微积分方法建模1飞机的降落曲线--数学建模案例分析

第二章 微积分方法建模
现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型。

当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型。

建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了。

§1 飞机的降落曲线
根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）。

在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）。

已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值。

一、 确定飞机降落曲线的方程
设飞机的降落曲线为
d cx bx ax y +++=23
由题设有 h x y y ==)(,0)0(0。

由于曲线是光滑的，所以y(x)还要满足0)(,0)0(0='='x y y 。

将上述的四个条件代入y 的 表达式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******
c bx ax x y h
d cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x h
a
飞机的降落曲线为 )32(230
20x x x x h y --
= 二、 找出最佳着陆点
飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故
dt dx x x x x h dt dy )66(20
20--= 其中dt
dx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60
2
20x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为
)12(6)12(6020
202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0
202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 202
6)(max x hu x a = []0,0x x ∈
设计要求 106202
g x hu ≤，所以g
h u x 600⋅≥ （允许的最小值） 例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足：
)(117378
.9100060360010005400m x =⨯⨯≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米。