abm bm m a a b a m a a b -+-=-+-=-+⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()432321111x x x x x x x x x x x +++=+++=++ （3）()()()43243222243333313x x x x x x x x x xx x ++++=+++++=+++（4）()()()()22221ax bx bx ax a b x a b x a b a b a b x x -+-+-=---+-=--+（5）()()2223222222(1)()22(1)2(1)x x xy y x y xy x x xy y xy x x xy y +-+++=+-++=+++ （6）()()()()()222221111x x y xy x y y x y x y y y y x x y -+-+-=---+-=--+ 随练1、分解因式：y+y 2+xy+xy 2=______．【答案】 y （1+y ）（1+x ）【解析】先进行分组，再用提公因式法进行因式分解，即可解答．解：y+y 2+xy+xy 2=（y+y 2）+（xy+xy 2） =y （1+y ）+xy （1+y ） =（1+y ）（y+xy ） =y （1+y ）（1+x ）．随练2、分解因式：3232x x y y +-- 【答案】 22()()x y x x xy y y -++-+【解析】原式33222222()()()()()()()()x y x y x y x xy y x y x y x y x x xy y y =-+-=-++++-=-++-+ 随练3、分解因式：43221x x x x ++++ 【答案】 22(1)(1)x x x +++【解析】原式432222222()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++ 随练4、把下列多项式因式分解（1）2214497x xy y x y -++- （2）222(2)123(3)m n mn n m +--- 【答案】（1）(7)(71)x y x y --+ （2）(23)(23)m n m n mn --+【解析】（1）()()()()2221449777771x xy y x y x y x y x y x y -++-=-+-=--+ （2）()()2222222(2)123(3)234129m n mn n m m n mn m mn n +---=-+-+()()()()223232323mn m n m n m n mn m n =-+-=-+-随练5、把下列多项式因式分解（1）2222x x y xy x y y -+-+- （2）222ax by cx ay bx cy ++--- （3）222221a b c c ab +---- （4）222494126x y z xy yz xz ++--+ 【答案】（1）()(1)(1)x y y x ---（2）()(2)a b c x y -+-（3）(1)(1)a b c a b c -++---（4）2(23)x y z -+ 【解析】（1）()()()22222222x x y xy x y y x y x y xy x y -+-+-=-----()()()()()()()11x y x y xy x y x y x y x y y =+-----=----⎡⎤⎣⎦()()()11x y y x =---（2）()()222222ax by cx ay bx cy ax bx cx by ay cy ++---=-++--()()()()22x a b c y a b c a b c x y =-+--+=-+-（3）()()()()222222222212211a b c c ab a ab b c c a b c +----=-+-++=--+(1)(1)a b c a b c =-++--- （4）()222249412623x y z xy yz xz x y z ++--+=-+随练6、把下列多项式因式分解（1）222xy xz y yz z --+- （2）222222x y xz z a ay --+-- （3）22(3)(34)a b b a --- （4）2(1)1x x x ----【答案】（1）()()y z x y z --+（2）()()x z a y x z a y -++---（3）(2)(32)a b a -+（4）2(1)(1)x x -+ 【解析】（1）()()()()2222xy xz y yz z x y z y z y z x y z --+-=---=--+ （2）()()()()22222222222222x y xz z a ay x xz z y ay a x z y a --+--=-+-++=--+ ()()x z a y x z a y =-++---（3）()()2222(3)(34)62346342a b b a a b ab a a ab a b ---=--+=-+-()()()()3222232a a b a b a b a =-+-=-+（4）()()()()()()2233222(1)1111111x x x x x x x x x x x x x x ----=-++-=-+-=-+-=-+ 随练7、把下列多项式因式分解（1）23442x x x -+- （2）24263a ab a b +++ （3）2244a b a b -+- （4）22944a ab b ---（5）2221693025m a ab b -+-（6）22194m n mn -++（7）224252036x y xy +--【答案】（1）()()()2212x x x x --+-+（2）(23)(2)a a b ++（3）()(4)a b a b -++（4）(32)(32)a b a b ++--（5）(435)(435)m a b m a b +--+ （6）11(3)(3)22m n m n +++-（7）(256)(256)x y x y -+-- 【解析】（1）()()()()()()2234222242422212x x x x x x x x x x x xx -+-=--=+--+=--+-+（2）()()()()242632232223a ab a b a a b a b a b a +++=+++=++ （3）()()()()()224444a b a b a b a b a b a b a b -+-=+-+-=-++（4）()()()222944923232a ab b a b a b a b ---=-+=++--（5）()()()2222216930251635435435m a ab b m a b m a b m a b -+-=--=+--+ （6）222111199334222m n mn m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=+++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （7）()()()22=256256256x y x y x y --=-+--换元法例题1、若实数a ，b 满足（2a ＋2b ）（2a ＋2b －2）－8＝0，则a ＋b ＝________．【答案】－1或2【解析】设a ＋b ＝x ，则由原方程，得 2x （2x －2）－8＝0，整理，得4x 2－4x －8＝0，即x 2－x －2＝0，分解得：（x ＋1）（x －2）＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝2．则a ＋b 的值是－1或2．例题2、分解因式：22()(32349)x x x x -+--+ 【答案】 223()1x x -- 【解析】 22222223234()()(9326329())3(1)x x x x x x x x x x -+--+=-+--++=-- 例题3、分解因式：（1）2(3)5(3)14p p ---- （2）()()224341256xx x x -+--+【答案】（1）(10)(1)p p --（2）2(1)(5)(44)x x x x +---【解析】（1）()()()()()()2235314353143732p p p p p p ----=----=---+()()101p p =-- （2）()()()()22222434125649420x x x x x x x x -+--+=---+()()()()()22244455144x x x x x x x x =----=-+--例题4、分解因式：（1）2(3)5(3)14p p ----（2）()()224341256x x x x -+--+（3）22(815)(87)15x x x x +++++（4）22(1)(2)12x x x x ++++- 【答案】（1）(10)(1)p p --（2）2(1)(5)(2)x x x +--（3）2(2)(6)(810)x x x x ++++（4）2(1)(2)(5)x x x x -+++ 【解析】（1）()()()()()()2235314353143732p p p p p p ----=----=---+()()101p p =--（2）()()()()22222434125649420x x x x x x x x -+--+=---+()()()()()22244455144x x x x x x x x =----=-+--（3）()()()()2222281587158228120x x x x x x x x +++++=++++()()()()()22281081226810x x x x x x x x =++++=++++（4）()()()()222221212310x x x x x x x x ++++-=+++-()()()()()22252215x x x x x x x x =+++-=+-++随练1、已知实数x ，y 满足（x 2＋y 2）（x 2＋y 2－12）＝45，求x 2＋y 2的值．【答案】 15【解析】设x 2＋y 2＝a ，则a （a －12）＝45， a 2－12a －45＝0，（a －15）（a ＋3）＝0， a 1＝15，a 2＝－3， ∵x 2＋y 2＝a≥0， ∴x 2＋y 2＝15．随练2、 (2013初二上期中人民大学附属中学)因式分解：222618680x xx x【答案】 ()()()224410x x x x ++++．【解析】该题考查的是因式分解．令26x x a +=，则原式21880a a =++ ()()810a a =++()()2268610x x x x =++++()()()224410x x x x =++++随练3、因式分解：222618680x xx x【答案】 ()()()224410x x x x ++++．【解析】该题考查的是因式分解．令26x x a +=，则原式21880a a =++ ()()810a a =++()()2268610x x x x =++++ ()()()224410x x x x =++++ 随练4、分解因式：（1）22(815)(87)15x x x x +++++ （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【答案】（1）2(2)(6)(810)x x x x ++++（2）2(1)(2)(5)x x x x -+++ 【解析】（1）()()()()2222281587158228120x x x x x x x x +++++=++++()()()()()22281081226810x x x x x x x x =++++=++++（2）()()()()222221212310x x x x x x x x ++++-=+++-()()()()()22252215x x x x x x x x =+++-=+-++拆、添项例题1、分解因式441x +【答案】 22(221)(221)x x x x ++-+ 【解析】()()()()224422222414414212212212x x x x x x x x x x +=++-=+-=+++-例题2、分解因式：42471x x -+ 【答案】 22(71)(71)x x x x ++-+【解析】 ()()()()22424222224712149171717x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++-例题3、分解因式：841x x ++【答案】 2242(1)(1)(1)x x x x x x ++-+-+【解析】原式844424424221(1)(1)(1)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+2242(1)(1)(1)x x x x x x =++-+-+例题4、分解因式：32265x x x +-- 【答案】 (1)(3)(2)x x x ++-【解析】 3232226566(1)(3)(2)x x x x x x x x x x x +--=+++--=++-例题5、分解因式)()()(222y x z x z y z y x -+-+- 【答案】 ))()((z x y x z y ---【解析】 22222222()()()=()()()=()()()x y z y z x z x y x y z z x y x y z z y y z x y x z -+-+--+-+----随练1、分解因式：343a a -+【答案】2(1)(3)a a a -+- 【解析】 332224333(1)(3)a a a a a a a a a a -+=-+--+=-+-随练2、分解因式：224414x y x y -++【答案】 2222(4)(4)x y xy x y xy +++-【解析】 ()()22224442242222142164x y x y x x y y x y x y xy -++=++-=+-()()222244x y xy x y xy =+++-随练3、分解因式：4414x y +【答案】 222211()()22x y xy x y xy +++- 【解析】 ()224442242222111442x y x x y y x y x y xy ⎛⎫+=++-=+- ⎪⎝⎭22221122x y xy x y xy ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭随练4、分解因式：4231x x -+【答案】22(1)(1)x x x x +--- 【解析】拆项法：原式=422222[()(1)](1)(1)x x x x x x x x ----=+--- 随练5、分解因式：4224a ab b ++【答案】 2222()()a ab b a ab b ++-+【解析】添项法：原式=2422422a a b b a b ++-随练6、分解因式：432234232a a b a b ab b ++++【答案】222()a ab b ++ 【解析】 43223443222234232222a a b a b ab b a a b a b a b ab b ++++=+++++()()4224222222a a b b ab a b a b =+++++()()()22222222222a b ab a b a b a b ab =++++=++随练7、分解因式：（1）()()22ax by bx ay ++-（2）()(2)(1)(1)x y x y xy xy xy +++++-【答案】（1）2222()()a b x y ++（2）(1)(1)(1)x y x y xy ++++-【解析】（1）()()222222222222ax by bx ay a x abxy b y b x abxy a y ++-=+++-+()()()()2222222222x a b y a b a b x y =+++=++（2）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-()()()()222211x y xy x y xy x y xy =++++-=++-()()()()()11111x y xy x y xy x y x y xy =+++++-=++++-拓展1、因式分解（1）3x ﹣12x 2 （2）x 2﹣9x ﹣10（3）x 2﹣2xz+z 2﹣4y 2（4）25（m+n ）2﹣4（m ﹣n ）2．【答案】（1）3x （1﹣4x ）（2）（x ﹣10）（x+1）（3）（x ﹣z+2y ）（x ﹣z ﹣2y ）（4）（7m+3n ）（3m+7n ）【解析】（1）原式=3x （1﹣4x ）；（2）原式=（x ﹣10）（x+1）；（3）原式=（x ﹣z ）2﹣4y 2=（x ﹣z+2y ）（x ﹣z ﹣2y ）；（4）原式=[5（m+n ）+2（m ﹣n ）][5（m+n ）﹣2（m ﹣n ）] =（7m+3n ）（3m+7n ）． 2、因式分解 ①3p 2﹣6pq ②2x 2+8x+8③a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ） ④x 2﹣2x ﹣15．【答案】 ①3p （p ﹣2q ）， ②2（x+2）2 ③（x ﹣y ）（a+4）（a ﹣4） ④ （x ﹣5）（x+3）【解析】 ①3p 2﹣6pq=3p （p ﹣2q ）；②2x 2+8x+8=2（x 2+4x+4）=2（x+2）2； ③a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ） =（x ﹣y ）（a 2﹣16） =（x ﹣y ）（a+4）（a ﹣4）； ④x 2﹣2x ﹣15=（x ﹣5）（x+3）． 3、因式分解：3232x x x ++. 【答案】 ()()12x x x ++【解析】该题考查的是因式分解．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫做分解因式． 3232x x x ++()232x x x =++()()12x x x =++4、分解因式：22672x xy y -+ 【答案】（3x -y ）（x -2y ）【解析】（3x -y ）（x -2y ）5、把下列多项式因式分解（1）22568x xy y +- （2）2232x xy y -+ （3）2263x x +-（4）2815x x -+【答案】（1）(2)(54)x y x y +-（2）()(2)x y x y --（3）(9)(7)x x +-（4）(3)(5)x x -- 【解析】（1）22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-（2）()()22322x xy y x y x y -+=-- （3）()()226397x x x x +-=+-（4）()()281535x x x x -+=--6、分解因式：x 3﹣5x 2y ﹣24xy 2= ．【答案】 x （x+3y ）（x ﹣8y ）【解析】 x 3﹣5x 2y ﹣24xy 2 =x （x 2﹣5xy ﹣24y 2） =x （x+3y ）（x ﹣8y ）故答案为：x （x+3y ）（x ﹣8y ）．7、分解因式：2212x x y ---+ 【答案】 (1)(1)y x y x ++--【解析】原式2222(12)(1)(1)(1)y x x y x y x y x =-++=-+=++--8、把22222222448a b c d a c b d abcd +--+因式分解．【答案】 (22)(22)ab cd ac bd ab cd ac bd ++-+-+【解析】 ()()22222222222222224484444a b c d a c b d abcd a b abcd c d a c abcd b d +--+=++--+ ()()2222(22)(22)ab cd ac bd ab cd ac bd ab cd ac bd =+--=++-+-+9、分解因式：3254222x x x x x --++- 【答案】 42(2)(1)x x x -+-【解析】原式32542442(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(1)x x x x x x x x x x x x x =---+-=---+-=-+- 10、把下列多项式因式分解（1）224484a b a b ab +-+-（2）4322221a a a a ++++【答案】（1）(2)(24)a b a b ---（2）22(1)(1)a a ++【解析】（1）()()222244844448a b a b ab a ab b a b +-+-=-+--()()2242a b a b =---()()224a b a b =---（2）()()()()243242222221212111a a a a a a a a a a ++++=++++=++11、把下列多项式因式分解（1）22ax bx bx ax a b -+-+-（2）432433x x x x ++++（3）2222424a b c d ab cd +--++（4）2269261x xy y x y ++--+ 【答案】（1）()()21a b x x --+；（2）()()2213x x x +++；（3）(2)(2)a b c d a b c d ++-+-+；（4）2(31)x y +-【解析】（1）()()()()22221ax bx bx ax a b x a b x a b a b a b x x -+-+-=---+-=--+ （2）()()()43243222243333313x x x x x x x x x x x x ++++=+++++=+++ （3）()()()()222222424222a b c d ab cd a b c d a b c d a b c d +--++=+--=++-+-+（4）()()()222269261323131x xy y x y x y x y x y ++--+=+-++=+- 12、把下列多项式因式分解（1）242363ax bx x ay by y -+-+- （2）224484a b a b ab +-+- （3）5432221x x x x x +--++（4）228166249x xy y x y -++-+ 【答案】（1）(21)(23)a b x y -+-（2）(2)(24)a b a b ---（3）32(1)(1)x x +-（4）2(43)x y -+ 【解析】 (1)()()()()2423632213212123ax bx x ay by y x a b y a b a b x y -+-+-=-+--+=-+-(2)()()()()()()2222244844448242224a b a b ab a ab b a b a b a b a b a b +-+-=-+--=---=---(3)()()()()()2543242232221121111(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x +--++=+-+++=+-=+-(4)()()()22228166249464943x xy y x y x y x y x y -++-+=-+-+=-+13、把下列多项式因式分解（1）1xy x y --+ （2）325153x x x --+ （3）27321x y xy x -+- （4）(1)(2)6x x x --- （5）222(1)()ab x x a b +++（6）215430bm bn am an -+-（7）233a a ab b --+【答案】（1）()()11y x --；（2）()()2351x x --；（3）()()37x x y -+；（4）()()232x x -+；（5）()()ax b bx a ++；（6）()()2215b a m n +-；（7）()()3a b a -- 【解析】（1）()()()()()()111111xy x y xy x y x y y y x --+=---=---=-- （2）()()()()()()32322251535153533351x x x x x x x x x x x --+=---=---=-- （3）()()()()()()227321721373337x y xy x x x xy y x x y x x x y -+-=-+-=-+-=-+（4）()()()()()()323222(1)(2)632632632332x x x x x x x x x x x x x x ---=-+-=-+-=-+-=-+ （5）()()()()()()222222(1)()ab x x a b abx b x a x ab bx ax b a ax b ax b bx a +++=+++=+++=++ （6）()()215430241530bm bn am an bm am bn an -+-=+-+ ()()()()221522215m b a n b a b a m n =+-+=+-（7）()()()()()()22333333a a ab b a ab a b a a b a b a b a --+=---=---=--14、把下列多项式因式分解（1）2c abcd ac bd -+-（2）5432222a a a a a +++++ （3）54ax ax ax a -+-（4）2ax ay a bx by ab -++-+ （5）2293x x y y ---（6）2222x y z yz --+【答案】（1）(1)(1)ac bd +-（2）23(1)(2)a a a +++（3）4(1)(1)a x x -+ （4）()()x y a a b -++（5）(3)(31)x y x y +--（6）()()x y z x y z +--+【解析】（1）()()()()21c abcd ac bd c bd ac c bd c bd ac -+-=-+-=-+ （2）()()()()54323222322212112a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+++ （3）()()()()54441111ax ax ax a ax x a x a x x -+-=-+-=-+（4）()()()()()2ax ay a bx by ab x a b y a b a a b a b x y a -++-+=+-+++=+-+（5）()()()()()()()22229393333331x x y y x y x y x y x y x y x y x y ---=--+=+--+=+-- （6）()()()()2222222222x y z yz x y yz z x y z x y z x y z --+=--+=--=+--+ 15、若m ＝4n ＋3，则m 2－8mn ＋16n 2的值是________．【答案】 9【解析】 ∵m ＝4n ＋3， ∴m －4n ＝3，则原式＝（m －4n ）2＝32＝9．16、分解因式：()()x x x x 2232349-+--+【答案】 ()2231x x --【解析】 2222222(32)(34)9(32)6(32)9(31)x x x x x x x x x x -+--+=-+--++=--17、因式分解：()()222618680x x x x ++++【答案】 ()()()224610x x x x ++++．【解析】令26x x a +=，则原式21880a a =++()()810a a =++()()2268610x x x x =++++()()()224610x x x x =++++18、分解因式41)42)(52(22++---x x x x 【答案】 ()()()21322x x x x +--+ 【解析】本题考查的是因式分解．设22y x x =-，上式()()5414y y =-++，整理得：上式26y y =--十字相乘法得：上式()()32y y =-+．把22y x x =-代入得：()()222322x x x x ---+十字相乘法得：上式()()()21322x x xx =+--+19、因式分解：（1）222618680x xx x（2）()()x x x x 2232349-+--+【答案】（1）()()()224610x x x x ++++；（2）()2231x x --【解析】（1）令26x x a +=，则原式21880a a =++()()810a a =++()()2268610x x x x =++++=()()()224610x x x x ++++（2）2222222(32)(34)9(32)6(32)9(31)x x x x x x x x x x -+--+=-+--++=--20、分解因式：（1）224414x y x y -++（2）841x x ++【答案】 2222(4)(4)x y xy x y xy +++-；2242(1)(1)(1)x x x x x x ++-+-+ 【解析】（1）()()22224442242222142164x y x y x x y y x y x y xy -++=++-=+-()()222244x y xy x y xy =+++-（2）848442242121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x ++=++-=++-+-+21、分解因式：464x +【答案】22(84)(84)x x x x +++- 【解析】()()()()22442222264166416848484x x x x x x x x x x +=++-=+-=+++-22、分解因式：3234x x +-【答案】 2(1)(2)x x --【解析】 323222344444(1)(2)x x x x x x x x x +-=-+-+-=--23、分解因式：12631x x -+ 【答案】 6363(1)(1)x x x x -+++【解析】()()()()2212612666363633121111x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=-+++24、分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++ 【答案】 ()()()()c a b c a b a b c a b c -+--++++- 【解析】 444222222222a b c a b b c c a ---+++ 22444222222222222222222222242224()(2)(2)()()()()a b a b c b c c a a b a b a b c a b a b c a b a b c c a b c a b a b c a b c =---++-=-+-=++---+=-+--++++-25、分解因式：3)5)(3(22-----x x x x 【答案】 (1)(2)(2)(3)x x x x ++-- 【解析】22222(3)(5)3(3)2(3)3(1)(2)(2)(3)x x x x x x x x x x x x -----=------=++-- 26、分解因式2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【答案】 ()()()22458x x x x ++++【解析】()()()()22222248348248482x x x x x x x x x x x x ++++++=++++++()()()22458x x x x =++++。

北师大版初中数学八年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第四章因式分解(提高)

第四章因式分解（提高）提公因式法（提高）【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．m m（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断. 【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式而是一个单项式，(5)中的、都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举一反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A. B.C. D.【答案】B ；类型二、提公因式法分解因式2、（2019春•山亭区期中）把下列各式分解因式：（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）（2）﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3．【思路点拨】（1）直接提取公因式2m （m ﹣n ），进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式﹣4ab ，进而分解因式得出答案．【答案与解析】解：（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）=2m （m ﹣n ）[（m ﹣n ）+4m ] =2m （m ﹣n ）（5m ﹣n ）；()a x y ax ay +=+2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-24(2)(2)ax a a x x -=+-221122ab a b =222112a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭21a 1a243(2)(2)3a a a a a -+=-++2244(2)x x x ++=+11(1)x x x+=+2(1)(1)1x x x +-=-（2）﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3=﹣4ab （2a ﹣3b +a 2b 2）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．举一反三：【变式】（2019春•濉溪县期末）下列分解因式结果正确的是（） A.a b+7ab ﹣b=b （a +7a ） B.3x y ﹣3xy+6y=3y （x ﹣x ﹣2） C.8xyz ﹣6x y =2xyz （4﹣3xy ） D.﹣2a +4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ）【答案】D.解：A 、原式=b （a +7a+1），错误；B 、原式=3y （x ﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确．故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应用3、若、、为的三边长，且，则按边分类，应是什么三角形？【答案与解析】解：∵∴当时，等式成立，当时，原式变为，得出， ∴∴是等腰三角形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型. 4、对任意自然数（＞0），是30的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由. 【答案与解析】解：∵为大于0的自然数，∴为偶数，15×为30的倍数，即是30的倍数.222222222a b c ABC ∆()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-ABC ∆()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--a b =a b ≠a b a c -=-b c =a b b c ==或ABC ∆n n 422n n +-()44422222221152n n n n n n +-=⨯-=-=⨯n 2n2n422n n +-【总结升华】判断是否为30的倍数，只需要把分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式. 举一反三：【变式】说明能被7整除.【答案】解：所以能被7整除.5、（2019春•湘潭县期末）已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x y+xy 的值．【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进而将已知代入求出结果即可．【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x y+xy =xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【巩固练习】一.选择题1. （2019春•北京期末）把多项式2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y 分解因式时，应提取的公因式为（）A ．x 2yB ．xy 2C ．2x 3yD ．6x 2y2. 观察下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中可以用提公因式法分解因式的有（）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．②④⑥D ．①②⑤⑥ 3. 下列各式中，运用提取公因式分解因式正确的是（）A. B.C. D.4. 分解因式的结果是（）A. B.C. D.422n n +-422n n +-200199198343103-⨯+⨯200199198343103-⨯+⨯()198219833431073=-⨯+=⨯200199198343103-⨯+⨯2222abx adx -2226x y xy +328421m m m -++3223a a b ab b ++-()()()22256p q x y x p q p q +-+++()()()24ax y x y b y x +--+()()()()22222a x a a x -+-=-+()32222x x x x x x ++=+()()()2x x y y x y x y ---=-()2313x x x x --=--2322212n n n x x x +++-+()22nx xx -+()2322n x x x -+()2122n xx x +-+()322n x x x -+5. （2019秋•西城区校级期中）把﹣6x y ﹣3x y ﹣8x y 因式分解时，应提取公因式（） A.﹣3x y B.-2x yC.x yD.﹣x y6. 计算的结果是（）A. B.－1 C. D.－2二.填空题7. 把下列各式因式分解：（1）__________.（2）_________________.8. 在空白处填出适当的式子：（1）；（2）9. 因式分解：______________.10. （2019•黔南州）若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a 2b ﹣ab 2的值等于___________. 11. .12. （2019春•深圳校级期中）若m ﹣n=3，mn=﹣2，则2m 2n ﹣2mn 2+1的值为_____________.三.解答题 13.已知：，求的值. 14. （2019春•北京校级月考）先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x 3﹣x 2+m 有一个因式是2x+1，求m 的值．解法一：设2x 3﹣x 2+m=（2x+1）（x 2+ax+b ），则：2x 3﹣x 2+m=2x 3+（2a+1）x 2+（a+2b ）x+b比较系数得，解得，∴解法二：设2x 3﹣x 2+m=A•（2x+1）（A 为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取，32222322222222()2011201022+-2010220102-2168a b ab --=()()2232xx y x y x ---=()()()()111x y y x --=-+()()238423279ab b c a bc +=+()()()x b c a y b c a a b c +--+----=2011201222_________________-=213x x +=43261510x x x ++2×=0，故．（2）已知x 4+mx 3+nx ﹣16有因式（x ﹣1）和（x ﹣2），求m 、n 的值．15. 先分解因式（1）、（2）、（3），再解答后面问题；（1）1＋＋（1＋）；（2）1＋＋（1＋）＋；（3）1＋＋（1＋）＋＋问题：．先探索上述分解因式的规律，然后写出：1＋＋（1＋）＋＋＋…＋分解因式的结果是_______________.．请按上述方法分解因式：1＋＋（1＋）＋＋＋…＋（为正整数）．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y=x 2y （2x ﹣y ﹣6）． 2. 【答案】D【解析】①；②；⑤；⑥．所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥．3. 【答案】C ；【解析】；.4. 【答案】C ；5. 【答案】D ．【解析】解：﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2（6x+3+8y ），因此﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3的公因式是﹣x 2y 2．故选D ．6. 【答案】C ；【解析】.二.填空题7. 【答案】（1）；（2）a a a a a a a ()21a +a a a a ()21a +a ()31a +a a a a a ()21a +a ()31a +()20121a +b a a a a ()21a +a ()31a +()1na +n ()abx adx axb d -=-()222623x y xy xy x y +=+()()()()()222225656p q x y xp q p q p q x y x p q ⎡⎤+-+++=+-++⎣⎦()()()()()2244ax y x y b y x x y a x y b ⎡⎤+--+=+--⎣⎦()()()()22222a x a a x -+-=--()322221x x x x x x ++=++()()()()2011201020102010201020102010222222222+-=+-⨯-=+-⨯=-()821ab a -+()()221xx y x --【解析】.8. 【答案】（1）；（2）；【解析】. 9. 【答案】；【解析】 .10.【答案】-2；【解析】∵ab=2，a ﹣b=﹣1，∴a 2b ﹣ab 2=ab （a ﹣b ）=2×（﹣1）=﹣2． 11.【答案】；【解析】.12.【答案】-11；【解析】解：∵2m 2n ﹣2mn 2+1=2mn （m ﹣n ）+1将m ﹣n=3，mn=﹣2代入得：原式=2mn （m ﹣n ）+1 =2×（﹣2）×3+1 =﹣11．故答案为：﹣11．三.解答题 13.【解析】解：14.【解析】()()()()()()22222323221xx y x y x x x y x x y x x y x ---=---=--1y -2427b ()()()()()()111111y x x y y x y y -+=-+-=---()()1x y bc a -++-()()()x b c a y b c a a b c +--+----()()()x b c a y b c a b c a =+--+-++-()()1x y b c a =-++-20112-()201120122011201120112011222222122-=-⨯=-=-43261510x x x ++()()()43322222222226699691169333331313x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++=++++=⨯+⨯+=+=+=⨯=解：设x 4+mx 3+nx ﹣16=A （x ﹣1）（x ﹣2）（A 为整式），取x=1，得1+m+n ﹣16=0①，取x=2，得16+8m+2n ﹣16=0②，由①、②解得m=﹣5，n=20． 15.【解析】解：（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝．结果为：，．原式＝＝＝＝……＝平方差公式（提高）知识讲解【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.()()()2111a a a ++=+()()()()()()31111111a a a a a a a a ++++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()21111a a a a a a ⎡⎤++++++⎣⎦()()()1111a a a a a =+++++⎡⎤⎣⎦()()()2111a a a =+++()41a =+a ()20131a +b ()()()1111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦()()()()21111......1n a a a a a a a -⎡⎤++++++++⎣⎦()()()33111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦()()()()111111n n a a a a -++++=+()()22a b a b a b -=+-（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、分解因式：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】（1）把看做整体，变形为后分解．（2）可写成，可写成，和分别相当于公式里的和．（3）把、看作一个整体进行分解．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：a b a b 2()4x y +-2216()25()a b a b --+22(2)(21)x x +--x y +22()2x y +-216()a b -2[4()]a b -225()a b +2[5()]a b +4()a b -5()a b +a b (2)x +(21)x -222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+--(9)(9)a b a b =-++22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-（1）；（2）（3）；（4）；【答案】解：（1）原式（2）原式＝＝（3）原式（4）原式2、分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止．举一反三：【变式】（2019•杭州模拟）先化简，再求值：（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a=．【答案】解：原式=（2a+3b+2a ﹣3b ）（2a+3b ﹣2a+3b ）=4a×6b=24ab ，当a=，即ab=时，()()22259a b a b +--()22234x y x --33x y xy -+32436x xy -()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++()()232232x y x x y x -+--()343y x y --()()()22xy x y xy x y x y =--=-+-()()()2249433x x yx x y x y =-=+-2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-原式=24ab=4．类型二、平方差公式的应用3、（2019春•新化县期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4﹣y4=（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x=9，y=9时，x﹣y=0，x+y=18，x2+y2=162，则密码018162．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式4x3﹣xy2进行因式分解，得到4x3﹣xy2=x（2x+y）（2x﹣y），然后把x=10，y=10代入，分别计算出2x+y=及2x﹣y的值，从而得出密码．【答案与解析】解：原式=x（4x2﹣y2）=x（2x+y）（2x﹣y），当x=10，y=10时，x=10，2x+y=30，2x﹣y=10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．4、（2019春•成武县期末）阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣．【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【巩固练习】一.选择题1．（2019•百色）分解因式：16﹣x 2=（）A ．（4﹣x ）（4+x ）B ．（x ﹣4）（x +4）C ．（8+x ）（8﹣x ）D ．（4﹣x ）22. （2019春•东平县校级期末）下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（）A.（﹣2y ﹣x ）（x+2y ）B.（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）C.（x ﹣2y ）（2y+x ）D.（2y ﹣x ）（﹣x ﹣2y ）3. 下列因式分解正确的是( ).A. B.C. D. 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（）①；② ③④A.1个B.2个C.3个D.4个5. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（）A ．61，63B ．61，65C ．63，65D ．63，676. 乘积应等于（） ()()2292323a b a b a b -+=+-()()5422228199a ab a a b a b -=+-()()2112121222a a a -=+-()()22436223x y x y x y x y ---=-+-22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2933x x x -=-+()()()()2212121m n m n m n +--+=+-()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++4821-22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．B ．C ．D ．二.填空题 7. ； . 8. 若，将分解因式为__________. 9. 分解因式：_________. 10. 若，则是_________.11. （2019春•深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是．12.（2019•烟台）已知|x ﹣y +2|+=0，则x 2﹣y 2的值为．三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1）－1998×2000 （2）（3）14.（2019秋•蓟县期末）已知（2a+2b+3）（2a+2b ﹣3）=72，求a+b 的值．15.设，，……，（为大于0的自然数）（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出，，……，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】16﹣x 2=（4﹣x ）（4+x ）．2. 【答案】A ；【解析】解：A 、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．故选：A ．3. 【答案】C ；【解析】；； 5121211202311_________m m a a +--=()2211x x x --+=)2|4|50m -+=22mx ny -2121()()=m m p q q p +--+-()()()216422n x x x x -=++-n 219992253566465⨯-⨯222222221009998979695......21-+-+-++-22131a =-22253a =-()()222121n a n n =+--n n a 1a 2a n a n n a ()()22933a b b a b a -+=+-()()()()()542222228199933a ab a a ba b a a b a b a b -=+-=++-. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. .5. 【答案】C ；【解析】6. 【答案】C ；【解析】二.填空题7. 【答案】；【解析】.8. 【答案】；【解析】. 9. 【答案】；【解析】原式＝. 10.【答案】4；【解析】.11.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++--()()53232a b c a b c =+++-()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212*********=+++-=++⨯⨯22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111......11112233991010314253108119 (223344991010)1111121020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=()()111m a a a -+-()()211x x -+()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+()()2525x y x y +-4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-21()(1)(1)m p q p q p q ---+--()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦()()()()()22244224416x x x x x x ++-=+-=-=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，=（28﹣1）（28+1）+1，=216﹣1+1，=216因为216的末位数字是6，所以原式末位数字是6．12. 【答案】-4；【解析】∵|x ﹣y +2|+=0，∴x ﹣y +2=0，x +y ﹣2=0，∴x ﹣y=﹣2，x +y=2， ∴x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x +y ）=﹣4．三.解答题13.【解析】解：（1）－1998×2000 ＝（2）（3）14.【解析】解：已知等式变形得：[2（a+b ）+3][2（a+b ）﹣3]=72，即4（a+b ）2﹣9=72，整理得：（a+b ）2=，开方得：a+b=±．15.【解析】解：（1）又为非零的自然数，∴是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数.（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数.21999()()222199919991199911999199911--+=-+=()2222535664656535465⨯-⨯=-()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯=222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (215050)=+-++-+++-=++++++=()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+=n n a n n a完全平方公式（提高）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1、分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b 22363ax axy ay -+-42242a a b b -+2222216(4)x y x y -+4224816a a b b -+222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-2222216(4)x y x y -+．（4）．【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止．举一反三：【变式】分解因式：（1）．（2）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．2、（2019•大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3．【思路点拨】先提公因式ab ，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：a 3b+2a 2b 2+ab 3= ab （a 2+2ab+b 2）= ab （a+b ）2将a+b=3，ab=2代入得，ab （a+b ）2=2×32=18．故代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值是18．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号．举一反三：【变式】若，是整数，求证：是一个完全平方数.【答案】解：22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++--22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-4224222222816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-224()12()()9()x a x a x b x b ++++++22224()4()()x y x y x y +--+-22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+-22[2()()](3)x y x y x y =+--=+x y ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令∴上式即类型二、配方法分解因式3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如添上什么就可以成为完全平方式？因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：.【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如 2254x xy y u ++=2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++()()()()()()222282118191313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-2x bx +2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2352x x +-2252352333x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭222555233663x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦25493636x ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2257366x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦575736666x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1323x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用4、（2019春•娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为无论x 取什么数，都有（x+3）2的值为非负数所以（x+3）2的最小值为0，此时x=﹣3进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最小值是﹣22.解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．【答案与解析】解：原式=3（x 2﹣2x+4）=3（x 2﹣2x+1﹣1+4）=3（x ﹣1）2+9，∵无论x 取什么数，都有（x ﹣1）2的值为非负数，∴（x ﹣1）2的最小值为0，此时x=1，∴3（x ﹣1）2+9的最小值为：3×0+9=9，则当x=1时，原多项式的最小值是9．【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．举一反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为、、,且满足，求证：.【答案】解：所以a b c 222166100a b c ab bc --++=2a c b +=22216610a b c ab bc --++()()()22222269251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+--()()22350a b b c +--=()()2235a b b c +=-所以所以因为△ABC 的三边长分别为、、，，所以，矛盾，舍去.所以.【变式2】（2019春•萧山区期中）若（2019﹣x ）（2019﹣x ）=2019，则（2019﹣x ）2+（2019﹣x ）2= ．【答案】4032．解：∵（2019﹣x ）（2019﹣x ）=2019，∴[（2019﹣x ）﹣（2019﹣x ）]2=（2019﹣x ）2+（2019﹣x ）2﹣2（2019﹣x ）（2019﹣x ）=4，则（2019﹣x ）2+（2019﹣x ）2=4+2×2019=4032．【巩固练习】一.选择题1. 若是完全平方式，则的值为（）A ．－5B ．7C ．－1D ．7或－12．（2019•富顺县校级模拟）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（） ①x 2﹣10x +25；②4a 2+4a ﹣1；③x 2﹣2x ﹣1；④；⑤．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 如果是一个完全平方公式，那么是（） A. B. C. D.4. （2019•永州模拟）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a 2+b 2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 35. 若，则的值为（）A.12B.6C.3D.06. 若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（）A. B. C. D.二.填空题7．（2019•赤峰）分解因式：4x 2﹣4xy +y 2= ．8. 因式分解:＝_____________. 9. 因式分解: ＝_____________.10. 若，＝_____________.3(5)a b b c +=±-28a c b b c a +==-或a b c c a b -<8b c a b =-<2a c b +=22(3)16x m x +-+m 24a ab m --m 2116b 2116b -218b 218b -3a b +=222426a ab b ++-x 26x x c -+c 0c ≥9c ≥0c >9c >()222224m nm n +-2221x x y ++-224250x y x y +-++=x y +11. 当取__________时，多项式有最小值_____________.12.（2019•宁波模拟）如果实数x 、y 满足2x 2﹣6xy+9y 2﹣4x+4=0，那么= ．三.解答题13.若，，求的值.14.（2019春•怀集县期末）已知a+=，求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a ﹣）2；（3）a ﹣．15. 若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状.小明是这样做的：解：∵，∴.即∵，∴.∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题：已知：为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】由题意，＝±4，.2. 【答案】C ；【解析】② ③ ⑤ 不能用完全平方公式分解.3. 【答案】B ；【解析】，所以，选B. 4. 【答案】D ；【解析】解：由题意可知a ﹣b=﹣1，b ﹣c=﹣1，a ﹣c=﹣2，所求式=（2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ca ），=[（a 2﹣2ab+b 2）+（b 2﹣2bc+c 2）+（a 2﹣2ac+c 2）]，=[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2]，x 2610x x ++44225a b a b ++=2ab =22a b +a b c 、、2222220a b c ab bc ++--=2222220a b c ab bc ++--=2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=()()220a b b c -+-=()()220,0a b b c -≥-≥,a b b c a b c ====即a b c 、、2220a b c ab bc ac ++---=3m -71m =-或222211142222a ab m a a b b a b ⎛⎫⎛⎫--=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2144m b -==[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．故选D ．5. 【答案】A ；【解析】原式＝. 6. 【答案】B ；【解析】，由题意得，，所以.二.填空题 7. 【答案】（2x ﹣y ）2 【解析】4x 2﹣4xy +y 2=（2x ）2﹣2×2x •y +y 2=（2x ﹣y ）2．8. 【答案】；【解析】.9. 【答案】【解析】. 10.【答案】1；【解析】，所以，. 11.【答案】－3，1；【解析】，当时有最小值1. 12.【答案】．【解析】解：可把条件变成（x 2﹣6xy+9y 2）+（x 2﹣4x+4）=0，即（x ﹣3y ）2+（x ﹣2）2=0，因为x ，y 均是实数，∴x﹣3y=0，x ﹣2=0，∴x=2，y=，∴==．故答案为．三.解答题13.【解析】解：将代入 ()222623612a b +-=⨯-=()()22639x x c x c -+=-+-90c -≥9c ≥()()22m n m n +-()()()()()22222222222422m n m n m n mn m n mn m n m n +-=+++-=+-()()11x y x y +++-()()()222221111x x y x y x y x y ++-=+-=+++-()()2222425210x y x y x y +-++=-++=2,1x y ==-1x y +=()2261031x x x ++=++3x =-44224422222a b a b a b a b a b ++=++-()22222a b a b =+-2ab =()222225a b a b +-=∵≥0，∴＝3.14.【解析】解：（1）把a+=代入得：（a+）2=（）2=10；（2）∵（a+）2=a 2++2=10，∴a 2+=8，∴（a ﹣）2=a 2+﹣2•a•=8﹣2=6；（3）a ﹣=±=±．15.【解析】解：∵∴∴∴，该三角形是等边三角形.十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.()()2222222259a b a b +-=+=22a b +22a b +2222222220a b c ab bc ac ++---=()()()2222222220a ab bb bc c a ac c -++-++-+=()()()2220a b b c a c -+-+-=000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩a b c ==pq x q p x +++)(22. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式：【答案与解析】解：原式＝【总结升华】将视作常数，就以为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：【答案】解：原式2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解：因为22(1)(6136)x a x a a++--+()()()212332x a x a a++---()()()()23322332x a x ax a x a=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-a x23345xy y x y++--2(34)35(35)(1)y x y x y x y=+-+-=+-+()2a a-所以：原式＝[－2][ －12] ＝＝【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：；【答案】解：原式3、分解下列因式(1) (2)【答案与解析】解：（1）令，则原式（2）令，原式【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事. 类型二、分组分解法4、分解因式：【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成，第4、5项→.()()()22221214a a a a a a ----=--22(2)(12)a a a a ----()()()()1234a a a a +-+-222(3)2(3)8x x x x ----()()223432x x x x =---+()()()()4112x x x x =-+--22(1)(2)12x x x x ++++-22(33)(34)8x x x x +-++-21x x t ++=222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++-2(2)(1)(5)x x x x =+-++23x x m +=2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++222332x xy y x y -++-+2()x y -3()x y -【答案与解析】解：原式【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式1】分解因式：（1）（2）（3）【答案】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式.【变式2】（2019秋•昌江区校级期末）分解因式：．【答案】解：= ==．类型三、拆项或添项分解因式5、（2019春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3]2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+22a b ac bc -++225533a b a b --+23345xy y x y ++--()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-2242244241a b c ab ac bc ++--+-2242244241a b c ab ac bc ++--+-()()()2222444241a b ab ac bcc +-+-++-()()()()222222211b a c b a c c -+-++-()()222121b a c b a c -++-+-=（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x 2﹣4xy+3y 2=0化为（x ﹣ ）•（x ﹣ ）=0并直接写出y 与x 的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y 与x 的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x 2+2ax ﹣3a2 =x 2+2ax+a 2﹣4a2 =（x+a ）2﹣4a2 =（x+a+2a ）（x+a ﹣2a ）=（x+3a ）（x ﹣a ）；（2）x 2﹣4xy+3y2 =x 2﹣4xy+4y 2﹣y2 =（x ﹣2y ）2﹣y2 =（x ﹣2y+y ）（x ﹣2y ﹣y ）=（x ﹣y ）（x ﹣3y ）；x=y 或x=3y ；故答案为：y ；3y（3）原式===﹣，若x=y ，原式=﹣2；若x=3y ，原式=﹣．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．【巩固练习】一.选择题1. （2019秋·惠民县期末）如果多项式能因式分解为，那么下列结论正确的是 ( ).A.＝6B.＝1C.＝-2D.＝32. 若，且，则的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.63. 将因式分解的结果是( ).2322mx nx --()()32x x p ++m n p mnp ()2230x a b x ab x x +++=--b a <b ()()256x y x y +-+-A. B.C. D.4．（滨湖区校级期中）把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是（）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a+1）（b+1）C ．（a+1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b+1）5. 对运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. B.C. D.6．如果有一个因式为，那么的值是（）A. －9B.9C.－1D.1二.填空题7.（2019•黄冈模拟）分解因式：．8. 分解因式：= ．9．分解因式的结果是__________.10. 如果代数式有一因式，则的值为_________． 11．若有因式,则另外的因式是_________.12. 分解因式：（1）；（2）三.解答题13. 已知，, 求的值.14. 分解下列因式：（1）（2）（3）（4） 15.（2019•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．()()23x y x y +++-()()23x y x y +-++()()61x y x y +-++()()61x y x y +++-224293x x y y +--22(42)(93)x x y y ++--22(49)(23)x y x y -+-22(43)(29)x y x y -+-22(423)9x x y y +--3233x x x m +-+()3x +m 2242y xy x --+=224202536a ab b -+-5321x x x -+-a 3223a a b ab b --+()a b -3)32(2-+-+k x k kx mn m x m n x -+-+22)2(0x y +=31x y +=2231213x xy y ++()()128222+---a a a a 32344xy xy x y x y -++42222459x y x y y --43226a a a +-如：ax+by+bx+ay=（ax+bx ）+（ay+by ）=x （a+b ）+y （a+b ）=（a+b ）（x+y ）2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x 2+2x ﹣3=x 2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】， ∴，解得.2. 【答案】B ；【解析】，由，所以. 3. 【答案】C ；【解析】把看成一个整体，分解.4. 【答案】B ；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得，与第二组有公因式可提取，所以分组合理，C 与D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6. 【答案】A ；【解析】由题意当时，代数式为零，解得.二.填空题()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--22,32p p n =-+=-1n =()()23065x x x x --=-+b a <6b =-()x y +()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++()()2323x y x y +-23x y-3x =-9m =-7. 【答案】．【解析】解：===．8. 【答案】；【解析】原式9. 【答案】；【解析】原式.10.【答案】16；【解析】由题意当时，代数式等于0，解得. 11.【答案】；【解析】.12.【答案】；；【解析】；.三.解答题13.【解析】解：由，解得所以，原式.14.【解析】解：（1）原式；()()22x y x y -+--2242y xy x --+()2224y xy x -+-()24x y --()()22x y x y -+--()()256256a b a b -+--()224202536a ab b=-+-()()()22256256256a b a b a b =--=-+--()()()22111x x x x +--+()()()()()()()23222321111111x xx x x x x x x =-+-=-+=+--+4x =16a =()()a b a b -+()()322322a a b ab b aa b b a b --+=---()()2a b a b =-+()()31kx k x +-+()()x m x m n --+()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++0x y +=31x y +=12y =21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-。

北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)

答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四因式分解的应用
【要点指点】因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究能力得到提高．

北师大版八年级下册数学--第四章因式分解复习课件

注:1.定系数；2.定字母；3.定指数
典例分析
例2：1.找出下列各多项式中各项的相同因式：
（1）2ab2+ 4abc
2ab
（2）-m2n3 -3n2m3
-m2n2
（3）2x（x+y）+6x2（x+y）2 2x（x+y）
2.用提公因式法分解因式
8a3b2－12ab3c
=4ab2 ∙2a2 - 4ab2 ∙ 3bc
m(a+b+c) 互逆
典例分析一
例1 . 下列变形中是因式分解的是（D ）.
A. x2＋3x＋4＝（x＋1）（x＋2）＋2 × 不是乘积形式 B . （3x－2）（2x＋1）＝6x2－x－2 × 是整式乘法 C . 6x2y3＝3xy ·2xy2 × 单项式
D . 4ab＋2ac＝2a（2b＋c）√
例7. 因式分解： (1) (a＋b)(a－b)－a－b
解 = (a+b)(a-b)-（a+b） = (a+b)(a-b-1)
（3）(x—1)(x—3)+1
解 = (x2-4x+3）+1 = x2-4x+4 = (x-2)2
（2） (x—y)2－4(x—y—1)
解 = (x—y)2－4(x—y）+4 = (x-y-2)2
解 = （a-b）2(a2 -b2）
=（a2-ab-ab+b2）(a2-ab+ab-b2）
=（a-b）2(a-b）（a+b)
=（a2-2ab+b2）(a2-b2）
=（a-b）3(a+b）
=（a-b）2(a-b）（a+b) =（a-b）3(a+b）

八年级数学下册第四章因式分解 4.1 因式分解课件北师大下册数学课件

(P93做一做拓展)。因式分解与整式乘法的联系(liánxì)与区别。★★3.(2019·梁子湖区期中)仔细阅读下面例题,解答
问题:
世纪金榜导学号。【素养培优】
Image
12/12/2021
第三十四页，共三十四页。
( C)
A.1
B.-1
C.-6
D.6
第二十一页，共三十四页。
★2.已知2x2+4x-b的一个因式(yīnshì)为x-1,求b值. 解:设另一个因式为2x+m,根据题意得:2x2+4x-b=
(x-1)(2x+m)=2x2+(m-2)x-m,
∴m-2=4,-m=-b,解得:m=b=6,则b值为6.
第二十二页，共三十四页。
是分解因式的是 ( B )
A.m(a+b+c)=ma+mb+mc B.x2+5x=x(x+5)
第十四页，共三十四页。
C.x2+5x+5=x(x+5)+5
D.a2+1=a （ a 1 ）
a
第十五页，共三十四页。
★2.983-98能被100整除(zhěngchú)吗?能被99整除吗?能被98整除吗? 解:983-98=98(982-1)
第十二页，共三十四页。
【学霸提醒】因式分解要注意以下几点 (1)分解的对象必须是多项式.
(2)分解的结果一定是几个整式(zhěnɡ shì)的乘积的形式. (3)要分解到不能分解为止019·济宁嘉祥(jiā xiánɡ)一模)下列各式从左到右的变形中,
别:
第四页，共三十四页。
a(a+1)=___a_2_+_a___ (a+1)2=___a_2_+_2_a_+_1___

新北师大版八年级数学下册第四章分解因式的知识点归纳

分解因式及其应用一、知识点归纳1、因式分解的定义：定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式．因式分解和整式的乘法互为逆运算.2、分解因式的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①公因式要提尽；②首项是负时，要提出负号；③防止漏项．（2）公式法两项通常考虑平方差公式，三项通常考虑完全平方公式．运用公式法的时候需要注意两点：①能提公因式的先提公因式；②找准公式中的a 和b ．（3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找公因式，然后再考虑平方差公式或者完全平方公式．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++分解因式是有顺序的，记住口诀：“_一提二套三分四查”；分解因式是有范围的，目前我们是在有理数范围分解因式．3、分解因式的应用分解因式结果的形式要求：没有大括号和中括号；每个因式不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；单项式的因式写在多项式因式的前面；每个因式第一项系数一般不为负数；形式相同的因式写成幂的形式。

分解因式应用的核心原则是简化运算，主要有以下几种情况：①复杂多项式的化简；②简化方程；③多项式除以多项式；④几何拼图．题型一：基本概念及因式分解1、下列由左到右的变形，是分解因式的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+；⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-；⑦2244(2)y y y -+=-．2、分解因式（提公因式法）：（1）32a a a --+；（2）()(1)()(1)a b m b a n -+---；（3）22()()x x y y y x ---；3、分解因式（公式法）：（1）216249x x ++；（2）2244x xy y -+-；（3）44x y -；（4）4221a a -+；4、分解因式（十字相乘法）：（1）2310x x --；（2）223x x -++；（3）3228x x x --；（4）42712x x -+；5、分解因式（分组分解法）：（1）22144a ab b ---；（2）22699a a b ++-；（3）222221a ab b a b ++--+；6、用适当的方法分解因式：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --；（3）(1)(2)12x x ++-；（4）22224a ab b c -+-．题型二：综合应用 7、若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值是 .如果多项式x 2+2(m -3)x +16是一个完全平方式，那么m =_____．8、若c b a ,,是三角形的三边，求证：02222<---bc c b a已知a,b,c 是三角形的三边满足022=-+-bc ac b a 则该三角形是三角形9、若a ，b ，c 是三角形三边长，且a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0,则2b -a -c =______．10、若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2=ab +bc +ac ，试判断△ABC 的形状．11、化简201222)1()1()1()1(1x x x x x x x x x ++⋯++++++++12、若22228440a b ab a b -+++=，则201332b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=________． 13、多项式x 2-mx -4分解因式后，其结果中有一个因式是x +1，求m 的值和另一个因式．14、已知a 为常数，多项式y 2+3y -a 中含有因式y -3，那么另一个因式是________．15、已知关于x 的多项式3x 2+x +m 分解因式以后有一个因式为(3x -2)，试求m 的值并将多项式分解因式．。

北师大版八年级数学下册第四章因式分解知识点归纳复习总结

因式分解一、什么是因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做因式分解。

如例1、下列各式中，哪些是因式分解？（1）22)2(44-=+-a a a （2）)1)(1(3-+=-x x x x x （3）)11(1aa a +=+ （4）1))((122+-+=+-b a b a b a （5）)13(3392-=-x x x x 二、提公因式法（一）公因式多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

★确定一个多项式的公因式时，应从系数和字母进行分别考虑对于系数：如果各项系数都是整数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；如果各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数。

对于字母：首先取各项相同字母（或因式），之后取各项相同字母（或因式）的指数取其次数最低的。

注意：（1）公因式的系数的“+”“－”，一般由首相来决定。

（2）在因式分解时，经常应用下列关系：)(a b b a --=- 22)()(a b b a -=- 33)()(a b b a --=-偶偶)()(a b b a -=- 奇奇)()(a b b a --=-例2、指出下列各式的公因式（1）mx 2-，mx 3（2）xyz 12，z y x 329-，226z x （3）2)(3y x +，3)(6-y x +，)(9y x + （4）2)(n m -，2)(3m n - （5）2278xy ，yz 94（二）提公因式法如果一个多项式的各项式含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。

例3、把下列各式因式分解（1）)1()1(-+-x b x a =（2）m m m 24164-23-+=（3）32)(6)(3x y y x ---=（4）22)(6)(2m n m n m ---= （5）)2()2(m b m a ---=三、公式法根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

北师大版数学八年级下册第四章因式分解复习课件(共19张PPT)

解（1）32014 - 32013 = 32013×(3 - 1) = 2×32013；（2）(-2)101 + (-2)100+299 = -299(22-2-1)= -299.
6.如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d = 45 cm，外径 D =75 cm，长 l =300 cm.利用因式分解计算浇制一节这样的管道约需多少立方米的混凝土(π取3.14，结果精确到0.01 m3).
Dd l
Dd
l
解：[π·(
D 2
)2 -
π·(
d 2
)2]·l
=
πl 4
(D2 -
d2)
=
πl 4
(D
+
d)(D
-
d).
当d=45 cm，D=75 cm，l=300 cm时，
体积 = 847 800(cm3) ≈ 0.85(m3).
第四章因式分解
北师版八年级下册
因式分解的定义
把一个多项式化成几__个__整__式__的_积____的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法的关系
因式分解多项式整式乘法几个整式的积
因式分解与整式乘法为互逆变形
因式分解的方法
1.提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那
4 3
，y
=

－1 时，
2
原式= 9.
（2）
a
+ 2
b
2
-
a-b 2
2
，其中a
=
－1 8
,
b
=
2;
解：原式

北师大版八年级数学下册第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)

因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找，然后再考虑或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+；（2）32a a a --+；（3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---；（5）1m m x x -+．解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++；解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--；解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -；解：原式=解：原式=（9）4221a a -+；（10）22222()4a b a b +-．解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+；解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---；（4）22699a a b ++-；解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-．解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-；解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-；解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-；解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --．解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --；解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-；解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++．解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。

北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解PPT教学课件

(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.
(3)8a3b2－12ab3c＋ab
(4)－24x3＋12x2－28x
＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
第四章因式分解
提公因式法
知识回顾
1. 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这
个多项式分解因式 .
2. 整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
获取新知
1.多项式ma+mb+mc有哪几项？
ma, mb, mc
2.每一项的因式都分别有哪些？
依次为m, a和m, b和m, c
－
1
2
时此式的值．
解：x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2
＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]
＝－2xy(x＋y)．
1
2
当x＋y＝1，xy＝－时，
1
原式＝－2×(－
2
)×1＝1.
随堂练习
1．多项式a(m－2)＋(m－2)分解因式等于( B
)
A．2(m－2)
B．(m－2)(a＋1)
C．(m－2)(a－1)
解：原式＝(a－1)(7＋x)．
(4)(2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b)．
解：原式＝ (2a＋b)(2a－b－3a)
＝－(2a＋b)(a＋3b)．
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a=____(
－ a-2)

北师版初中数学八年级下册精品教学课件第四章因式分解 1因式分解

因式分解 1 因式分解
快乐预习·感知
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式. 2.一个多项式因式分解后应满足的条件: (1)因式分解是多项式的一种变形,因式分解后,等式的左边为多项式 ,右边为整式的积 . (2)一般地,一个多项式因式分解后的各因式的次数小于原多项式的次数.
2.(2x+a)(2x-a)是多项式
因式分的结果.
答案:4x2-a2
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3.将多项式4a2-8ab+4a进行因式分解的结果中有一个因式是4a,则另一个
因式是
.
答案:a-2b+1
解析:根据因式分解与整式乘法的关系,另一个因式是(4a2-8ab+4a)÷4a
=a-2b+1.
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本课结束
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(3)因式分解要彻底,分解到不能再分解为止. (4)因式分解与多项式的乘法从变化过程来看,二者是互逆恒等变形的关系 .
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轻松尝试·应用
1.若多项式ax2-b可因式分解为(3x+5)·(3x-5),则( ).
A.a=-3,b=-5 B.a=3,b=5
C.a=-9,b=-25 D.a=9,b=25 答案:D

北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解(1)》公开课课件

练习三拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042 +2004 能被2005 整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

(完整word)(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解

因式分解一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习的整式四那么运算，又为学习分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原那么1分解要彻底2最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正〔例如：-3 x2 +x=-x(3x-1)〕根本方法1】提取公因式这种方法比拟常规、简单，必须掌握。

有时提公因式后再用公式法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1： 2 x2 -3x解： =x(2x-3)针对性练习：提公因式法1. 用提取公因式法分解因式正确的选项是〔〕A.12 abc－ 9a2b2=3abc(4 － 3ab)x2y－3xy+6y=3y( x2－x+2y)C. －a 2+ －=－ (－ + ) D.2 +5 － = (x2+5 ) ab ac a a b c x y xy y y x2.以下多项式中 , 能用提公因式法分解因式的是 ( )A.x 22+2x2+y22-xy+y23.如果 b－ a=－6， ab=7，那么 a2b－ ab2的值是( )B.－42 D. － 134.将下面各式进行因式分解(1) a3 b212ab 3c6a3b 2c(2)21a2b 14ab27ab8(3) ma2-4ma+4a(4) -28y4-21y 3+7y25. 2x－y= 1，xy =2，求 2x4y3－x3y4的值 .86. (4 x-2 y-1) 2+xy 2 =0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.【随堂练习】1、分解因式：．2、分解因式：；3.分解因式：2】公式法将式子利用公式来分解，也是比拟简单的方法。

北师大版八年级下册第四章因式分解之因式分解

B
D x²-5x+6 =(x+2)(x+3)
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
(1)x²-x =x(x-1）因式分解
(2)x²-1=(x+1)(x-1) 因式分解
(3) x(x-1）=x²-x 整式乘法
(4) (x+1)(x-1) =x²-1 整式乘法
判断下列各式哪些是整式乘法,
哪些是因式分解。
(1)x²-4y²=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2)(5a-1)²=25a²-10a+1 整式乘法
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
解这类题的步骤:第一利用整式的乘法得到多项式;第二令得到的多项式与所求的多项式相等;第三使其对应项的系数相等.
所以原式能被11整除.
试说明 32020 - 4 32019 7 32018
能被11整除.
32 52018 - 4332018 7 32018 32018 (32 - 4 3 7) 32018 4

北师大八年级下第四单元《因式分解》第一讲

因式分解提公因式1、知识点梳理（1）定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

具体方法：1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；2）字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；3）取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

4）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

例如：()c b a m cm bm am ---=++-；()()()()()()b a y x y x b y x a x y b y x a --=---=-+- 基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

例1把2105ax ay by bx -+-分解因式．例2把2222()()ab cd a b cd ---分解因式．[补例练习]（1）公因式1.多项式n m n m y x y x 31128--的公因式是（） 3.单项式31212y x -与6108y x 的公因式是（） 4.多项式3262x x +中各项的公因式是（） 5.()()232y x x y x xy +++-的公因式是（）（2）提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的是（）A.()ab abc b aabc 34391222-=- B.()yx x y y xy y x 2363322+-=+- C.()c b a a ac ab a+--=-+-2 D.()x x y y xy y x 5522+=-+2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( )A.y x -2B.x x 22+C.22y x +D.22y xy x +-3.如果6-=-a b ，7=ab ，那么22ab b a -的值是( )A.42B.-42C.13D.-13 4.将下面各式进行因式分解（1）485a a a +- （2）486x x x +-（3）c b a c ab b a233236128+- （4）ab ab b a 7142122-+-（5）()()x y y y x x--- （6）()()()()y x a x b y x a x a +--+-22（7） 233()2()a b b a --- （8）433()()()a b a a b b b a -+-+-（9）()()()201520162015222---+- （10）n n n ab ab b a 323438112---++5.已知812=-y x ，2=xy ，求43342y x y x -的值.6.已知()021242=-+--xy y x ，求2222244xy y x y x --的值.2）公式法定义：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式。