2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中数学试题(解析版)
高二数学下学期期中调研测试试题含解析 试题
2021～2021学年度第二学期期中调研测试高二数学试卷一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写上在答题卡相应位置上．．．．．．．．．，假设，那么实数a的值是______．【答案】0【解析】【分析】由并集概念求出实数a．【详解】解：∵集合A＝{2}，B＝{1，a}，A∪B＝{0，1，2}，∴a＝0，解得实数a＝0．【点睛】考察并集定义，是根底题．满足〔为虚数单位〕，那么的模为______．【答案】【解析】【分析】由求得z，再由复数模的计算公式求解.【详解】解：∵∴z＝1+i，∴【点睛】此题考察复数代数形式的加减运算，考察复数模的求法，是根底题．的图象过点，那么实数的值是______．【答案】【解析】【分析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得m的值．【详解】解：幂函数的图象过点，那么2m，m．故答案为：．【点睛】此题考察了幂函数的图象的应用问题，是根底题．，假设，那么实数a的取值范围是。
【答案】【解析】因为，所以由数轴知：实数a的取值范围是.那么______．【答案】25【解析】【分析】按照分段函数中自变量的范围代入相应的解析式.【详解】由得f〔-3〕＝2﹣〔-3〕＝5，从而f〔f〔-3〕〕＝f〔5〕＝52＝25．【点睛】此题考察函数值的求法，是根底题，解题时要认真审题．6.为虚数单位，______．【答案】0【解析】【分析】直接利用虚数单位i的性质运算．【详解】解：由i2＝﹣1可知，i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0．【点睛】此题考察复数的根本概念及运算，是根底题．在区间上是单调减函数，那么实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进展求解即可．【详解】解：f〔x〕＝x2﹣2mx-1的对称轴为x，函数f〔x〕在〔﹣∞，]上单调递减，∴函数f〔x〕＝x2﹣mx+2在区间〔﹣∞，2〕上是单调减函数，那么对称轴．即m的取值范围是[2，+∞〕．故答案为：[2，+∞〕．【点睛】此题主要考察二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与区间的关系是解决此题的关键．8.，那么______．【答案】47【解析】【分析】根据完全平方式进展变形即可.【详解】【点睛】考察完全平方式的应用，根底题.，集合，那么的值是______．【答案】2【解析】显然a≠0，那么a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.10.有下面四个不等式：① ；②；③；④．其中恒成立的有______个．【答案】2【解析】【分析】①使用作差法证明．②利用二次函数的性质．③使用根本不等式证明．④ab＜0时，即可判断出正误.【详解】解：①因为2〔a2+b2+c2〕﹣2〔ab+bc+ca〕＝〔a﹣b〕2+〔b﹣c〕2+〔c﹣a〕2≥0，所以a2+b2+c2≥2〔ab+bc+ca〕成立，所以①正确．②因为，所以②正确．③当a，b同号时有，当a，b异号时，，所以③错误．④ab＜0时，不成立.其中恒成立的个数是2个．【点睛】此题考察了根本不等式的性质、不等式的性质及证明，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．是上的奇函数，当时，，那么____．【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质，求出f〔﹣2〕【详解】解：因为f〔x〕是奇函数，所以所以所以【点睛】此题考察奇函数的概念与性质，根底题.12.的三边长为，内切圆半径为，那么的面积．类比这一结论有：假设三棱锥的四个面的面积分别为，内切球半径为，那么三棱锥的体积______．【答案】【解析】【分析】通过面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球．【详解】解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．即三棱锥体积V A﹣BCD R 〔S1+S2+S3+S4〕．故答案为：R〔S1+S2+S3+S4〕．【点睛】类比推理是一种非常重要的推理方式，可以以这种推理方式发现证明的方向，但此类推理的结果不一定是正确的，需要证明．，假设函数有三个零点，那么实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出|h〔x〕|的函数图象，根据零点个数判断a的范围．【详解】解：〔1〕假设a＜0，|h〔x〕|≥0，显然|f〔x〕|＝a无解，不符合题意；〔2〕假设a＝0，那么|h〔x〕|＝0的解为x＝1，不符合题意；〔3〕假设a＞0，作出y＝|h〔x〕|的函数图象如下图：∵|f〔x〕|＝a有三个解，∴a＞3，【点睛】此题考察了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．14.从1开场的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，…，如下图，在宝塔形数表中位于第行、第列的数记为，比方，，．假设，那么______．【答案】65【解析】【分析】奇数数列b n＝2n﹣1＝2021，从而2021为第1010个奇数．每行的项数记为c m，那么c m＝m，其前i项和为个奇数，那么第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个奇数，从而2021位于第45行，从右到左第20个，由此能求出i+j．【详解】解：∵将正奇数按如下图的规律排列，在数表中位于第i行，第j列的数记为a i，j，a i，j＝2021，∴奇数数列b n＝2n﹣1＝2021，解得n＝1010，即2021为第1010个奇数．每行的项数记为c m，那么c m＝m，其前i项和为：1+2+3+…+i个奇数，那么第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个奇数，那么2021位于第45行，而第45行是从左到右依次递增，且一共有45个奇数，∴2021位于第45行，从左到右第20个，∴i＝45，j＝20，∴i+j＝45+20＝65．【点睛】此题考察数列的归纳推等根底知识，考察运算求解才能、数据处理才能，是中档题．二、解答题：本大题一一共6小题，15~17题每一小题14分，18~20题每一小题16分，一共计90分．请在答题卡指定区域内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．，集合．〔1〕当时，求；〔2〕假设，务实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕当时确定集合，根据交集的定义求解.〔2〕由得，画数轴得出的取值范围.【详解】解：〔1〕当时，.由所以.〔2〕由得.所以.【点睛】此题考察并集、交集的求法，指数不等式的解法,是根底题．，其中是虚数单位，且为纯虚数．〔1〕务实数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点在第四象限，务实数的取值范围．【答案】〔1〕-2；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕利用纯虚数的定义，由，，解出即可得出．〔2〕利用复数的几何意义，由题意得，解出即可得出．【详解】解：(1)．因为为纯虚数，所以，所以．(2)，由，解得，所以实数的取值范围为.【点睛】此题考察了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．17.〔1〕，求证：．〔2〕成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析.【解析】【分析】〔1〕利用不等式的性质，即可证明结论．〔2〕此题考察等差数列的证明、反证法的证题方法，由“不可能成等差数列〞自然想到反证法，先假设数列成等差数列，在此根底上进展推理，由推理结果矛盾使问题得证．【详解】〔1〕证明：因为，所以从而，即．所以．〔2〕证明：假设成等差数列，那么．又成等差数列，所以．那么，即．故，即有：，所以．从而．这与公差矛盾．从而假设不成立，所以不可能成等差数列．【点睛】此题考察不等式的证明，考察综合法，反证法。
2022-2021学年高二数学下册期中试题(含解析)
高二数学下学期期中试题（含解析）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则UA = （ ）A. {}0,1,2B. {}2,1,0--C. {}1,2--D. {}1,2【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．【详解】由题意，集合{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则{}0,1,2A =， 所以根据集合的补集的运算，可得{}2,1UA =--．故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再根据集合的补集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.若向量b 与向量()2,1a =-是共线向量，且35b =，则b =（ ） A. ()6,3-B. ()6,3-C. ()6,3-或()6,3-D. ()3,6-或()3,6-【答案】C 【解析】 【分析】根据b 与a 共线，可设()2,1b λ=-，再根据35b =，求得λ的值，即可得出向量b 的坐标．【详解】由题意，根据b 与a 共线，所以存在实数λ，使()2,1b λ=-； 又35b =，∴535=3λ=±；∴()6,3b =-或()6,3-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，以及向量坐标求向量长度的方法，其中解答中熟记向量的基本运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A.45B. 45-C.35D.35【答案】A 【解析】 【分析】πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可【详解】π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查诱导公式及角的变换，是基础题4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+ ，则()7f = （ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-， 又由函数为奇函数，则()()()211112f f -=-=-+=， 则()12f -=-，即()72f =-； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键6.可导函数()f x 在区间(), a b 上的图象连续不断，则“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据0()0f x '=和函数()f x 在区间(), a b 上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论．【详解】根据函数极值点的概念，可知()0, x a b ∈满足0()0f x '=，则0x 不一定是函数的极值点，例如()3,(2,2)f x x x =∈-，其中()00f '=，但0x =不是函数的极值点，此时函数()3f x x =在(2,2)x ∈-上没有最小值.又由函数(),(2,2)f x x x =∈-，其中当0x =时，函数()f x 取得最小值()00f =. 但0x =时，()f x '不存在，()2,0x ∈-时，()1f x '=-， ()0,2x ∈时，()1f x '=，所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”不成立.所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（ ） A. 420 B. 840C. 140D. 70【答案】A【分析】根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，然后进行全排列，即可求解，得到答案．【详解】由题意，9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8， 三位数要求既有奇数也有偶数，则若1个奇数，2个偶数，有123543180C C A =个，若2奇数，1偶数，有213543240C A A =个， 由分类计数原理可得，共有180240420+=个， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中结合条件分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，分类求解是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设向量,,a b c 满足||1,||2a b ==，0,()0a b c b a c ⋅=⋅+-=，则||c 的最大值等于（ ） A. 1 B. 2C. 51+5【答案】D 【解析】 【分析】设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===，运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值．【详解】由题意，向量,,a b c 满足1,2a b ==，0a b ⋅=， 可设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===，由()0c b a c ⋅+-=，可得()()()(),1,2120x y x y x x y y ⋅--=-+-=，整理得2220x y x y +--=，即()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即圆心(1,12)，半径5则c 的最大值为25r =【点睛】本题主要考查了向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.9.设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，过点()2, 0P -的直线l 交抛物线C 于, A B 两点，点Q为线段AB 的中点，若47FQ =，则AB = （ ） 2 B. 2C. 2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为()2y k x =+，联立方程组得2222240k x k x k +-+=（），由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率，然后利用弦长公式，即可求解．【详解】由题意，设直线l 的方程为()2y k x =+，112200, ,()()() , A x y B x y Q x y 、、，联立方程组28(2)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，化简得2222(48)40k x k x k +-+=，∴212284k x x k -+=，124x x =，则1212()84y y k x x k +=++=， 由中点公式，可得20242k x k -=，04y k =， 又由2222424247k k k ⎛⎫-⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33k =±， 所以22111201616233AB x =+-=-= 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.已知函数)22()log 13f x x x x =-+-，当2019x y +=时，恒有()()()2019f x f f y +>成立，则x 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1(,1)2C. (,0)-∞D. (1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得出()f x 在R 上是奇函数且为减函数，据此对x 进行分情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数)22()log 13f x x x x =-+-，定义域为R ，且满足())()()2222log ()13log 13f x x x x x x x f x -=--++=++=-，所以函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则有()00f =，又由()f x 在[0, )+∞单调递减，则()f x 在(,?0]-∞上也为减函数， 则()f x 在R 上为减函数，则()20190f <，当0x <时，20192019y x =->，即()()()2019f x f f y >>， 则恒有()()()2019f x f f y +>成立，当0x =时，2019y =，此时()()()()20192019f x f f f y +==，()()()2019f x f f y +>不成立，当0x >时，20192019y x =-<，此时不能满足()()()2019f x f f y +>恒成立， 所以x 的取值范围是(,0)-∞． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，其中根据函数的解析式判定出函数的奇偶性和单调性，分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知复数z 满足1iz i-=（i 是虚数单位），则2z =_____；z =_____． 【答案】 (1). 2i 2 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，进一步求得2z ，再由复数模的计算公式求z ． 【详解】由题意，根据复数的运算，化简得21(1)()1i i i z i i i ---===---， 所以()2212, 2z i i z =--==故答案为：2i 2【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.计算：4log 2=_____；满足log 21x >的实数x 的取值范围是_____．【答案】 (1). 14(2). 12x <<． 【解析】 【分析】利用对数的换底公式及对数的运算性质求4log 2；把log 21x >化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解．【详解】由题意，根据对数的运算法则，可得12422lg 21log 2lg 4lg 24===，由log 21log xx x >=，当01x <<时，得2x >1x >时，得12x <<，∴实数x 的取值范围是12x <<．故答案为：14；12x <． 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12, A A 分别是双曲线的左、右顶点，00,() M x y 是双曲线上除两顶点外的一点，直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，则双曲线的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为_____．【答案】 (1). 53 (2). 221916x y -=【解析】 【分析】根据000()), (M x y x a ≠±是双曲线上一点，代入双曲线的方程，由直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，求出直线1MA 与直线2MA 的斜率，然后整体代换，进而求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程．【详解】由题意，设000()), (M x y x a ≠±是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，则2200221x y a b -=，得到2220022y x a b a-=，故2202220y b x a a =-， 又()()12,0, ,0A a A a -， ∴1222000222000169MA MA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--，得43b a = ∴221651193c b e a a ==+=+=， 其渐近线的方程为b y x a =±，即43y x =±，即430x y ±=，设双曲线的一个焦点坐标为(),0c ，则双曲线的焦点到其渐近线的距离445c=，解得5c =， 又因为222c a b =+，所以229, 16a b ==，故双曲线的方程为221916x y -=，故答案为：53，221916x y -=.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查化简整理的运算能力，属于中档题．14.二项式()512x -的展开式中系数最大的项为_____；已知52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a -+-+=_____．【答案】 (1). 480x (2). 810-． 【解析】 【分析】由二项式()512x -的展开式中通项()152rr rr T C x +=-，列出不等式组，求得r 的值，即可得出最大的项．对于二项式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导，再令1x =-，即可求解．【详解】由题意，二项式()512x -的展开式中通项公式()()15522rrrr r r T C x C x +=-=-．由()()()()115511552222r r r r r r r r C C C C --++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得4r =，即展开式的最大的项为()444455280T C x x =-⨯=． 由二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导可得：()42341234525122345x a a x a x a x a x -⨯⨯-=++++， 令1x =-，可得()4123452345251210[1]8a a a a a -+-+=-⨯⨯-⨯-=-．故答案为：480x ，810-．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15.已知向量()2,4a =，向量a 在向量b 上的投影为3，且33a b -=，则b =_____． 【答案】7． 【解析】 【分析】根据条件即可得出220,cos ,3a a a b =〈〉=，然后对33a b -=两边平方，可得出2||670b b --=，即可求解b ，得到答案．【详解】根据条件：220,cos ,3a a a b =〈〉=，且33a b -=； 则()22222cos ,||62027a ba ab a b b b b -=-〈〉+=-+=；整理得2||670b b --=，解得7b =或1-（舍去）． 故答案为：7．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答） 【答案】168． 【解析】 【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置， 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5位置，可分4种情况讨论：①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 若乙在6号位置，有23212A ⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有241236+=种排法； ②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置， 若乙在1号位置，有23212A ⨯=种排法， 若乙在5号位置，有223212A A ⨯=种排法， 若乙在6号位置，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有12122448++=种排法；④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有36364848168+++=种不同的排法； 故答案为：168．【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.已知不等式()10x e a e x b -+++≤恒成立，其中e 为自然常数，则1b a+的最大值为_____． 【答案】1e【解析】 【分析】先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定1b a+的最大值. 【详解】令()()1()()1xxf x e a e x b f x e a e '=-+++∴=-+ 当0e a -≥时，()0,,()f x x f x '>→+∞→+∞，不满足条件； 当0e a -<时，()0ln()f x x a e '=⇒=--，当ln()x a e >--时()0,f x '<当ln()x a e <--时()0,f x '> 因此()(ln())1ln()10f x f a e a e b ≤--=---++≤，从而1ln()1,()b a e a e a a+-+≤> 令2ln()ln()1(),()()ea e a e a e g x a e g x a a ---+-'=>∴=再令21ln()0()e e y a e y a e a e a e-'=--∴=-<--- 所以当a e e ->时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'<-=∴<<=； 当0a e e <-<时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'>-=∴><=； 即max 1()(2)g x g e e ==，从而1b a+的最大值为1e . 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.设函数2()3cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+的图象关于直线x π=对称，其中常数1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）65π（2）[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解ω，即可求解函数的周期．（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数性质求得函数的最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数2()3cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+32cos 2x x ωω=-2sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称， 所以()2sin 226f ππωπ⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z πππωπ-=+∈， 解得1,23k k Z ω=+∈，又因为1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以56ω=，即5()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期为265T w ππ==. （2）因为305x π≤≤，所以556366x πππ-≤-≤，则52sin [1,2]36x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤，即函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围[]1,2-. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD平行四边形，60ABC ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90,2BAP AB AC PA ∠=︒===．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若点M 为PD 中点，求直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）2114【解析】 【分析】（1）证明PA AB ⊥，推出PA ⊥面ABCD ，得到PA BD ⊥，证明BD AC ⊥，说明BD ⊥面PAC ，即可证明面PBD ⊥平面PAC ．（2）取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，求出面PBC 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【详解】（1）由题意，因为90BAP ∠=︒，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ， 所以PA ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥ 又因为四边形ABCD 为平行四边形，且60, ABC AB AC ∠=︒= 则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥ 又PAAC A =，则BD ⊥面PAC ，BD ⊂面PBD ，则面PBD ⊥平面PAC ．（2） 取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，(31,0)B -，30)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ， 由点M 为PD 中点，()0, 1, 1M ，则(3,0,1),(3,1,2),(3,1,2)MC PB PC =-=--=-，设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则31,0,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设直线MC 与面PBC 所成角为θ，则||21sin |cos ,|14||||MC n MC n MC n θ⋅=〈〉== 所以直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值为2114．【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围． 【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件．综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过A 作斜率分别为12, k k 的两条直线，分别交椭圆于点, M N ，且122k k +=，证明：直线MN 过定点．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用椭圆C 过点()0, 1A ，以及离心率为32，求出, a b ，即可得到椭圆方程． （2）设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，求得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：y kx b =+，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及122k k +=，得到k 与b 的关系，代入直线的方程，即可求解．详解】（1）由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，即211b=，解得1b =，由离心率32c a =222a c b -=，解得2a =，所求椭圆方程为：2214x y +=. （2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -， 则1211,s s k k t t-+==--，所以121122s s k k t t t -++=+==---，解得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立方程组2244x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，设1122, , ,()() M x y N x y ，则2121222844,4141kb b x x x x k k -+=-⋅=++ （*）， 则()()121212121212121212122(1)11y x x y x x kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+--+=+==，将*式代入化简可得：288244kb kb -=-，即()()110k b b ---=，整理得1k b =+， 代入直线MN 方程，得()()11y b x b b x x =++=++，即()10b x x y ++-=，联立方程组10x y x+=⎧⎨=⎩，解得1,1x y =-=-， 恒过定点()1,1--.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.设函数()2ln 1,) (f x ax x x a a R =-+-∈．（1）当0a =时，求证：()f x x ≤；（2）当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）当0a =时，()ln 1f x x x =--，不等式()f x x ≤化为ln 10x x x ++≥，构造函数()ln 1s x x x x =++，利用导数求函数()s x 的最小值，从而证明不等式成立；（2）方法1：不等式化为2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，令()2ln 1g x x x =+，利用导数判断()0g x >，不等式化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，求出()h x 的最大值，即可得出a 的取值范围．方法2：讨论1x =时，()10f ≥，求得a 的取值范围，再证明1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上()0f x ≥恒成立．【详解】（1）当0a =时，()()ln 1ln 1f x x x x x =--=-+， 要证明()f x x ≤，即证明ln 10x x x ++≥； 记()ln 1s x x x x =++，则1'()ln 1ln 2s x x x x x=+⋅+=+； 当20,()x e -∈时，()'0s x < ，函数()f x 在20,()x e -∈上单调递减；当2,()x e-∈+∞时，()'0s x >，函数()f x 在2,()x e -∈+∞上单调递增；所以()()()222212110s x s ee e e---≥=-++=-≥，即()f x x ≤； （2）方法1：2ln ln 10ax x x x a -+-≥ 即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+， 令()2ln 1g x x x =+，令()()'2ln 2ln 10g x x x x x x =+=+=，得12x e -=；所以()g x 在120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调减，在12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调增，则()211221111022g x g e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅-+=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，可化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+， 记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，则()()2222ln ln 2ln 1'ln 1x x x x x x h x x x -+-+-=+，且()'10h =； 再令()22ln ln 2ln 1F x x x x x x x =-+-+-，精品 Word 可修改 欢迎下载 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()2222ln ln 2ln 1ln 12ln 1F x x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-+-， ()22ln 1F x x x x ≥-+-，由（1）可知1ln 1x x ≥-，0x >时成立，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，221ln 1x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭， 由此22221()ln 111(1)0F x x x x x x x x x ⎛⎫≥-+-≥--+-=-≥ ⎪⎝⎭，()h x 在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调增；当,()1x ∈+∞时，()()()22ln 12ln 10F x x x x x x =-+-+-≤，()h x 在,()1x ∈+∞上单调减；因此()()11h x h ≥=，故1a ≥；方法2：当1x =时，()110f a =-≥，由此1a ≥证明如下：当1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立， ()()2ln 1(ln 1)f x a x x x x =+-+，同法1证明，()2ln 10g x x x =+>，()()()222ln 1ln 1l ()()()n 1ln 1ln 0f x a x x x x x x x x x x x =+-+≥+-+=-≥；所以()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立，故1a ≥． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
上海市控江中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(教师版)
控江2023学年第二学期高二年级数学期中一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知，则________.【解析】【分析】由空间向量的模长公式可直接求得答案.【详解】因为，所以2. 抛物线的焦点到准线的距离为______.【答案】1.【解析】【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.3. 椭圆离心率为________.【答案】##0.5【解析】【分析】求出椭圆参数，利用离心率的定义直接计算即可.【详解】椭圆的方程为，则故答案为：.的()0,1,2AB = AB =()0,1,2AB = AB == 22y x =1p =22y x =1p =2211612x y +=122211612x y +=4,2,a b c ====21.42c e a ∴===124. 双曲线的渐近线斜率的绝对值是________.【答案】##0.5【解析】【分析】由双曲线的标准方程即可求得双曲线的渐近线方程，则双曲线渐近线斜率的绝对值可得.【详解】由双曲线方程为，可得双曲线的渐近线方程为，则双曲线渐近线斜率的绝对值为，故答案为：.5. 已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱,根据圆柱的体积公式,即可得到答案.【详解】由题意可知: 正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱其底面半径 高根据柱体体积公式:故答案为.【点睛】本题考查了圆柱的体积计算,考查了计算能力,属于基础题.6. 设椭圆上一点M 到左焦点的距离为3，记N 为的中点，O 为坐标原点，则______.【答案】【解析】【分析】由题意可推出，，进而利用椭圆的定义求出即可.【详解】由已知可得，，.因为N 为的中点，是的中点，所以是的中位线，所以，，2214x y -=122214x y -=12y x =±1212π1r =1h =V Sh π==π2212516x y +=1F 1MF ON =72212ON MF =2MF 5a =13MF =1MF O 12F F ON 12F F M △212ON MF =根据椭圆的定义，可得，故答案为：.7. 已知点在椭圆上运动，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由椭圆方程进行代换得，再结合三角函数的知识即可求得答案.【详解】椭圆上的点可设为，即，所以，故答案为：.8.已知抛物线的焦点是F ，点A ，若抛物线上存在一点M 使得最小，则M 点的横坐标为______.【答案】##0.5【解析】【分析】求出抛物线的焦点及准线，利用抛物线定义结合几何图形推理作答.【详解】抛物线的焦点，准线，显然点在抛物线内，过点A 作于点N ，交抛物线于M ，连MF ，如图，12210MF MF a +==72(),P s t 22143x y +=12s t +[]22-,2cos ,s t θθ==22143x y +=(2cos )θθ2cos ,s t θθ==[]1πcos 2sin()2,226s t θθθ+=+=+∈-[]22-,28y x =(3,2)||+MA MF 1228y x =(2,0)F :2l x =-(3,2)A AN l ⊥在抛物线上取点，过作于，连接，有，则有，当且仅当点与M重合时取等号，因此，此时点M 的纵坐标为2，则其横坐标，所以M 点横坐标为.故答案为：9. 过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________.【答案】或【解析】【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l 截圆所得弦长为，满足题意，设直线l 的方程为，即.由垂径定理，得圆心到直线l 的距离，，化简得，解得，即直线l 的方程为.故答案为：或.的M 'M 'M N l ''⊥N ',,M F M A AN '''||||,||||MF MN M F M N '''==||||||||||||||||||||M A M F M A M N AN AN MA MN MA MF ''''''+=+≥≥=+=+M 'min(||)3(2)5MA MF +=--=22182M x ==1212()1,3A -l 224x y +=l =1x -4350x y +-==1x -=3(1)y k x -=+30kx y k -++=1d ==122691k k k ++=+43k =-4350x y +-==1x -4350x y +-=10. 已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】首先设处对称的两点，利用点差法求中点坐标，利用中点和抛物线的关系，即可列式求解.【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，，则，两式相减得，由条件可知，，即，所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为，由题意可知，中点应在抛物线内，即，得.故答案为：11. 已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为________.【答案】【解析】【分析】首先去绝对值符号画出曲线C 的图象，再分析可得的图象是的图象分别向上和向下平移k 个单位得到的，通过数形结合的方式即可求得答案.【详解】曲线C ：，曲线，当时，曲线可作图如下：R m ∈24y x =y x m =+m (),3-∞-y x m =+()11,A x y ()22,B x y 21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()()()1212124y y y y x x +-=-12121y y x x -=--124y y +=-AB 2-2m --()2,2m ---AB ()()2242m -<⨯--3m <-(),3-∞-0k ≥:k C y x k -=2:C y x =k a k k a {}3,4,6,8:,0k C y x k k -=≥y x =2,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩:,0k C y x k k -=≥0k =:k C y x =，此时交点个数为3，即；当时，若，则曲线，相当于将向上平移了k 个单位；若，则曲线，相当于将向下平移了k 个单位；因此曲线是的图象分别向上和向下平移k 个单位得到的，当k 在增大的过程中，图象变化如下：如下图所示：，此时；如下图所示：，3k a =0k ≠y x ≥:,0k C y x k k =+>y x =y x <:,0k C y x k k =->y x =:,0k C y x k k -=>y x =8=k a此时；如下图所示：，此时；故答案为：.12. 在一个阳光明媚周末，市射击俱乐部举办了一场盛大的射击比赛，来自各地的射击爱好者纷纷报名参加，甲乙作为一个组合报名参加了射击小组赛.该项比赛规则为：每个小组2人，每人每轮依次射击一次，共有2轮.若两人合计射中靶心次数不少于3次，则称这组为“神枪手组合”.已知甲、乙射中靶心的概率分别为和，若，那么甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的最大可能性为________（假设所有选手每次射击都互相独立）.【答案】【解析】【分析】先表示出甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的概率，转化为关于的二次函数，结合均值不等式和二次函数求最值得到概率的最大值.【详解】甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号有两种情况，分别为四枪全射中靶心和三枪射中靶心，四枪射中靶心的概率为，三枪射中靶心的概率为，所以甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的概率，由知设，则，在时取得最大值，的6k a =4k a ={}3,4,6,81P 2P 1275PP +=497512x PP =2212P P ()()211212222112C 1C 1P P P P P P ⨯-+-⨯()()()()22112221222211212121212121214C 1C 122335P P P P P P P P P PP P P PP PP PP =⨯-+-⨯+=+-=-+1275P P +=()212124904100P P PP +<≤=12490,100PP x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦21435P x x =-+715x =P，故答案为：.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第13-14题各4分，第15-16题各5分13. 直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（ ）A. 相交 B. 平行C. 异面D. 以上都有可能【答案】D 【解析】【分析】借助长方体模型可判断直线与直线的位置关系.【详解】如下图所示：在长方体中，将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线相交；将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线平行；将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线异面.综上所述，直线与直线相交、平行或异面.故选：D.14. 已知点的，曲线的方程，曲线的方程，则“点在曲线上“是”点在曲线上“的A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】max 77147493151551575P =-⨯⨯+⨯=4975a b c b a c a c 1111ABCD A B C D -a b c AB AD 1AA a c a b c AB 1AA 11A B a c a b c AB 1AA 11A D a c a c (),P a b 1C y =2C 221x y +=(),P a b 1C (),P a b 2C根据充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】当点在曲线上时，有，所以由点在曲线上，可以推出点在曲线上；当点在曲线上时，有在曲线上不一定能推出点在曲线上，所以“点在曲线上“是”点在曲线上“的充分非必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了点与曲线的关系，属于基础题.15. 圆上到直线的距离为1的点有（ ）A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个【答案】B 【解析】【分析】先求圆心到直线的距离，结合圆的性质分析判断.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径可知圆心到直线的距离且，所以圆上到直线的距离为1的点有2个.故选：B.16. 已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）A.B.C. D.(),P a b 1C 221b a b ⇒+==(),P a b 1C (),P a b 2C (),P a b 2C 221a b b +=⇒=(),P a b 2C (),P a b 1C (),P a b 1C (),P a b 2C 222x y +=10x y ++=222x y +=()0,0r =()0,010x y ++=d ==01<<222x y +=10x y ++=22Γ:13x y -=:1l x =,A B ΓP Γ,A B ,AP BP l ,M N ,PMN PAB 12,S S 12S S 1429316425【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值.【详解】如图：因为为双曲线上异于的两点，，即.根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，()令 ，得.用代替，得直线：，令得，所以设，的外接圆半径分别为，，则，，所以，当且仅当此时两个三角形外接圆得面积比：.13PA PB k k ⋅=PA k k MN ,PMN PAB 12,r r ABMN 21122S r S r ⎛⎫= ⎪⎝⎭(),P x y 2213x y -=,A B 13=13PA PB k k ⋅=P PA (y k x =0k <<1x =)()1,1M k +13k k PB (13y x k =1x =N ⎛ ⎝)1MN k =++PMN PAB 1r 2r 12sin MN r APB=∠22sin AB r APB=∠12MN r r AB==≥=k =2112229S r S r ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：B三、简答题（本大题满分78分）本大题共有5题17. 如图，在棱长均为1的正三棱柱中，点在棱上，且.记，，.（1）用表示、；（2）求直线与直线所成角的大小.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；（2）借助空间向量夹角公式计算即可得.【小问1详解】，；【小问2详解】111ABC A B C -E 11A B 11113A E A B = 1AA a = AB b = AC c = ,,a b c BC AE BC AE BC c b =- 13AE a b =+b B Ac B C AC =-=- 1111133AE AA A E AA AB a b =+=+=+cos ,A E AE AE BC BC BC ⋅===设直线与直线所成角的大小为，则，即.18. 冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从过50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试（满分100分），所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（1）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（2）分别求出样本数据中男生成绩的平均数和方差，女生成绩的平均数和方差，并根据所得数据对比男生与女生在这次测验中的表现.（结果精确到0.1）【答案】（1）5万人 （2），；，，女生平均成绩更高，也更稳定【解析】【分析】（1）根据分层抽样中的比例关系直接计算得到答案.（2）先利用平均数和方差公式计算男生和女生的平均数和方差，然后利用统计知识判断即可.小问1详解】样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.【小问2详解】样本数据中男生成绩的平均数，方差；女生成绩的平均数.【===BC AE θcos cos ,E B A C θ== θ=x 21σy 22σ65x =21132.5σ=69.7y ≈22119.9σ≈802250520⨯=4653686360747185658x +++++++==21σ()()()()22222222119123259620132.58⎡⎤=-+-++-+-+++=⎣⎦y 47575965667173757678818883669.71212+++++++++++==≈.因为，，所以女生平均成绩更高，也更稳定.19. 已知，直线与双曲线相交于不同的点.（1）若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围；（2）若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直线与双曲线方程联立，消元得到一个元二次方程，由题意得到不等式组，解这个不等式组即可求出实数的取值范围；（2）利用圆的性质.利用平面向量的数量积，结合（1）中的一元二次方程，可以求出实数的值.【小问1详解】直线与双曲线方程联立得：，因为直线与双曲线相交于不同的两点分别在双曲线的左、右两支上，所以有：，因此实数的取值范围为；【小问2详解】设，因为线段为直径的圆经过坐标原点，所以有，即，由（1）可知：，则，22σ=()()()()()222222222222122.712.710.7 4.7 3.7 1.3 3.3 5.3 6.38.311.318.312⎡⎤-+-+-+-+-+++++++⎣⎦119.9≈x y <2212σσ>R k ∈1y kx =+2241x y -=,A B ,A B k AB k ()2,2-k =k k 22221(4)22041y kx k x kx x y =+⎧⇒---=⎨-=⎩1y kx =+2241x y -=,A B ()222240Δ(2)4(2)4022204k k k k k ⎧⎪-≠⎪⎪=--⨯-⋅->⇒-<<⎨⎪-⎪<⎪-⎩k ()2,2k ∈-1122(,),(,)A x y B x y AB 0OA OB ⋅= 12120x x y y +=12122222,44k x x x x k k --+=-=--21212121212120(1)(1)0(1)()10x x y y x x kx kx x x k k x x +=⇒+++=⇒++++=即.20. 已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且.（1）如图1，若点在棱的中点处，求证：平面；（2）如图2，若，求三棱锥的体积；（3）如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值.【答案】（1）证明见解析（2 （3【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）首先需要结合余弦定理以及等面积法求出，则的结果可得，因此可将求问题转化为求问题，最终结果乘以即可得答案.（3）取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为Q ，连接，则平面，则点在以点为球心、为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案．【小问1详解】由于E 是的中点，结合正四面体的性质可得,又因为，所以平面；【小问2详解】222222(1)()10244k k k k k k k--++-+=⇒=⇒=--A BCD -E CD F AE BF AE ⊥E CD CD ⊥ABE 2DE EC =B CEF -E CD CF EF 514EF AE =F BCE V -A BCD V -514AB O CD M AM AM N 2AN NM =AN OQ OQ ⊥ACD F O AB Q CD ,AE CD BE CD ⊥⊥AE BE E =I CD ⊥ABE因为，所以，在三角形ACE 中，由余弦定理可得，同理在三角形ABE 中，E 到AB所以由等面积法可得，代入数据得，所以因为，所以F 到底面BCD 的距离为A 到底面BCD的距离的，三角形BCE 的面积是三角形BCD 面积的，所以，如图，取CD 中点记为H ，AG 为棱锥的高，，所以，则，所以.【小问3详解】2DEEC =22DE EC ==AE ==BE==BF AE ⋅=BF =EF =514EF AE ==5141315531442F BCE A BCD V V --=⨯=AH ==BG ==AG ==°1133sin 6032A BCD V -⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭554242F BCE A BCD V V --===∵，∴点在以为直径的球面上，取的中点为，∵点在中，由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，∴点的轨迹为一段圆弧，取的中点为，连接，在上取一点，使得，在等边中，易得点为的中心，∴在正四面体中，易得平面，取的中点为，连接，则，则平面，由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直，∴点轨迹是以点为圆心的一段圆弧，在中，，，∴，则，∴，∴，∴圆的半径而，∴的BF AE ⊥F AB AB O F ACD F CD M AM AM N 2AN NM =ACD N ACD A BCD -BN ⊥ACD AN Q OQ //OQ BN OQ ⊥ACD F Q ACD 3AC =32CM =AM =AN =BN =OQ =Q r =CQ =CF CQ r ≥-=故．21. 已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的两点.（1）当且的斜率为1时，求；（2）当时，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得对于任意的直线、都不是直角三角形.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.【答案】（1（2） （3），理由见解析【解析】【分析】（1）由题意，利用与椭圆联立得两点坐标，再求的值，即可求解；（2）设出直线方程，与椭圆联立列韦达定理，坐标化，代入，，，得到关于的式子，即可求解.（3）设直线的方程为，联立方程组得到，结合不成立，得出方程无解，进而求得实数的取值范围.【小问1详解】解：由椭圆，可得，则，所以，当时，直线，联立方程组，解得，，则【小问2详解】解：当斜率为时，由，，可得，CF R m ∈22Γ:12x y +=F (),0M m l Γ,A B 0m =l AB 1m =-⋅ FA FB ()1m m ≠l ABF △m 71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()40,1(1,)3l ,A B AB l Γ121212()FA FB x x x x y y ⋅=-++ 12x x 12x x +12y y t AB x ky m =+1212,y y y y +0FA FB ⋅= 22340k m m -+-=m 22Γ:12x y +=222,1a b ==1c ==(1,0)F 0m =:l y x =2212y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩A B ⎛ ⎝AB =l 0()A )B 1 FA FB ⋅=-当斜率不存在时，由，可得，当斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，设，则，且，由，则，令，可得且，则，综上可得，的取值范围为.【小问3详解】解：设直线的方程为联立方程组，整理得，设，则，且，设，因为，，l ,1,A B ⎛⎛-- ⎝⎝72FA FB ⋅=l (1)y k x =+22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(21)4220k x k x k +++-=()()1122,,,A x y B x y 2222(4)4(21)(22)0k k k ∆=-+->22121222422,2121k k x x x x k k -+=-=++1122,(1,)(1,)FA F x y x y B =-=- 1212121212121()()111)()(FA FB x x x x y y x x x k x k x x ⋅=-++-+=++⋅+++ 1122222(1)((1)1)x k x k k x x =+-++++22222222222471(1)(1)1212121k k k k k k k k k --=⋅-+⋅-+=++++221t k =+212t k -=1t ≥22797179722[1,)21222t k k t t --==-∈-+⋅ FA FB 71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦AB x ky m=+2212x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(2)220k y kmy m +++-=()()1122,,,A x y B x y 222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+->212122222,22km m y y y y k k -+=-=++()()()11221212121,·1,1T FA FB x y x y x x y y x x =⋅=--=+-++ 1212()2x x k y y m +=++22121212()x x k y y mk y y m =+++所以，要使得都不是直角三角形，只需不成立，即方程无解，即无解，所以，解得，又因为，所以实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.221212(1)(1)()(1)T k y y k m y y m=++-++-222222222234(1)(1)(1)222m km k m mk k m mk k k--+-=+--⋅+-=+++ABF△0FA FB⋅=22340k m m-+-=2234k m m=-2340-<m m43m<<1m≠m()40,1(1,3⋃。
上海市控江中学高二期中数学学科考试试卷(含答案)(2019.04)
控江中学高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 复数1i -的虚部是2. 两条异面直线所成角的取值范围是3. 若直线a 、b 与平面α所成的角相等，则直线a 、b 的位置关系是 （填“平行、相交、异面”中的一个或几个）4.计算：2021=5. 已知复数134i z =+，2i z t =+，且12z z ⋅是实数，则实数t =6. 如果实数x 、y 满足102010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数4z x y =+的最大值为7. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则点1A 到平面ADE 的距离为8. 正方形ABCD 在平面M 的同一侧，若A 、B 、C 三点到平面M 的距离分别是2、3、4，则直线BD 与平面M 的位置关系是9. 如图，Rt △ABC 的直角顶点A 在平面α内，BC ∥α，BC =，AB 、AC 与α分别成30°、45°角，则BC 与平面α的距离是 10. 已知12,z z C ∈，下列命题：（1）若22120z z +=，则120z z ==；（2）若||1z <，则11z -<<； （3）若12z z >，则120z z ->；（4）若0z z +=，则z 是纯虚数； 其中真命题的序号是11. 下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）12. 已知复数1z 、2z 满足1||1z ≤，21Re 1z -≤≤，1Im 1-≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积是二. 选择题13. 已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能14. 若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ） A. 若m ∥α，n α⊄，则m ∥n B. 若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥ C. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D. 若m αβ=，m n ⊥，则n α⊥15. 已知集合{||5i ||5i |8,}A z z z z C =+--=∈与{|||4,}B z z z C ==∈，则集合A B 中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边 三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方 形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方 形ABCD 内的轨迹是（ ）A. B. C. D.三. 解答题17. 已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=. （1）若2m =，求此方程的解；（2）若方程的一个根α满足||2α=，求实数m 的值.18. 已知三种食品P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示，现将x 公斤的食品P 、y 公斤的食品Q 、z 公斤的食品R 混合，制成10公斤的混合物，如果这10公斤的混合物中至少含320单位的维生素A 与640单位的维生素B .（1）当1x =，2y =时，求10公斤混合物中维生素A 的总含量； （2）当x 、y 、z 为何值时，混合物的成本最小？19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，2AD AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.（1）求直线FB 与平面ABCD 所成的角的余弦值； （2）求二面角F AE D --的大小（用反三角函数表示）.20. 已知虚数z 使得4m z z=+是实数. （1）求||z 的值； （2）求m 的取值范围；（3）若(2)(1i)z ++是纯虚数，求z 的值.21. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱AB 、AD 的中点. （1）求异面直线1BC 与EF 所成角的大小；（2）连接AC ，与EF 交于点M ，点N 在线段1A C 上移动，求证：MN 与EF 保持垂直； （3）已知点G 是直线1A E 上一点，过直线11B D 和点G 的平面交平面1A EF 于直线GH ，试根据点G 的不同位置，判断直线11B D 与直线DH 的位置关系，并证明你的结论.参考答案一. 填空题1. 1-2. (0,]2π3. 平行、相交、异面4.1i 25.34 6. 727. 8. 平行9. 2 10. （3） 11. ①④⑤ 12. 12π+二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. B三. 解答题17.（1）1i x =±；（2）{0,8,4}m =-. 18.（1）310；（2）2x =，5y =，3z =.19.（1（2）20.（1）||2z =；（2）(4,4)-；（3）2i z =. 21.（1）3π；（2）证明略；（3）异面、相交.。
2021-2022年高二数学下学期期中试题(普通班)
2021-2022年高二数学下学期期中试题（普通班）注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分.本场考试不得使用计算器，请考生用黑色字迹的签字笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上.一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1.“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2.已知:命题:，总有；命题:是方程的根，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．3.设，则（）A.1B.2C.3D.44.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2 C. D.15.若变量满足约束条件0,4,0,x yx yy k-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且的最小值为，则（）A. B. C. D.6.方程与在同一坐标系中的大致图象可能是（）7.已知,不等式在上恒成立，则的取值范围是( ) A. B. C. D.8.如图，分别是双曲线，的左、右两个焦点，为双曲线右支上一点，圆A 与三边所在直线都相切，切点分别为B,C,D,若,则此双曲线的离心率为（ ）第Ⅱ卷二．填空题（本大题有7小题，9~12题每题6分，第13~15题每题4分，共36分）9.已知函数，则的定义域为___，它的单调递增区间是_____ 10.函数为奇函数，则实数=_________;函数在上的值域为_______11.已知函数，若，求=_______;若是上的单调函数，则的取值范围是_________12.若实数满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-1422y y ax y x ，目标函数，若，则的最大值为_________;若存在最大值，则的取值范围_________13.过点作圆的切线，切点分别为,直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程_______14.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，则的最小值__________15.如图，已知双曲线，的左焦点为，过做斜率为1的直线交双曲线的渐近线于两点，且，则该双曲线的离心率为____三．解答题（本大题有5小题，共74分）16.(本题满分14分)已知直线，．(Ⅰ）若，求实数的值；(Ⅱ）当时，求直线与之间的距离．17.(本题满分15分)设命题：实数满足，其中；命题：实数满足；(Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；(Ⅱ）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．（第1518.(本题满分15分)已知抛物线C:()的焦点为(Ⅰ）求抛物线的方程；(Ⅱ）已知过点的直线与抛物线C交于A,B两点，且，求直线的方程19.(本小题满分15分)已知椭圆的左右焦点为，且离心率,直线与椭圆交于两不且倾斜角为时，原点O到同点.当直线过椭圆C右焦点F2直线的距离为.(Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ）若，当面积为时，求的最大值.20（本题满分15分）已知定义在上的函数⎪⎩⎪⎨⎧>--+-≤<-=1),12(210,11)(2x a ax x x x x f （其中），(Ⅰ）若当且仅当时，方程有三个不等的实根，求的值; (Ⅱ）若函数在上的最大值为，求的表达式.桐乡市高级中学xx学年第二学期高二年级期中考试数学参考答案（普通班）一．选择题（每小题5分，共40分）1．B 2．A 3．D 4．A 5．A6．B 7．D 8．B二．填空题（9~12题每题6分，第13~15题每题4分，共36分）9．； 10.； 11．8； 12．3；13．； 14.6 15．．三．解答题（共74分）16.（本题14分）解：（Ⅰ）若，则，那么（Ⅱ）若，则，那么或(舍去)当时，17．（本题15分）解：（Ⅰ）即；而为真，则（Ⅱ），则而是的必要不充分条件，则，则，则18．（本题15分） 解：（Ⅰ） （Ⅱ）设直线 联立得 直线方程或 19．（本题15分）解：（Ⅰ）因为直线的倾斜角为，， 所以，直线的方程为， 由已知得，所以. 又，所以，,椭圆的方程 . （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则， 由在椭圆上，则，而，则 知=.当直线的斜率存在时，设直线为，代入可得 ，即222(23)6360k x kmx m +++-=，由题意，即.2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++.12PQ x =-==，11222POQS d PQ ∆=⋅⋅==, 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=， 即. 则，满足,由前知，2121232()22k y y k x x m m m m+=++=-+=， 22221212222941()()2(3)k ON x x y y m m m=+++=+=-.22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m+-+=+==++ 2222114(3)(2)25ONPQ m m=-+≤，当且仅当，即时等号成立， 故.综上可知的最大值为. ……………………………………15分20．（本题15分）解：解：（Ⅰ）由题意， 当时，)]12()[1()1()()12(2)(222----=-+--=--+-=a x x a a x a ax x x f ，所以，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由于当且仅当时，方程有三个不等的实根， 故，解得a =2 . …………6分（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-+--≤<--+-≤<-==12),12(221),12(210,11|)(|)(22a x a ax x a x a ax x x x x f x g (1) 当，即时，在上单调递减， 所以；(2) 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故}15143,1max{)}43(),21(max{)(2-+-=-=a a a g g a M ， 令在上为增函数，故，所以；(3)当，即时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故})1(,1max{)}(),21(max{)(2-==a a g g a M ， 而当时，， 故；(4)当，即时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，，，当时，，故}15143,)1max{()}43(),(max{)(22+--=-=a a a a g a g a M ， ①当，即时，；②当，即时，，综上所述：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>+-+≤<-≤<=2315143232)1(2231)(22a a a a a a a M ． 21784 5518 唘20807 5147 兇31607 7B77 筷Epe`35457 8A81 誁32500 7EF4 维39198 991E 餞21422 53AE 厮20154 4EBA 人P37121 9101 鄁%。
2022-2023学年上海市高二下期中考试数学模拟试卷及答案解析
2022-2023学年上海市高二下期中考试数学模拟试卷一．填空题（共12小题）1．（2021春•浦东新区校级期中）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的．2．（2021春•普陀区校级期中）圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的半径大小为．3．（2021春•浦东新区校级期中）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有种不同的选法（结果用数字作答）．4．（2020秋•杨浦区期末）若直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，则实数m ＝．5．（2021春•金山区校级期中）已知a、b、c为不重合的三条直线，且a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是．6．（2017秋•延安期末）已知球的直径为4，则该球的表面积积为．7．（2019•南通模拟）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则﹣z2＝．8．（2021秋•南开区校级月考）若复数z满足（3+4i）z＝1+i，则|z|＝．9．（2016秋•无锡期末）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1＝2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．10．（2021秋•宝山区校级月考）以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得的旋转体的表面积．11．（2008•扬州二模）设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则有d1+d2+d3+d4为定值．12．如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z的对应点组成图形的面积是．二．选择题（共4小题）13．（2021•浦东新区校级三模）已知z∈C，则“z2＝﹣|z|2”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（2021•自贡模拟）已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中错误的是（）A．AE⊥平面PABB．直线PD与平面ABC所成角为45°C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行D．直线CD与PB所成的角的余弦值为15．（2021春•徐汇区校级期中）已知直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以下判断正确的是（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行16．（2015春•上饶期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB 和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R给出下列结论：①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP．其中正确的结论是（）A．①B．②③C．①④D．②④三．解答题（共5小题）17．（2020春•威宁县期末）已知复数z＝（m∈R，i是虚数单位）．（Ⅰ）若z是纯虚数，求实数m的值；（Ⅱ）设是z的共轭复数，复数﹣2z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．18．（2021春•万宁校级期中）如图，在棱长为1的正方体中，求：（1）直线A1B与B1C所成的角的大小；（2）直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值．19．（2020春•闵行区校级期中）已知关于x的实系数一元二次方程x2+4x+p＝0的两个虚根是x1、x2．（1）若|x1|＝5，求p的值；（2）若|x1﹣x2|＝2，求p的值．20．（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA＝，直角梯形ABEF中，BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF ⊥平面ABCD．（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．21．（2021秋•杨浦区校级期中）已知三棱锥P﹣ABC中，（1）若PB＝PC＝BC＝AB＝AC＝2，且二面角P﹣BC﹣A为60°，求三棱锥P﹣ABC 体积．（2）若AB＝1，BC＝2，∠ABC＝，△PBA≌△CBA，面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，当PC与DQ所成角取得最小值时，求线段AQ的长度．2022-2023学年上海市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．（2021春•浦东新区校级期中）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．【考点】直线与平面垂直；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】阅读型．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．2．（2021春•普陀区校级期中）圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的半径大小为2．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【分析】已知能求出圆的标准方程，即可求解圆的半径．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣3＝0化为标准方程为（x﹣1）2+y2＝4，圆的半径为2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，圆的半径的求法，是基础题．3．（2021春•浦东新区校级期中）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有10种不同的选法（结果用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】根据题意，由组合数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，是组合问题，有C53＝10种选法，故答案为：10．【点评】本题考查组合数公式的应用，注意组合、排列的不同，属于基础题．4．（2020秋•杨浦区期末）若直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，则实数m＝6．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．【解答】解：∵直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，∴2×3+m×（﹣1）＝0，求得实数m＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．5．（2021春•金山区校级期中）已知a、b、c为不重合的三条直线，且a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是平行．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．【分析】利用平行公理进行判断．【解答】解：a、b、c为不重合的三条直线，且a∥c，b∥c，则由平行公理得a与b的位置关系是平行．故答案为：平行．【点评】本题考查两直线位置关系的判断，考查平行公理等等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．6．（2017秋•延安期末）已知球的直径为4，则该球的表面积积为16π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】直接利用球的表面积公式求解即可．【解答】解：球的直径为4，球的半径为：2，球的表面积为：4π×22＝16π．故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积的求法，是基础题．7．（2019•南通模拟）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则﹣z2＝1+3i．【考点】复数的运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z＝1﹣i（i为虚数单位），∴﹣z2＝﹣（1﹣i）2＝﹣（1﹣2i+i2）＝1+i﹣（﹣2i）＝1+3i．故答案为：1+3i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．8．（2021秋•南开区校级月考）若复数z满足（3+4i）z＝1+i，则|z|＝．【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及求复数模的公式，求解即可．【解答】解：∵（3+4i）z＝1+i，∴z＝＝，∴|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数的模，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9．（2016秋•无锡期末）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1＝2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间角．【分析】由CC1∥BB1，知∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成角的正切值．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA 1＝2AB＝2，则B1D1＝，BB1＝2，∴tan∠B1BD1＝＝．∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．（2021秋•宝山区校级月考）以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得的旋转体的表面积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；定义法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【分析】先确定旋转一周所得的几何体是两个同底的圆锥，然后确定圆锥的底面半径，由圆柱的表面积公式求解即可．【解答】解：以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体为两个同底的圆锥，该圆锥的底面半径为正三角形的高，即r＝，所以旋转体的表面积为S＝2×＝．故答案为：．【点评】本题考查了空间旋转体的理解与应用，圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥表面积公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11．（2008•扬州二模）设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则有d1+d2+d3+d4为定值a．【考点】类比推理．【专题】探究型．【分析】这是一个升维类比，线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积即可．【解答】解：由于等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；证明如下：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．S△APB＝a•PE，S△CPB＝a•PE，S△APC＝a•PG，+S△CPB+S△APC＝a•PE+a•PF+a•PG，于是S△APB即a•PE+a•PF+a•PG＝S，PE+PF+PG＝，为定值．即d1+d2+d3＝，为定值．由线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积得到：有d1+d2+d3+d4为定值a．故答案为：a．【点评】升维类比是一种比较重要的类比方式，要掌握好其类比规则，对于类比还有一点要注意，那就是类比的结论不一定是正确的12．如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z的对应点组成图形的面积是．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；数系的扩充和复数．【分析】设z＝x+yi（x，y∈R），则|z|≤1，且|b|，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），则|z|≤1，且|b|，如图：由图可知，，∴复平面内复数z的对应点组成图形的面积是．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，考查扇形面积的求法，是中档题．二．选择题（共4小题）13．（2021•浦东新区校级三模）已知z∈C，则“z2＝﹣|z|2”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；虚数单位i、复数．【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑；数学运算．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合复数为纯虚数的条件判断即可．【解答】解：①对于复数z，若z2＝﹣|z|2，z不一定为纯虚数，可以为0，∴充分性不成立，②若z为纯虚数，设z＝bi（b∈R，且b≠0），∵z2＝﹣b2，﹣|z|2＝﹣b2，∴z2＝﹣|z|2，∴必要性成立，∴z2＝﹣|z|2是z为纯虚数的必要非充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．14．（2021•自贡模拟）已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中错误的是（）A．AE⊥平面PABB．直线PD与平面ABC所成角为45°C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行D．直线CD与PB所成的角的余弦值为【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．【分析】对于A，推导出AE⊥PA，AE⊥AB，从而PE⊥平面PAB；对于B，推导出PA⊥AD，PA＝AD，从而∠PDA＝45°是直线PD与平面ABC所成角；对于C，由EF∥AD ∥BC，得平面PBC与平面PEF的交线与直线AD平行；对于D，由CD∥BE，得∠PBE 是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出直线CD与PB所成的角的余弦值．【解答】解：对于A，∵PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥PA，∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，∴AE⊥AB，∵PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴PE⊥平面PAB，故A正确；对于B，∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，∴PA⊥AD，PA＝AD，∴∠PDA＝45°是直线PD与平面ABC所成角，故B正确；对于C，∵EF∥AD∥BC，EF⊂平面PEF，BC⊂平面PBC，∴平面PBC与平面PEF的交线与直线AD平行，故C错误；对于D，设AB＝1，则PA＝2，AE＝＝，PE＝，BE＝2，PB＝，∵CD∥BE，∴∠PBE是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角），∴直线CD与PB所成的角的余弦值为：cos∠PBE＝＝，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力等数学核心素养，是中档题．15．（2021春•徐汇区校级期中）已知直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以下判断正确的是（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．【分析】当直线a∥直线l，直线b∥直线l时，a∥b，当直线a⊥直线b时，则直线a⊥直线l，与直线a与直线l不垂直相矛盾，从而a与b不可能垂直．【解答】解：直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，当直线a∥直线l，直线b∥直线l时，a∥b，排除选项AD；当直线a⊥直线b时，则直线a⊥直线l，与直线a与直线l不垂直相矛盾，∴a与b不可能垂直，排除B．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．（2015春•上饶期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB 和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R给出下列结论：①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP．其中正确的结论是（）A．①B．②③C．①④D．②④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别判断选项，利用排除法能得出结论．【解答】解：①当点P与B1重合时，CP⊥AB，且CP⊥AD1，所以CP⊥平面ABD1，因为对于任意给定的点Q，都有D1Q⊂平面ABD1，所以对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q，所以①正确；②只有D1Q⊥平面BCC1B1，即D1Q⊥平面ADD1A1时，才能满足对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP，因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1，而D1C1∥AB，所以②错误；③当R与A1，重合时，在线段B1B上找不到点P，使CP⊥D1R，所以③不正确；④只有当CP⊥平面A1CD1时，④才正确，所以对于任意给定的点P不存在点R，使D1R⊥CP，故④不正确．故选：A．【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．三．解答题（共5小题）17．（2020春•威宁县期末）已知复数z＝（m∈R，i是虚数单位）．（Ⅰ）若z是纯虚数，求实数m的值；（Ⅱ）设是z的共轭复数，复数﹣2z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求得m值；（Ⅱ）求出，得到﹣2z，由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．【解答】解：（Ⅰ）z＝＝＝（3+2m）+（2m﹣3）i是纯虚数，∴，即m＝﹣；（Ⅱ）由z＝（3+2m）+（2m﹣3）i，得＝（3+2m）﹣（2m﹣3）i，∴﹣2z＝（3+2m）﹣（2m﹣3）i﹣（6+4m）﹣（4m﹣6）i＝（﹣3﹣2m）+（9﹣6m）i，则，解得﹣＜m＜．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18．（2021春•万宁校级期中）如图，在棱长为1的正方体中，求：（1）直线A1B与B1C所成的角的大小；（2）直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．【分析】（1）由题意可知B1C∥A1D，所以∠DA1B即为直线A1B与B1C所成的角，由△A1BD为等边三角形即可求出结果．（2）因为D1D⊥平面ABCD，所以∠D1BD即为直线D1B与平面ABCD所成的角，在Rt△D1DB中即可求出cos∠D1BD的值．【解答】解：（1）连接A1D，BD，如图所示，∵A1B1∥CD，A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，∴∠DA1B即为直线A1B与B1C所成的角，∴正方体的棱长为1，∴，∴△A1BD为等边三角形，∴∠DA1B＝60°，即直线A1B与B1C所成的角的大小为60°．（2）∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1BD即为直线D1B与平面ABCD所成的角，在Rt△D 1DB中，D1D＝1，BD＝，，∴cos∠D1BD＝＝＝，即直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值为．【点评】本题主要考查了异面直线所成角，考查了直线与平面所成角，是基础题．19．（2020春•闵行区校级期中）已知关于x的实系数一元二次方程x2+4x+p＝0的两个虚根是x1、x2．（1）若|x1|＝5，求p的值；（2）若|x1﹣x2|＝2，求p的值．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】计算题；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】本题由一元二次方程根的求法可解决此题．【解答】解：（1）由题意知，△＝42﹣4×1×p＜0，解得：p＞4．实系数一元二次方程x2+4x+p＝0的两个虚根为：＝﹣2±i．∵|x 1|＝5，∴（﹣2）2+（）2＝25，解得：p＝25；（2）由（1）知|x1﹣x2|2＝|2i|2＝4，解得：p＝5．【点评】本题考查在复数范围内一元二次方程根的求法，考查数学运算能力，属于基础题．20．（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA＝，直角梯形ABEF中，BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF ⊥平面ABCD．（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直．【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）根据题意得OC⊥AB，进而结合平面ABEF⊥平面ABCD即可证明CO⊥平面ABEF；（2）根据题意，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用坐标法求解即可；（3）假设存在，设AG＝λAD，λ∈[0，1]，再根据线面角的向量法求解即可．【解答】（1）证明：因为在菱形ABCD中，，所以△ABC为等边三角形，因为O分别为AB中点，所以OC⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF⋂平面ABCD＝AB，CO⊂平面ABCD．所以CO⊥平面ABEF．（2）解：因为直角梯形ABEF中，BE∥AF，AB⊥AF，CO⊥平面ABEF，所以，以点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，因为，所以B（1，0，0），E（1，0，2），A（﹣1，0，0），F（﹣1，0，4），，，，所以，，所以，所以异面直线PE与AB所成角的大小为．（3）解：假设线段AD上是存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，此时AG＝λAD，λ∈[0，1]，则，由（1）知平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为θ，则，解得，所以线段AD上是存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，此时．【点评】本题主要考查线面垂直的证明，异面直线所成的角的计算，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．21．（2021秋•杨浦区校级期中）已知三棱锥P﹣ABC中，（1）若PB＝PC＝BC＝AB＝AC＝2，且二面角P﹣BC﹣A为60°，求三棱锥P﹣ABC 体积．（2）若AB＝1，BC＝2，∠ABC＝，△PBA≌△CBA，面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，当PC与DQ所成角取得最小值时，求线段AQ的长度．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；向量法；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）取BC的中点G，连接PG，AG，可得∠PGA＝60°，求出三角形PGA的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x 轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长．【解答】解：（1）取BC的中点G，连接PG，AG，由PB＝PC＝AB＝AC，可得PG⊥BC，AG⊥BC，∴∠PGA为二面角P﹣BC﹣A的平面角，则∠PGA＝60°，在等边三角形PBC与等边三角形ABC中，由已知求得PG＝AG＝，则，∴三棱锥P﹣ABC体积V＝×BC＝；（2）过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝，则B（2，0，0），A（1，0，0），O（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），设Q（x，y，z），＝λ（﹣1，0，2），λ∈[0，1]，即（x﹣1，y，z）＝（﹣λ，0，2λ），∴Q（1﹣λ，0，2λ），D（1，1，0），＝（﹣λ，﹣1，2λ），＝（0，2，﹣2），|cos＜＞|＝＝•，令f（λ）＝，λ∈[0，1]，∴f′（λ）＝，由f′（λ）＝0，λ∈[0，1]，得λ＝，λ∈[0，）时，f′（λ）＞0，λ∈（，1]时，f′（x）＜0，∴当λ＝时，f（λ）取最大值，此时PC与DQ所成角取得最小值，|AQ|＝||＝，∴线段AQ的长度为．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．。
上海市高二下学期期中数学试题(解析版)
徐汇中学2022学年第二学期高二年级数学期中2023.4一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 设，若直线l 经过点､，则直线l 的斜率是___________. a ∈R (,2)A a (1,3)B a +【答案】1 【解析】【分析】利用直线的斜率公式求解.【详解】解：因为直线l 经过点､， (,2)A a (1,3)B a +所以直线l 的斜率是，3211k a a-==+-故答案为：12. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______.2212x y m m+=-m 【答案】 ()()0,11,2U 【解析】【分析】由题意可得，解不等式组可得答案0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩【详解】因为方程表示椭圆，2212x y m m+=-所以，得且.0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩02m <<1m ≠所以实数的取值范围是， m ()()0,11,2U 故答案为：()()0,11,2U 3. 若直线l 经过点，且与圆相切，则直线l 的方程是___________. (1,3)2210x y +=【答案】 3100x y +-=【解析】【分析】分析可得点在圆上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l 垂直即可求得直(1,3)2210x y +=线l 的斜率，进而求得方程【详解】因为，故点在圆上，又圆心到的斜率为， 221310+=(1,3)2210x y +=()0,0()1,330310-=-故直线l 的斜率，故直线l 的方程是，化简可得 13k =-()1313y x -=--3100x y +-=故答案为：3100x y +-=4. 设m 为实数，若方程表示圆，则m 的取值范围为______． 22240x y x y m ++-+=【答案】 (),5-∞【解析】【分析】将方程配成圆的标准方程形式，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】方程，即 22240x y x y m ++-+=22(1)(2)5x y m ++-=-，若它表示圆，则，即 50m -> 5.m <故答案为：.(),5-∞5. 平行直线之间的距离为__________．0x =390y +-=【答案】【解析】【分析】直接由平行线的距离公式求解即可.即为， 390y +-=0x-=则平行直线.0x +=390y +-=故答案为：6. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l 为______． ()5,2A 【答案】或 250x y -=70x y +-=【解析】【分析】根据给定条件，利用直线l 过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答. 【详解】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即l l 25y x =250x y -=；当直线不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为， l l 1x y a a +=521a a+=7a =70x y +-=所以直线的方程为或. l 250x y -=70x y +-=故答案为：或 250x y -=70x y +-=7. 双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______．22:1824x y C -=()2224x y -+=【答案】2 【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，再利用几何法求出弦长作答.C【详解】双曲线，22:1824x y C -=0y ±=圆的圆心为，半径，点到渐近线的距离，()2224x y -+=(2,0)2r =(2,0)d ==所以所求弦长为. 2==故答案为：28. 已知双曲线，、是其两个焦点，点M 在双曲线上，若，则22149x y -=1F 2F 1260F MF ∠=︒12F MF △的面积为______．【答案】 【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作12||||MF MF ⋅答.【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，有，22149x y -=2a =c =124|||||2|MF MF a -==在中，由余弦定理得，12F MF △22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠即有，21212122|)|||)2||c |(||(1o |s 60F F MF MF MF MF =-+-因此，解得，2212)((12||2||14MF MF +-=126||||3MF MF ⋅=所以的面积为. 12F MF△12121sin 602F MF S MF MF =⋅= 故答案为：9. 已知在中，其中的平分线所在的直线方程为，则点坐ABC ()()1,4,6,3,B C BAC ∠10x y -+=A 标为__________. 【答案】 ()0,1【解析】【分析】求出关于直线的对称点，可得的直线方程，联立解出即可得出的坐B 10x y -+=B 'CB 'A 标．【详解】关于直线的对称点；(1,4)B 10x y -+=(),B a b ' ， 141022411a b b a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩⇒32a b =⎧⎨=⎩，，()3,2B ∴'(6,3)C 的直线方程为，CB ∴'330x y -+=则由角平分线以及对称可知一定在直线上， (),B a b 'AC 联立，解得，，33010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩01x y =⎧⎨=⎩(0,1)A ∴故答案为：()0,110. 已知直线和双曲线，若l 与C 的右支交于不同的两点，则t 的取值范围是:2l y tx =+22:8C x y -=______． 【答案】(1)-【解析】【分析】联立直线与双曲线的方程，利用判别式及韦达定理求解作答.l C 【详解】由消去y 得：，由于l 与C 的右支交于不同的两点， 2228y tx x y =+⎧⎨-=⎩22(1)4120t x tx -++=则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，l C 于是，解得， 2222Δ1648(1)04011201t t t t t ⎧⎪=-->⎪⎪->⎨-⎪⎪>⎪-⎩1t <<-所以t 的取值范围是.(1)-故答案为：(1)-11. 已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则2212160x y x y +--=()3,4AC BD 四边形的面积为______． ABCD 【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，()()2268100x y -+-=()6,8M 10r =点与圆心的距离，()3,4Q ()6,8M 510QM ==<则点在圆内，过点及圆心的直线与圆相交，得最长弦长， ()3,4Q ()3,4Q 220AC r ==当时，最短，过的最短的弦长QM BD ⊥BD ()3,4Q BD ==所以四边形的面积ABCD 112022ABCD S AC BD =⋅=⨯=故答案为：12. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定xOy 点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线C 上12(,0),(,0)-F a F a 2(0)a a >C ()00,P x y 一点.下列说法中正确的有________ .①双纽线关于原点中心对称； ②；③双纽线上C O 022a ay -≤≤C满足的点有两个； ④..12PF PF =P ||PO【答案】①②④ 【解析】【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于(,)x y --(,)x y ②，根据三角形的等面积法分析判断，对于③，由题意得，从而可得点在轴上，进行可12PF PF =P y 判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断.【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于xOy 12(,0),(,0)-F a F a 的点的轨迹称为双纽线，2(0)a a >C，2a =用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确， (,)x y --(,)x y C O 对于②，根据三角形的等面积法可知， 1212011sin 222PF PF F PF a y ∠=⨯⨯即，所以，所以②正确， 012sin 22a a y F PF =∠≤022a ay -≤≤对于③，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即， C P 12PF PF =P y 0x =，得，所以这样的点只有一个，所以③错误，2a =0y =P 对于④，因为，121()2PO PF PF =+所以， ()()2222211221*********cos 44PO PF PF PF PF PF PF PF F PF PF =+⋅+=+⋅∠+ 由余弦定理得，22211212242cos a PF PF PF F PF PF =-⋅∠+ 所以，22222121212cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+⋅∠=+∠≤所以的，所以④正确， ||PO 故答案为：①②④二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13. 方程表示焦距为λ的值为（ ）222143x y λλ+=--A. 1 B. -4或1C. -2或-4或1D. -2或1【答案】A 【解析】【分析】分类讨论和分别小于0时的情况，即可得到实数λ的值 24λ-3λ-【详解】解：由题意在双曲线中，焦距即222143x y λλ+=--2c =c =当即时， 24030λλ⎧-<⎨->⎩22λ-<<c ===解得：（舍）或2λ=-1λ=当即时，24030λλ⎧->⎨-<⎩3λ>c ===解得：（舍）或（舍） 4λ=-3λ=综上， 1λ=故选：A.14. 若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是:3(1)l y k x -=-:C y =（ ） A. B. C. D. 4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭43,32⎛⎤⎥⎝⎦40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭43,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可【详解】直线过定点 ，:3(1)l y k x -=-(1,3)曲线为以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示:C y =(0,0)y 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . l (1,0)-l 03k k =-+-32k =当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离l C (0,0):3(1)l y k x -=- ，解得1d 43k =结合图像可知，当 时，直线 和曲线 恰有两个交点 4332k <≤l C 故选：B15. 当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为A 2214x y +=A ()2022,0B AB P （ ） A.B.()2220221164x y -+=()2220221164x y ++=C.D.()22101114x y -+=()22101141x y -+=【答案】D 【解析】【分析】设，，结合中点坐标公式，利用点坐标表示出点坐标，代入椭圆方程中()00,A x y (),P x y P A即可求得点轨迹方程.P 【详解】设，，()00,A x y (),P x y 为中点，，则，即， P AB 00202222x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩00220222x x y y =-⎧⎨=⎩()22022,2A x y -又在椭圆上，，即，A 2214x y +=()2222022414x y -∴+=()22101141x y -+=点轨迹方程为：.P ∴()22101141x y -+=故选：D.16. 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小r 4r 圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与1r =小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论： A A x A C ①曲线上任意两点间距离的最大值为8； C ②曲线的周长大于曲线的周长； :4D x y +=C ③曲线与圆有且仅有4个公共点. C 224x y+=其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分析曲线经过的特殊点，据此分析3个结论，即可得答案． C 【详解】根据题意,大圆周长是小圆周长的4倍，故当大圆转动周时，小圆转动了一周，根据对称性，14故可知曲线经过，，，， 且这些点是曲线距离原点最远的点， C (4,0)A (0,4)B (4,0)C -4(0,)D -C 对于①，曲线上，或之间的距离最大，且，即任曲线上任意两点间距离的最C AC BD ||||8AC BD ==C 大值为8，正确；对于②曲线，图形为图中的正方形，必有的周长小于曲线的周长； :||||4D x y +=D C 对于③，曲线与圆有且仅有4个公共点，即四点，正确；C 224x y +=ABCD正确的是①③， 故选：C三、解答题（本大题共有5题，满分48分）17. 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：. 2(1)10x a y a +-+-=（1） 当l 1//l 2时，求实数a 的值； （2） 当l 1⊥l 2时，求实数a 的值. 【答案】（1）-1；（2）. 23【解析】【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可； （2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可. 【详解】解：由题意得：（1）(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：，l 2： 32a y x =--()111y x a a=-+-时， 解得a ＝-112l l //()12131aa a ⎧-=⎪-⎨⎪-≠-+⎩综上可知，当a ＝-1时，l 1//l 2 (方法2)∵l 1//l 2∴⇔解得a ＝－1 2(1)120(1)160a a a a --⨯=⎧⎨--⨯≠⎩2220(1)6a a a a ⎧--=⎨-≠⎩故当a ＝－1时，l 1//l 2.（2）(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：，l 2：由，得 32a y x =--1(1)1y x a a =-+-1121a a⎛⎫-⋅=- ⎪-⎝⎭23a =(方法2)∵l 1⊥l 2，∴a ＋2(a －1)＝0，解得 23a =18. 在平面直角坐标系内，已知点P 及线段l ，Q 是线段l 上的任意一点，线段长度的最小值称为“点PQ P 到线段l 的距离”，记为．(),d P l （1）设点，线段，求；()2,0P ():02l y x x =≤≤(),d P l （2）设l 是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积． (){},1D P d P l =≤【答案】（1（2）4π+【解析】【分析】（1）根据“点P 到线段l 的距离”的定义结合两点的距离公式即可得出答案；（2）设线段的端点分别为A ，B ，以直线为x 轴，的中点为原点建立直角坐标系，则l AB AB ()1,0A -，,则集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，从()10B ,(){},1D P d P l =≤而可求解.【小问1详解】可设，(),,02Q a a a ≤≤则， PQ ==当时，， 1a =min PQ =所以(,)d P l =【小问2详解】设线段的端点分别为A ，B ，以直线为x 轴，的中点为原点建立直角坐标系，l AB AB 则，，点集D 由如下曲线围成：()1,0A -()10B ,，，，，1:1l y =()1x ≤2:1l y =-()1x ≤，，，， ()221:11C x y ++=()1x ≤-()222:11C x y -+=()1x ≥∴集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，(){},1D P d P l =≤∴其面积为. 22π4πS =+=+19. 已知双曲线C 的方程为．2222x y -=（1）直线截双曲线C 所得的弦长为，求实数m 的值；y x m =+（2）过点作直线交双曲线C 于P 、Q 两点，求线段的中点M 的轨迹方程．()2,1-PQ 【答案】（1）1m =±（2）22240x y x y ---=【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出值；m （2）设,，利用点差法结合中点公式即可得到，化简()()1122,,,,(,)P x y Q x y M x y ()2,1A -212x y y x +=-即可.【小问1详解】联立,得， 2222y x m x y =+⎧⎨-=⎩22220x mx m ---=直线被双曲线截得的弦长为,y x m =+C 224480m m ∴∆=++>设直线与双曲线交于,()()1122,,,Ax y B xy 则,212122,2x x m x x m ==--+由弦长公式得,=解得.1m =±【小问2详解】设,，则 ()()1122,,,,(,)P x y Q x y M x y ()2,1A -，12122,2x x x y y y +=+=，2222112222,22x y x y ∴-=-=上式作差得，()()1212420x x x y y y ---=当直线的斜率不存在时，根据双曲线对称性知，PQ ()2,0M 当直线的斜率存在时，但时，此时直线为直线，根据双曲线对称性知， PQ 120y y +=PQ OA ()0,0M 当直线的斜率存在时，且时，， PQ 120y y +≠12122PQ y y x k x x y-==-，，化简得，其中， 12AM y k x +=- 212x y y x +∴=-22240x y x y ---=2,0x y ≠≠而点，适合上述方程，()2,0()0,0则线段的中点的轨迹方程是. PQ M 22240x y x y ---=20. 已知圆M 方程为，直线的方程为，点在直线上，过P 作圆M 的切()2221x y +-=l 20x y -=P l 线、，切点为A 、B ．PA PB （1）若P 点坐标为，求)(0,0APB ∠（2）经过A 、P 、M 三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．M 【答案】（1）60APB ∠=o （2）是， 42,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案；（2）设，计算出中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即()2,P m m MP 可.【小问1详解】因为点坐标为，所以，P ()0,02MP =又因为，所以,故.1MA MB ==30MPA MPA ︒∠=∠=60APB ∠=o 【小问2详解】设的中点，因为为圆的切线， ()2,,P m m MP ,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭PA M 所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆，A P M 、、Q MQ 故其方程为 ()22221122m m x m y m ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得， ()222220x y y m x y +--+-=由，解得（舍）或 2220220x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩02x y =⎧⎨=⎩4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过三点的圆经过异于点的定点. A P M 、、M 42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭21. 已知椭圆E ：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线()222210x y a b a b+=>>l ：与椭圆E 相切于点T ．3y x =-+（1）求椭圆E 的离心率；（2）求椭圆E 的标准方程及点T 的坐标；（3）设O 为坐标原点，直线l ＇平行于直线OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，那么是否存在常数λ，使得？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理2PTPA PB λ=⋅由．【答案】（1（2）， 22163x y +=()2,1T （3） 45【解析】【分析】（1）由题意可得，由离心率的公式求解即可.a =（2）利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去得关于的方程有两个相等的实数根，解出y xb 的值，从而得到椭圆的方程；E （3）设直线的方程为，由方程组，解出点的坐标，求出，l '1(0)2y x m m =+≠123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，P 2PT 把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，即可得出l '1212,x x x x +PA PB ⋅12,x x 答案.【小问1详解】椭圆E ：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，()222210x ya b a b+=>>所以，. a =b a =c e a ===所以椭圆E. 【小问2详解】 由（1）知，，则椭圆E 的方程为. a =222212x y b b+=由方程组 得.①2222123x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22312(182)0x x b -+-=方程①的判别式为，由，得， 2=24(3)b ∆-=0∆2=3b 此时方程①的解为，=2x 所以椭圆E 的方程为. 22163x y +=点T 坐标为（2,1）.【小问3详解】由已知可设直线的方程为， l '1(0)2y x m m =+≠由方程组 可得 123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以P 点坐标为（），. 222,133m m -+2289PT m =设点A ，B 的坐标分别为.1122,,()()A x y B x y ，由方程组 可得.② 2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，2234(412)0x mx m ++-=方程②的判别式为，由，解得. 2=16(92)m ∆->0∆m <<由②得. 212124412=,33m m x xx x -+-=所以， 123m PA x ==-同理， 223m PB x =-所以 12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++ 225224412(2)(243333m m m m -=----+. 2109m =故存在常数，使得. 4=5λ2PT PA PB λ=⋅。
上海控江初级中学数学高二下期中测试卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．61010- B ．61010+ C ．51010- D ．51010+ 3．(0分)[ID ：13557]已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（ ） A ．1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-4．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．32-5．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B 3C 3D 36．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B 315C ．322-D ．3157．(0分)[ID ：13619]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a bcosC <，则ABC 为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43D ．329．(0分)[ID ：13613]已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．2310．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心11．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3412．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（ ）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==- 13．(0分)[ID ：13542]以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个14．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 15．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =二、填空题16．(0分)[ID ：13725]如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．17．(0分)[ID ：13707]已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP x AB y AC =+，x 、y ∈R ，则2y x +的取值范围是______.18．(0分)[ID ：13696]已知点12(1,1),(7,4)P P ，点P 分向量12PP 的比是12，则向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是______________19．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________20．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数220x OA xOB OC -+=，则x =_____.21．(0分)[ID ：13688]若(2,2)A -，(cos ,sin )()B R θθθ∈，则AB 的最大值是________.22．(0分)[ID ：13684]设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .23．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．24．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________25．(0分)[ID ：13637]已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________.三、解答题26．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22π xπ35π6sin()A x ωϕ+0 55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 27．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 28．(0分)[ID ：13757]设()2cos 22cos 16f x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值．29．(0分)[ID ：13809]已知函数()Asin()f x x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0，ϕ＜π）的一段图象如图所示．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若3[8x π∈-，]4π，求函数()f x 的值域． 30．(0分)[ID ：13808]已知向量(,)u x y =与向量(,)v x y x y =-+的对应关系用()v f u =表示.(1) 证明：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+； (2) 证明：对于任意向量a ，()2f a a =；(3) 证明：对于任意向量a 、b ，若a b ⊥，则()()f a f b ⊥.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．A 3．A4．A5．D6．A7．A8．C9．A10．A11．C12．A13．B14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际17．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别18．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公19．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力22．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确23．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义24．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况25．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】C ，进而求出角C是直角，即结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin1可选出答案．【详解】由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得10310cos ,sin 1010αα==， 而()3101010610sin2cos 2sin cos cos 210101010απαααα-+-=-=⨯⨯-=. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 试题分析：设，则，因()//a b b +，所以，，只有A 满足考点：向量共线的条件4．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.5．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．6．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==，故选A ． 7．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理，将a bcosC <，转化为sin sin A BcosC <，再利用两角和与差的三角函数得到cos sin 0B C <判断. 【详解】 因为a bcosC <， 所以sin sin A BcosC <， 所以()sin sin B C BcosC +<，所以sin cos cos sin sin B C B C BcosC +<， 所以cos sin 0B C <， 所以,2B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以ABC 为钝角三角形. 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+，∴ [,][0,]323πωπππ+⊆∴ 23ωπππ+≤， 403ω∴<≤， 综上可知403ω<≤. 故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.10．A解析：A 【解析】 【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||ACAC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB ACOP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=， ∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=，()tan 0yx xα=≠. 12．A解析：A 【解析】 【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ因为2=(),2263T T Tππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-，所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．B解析：B 【解析】 【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确； ③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．B解析：B由题意结合向量的加法法则可得：213221()3221132211.62EM EC CM AC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=+=++=-+=+ 本题选择B 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15． D解析：D 【解析】 【分析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案． 【详解】对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题； 对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题； 对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题； 对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题； 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：14【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=所以21cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．17．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别 解析：()0,2【解析】 【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案，可讨论当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =；又利用点P 在三角形内部可得答案．【详解】三角形ABC 内一点，且向量AP xAB y AC =+， 当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =； 当点P 与点C 重合时有0x =，1y =．但是因为P 在三角形ABC 内，01x y ∴<+<，01x <<，01y <<, 02x x y ∴<++<,即2y x +的取值范围是(0,2). 故答案为：(0,2)【点睛】本题考查向量的加法运算以及三角形法则，平面向量基本定理的应用，有限与无限的数学思想，考查向量与不等式等知识的综合处理能力．18．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公 解析：22-【解析】 【分析】根据定比分点公式求出点P 的坐标，利用投影公式求出投影即可. 【详解】由题：点P 分向量12PP 的比是12，即1212PP PP =， 设()1212,,PP P y P P x =，即()()11,17,42x y x y --=--， 即7122122x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：32x y ==⎧⎨⎩，所以()()13,2,2,1P P P =， 向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是1122PP a a⋅-==.故答案为：22- 【点睛】此题考查求定比分点坐标，求向量投影，熟练掌握公式对解题有事半功倍的作用.19．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以解析：13【解析】∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=2()PA PB PC PB PA ++=-，即30PA BC +=， 即3PA CB =，∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，12APCS AP AC sin θ=⋅， 12ABCSBC AC sin θ=⋅， 所以1.3APCABCSS =20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力 解析：1【解析】 【分析】变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案. 【详解】22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点则2211x x x -=∴= 故答案为：1 【点睛】本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力 解析：3【解析】 【分析】计算24sin 594AB πθ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】(2,2)A -，(cos ,sin )()B R θθθ∈()()2222cos 2sin 522sin 22cos 4sin 594AB πθθθθθ⎛⎫=-++=+-=-+≤ ⎪⎝⎭当()324k k Z θππ=+∈时等号成立，即3AB ≤ 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间距离公式，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.22．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确解析：4 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.23．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义 解析：【解析】试题分析：由()(2)0a b a b +⋅-=得，2222()(2)2cos ,2a b a b a a b b a a b a b b +⋅-=-⋅-=-⋅〈〉-21cos ,20b a b b =-〈〉-=，所以212cos ,b a b b-〈〉=，0,180a b ≤〈〉≤，21211b b-∴-≤≤，解得112b ≤≤，所以b 的最小值为． 考点：向量的数量积运算及其性质．【方法点晴】要求b 的最小值，可以考虑建立关于b 的不等式或不等式组．已知1a =，由()(2)0a b a b +⋅-=结合向量数量积的运算律可得关于b 及a b ⋅的关系式, 根据向量数量积的定义，把向量a b ，的夹角转化为关于b 的表达式,再由向量夹角的有界性最终得到关于b 的不等式，解不等式即得b 的最小值．24．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况解析：25-【解析】 【分析】直接利用投影公式得到答案. 【详解】(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：8122105a b b⋅-==- 故答案为：25- 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.25．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34-【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．三、解答题 26．（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6． 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．27．（1）34m >-且12m ≠（2）34m =-，ABC ∆的面积为54．【解析】 【分析】（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 3412m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=， 解得34m =-．所以(BA =-=13,44BC ⎛⎫=-⎪⎝⎭，104BC =， 故ABC ∆的面积为15244=． 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．28．（1）()f x 的单调递增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）4【解析】 【分析】利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解出x 的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用A 为锐角和12A f ⎛⎫=⎪⎝⎭可求得A ；利用余弦定理和基本不等式可求得1bc ≤，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值. 【详解】()1cos 2cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2233322f x x x x x x x xπππ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调递增区间为：(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,663A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭62A ππ∴+=，即3A π= 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2212b c bc bc bc bc +-=≥-=（当且仅当b c=时取等号）1sin 244ABC S bc A bc ∆∴==≤（当且仅当b c =时取等号）即ABC ∆【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型.29．（1）函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8k ππ-+，k Z ∈；（2）函数()f x 的值域为[2]. 【解析】 【分析】（1）由函数的图象，可求得函数的解析式为3()2sin(2)4f x x π=+，进而利用三角函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间；（2）由3[8x π∈-，]4π，则32[04x π+∈，5]4π，利用三角函数的性质，即可求解函数的最大值与最小值，得到函数的值域. 【详解】（1）求得()32sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭3222242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈ 588k x k ππππ-+≤≤-+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8k ππ-+，k Z ∈ （2）∵3[8x π∈-，]4π∴32[04x π+∈，5]4π∴当4x π=时，()min f x =8x π=-时，()max 2f x =∴函数()f x 的值域为[2] 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用问题，其中解答中根据函数的图象得出函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重靠考查了推理与运算能力，属于基础题.30．(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析 【解析】 【分析】 (1)设向量11(,)a x y ，22(,)b x y ，然后利用题中关系式即可推导出所证恒等式；(2)设向量11(,)a x y ，则利用题中关系以及向量模的求解即可证明等式；(3)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ，由a b ⊥可得出12120x x y y +=,然后利用题中关系式可推导出()()0f a f b ⋅=，即可证明()()f a f b ⊥成立. 【详解】 证：(1)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++由题中关系式可得：12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++，11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+1122112212121212(,)(,)mx my nx ny mx my nx ny mx nx my ny mx nx my ny =-+-+++=+--+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+，对于任意向量a 、b 及常数,m n 恒成立；(2)设向量11(,)ax y ，则由题中关系可得1111()(,)f a x y x y =-+，则2222221111111111()|(,)|()()2()f a x y x y x y x y x y =-+=-++=+， 即得()2f a x =，因为21a x y =+∴()2f a a =成立，命题得证；(3)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ， 由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即得12120x x y y +=由题中关系式可得：1111()(,)f a x y x y =-+，2222()(,)f b x y x y =-+ 则由()()()()1111111222222212()()(,)(,)f a f b x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=-+⋅-+=--+++()121220x x y y =+=，即()()0f a f b ⋅=，所以()()f a f b ⊥成立.【点睛】本题着重考查了对题意的理解，利用题中关系式结合向量的坐标运算、向量模的表达式以及向量垂直的性质来推导所证命题结果，属于一般难度的题.。
2021-2022年高二下学期期中考试数学试题
2021年高二下学期期中考试数学试题一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点且与直线平行的直线的方程为 _.4、双曲线的虚轴长是 _.5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _.6、直线被圆所截得的弦长等于 _.7、已知方程 表示双曲线，则实数的取值范围为 _.8、过点且与圆相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线的两个焦点分别为、,为双曲线上一点，且,则的面积是 .10、设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若点， 的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线方程为 .11、若方程只有一个解，则实数的取值范围是 _.12、下列五个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角的范围是；②直线与过，两点的直线相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是；⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是或；正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线与直线的位置关系是…………………………（）（A）相交（B）平行（C）重合（D）由决定14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为…………（）（A） 1 （B）（C）（D）不确定15、已知抛物线与直线，“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件16、已知曲线：，下列叙述中错误．．的是………………………………（）（A）垂直于轴的直线与曲线只有一个交点（B）直线（）与曲线最多有三个交点（C）曲线关于直线对称（D）若，为曲线上任意两点，则有三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）17、已知△ABC的三个顶点是、、，求（1）边所在直线的一般式方程；(4分)（2）边上的高所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过,且与圆内切的圆的圆心的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线：（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（5分）（2）直线：分别交双曲线的两条渐近线于、两点。
2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷附解析
2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷附解析注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列{a n}，S n是其前n项和，若S10＝a10＝10，则（）A．a5＝2B．a5＝﹣2C．S5＝18D．S5＝﹣20【答案】D【分析】设数列{a n}的公差为d，由题意可得，解得a1＝﹣8，d＝2，再根据通项公式和求和公式即可求出．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，由题意可得，解得a1＝﹣8，d＝2，∴a5＝a1+4d＝0，S5＝＝﹣20，故选：D．【知识点】等差数列的前n项和2.若正项等比数列{a n}，中，a1•a3＝a2，a5＝27，则该数列的公比为（）A．B．1C．3D．9【答案】C【分析】根据题意，设数列{a n}的公比为q，将a1•a3＝a2，变形可得（a2）2＝a2，解可得a2的值，又由q3＝，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设数列{a n}的公比为q，若a1•a3＝a2，则有（a2）2＝a2，解可得a2＝1或0（舍），a5＝27，则q3＝＝27，则q＝3，故选：C．【知识点】等比数列的通项公式3.如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x1）与f′（x2）的大小关系是（）A．f′（x1）＞f′（x2）B．f′（x1）＜f′（x2）C．f′（x1）＝f′（x2）D．不能确定【答案】A【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（x1）为点A处切线的斜率，f′（x2）为点B处切线的斜率，结合函数的图象分析切线的斜率，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x1）为点A处切线的斜率，设其斜率为k1，f′（x2）为点B处切线的斜率，设其斜率为k2，由函数的图象可得k1＞k2，即有f′（x1）＞f′（x2）；故选：A．【知识点】导数及其几何意义4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝2，S4﹣S3＝，则数列{a n}的前4项和为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，分析可得a4＝，由等比数列的通项公式可得q的值，进而由等比数列的前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1＝2，S4﹣S3＝，即a4＝，则q3＝＝，则q＝，故数列{a n}的前4项和S4＝＝，故选：A．【知识点】等比数列的前n项和5.已知函数f（x）在x0处的导数为f′（x0），则等于（）A．mf′（x0）B．﹣mf′（x0）C．D．【答案】A【分析】根据题意，由极限的运算性质可得＝m，结合导数的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，＝m＝mf′（x0），故选：A．【知识点】导数及其几何意义6.设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导数，f（1）＝1，当x＜0时，xf'（x）+f（x）＞0，则使|f（x）|＞成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【答案】C【分析】设F（x）＝xf（x），根据函数的单调性和奇偶性问题转化为|F（x）|＞F（1）＝1，求出不等式的解集即可．【解答】解：设F（x）＝xf（x），易知函数F（x）为奇函数，且当x＜0时，F′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，故函数F（x）在R递增，将目标不等式转化为|F（x）|＞F（1）＝1，结合函数的单调性得：|x|＞1，解得：x＜﹣1或x＞1，故不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：C．【知识点】利用导数研究函数的单调性7.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元【答案】B【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，由等比数列的通项公式可得，进而计算可得m与a4的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，则有，则有a2+a4＝32580，则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，则有+a4＝32580，解可得a4＝14580，即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，故选：B．【知识点】等比数列的通项公式8.设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x1，x2∈R（x1≠x2），f（x1）+f（x2）＜2f（），则下列各项中不一定正确的是（）A．f（2）＜f（e）＜f（π）B．f′（π）＜f′（e）＜f′（2）C．f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）【答案】C【分析】f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，由，可得＜，可得y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．进而判断出正误．【解答】解：∵f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，∵，∴＜，∴y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．∴f（2）＜f（e）＜f（π），f′（π）＜f′（e）＜f′（2），可知：A，B正确．∵f（3）﹣f（2）＝，表示点A（2，f（2）），B（3，f（3））的连线的斜率．由图可知：f′（3）＜k AB＜f′（2），故D正确．C项无法推出，故选：C．【知识点】利用导数研究函数的单调性二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=()A. (0,3]B. (0,3)C. [0,3]D. [3,+∞)2.已知曲线C的方程为x2a −y2b=1，则“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.如果直线a、b是异面直线，点A、C在直线a上，B、D在直线b上，那么直线AB和CD一定是()A. 平行直线B. 相交直线C. 异面直线D. 以上都有可能4.随着社会的繁荣与发展，人口结构与社会经济、自然资源分配间的矛盾日趋尖锐.把握人口发展的变化情况，将为政府机构制定和完善未来收入、消费、教育、就业、养老、医疗社会保障等相关政策提供决策依据.某市为更好地了解该市近30年来，人口年龄结构的变化情况，统计了该市2000年，2010年，2019年各年龄段人口数量的比例，得到如图所示的柱形图，根据图示信息，得出下列推断，其中不正确的推断是()A. .该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少B. 该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加C. .该市2000年，2010年，2019年相比，人口的平均年龄不断增加D. 该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数不断减少二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.如果复数1+ai2−i的实部和虚部相等，则实数a等于______ ：6.已知a，b∈R，a+bi=(1+2i)(1−i)(i为虚数单位)，则a+b的值为______ ．7.已知抛物线y2=−8x的准线过双曲线x2m −y23=1的右焦点，则双曲线的离心率为______ ．8.坐标系与参数方程选做题极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为____________；9.已知直线l1：2x−y+3=0和l2：x=−1，抛物线y2=2x上的动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是______．10.已知复数(i为虚数单位)，则|z|=；11.如图，棱长为的正方体中，为中点，则直线与平面所成角的正切值为；若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为．12.若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线所成角的正切值是_________________．13.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为(ρ∈R)，它与曲线(α为参数)相交于两点A和B，则|AB|=_______________．14.下列结论中正确的是______ ．①命题“若α=π4，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4“；②从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为48；③已知|a⃗|=|b⃗ |=1，向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°，且(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗+t b⃗ )，则实数t的值为−1；④线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．15.若复数z=1+i，则|z|=______．i16.已知恒过定点(1,1)的圆C截直线x=−1所得弦长为2，则圆心C的轨迹方程为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知复数z=(1+i)2+3(1−i)(i是虚数单位)．2+i(1)求复数z的模|z|；(2)若z2+az+b=1+i(a,b∈R)，求a+b的值．18.如图，已知AB⊥平面BCE，CD//AB，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．(1)在线段BE上是否存在一点F，使CF//平面ADE？(2)求证：平面ABE⊥平面ADE；(3)求二面角B−DE−A的余弦值．19. 已知平面内动点C 到点F(1,0)的距离比到直线x =−12的距离长12．(1)求动点C 的轨迹方程E ；(2)已知点A(4,0)，过点A 的直线l 与曲线E 交于不同的两点P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过原点．20. 在棱长为a 的正方体ABCD −A′B′C′D′中，如图E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，EF ∩BD =H ；(Ⅰ)求二面角B′−EF −B 的正切值；(Ⅱ)试在棱B′B 上找一点M ，使D′M ⊥面EFB′，并证明你的结论．21. 已知动点P 到直线l ：x =−1的距离等于它到圆C ：x 2+y 2−4x +1=0的切线长(P 到切点的距离)，记动点P 的轨迹为曲线E ．(Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，问是否存在常数λ使得|AC|⋅|BC|=λ|OC|2？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：A={x|x2−2x−3≤0}=[−1,3]，B={y|y=2x}=(0,+∞)，则A∩B=(0,3]，故选：A．分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．本题考查了二次不等式以及指数的运算，考查交集的定义以及运算，是一道基础题．2.答案：B解析：解：若a>b>0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a>−b>0，即a>0，b<0，满足a>b，即必要性成立，即“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的特点求出a，b的关系是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：由已知可得A，B，C，D四点不在任何同一平面上，进而根据异面直线的定义可得答案．本题考查的知识点是异面直线的判定，其中根据已知分析出A，B，C，D四点不在任何同一平面上是解答的关键．解：∵直线a、b是异面直线，点A、C在直线a上，B、D在直线b上，则A，B，C，D四点不在任何同一平面上，故直线AC、BD一定是异面直线，故选C．4.答案：D解析：解：对于A，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少，选项A正确；对于B，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加，选项B正确；对于C，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在大于20岁的人口比例增加，所以人口的平均年龄不断增加，选项C正确；对于D，根据柱形图，不能得出该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数是增加还是减少，所以选项D错误．故选：D．根据柱形图，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．本题考查了柱形图的分析与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．5.答案：13解析：解：1+ai2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=(2−a)+(2a+1)i5，∵复数1+ai2−i的实部和虚部相等，∴2−a=2a+1，即a=13．故答案为：13．由复数代数形式的除法运算化简，然后由实部等于虚部求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.答案：4解析：解：∵(1+2i)(1−i)=1−i+2i−2i2=3+i，∴a+bi=3+i，由复数相等的定义可得a=3，b=1，∴a+b=3+1=4故答案为：4由复数的乘法运算，化简已知式子的右边，由复数相等可得a、b的值，进而可得答案．本题考查复数相等的定义，涉及复数的乘法运算，属基础题．7.答案：2解析：解：抛物线的焦点坐标为(−2,0))，准线方程为x=2．则c=2.所以c2=m+3=4，解得m=1，所以双曲线的离心率为e=ca=2，故答案为：2．抛物线y2=−8x的准线为x=2，故有c2=m+3=4，求得c值，即得双曲线的离心率的值．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到c2=m+3=4，求出c值，是解题的关键．8.答案：解析：试题分析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出圆心距即可解：将极坐标方程C1：ρ=2cosθ和C2：ρ=sinθ，分别化为普通方程C1：ρ=2cosθ⇒ρ2= 2ρcosθ⇒x2+y2=2x⇒(x−1)2+y2=1，C2：ρ=sinθ⇒ρ2=ρsinθ⇒x2+y2=y⇒x2+ (y−)2=()2，然后就可解得两个圆的圆心距为d=考点：极坐标和直角坐标的互化点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得9.答案：4√55+12解析：解：抛物线y 2=2x 的准线为直线l ：x =−12，焦点为F(12,0)，如下图所示：过点P 分别作直线l 1、l 2的垂线，垂足分别为点D 、A ，设PA 交直线l 于点B ，过点F 作直线l 1的垂线，垂足为点M ，由抛物线的定义可知，|PB|=|PF|，则抛物线y 2=2x 上的动点P 到直线l 1和l 2的距离之和为|PA|+|PD|=|PB|+|PD|+12=|PF|+|PD|+12， 当且仅当P 、D 、F 三点共线时，|PF|+|PD|取最小值|FM|=|2×12−0+3|√22+(−1)2=4√55， 所以，|PA|+|PD|≥4√55+12． 故答案为：4√55+12． 过点P 分别作直线l 1、l 2的垂线段PD 、PA ，假设线段PA 交抛物线的准线于点B ，利用抛物线定义得|PF|=|PB|，将抛物线y 2=2x 上的动点P 到直线l 1和l 2的距离之和转化为|PF|+|PD|+12，利用P 、D 、F 三点共线取得最小值，即可求出答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键就是利用抛物线的定义进行转化，属于中等题． 10.答案： 10解析：试题分析：因为复数=9−1+6i =8+6i ，那么可知|z|=，故可知答案为10．考点：复数的概念点评：复数的模的求解是解题的关键，属于基础题。
上海市高二下学期期中数学试题带解析版
一、填空题1．直线的倾斜角为_________． 10x +=【答案】030【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【详解】，则 10x +=y =则，解得 tan α=30α=︒故答案为30︒【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题 2．抛物线的准线方程为______． 2y x =-【答案】/x =0.25 14x =【分析】利用抛物线的方程和准线的关系可求答案.【详解】因为抛物线，所以其焦点坐标为，2y x =-1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭所以准线方程为.14x =故答案为：. 14x =3．双曲线的焦距为______.2212x y -=【答案】【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距.【详解】双曲线的焦距为2212x y -=2c ==故答案为：【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.4．椭圆的离心率为________.22195x y +=【答案】23【分析】依题意求出、，即可求出离心率.a c【详解】解：依题意、，所以，，故离心率. 29a =25b =3a =2c =23c e a ==故答案为：235．函数在区间上的平均变化率等于______．()2f x x =[]2,4【答案】6【分析】由平均变化率的定义计算．【详解】所求平均变化率为．22(4)(2)426422f f --==-故答案为：6．6．两直线，的夹角的大小为______．（用反三角函数形式表示） 310x y -+=230x y -+=【答案】arctan1【分析】两直线的夹角的可由两直线的倾斜角表示，根据倾斜角和斜率的关系，用两角差的正切公式可得.【详解】如图，设的倾斜角为，则，310x y -+=αtan =3α设的倾斜角为，230x y -+=β1tan =2β两直线，的夹角为，则，310x y -+=230x y -+=γ=-γαβ因 ()13tan tan 2tan =tan 111tan tan 132αβγαβαβ---===++⨯故 arctan1γ=故答案为：arctan17．若直线l 经过点，且与圆相切，则直线l 的方程是___________. (1,3)2210x y +=【答案】3100x y +-=【分析】分析可得点在圆上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l 垂直即可求(1,3)2210x y +=得直线l 的斜率，进而求得方程【详解】因为，故点在圆上，又圆心到的斜率为， 221310+=(1,3)2210x y +=()0,0()1,330310-=-故直线l 的斜率，故直线l 的方程是，化简可得13k =-()1313y x -=--3100x y +-=故答案为：3100x y +-=8．设P 是椭圆上任意一点，F 为C 的右焦点，的最小值为，则椭圆(222:16x y C a a +=>PF C 的长轴长为______．【答案】【分析】的最小值为.PF a c -=a【详解】的最小值为. PFa c -=a a =故答案为：9．已知，为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，，则1F 2F 22:1C x y -=122PF PF =______． 12cos F PF ∠=【答案】/ 340.75【分析】根据双曲线的性质计算得到，，14PF =22PF =12F F =答案.【详解】，，则，，122PF PF =122PF PF -=14PF =22PF =12F F =. 123cos 4F PF ∠==故答案为：. 3410．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，，P 10AB =为C 的准线上一点，则的面积为______． ABP A 【答案】25【分析】利用抛物线的性质，结合三角形面积公式即可解决本题.【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为，则由题意，是抛物线的通径，，所p AB 210AB p ==以.5p =从而P 到直线l 的距离也是5，所以的面积为.ABP A 1105252⨯⨯=故答案为：2511．在平面直角坐标系中，已知直线上存在点P ，过点P 作圆的切xOy :8l y kx =+22:4O x y +=线，切点分别为，且，则实数k 的取值范围为________.()()1122,,,A x y B x y 12122x x y y +=-【答案】()-∞⋃+∞【分析】采用数形结合，取的中点，根据，可计算，然后根据圆的切AB Q 12122x x y y +=-1OQ =线性质得到可得，最后利用点到直线的距离不大于，可得结果. =OA OQ OP OAOP O l OP 【详解】取的中点,如图所示：AB Q根据圆的切线性质：，所以可得，所以， ,OA PA OP AB ⊥⊥Rt OPA Rt OAQ A A ∽=OA OQOP OA由，1212,22x x y y Q ++⎛⎫ ⎪⎝⎭所以==OQ 由2222112212124,42,++==+=-x y x y x x y y 所以，则 1OQ =4OP =点到直线的距离为O l d =则4d k =≤⇒≤k ≥所以 (),k ∈-∞+∞故答案为：(),-∞⋃+∞【点睛】本题考查直线与圆的应用，本题难点在于计算以及利用关系，审清题意，考查OP ≤d OP 分析能力以及逻辑推理能能力，属难题.12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似“伯努利双纽线”，在平面直角坐标系中，到两定点xOy ，的距离之积等于的点的轨迹C 就是一条伯努利双纽线．已知点()1,0F a -()2,0F a ()20a a >是双纽线C 上的一点，下列说法中正确的序号是______．()00,P x y①双纽线C 关于x 轴、y 轴对称；②双纽线C 上满足的点P 有两个； 12PF PF =③；0,22a a y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦④的最大值为． PO 【答案】①③④.【分析】①利用对称性可判断，②通过解方程可得，③利用三角形面积建立方程进行求解即可，④利用向量长度和数量积关系及余弦定理进行转化求解即得.【详解】设为双纽线C 上任一点，则，(,)M x y 212MF MF a =. 2a =对于①，用替换方程中，得(,)x y -(,)x y，2a ==则双纽线C 于轴对称.x用替换方程中， (,)x y -(,)x y 2a =则双纽线C 关于轴对称，故①正确.y 对于②，若，则在轴上，故.此时12PF PF =P y 00x =，2220a y a ==+=得，即方程只有一解，则满足条件的点只有一个，故②错误. 00y =P 对于③，由②可得可以为；0y 0当时，三角形的面积为， 00y ≠12PF F 12120121211sin 22PF F S F F y PF PF F PF ==∠A 即，得；2012112sin 22a y a F PF ⋅⋅=⋅⋅∠012sin 22a ay F PF =∠≤综上可得，故③正确.0,22a a y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦对于④，因为，121()2PO PF PF =+所以，222112212)4PO PF PF PF PF =+⋅+ （2211212212cos )4PF PF PF F PF PF =+∠+ （由余弦定理得， 222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠即， 22212121242cos a PF PF PF PF F PF =+-∠ 可得，22212121242cos PF PF a PF PF F PF +=+∠ 则，2212121(44cos )4PO a PF PF F PF =+∠ 22121(44cos )4a a F PF =+∠22212cos 2a a F PF a =+∠≤，即的最大值为，故④正确. PO 故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把的长度进行转化，利用向量运算结合数量积的公PO 式，及二次函数的最值求解.二、单选题13．已知两条直线与不重合，则“与的斜率相等”是“与的平行”的（ ） 1l 2l 1l 2l 1l 2l A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“与的平行”则有“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”两种情况，再判断即可1l 2l 1l 2l 1l 2l 得解.【详解】解：因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与的平行”； 1l 2l 1l 2l 1l 2l 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 1l 2l 1l 2l 1l 2l 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件，1l 2l 1l 2l故选：A.【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 14．圆与圆的位置关系是（ ） 2220x y x +-=2240x y y ++=A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【答案】C【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 2220x y x +-=()2211x y -+=()1,0A 11r =圆的标准方程为，圆心为，半径为，2240x y y ++=()2224x y ++=()0,2B -22r =，所以，， =1212r r AB r r -<<+因此，两圆相交. 故选：C.15．直线与曲线的公共点的个数是（ ）．3260x y -+=2194x xy -=A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】考虑和两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案.0x ≥0x <【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分；0x ≥2194x x y -=22194y x -=一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行；32y x =当时，曲线，即，椭圆的左半部分；0x <2194x x y -=22194y x +=画出曲线和直线的图像，如图所示：根据图像知有个公共点. 2故选：B16．已知定圆，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线()22:116-+=M x y 段的中垂线交直线于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④PA PM 圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（ ）． A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】首先分四种情况,点在圆内,圆上,圆外,以及点与点重合,四种情况讨论点的轨迹. A A M Q 【详解】当点在圆内且不与点M 重合,A M4,4,QA QM QP QM MP AM +=+==> 则点的轨迹是以为焦点的椭圆，Q A M 、当点在圆上时, 由于, 线段的中垂线交直线于,点的轨迹为一个点， A MP MA =PA PM M Q 点在圆外时,，.则点的轨迹是以为焦点的双曲线，A 4QA QM -=4AM < Q A M 、当点与重合时,为半径的中点,点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆,所以其中正确的A M Q PM Q M 命题序号为①②④⑥共4个. 故选：C.【点睛】动点轨迹问题的关键是情况分类.三、解答题17．已知直线和的交点为P ，求以点P 为圆心，且与直线1:210l x y --=2:20l x y -+=相交所得弦长为12的圆的标准方程．3410x y ++=【答案】22(3)(5)72x y -+-=【分析】联立两直线方程，可以求出交点坐标，根据点到直线距离公式和圆的弦长公式，以及圆的标准方程即可求解.【详解】联立，解得，21020x y x y --=⎧⎨-+=⎩35x y =⎧⎨=⎩所以P 坐标为，(3,5)圆心到直线的距离为，3410x y ++=6d半径为.r ===圆的标准方程为：.(222(3)(5)72x y -+-==故圆的标准方程为：.22(3)(5)72x y -+-=18．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C ，公路l 恰好是C 的准线，C 上的点O 到l 的距离最近，且为0.4km ，城镇P 位于点O 的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，10km OP =并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l ，以便建立水陆交通网．(1)建立适当的坐标系，求抛物线C 的方程；(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q 的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km ）． 【答案】(1) 2 1.6y x =(2)作图见解析，． 9.806km【分析】（1）由抛物线的定义，O 为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C 的方程 （2）由抛物线的定义，公路总长，即可求公路总长最小值QF QP PF =+≥【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线． 0.42p=2: 1.6C y x =（2）如图，设抛物线C 的焦点为F ，则，()0.4,0F∵城镇P 位于点O 的北偏东30°处，，∴， 10km OP =(P．6908.≈当与Q 重合时（Q 为线段PF 与抛物线C 的交点），公路总长最小，最小值为．Q '9.806km19．已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令．1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>126F F =()0,B b (1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率； 1l 2F B 1l(2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C ，法向量为a =()4,3n =的直线与椭圆C 交于两点M ，N ，且，求直线的一般式方程．2l 4MN =2l【答案】(1)e =(2)或4360x y ++=4360x y +-=【分析】（1）根据垂直关系得到，确定，解得答案. 1b b c a-⋅=-210e e --=（2）确定椭圆方程为，设直线方程为，联立方程，得到根与系数的关22194x y +=430x y t ++=系，再利用弦长公式计算得到答案.【详解】（1）渐近线，，，则， 1:b l y x a =()2,0F c ()0,B b 2BF k b c=-直线与直线垂直，则，即，即， 2F B 1l 1b b c a-⋅=-222b ac c a ==-210e e --=解得，（舍去负值）. e =（2）直线的法向量为，设直线方程为， 2l ()4,3n = 430x yt ++= 设椭圆方程为，则，，，， 22221x y m n+=225m n -=26m =3m =2n =故椭圆方程为，联立方程，即， 22194x y +=221 94430x y x y t ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩22208360x tx t ++-=，即()2226480362880160t t t ∆=--=->t -<<设，，， ()11,M x y ()22,N x y 12212253620t x xt x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得. 4==6t =±故直线方程为或.4360x y ++=4360x y +-=20．已知曲线C 的方程是，其中，，直线l的方程是()2222110a x y a -++-=0a >1a ≠． y a -(1)请根据a 的不同取值，判断曲线C 是何种圆锥曲线；(2)若直线l 交曲线C 于两点M ，N ，且线段中点的横坐标是，求a 的值；MN 2-(3)若C 上是否存在不同的两点A ，B ，使得A ，B 关于直线l 对称，并说明理a =由．【答案】(1)答案见解析(2)a =(3)不存在，理由见解析【分析】（1）变换得到，考虑，两种情况，判断即可. 22211y x a +=-01a <<1a >（2）设，，代入曲线方程，相减得到，确定的中点坐()11,M x y ()22,N x y )2121y y a +=-MN 标，代入直线方程，解得答案.（3）假设存在，设点代入曲线方程，利用点差法得到，再结合点在直线上得到中点坐000x +=标，得到直线方程，再联立得到方程无解，得到答案.【详解】（1），即， ()2222110a x y a -++-=22211y x a +=-当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；01a <<x 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线；1a >x （2）设，，，()11,M x y ()22,N x y ()222211a x y a -+=-则，，()22221111a x y a -+=-()22222211a x y a -+=-两式相减得到：，()()()()()21212121210a x x x x y y y y -+-++-=即，故， ())212410a y y --+=)2121y y a +=-故的中点为，代入直线得到， MN )()22,1a --)()212a a -=--解得（舍），故.a =a =a =（3）假设存在，直线方程为， y =221x y -=设，，中点为，则，，()33,A x y ()44,B x y AB ()00,x y 32321y x -=42421y x -=两式相减得到，()()()()434344330y x y y x y x x -++-=-即，，又 ())34340y y x x ++=000x =00y x =解得，01x=y=此时直线方程为：，AB)1y x=-y=+，方程无解，故不存在.221yx y⎧=⎪⎨⎪-=⎩23202x x-+=21．如图，已知半圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于E点，半椭圆()2221:0C x y b y+=≤的上焦点为，并且()22222:10,0y xC y a ba b+=>>>F ABF△的曲线记为“”．22222221,0,0y xya bx y b y⎧+=≥⎪⎨⎪+=<⎩Γ(1)求实数、的值；a b(2)直线与曲线交于M、N两点，在曲线上再取两点S、T（S、T分别在直线两:l yΓΓl侧），使得这四个点形成的四边形的面积最大，求此最大面积；MSNT(3)设点，P是曲线上任意一点，求的最小值．()()0,K t t∈RΓPK【答案】(1)，；2a=1b=；32(3)min1,03232,2t tPK tt t⎧+≤⎪=<<⎪⎪-≥⎩【分析】（1）由题意列出关于的等式，联立求解即可；,,a b c（2）根据题意可判断出与直线平行的直线与半圆相切，与直线平行的直线与半椭圆相l1l1C l2l2C切时，四边形面积最大，设出方程，并与方程联立，利用求出方程，再计算出MSNT2l2CΔ0=2l平行直线间的距离，代入面积公式计算即可；（3）讨论时，，时，利用两点距离公式列出表达式，再根据0t ≤min 1PK KE t ==+0t >PK 的范围分类讨论和两种情况. [0,2]y ∈302t <<32t ≥【详解】（1）设，由题意得，(0,)(0)F c c>2,a b c ==故，. 2122ABF S b c bc =⋅===A 1b =2a =（2）由（1）得，. 221:1(0)C x y y +=≤222:1(0)4y C x y +=>设与直线平行的直线与半圆相切，切点为；l 1l 1C 0S 与直线平行的直线与半椭圆相切，切点为.l 2l 2C 0T 当点、恰好分别取、时，四边形面积最大.S T 0S 0T MSNT 由，得，2214y y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩M1MN OM ON =+=设方程为，则由，得， 2l (0)y m m =+>2214y t yx ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩22640x m ++-=因为相切，所以，故方程为，22824(4)0m m ∆=--=m =2l y +此时直线与直线的距离为l 2l 2d 又因为直线过半圆的圆心，直线与半圆相切，所以两平行直线，的距离为, l 1C 1l 1C l 1l 11d =所以四边形面积的最大值为. MSNT 12113()(1222MSNT S d d MN =+==（3）当时，；0t ≤min 1PK KEt ==+当时，设是半椭圆上的点，由得. 0t >(,)P x y 2C 221(0)4y x y +=>[0,2]y ∈==若，则，在上单调递减，在上单调递增， 302t <<4023t <<PK 4(0,]3t 4[,2]3t 故当时, 43t y =min PK =若，则，在上单调递减， 32t ≥423t ≥PK [0,2]故当时，2y =min PK=综上所述. min 1,03232,2t t PK t t t⎧+≤⎪=<<⎪⎪-≥⎩【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是四边形面积的求解，分割为两个三角形的面积和；二是的最小值求解，借助二次函数的最值进行求解. PK。
高二数学下学期期中考试 试题_2
嘉定区2021学年度高二第二学期期中考试数学试卷2021．4完成时间是：90分钟 满分是：100分一、填空题〔每一小题3分，满分是36分〕1．直线23y x =-的一个方向向量为 ． 2．过点)0,1(P 且倾斜角为︒135的直线方程为 .3.直线1y =与直线3y =+的夹角为 ．4．假设方程04222=+-+kx y x 表示圆,那么实数k 的取值范围为 ．5．双曲线1822=-x y 的焦距为________________________．6．椭圆192522=+y x 的短轴长为 ．7．经过点)3,1(-P 且与圆1022=+y x 相切的直线方程为_______________________.8．椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，那么△MNF 2的周长为______________________.9．假设过双曲线15422=-y x 的右焦点且垂直于实轴的直线与它有两个不同的公一共点A 、B ，那么线段AB 的长为_____________．10．点P 是椭圆14622=+y x 上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，那么线段PM 的中点),(y x N 轨迹方程为_______________________.11．双曲线的焦点在x 轴上，一个顶点的坐标为)0,1(，渐近线方程为y x =±，那么该双曲线的HY 方程为__________．12．椭圆182022=+y x 的两个焦点为21F F 、，点P 在此椭圆上，且21PF PF ⊥，那么21F PF ∆的面积为_________．二、选择题〔每一小题3分，满分是12分〕13．“2a =〞是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=〞的 〔 〕〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件14．假设方程m my x 8822=+表示双曲线，那么此双曲线的虚轴长为 〔 〕〔A 〕m -2 〔B 〕m 2 〔C 〕m 〔D 〕m - 15．圆4)1()1(22=++-y x 上到直线02=-+y x 的间隔 等于1的点一共有〔 〕〔A 〕4个 〔B 〕3个 〔C 〕2个 〔D 〕1个 16．过点)3,2(-且与椭圆364922=+y x 有一样焦点的椭圆的HY 方程为〔 〕〔A 〕110152222=+y x 〔B 〕110152222=+x y 〔C 〕1101522=+y x 〔D 〕1151022=+y x三、解答题〔本大题一一共有5题，满分是52分〕17．〔此题满分是8分〕ABC ∆的三个顶点坐标分别为)3,1(A 、)1,3(B 、)0,1(-C ，求BC 边上的高所在的直线方程． 解：18．〔此题满分是10分〕点)0,2(-B 、)0,2(C ，且ABC ∆的周长等于14，求顶点A 的轨迹方程. 解：19．〔此题满分是10分〕求过点)4,6(-P 且被圆2022=+y x 截得弦长为26的直线l 的方程. 解：20．〔此题满分是12分〕某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛的正向.经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的道路像一个椭圆，其焦点恰好是A 、B A 岛正西20海里和在距A 岛正东60A 、B 两岛之间的间隔 和鱼群运动的轨迹方程. 解：21．〔此题满分是12分，第〔1〕题5分，第〔2〕题7分〕圆锥曲线k C 的方程为 22194x y k k+=--.〔1〕分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；〔2〕假设双曲线k C 与直线1y x =+有公一共点且实轴长最长，求此双曲线的方程. 解：2021学年第二学期期中考试高二数学试卷参考答案与评分意见1．()2,1 2．01=-+y x 3.．3π 4．()()+∞-∞-,22, 5．6 6．67．0103=+-y x 8．16 9．5 10．1622=+y x 11．122=-y x 12．8二、选择题〔每一小题3分，满分是12分〕 13．C 14．A 15．B 16．D三、解答题〔本大题一一共有5题，满分是52分〕17．〔此题满分是8分〕解：所求直线的一个法向量为 ()1,4=CB ………………………………………………3分 由直线的点法向式方程得 BC 边上的高所在直线方程为()()0314=-+-y x 即 074=-+y x .………………………………………7分因此所求BC 边上的高所在的直线方程为074=-+y x ． …………………………8分18．〔此题满分是10分〕解：由， 4=BC ，且 10=+AC AB ,………………………………………3分由于410>，所以点A 在以点)0,2(-B 、)0,2(C 为焦点，长轴长为10的椭圆上， 其中2,5==c a ，那么212522222=-=-=c a b ，于是椭圆的HY 方程为1212522=+y x .……………………………………………………8分又由，C B A ,,不能在一条直线上，所以顶点A 的轨迹方程为()01212522≠=+y y x .………………………………10分19．〔此题满分是10分〕解：假设直线l 的方程为6=x ，它与圆2022=+y x 无公一共点，不符合题意；…………1分于是可设直线l 的方程为 )6(4-=+x k y 即 046=---k y kx 圆心到直线的间隔 为：1|46|2++=k k d由题意得 2222)52()23()1|46|(=+++k k …………………………………6分即 0724172=++k k 解得 177-=k 或者1-=k …………………………………………………8分 所以直线方程为：026177=++y x 或者02=-+y x .……………………………10分20．〔此题满分是12分〕解：以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如下图的直角坐标系.设椭圆方程为 )0(12222>>=+b a by a x …………………………………………2分由题意得 ⎩⎨⎧=-+=.20,60202c a a 解得 ⎩⎨⎧==.20,40c a ………………………………6分所以 1200204022222=-=-=c a b .……………………………………………8分 于是A 、B 两岛之间的间隔 402=c 〔海里〕，且鱼群的运动轨迹方程是11200160022=+y x .…………………………………………10分答：A 、B 两岛之间的间隔 为40海里，鱼群运动的轨迹方程为11200160022=+y x .………………………………………12分21．〔此题满分是12分，第〔1〕题5分，第〔2〕题7分〕解：〔1〕当且仅当4490409<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≠->->-k k k k k 时，方程表示椭圆；…………………………3分当且仅当940)4)(9(<<⇒<--k k k 时，方程表示双曲线.…………………5分〔2〕⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=149122ky k x x y 化简得：0)3)(9()9(2)213(2=--+-+-k k x k x k ……7分 ① 当⎩⎨⎧=-<<021394k k ，即213=k 时，双曲线k C 与直线1y x =+有公一共点，且公一共点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--43,47；………………………………………………………………………………8分 ② 当⎪⎩⎪⎨⎧≥∆≠-<<0021394k k 时，解得 2136<≤k 或者 9213<<k .由①、②得 k 的取值范围为 96<≤k . ………………………………………10分 所以32920≤-<k ，当且仅当6=k 时，等号成立.………………………………11分 因此当6=k 时，双曲线实轴长最长，此时双曲线的方程为12322=-y x . …………12分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
上海市控江中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
控江2023学年第二学期高二年级数学期中2024.04一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知()0,1,2AB =，则AB = ________．2．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为________．3．椭圆2211612x y +=的离心率为________．4．双曲线2214x y -=的渐近线斜率的绝对值是________．5．已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________．6．设椭圆2212516x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为3，记N 为1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =________．7．已知点(),P s t 在椭圆22143x y +=上运动，则12s t +的取值范围是________．8．已知抛物线28y x =的焦点是F ，点()3,2A ，若抛物线上存在一点M 使得MA MF +最小，则M 点的横坐标为________．9．过点()1,3A -的直线l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程为________．10．已知m ∈ ，在拋物线24y x =上存在两个不同的点关于直线y x m =+对称，则m 的取值范围是________．11．已知实数0k ≥，曲线:k C y x k -=与曲线2:C y x =的公共点个数为k a ，对于不同的k ，k a 所有可能的值的集合为________．12．在一个阳光明媚的周末，市射击俱乐部举办了一场盛大的射击比赛，来自各地的射击爱好者纷纷报名参加，甲乙作为一个组合报名参加了射击小组赛．该项比赛规则为：每个小组2人，每人每轮依次射击一次，共有2轮．若两人合计射中靶心次数不少于3次，则称这组为“神枪手组合”．已知甲、乙射中靶心的概率分别为1P 和2P ，若1275P P +=，那么甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的最大可能性为________（假设所有选手每次射击都互相独立）.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第13-14题各4分，第15-16题各5分13．直线a 与直线b 相交，直线c 也与直线b 相交，则直线a 与直线c 的位置关系是（）．A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能14．已知点(),P a b ，曲线1C的方程y =，曲线2C 的方程221x y +=，则“点(),P a b 在曲线1C 上”是“点(),P a b 在曲线2C 上”的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件15．圆222x y +=上到直线10x y ++=的距离为1的点有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个16．已知双曲线22:13x Γy -=和直线:1l x =，,A B 是双曲线Γ的左，右顶点，P 是双曲线Γ上异于,A B 两点的任意一点，直线,AP BP 分别交直线l 于,M N 两点，设B PMN PA ∆∆,的外接圆面积分别为12,S S ，则12S S 的最小值为（）．A．14B．29C．316D．425三、简答题（本大题满分78分）本大题共有5题17．（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分）如图，在棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -中，点E 在棱11A B 上，且11113A E AB =．记1AA a = ，AB b = ，AC c = ．（1）用,,a b c 表示BC 、AE．（2）求直线BC 与直线AE 所成角的大小．18．（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分）冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从过50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试（满分100分），所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（1）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数．（2）分别求出样本数据中男生成绩的平均数x 和方差21σ，女生成绩的平均数y 和方差22σ，并根据所得数据对比男生与女生在这次测验中的表现．（结果精确到0.1）19．（本题共14分，第（1）题6分，第（2）题8分）已知k ∈ ，直线1y kx =+与双曲线2241x y -=相交于不同的点,A B ．（1）若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，求k 的取值范围．（2）若以线段AB 为直径的圆，经过坐标原点，求k 的值．20．（本题共18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）已知正四面体A BCD -的棱长为3，点E 在棱CD 上，点F 在线段AE 上，且BF AE ⊥．（1）如图1，若点E 在棱CD 的中点处，求证：CD ⊥平面ABE ．（2）如图2，若2DE EC=，求三棱锥B CEF -的体积．（3）如图3，当点E 在棱CD 上移动时，求线段CF 长度的最小值．图1图2图321．（本题共18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）已知m ∈ ，椭圆22:12x Γy +=，点F 是该椭圆的右焦点，过点(),0M m 的直线l 与椭圆Γ交于不同的,A B 两点．（1）当0m =且l 的斜率为1时，求AB ．（2）当1m =-时，求FA FB ⋅的取值范围．（3）是否存在实数()1m m ≠，使得对于任意的直线l 、ABF ∆都不是直角三角形．若存在，求出所有满足条件的m ；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题2.1；3.12； 4.12； 5.π； 6.72；7.[]2,2-；8.12；9.1x=-或4350x y+-=；10.(),3-∞-；11.{}3,4,6,812.4975.二、选择题13.D14.A15.B16.B三．解答题17.（1）BC AC AB c b=-=-；11111133bAE AA A E AA A B a=+=+=+；（2）.18.（1）5万人；（2）2165,132.5x=σ=；22209323769.7,119.9327y=≈σ=≈，女生平均成绩更高，也更稳定.19.（1）(；（2）1k=±.20．【答案】（1）CD AECD BE⊥⎫⇒⎬⊥⎭CD⊥平面ABE；（2）B CEFV-=；（3）CF≥.21．【答案】（1）3AB=；（2）71,2FA FB⎡⎤∈-⎢⋅⎣⎦；（3）略.。
上海2021-2022年上海中学高二数学 期中试卷
上海中学高二期中数学试卷2021.11一. 填空题1.三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，空间中一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 的长为2.已知球O 的表面积为16π，则球O 的体积为3.随机投掷一枚均匀的硬币两次，则两次都正面朝上的概率为4.半径为2的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为5.已知正四棱台的侧棱长为3，两底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积为6.已知圆台的上下底面半径分别为2和4，圆台的高为2，则该圆台的侧面积为7.正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与BD 所成角大小为8.正方体1111ABCD A B C D -中，直线1C D 与平面11ACC A 所成角大小为9.△ABC 的三边10AB =，12BC =，14CA =，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，沿DF 、EF 、ED 将△ADF ，△CEF ，△BED 折起，使得A 、B 、C 重合于P ，则四面体P -DEF 的体积为10.棱长为6的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动， 则a 的最大值为11.已知1e 、2e 是空间单位向量，1212e e ⋅= ，若空间向量b 满足12b e ⋅= ，252b e ⋅=，且对任意x 、y ∈R ，120102|()||()|1b xe ye b x e y e -+≥-+=0(x 、0)y ∈R ，则00||x y b ++=12.如图，已知三个两两互相垂直的半平面α、β、γ交于点O ，矩形ABCD 的边BC 在半平面γ内，顶点A 、D 分别 在半平面α、β内，2AD =，3AB =，AD 与平面α所成 角为4π，二面角A BC O --的余弦值为13，则同时与半平面α、β、γ和平面ABCD 都相切的球的半径为 二. 选择题13.投掷一枚骰子，下列事件中是对立事件的是（）A. 向上的点数是1与向上的点数是5B. 向上的点数小于3与向上的点数大于3C. 向上的点数是奇数与向上的点数是偶数D. 向上的点数大于3与向上的点数小于514.设四面体的六条棱长分别为1、1、1、1、a a 的棱异面， 则a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 15.已知a 、b 、c 是空间中的三条不重合的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）A. 若a ∥α，α∥β，则a ∥βB. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC. 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥cD. 若b ⊥β，b ⊥γ，则β∥γ16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 、N 分别为线段1AB 、AC 上的动点， 点T 在侧面11BCC B 内，则||||MT NT +的最小值是（ ）A.B.C.D. 1三. 解答题17.如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的 中点，点1C 为弧11A B 的中点.（1）求异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）求直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的正弦值.18.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =1AF =，M是线段EF 的中点. （1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）求二面角A DF B --的大小.19.如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是正三角形，P A ⊥底面ABC ，AG ⊥平面PBC ，垂足为G .（1）G 是否可能是△PBC 的垂心？请说明理由； （2）若G 恰是△PBC 的重心，且△ABC 的边长为2， 求点C 到平面ABG 的距离.20.已知平面向量中有如下两个结论：结论1：若OA 、OB 是不共线的两个平面向量，OC OA OB λμ=+，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1λμ+=；结论2：若OA 、OB 是不共线的两个平面向量，OP OA OB λμ=+，若点P 在与AB 平行的直线上，则k λμ+=（k 为定值）.将上述两个结论推广至空间向量（无需写出推广结论）解决以下问题：已知OA、OB 、OC 是两两垂直的单位向量，P 是空间中一点.（1）若OP xOA yOB zOC =++ 且241x y z ++=，求||OP OA OB --的最小值；（2）若OP xOA yOB zOC =++ 且满足0,,112x y z x y z ≤≤⎧⎨≤++≤⎩，求动点P 的轨迹所围成的区域的体积.21.如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，2AD =，4AB =，将△ADM 沿DM 翻折，在翻折过程中A 点记为P 点.（1）从△ADM 翻折至△NDM 的过程中，求点P 运动的轨迹长度； （2）翻折过程中，二面角P BC D --的平面角为θ，求tan θ的最大值.参考答案一. 填空题1. 2.323π 3.144.5.6.7.3π8.6π9.10.11.3 12.【第12题】二. 选择题 13.C 14.A15.D16.B【第16题】三. 解答题17.（1）3π；（218.（1）略；（2）3π19.（1）否；（220.（1，转化为点到面的距离；（2）23，正方体减去两个三棱锥21.（1；（2）tan θ=α为翻折角，[0,]απ∈，1cos 3α=-时，tan θ的最大值为12。
2021-2022学年上海市实验学校高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市实验学校高二下学期期中数学试题一、单选题1．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）A ．4B ．23C ．25D ．27【答案】A【解析】由双曲线的定义即可求出. 【详解】由双曲线方程可得2a =， 则1224PF PF a -==. 故选：A.2．由小到大排列的一组数据：12345x x x x x 、、、、，其中每个数据都小于2-，另一组数据2、12345x x x x x --、、、、的中位数可以表示为（ ） A ．232x x + B ．212x x - C ．522x + D ．342x x - 【答案】C【分析】先根据题意对数据进行排列，然后由中位数的定义求解即可【详解】因为由小到大排列的一组数据：12345x x x x x 、、、、，其中每个数据都小于2-， 所以另一组数据2、12345x x x x x --、、、、从小到大的排列为 23541,,,2,,x x x x x --，所以这一组数的中位数为522x +， 故选：C3．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A ．6B ．8C ．12D ．18【答案】C【详解】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0．24，0．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人． 【解析】频率分布直方图4．下列关于曲线24:14x y Γ+=的结论正确的是A ．曲线Γ是椭圆B ．关于直线y x =成轴对称C ．关于原点成中心对称D ．曲线Γ所围成的封闭图形面积小于4【答案】C【分析】A 根据椭圆的方程判断曲线24:14x y Γ+=不是椭圆；B 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，判断曲线Γ是否关于直线y x =对称； C 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，判断曲线Γ是否关于原点对称； D 根据||2x ，||1y ，判断曲线24:14x y Γ+=所围成的封闭面积是否小于4． 【详解】曲线24:14x C y +=，不是椭圆方程，∴曲线Γ不是椭圆，A ∴错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，方程变为2414yx +=，∴曲线Γ不关于直线y x =对称，B 错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，方程不变，∴曲线Γ关于原点对称，C 正确；||2x ，||1y ，∴曲线24:14x C y +=所围成的封闭面积小于428⨯=， 令412,2x y =±= 所以曲线Γ上的四点4444111122222222（，）,（，）,（，）,（，-）围成的矩形面积为44441122=44=42422>， 所以选项D 错误.故选C ．【点睛】本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题． 二、填空题5．若31010r C C =；则r =__________．【答案】7或3【分析】根据组合数的性质，可直接得出结果.【详解】由组合数的性质可得，r n rn n C C -=，所以由31010rC C =可得3r =或1037r =-=.故答案为：7或3.【点睛】本题主要考查组合数性质的应用，属于基础题型.6．将点的直角坐标(-化成极坐标为___________（要求0ρ>，02πθ≤<） 【答案】2π43⎛⎫ ⎪⎝⎭，24π3⎛⎫⎪⎝⎭，【分析】利用极坐标和直角坐标互化公式求解即可.【详解】由已知得4ρ=，设该点的极角为θ，则1cos 2xθρ==-，该点在第二象限，则2π3θ=，所以直角坐标(-化成极坐标为2π43⎛⎫⎪⎝⎭，.故答案为：2π43⎛⎫⎪⎝⎭，.7．在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______.【答案】60【分析】首先写出二项展开式的通项公式，并求指定项的r 值，代入求常数项. 【详解】展开式的通项公式是()626123166122rrrr r r r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为60【点睛】本题考查二项展开式的指定项，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型.8．已知参数方程21sin 2cos x ty t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），则该方程的普通方程为___________.【答案】[]24,0,1y x x =∈【分析】首先将原式子变形为21sin cos 2x t y t ⎧-=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），根据 22cos sin 1t t += 得到221144y x y x -+=⇒=，由三角函数有界性得到方程为：[]24,0,1y x x =∈.【详解】已知参数方程21sin 2cos x ty t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），将原式变形得到：21sin cos 2x t y t ⎧-=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），根据 22cos sin 1t t += 得到221144y x y x -+=⇒= [][]22sin 0,11sin 0,1t x t ∈∴=-∈[]2cos 1,1y t =∈- 故方程为：[]24,0,1y x x =∈故答案为：[]24,0,1y x x =∈.9．某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽样20名测得其年龄，绘制了如下茎叶图：则可估计该地区知识分子的平均年龄为___________.【答案】41.8【分析】利用求解平均数的公式进行求解. 【详解】相加求和，再除以20即可，即2729323233353737394041414446485154545759836+++++++++++++++++++=836÷20=41.8 故答案为：41.810．有一组数据1x 、2x 、、n x ，其平均值为3，方差为2．则新的数据121x -、221x -、、21n x -的标准差为_____________ 【答案】22【分析】利用方差公式可求得结果.【详解】由已知可得数据1x 、2x 、、n x 的平均数为123nx x x x n+++==，方差为()()()2221222n x x x x x x sn-+-++-==，数据121x -、221x -、、21n x -的平均数为()()()12232323n x x x x n-+-+'+-=()122323n x x x nx n+++-==-，所以，新数据的方差为()()()()()()222122232323232323n x x x x x x s n⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+---++---⎣⎦⎣'⎦⎣⎦=()()()222122448n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎣⎦===，因此，新数据的标准差为故答案为：11．已知5121920C C C C C m m m m m m m +++++⋅⋅⋅+=，则m =___________.【答案】4或1414或4【分析】根据组合数的性质11C C C m m m n n n -+=+及C C m n mn n -=即可求解.【详解】解：因为5121920C C C C C m m m m m m m +++++⋅⋅⋅+=，所以1121911219C C C C C C C C m m m m m m m mm m m m m m +++++++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+111522193192020C C C C C C C m m m m m m m m m ++++++=++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+==，所以15m +=或1520m ++=，又*019,m m N ≤≤∈，解得4m =或14m ，故答案为：4或14.12．现对某批电子元件的寿命进行测试，因此使用随机数法从该批次电子元件中抽取200个进行加速寿命试验，测得的寿命（单位：h ）结果如下表所示：试估计这批电子元件的第60百分位数60P =____________ 【答案】170【分析】根据条件及百分位数的含义即得. 【详解】∵1032443460200100+++=，故这批电子元件的第60百分位数160180601702P +==160. 故答案为：170.13．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个． 【答案】216【分析】分个位是0或者5两种情况利用排列知识讨论得解.【详解】当个位是0时，前面四位有45120A =种排法，此时共有120个五位数满足题意；当个位是5时，首位不能是0，所以首位有4种排法，中间三位有4424A =种排法，所以此时共有424=96⨯个五位数满足题意. 所以满足题意的五位数共有120+96=216个. 故答案为216【点睛】本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14．已知曲线():,0F x y Γ=对坐标平面上任意一点(),P x y ，定义[](),=F P F x y .若两点P ，Q 满足[][]0F P F Q ⋅<，称点P ，Q 在曲线Γ两侧.记到点()0,1与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线()22:,0F x y x y y a Γ=+--=，若曲线C 上总存在两点M ，N 在曲线Γ两侧，则实数a 的取值范围是__________.【答案】()6,24【分析】依题意求出曲线C 的轨迹方程，利用[][]0F M F N ⋅<，求解a 的范围．【详解】解：设曲线C 上的动点为(,)x y ||5y =， 化简得曲线C 的方程为28(3)(03)x y y =-和212(2)(20)x y y =+-， 其轨迹为两段抛物线弧当03y 时，2(,)924[6F x y y y a a =-+-∈-，24]a -； 当20y -时，2(,)1124[6F x y y y a a =++-∈-，24]a -； 故若有[][]0F M F N ⋅<，则(6)(24)0624a a a --<⇒<<． 即()6,24a ∈ 故答案为：()6,24． 三、解答题15．毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果： (1)A ､B 两人不排在一起，有几种排法？ (2)A ､B 两人必须排在一起，有几种排法？ (3)A 不在排头，B 不在排尾，有几种排法？ 【答案】(1)480 (2)240 (3)504【分析】（1）插空法进行求解；（2）捆绑法进行求解；（3）正难则反，从全排列中减去不合要求的排列即可.【详解】(1)先把除A ､B 两人外的4人进行排列，再把A ､B 两人放到4人排列的5个间隔中，有2454A A 480=种排法；(2)采用捆绑法进行排列，有2525A A 240=种排法；(3)先将6人进行排列，再减去A 在排头的排列，再减去B 在排尾的排列，再加上A 在排头且B 在排尾的排列，即654654A 2A A 504-+=种排法.16．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据完成如下2×2的列联表；(2)判断性别与休闲方式是否有关系.（显著性水平α取0.05）【答案】(1)答案见解析 (2)休闲方式与性别有关【分析】（1）根据题意直接填表可得答案； （2）计算2χ，结合临界值表可得答案. 【详解】(1)2×2的列联表如下：(2)()2212443332721 6.201 3.84170546460χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，认为休闲方式与性别有关.17．已知二项式n的展开式中，前三项系数成等差数列.（1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）8；（2）358；（3）437x 和237x . 【分析】（1）首先写出展开式的通项，再根据前三项的系数成等差数列得到方程，解得即可；（2）由（1）可知第5项的二项式系数最大，再将4r =代入通项即可；（3）依题意得到不等式组11881188********r r r r r r r rC C C C ++--⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，求出r 的取值范围，再代入通项计算可得；【详解】解：（1）二项式n展开式的通项为2312r rn rn rrr nn C C x --⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，由于展开式系数的前三项成等差数列，则10211224n n n C C C ⋅=+⋅，即()118n n n -=+，整理得2980n n -+=，解得8n =或1n =∵2n ≥，解得8n =；（2）第1r +项的二项式系数为8rC ，因此，第5项的二项式系数最大，此时，4r =；所以488435813528T C x-⎛⎫==⎪⎝⎭；（3）由11881188********r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，得28!8!!(8)!(1)!(7)!8!28!!(8)!(1)!(9)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪-+-⎪⎨⨯⎪≥⎪---⎩， 整理得22892r rr r +≥-⎧⎨-≥⎩，解得23r ≤≤，所以当2r =或3时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为24423338172T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭和32233348172T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程； （3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=；(2)2x −y +5=0或2x −y −15=0.(3)[2221,2221]-+. 【详解】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，.（1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. （2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离 2675.55mm d ⨯-++==因为222425,BC OA ==+=而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. （3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点， 所以()()2255463755,t -≤+-+-+⎡⎤⎣⎦解得22212221t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是2221,2221⎡⎤-+⎣⎦.【解析】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.。
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2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知ab ＜0，bc ＞0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过（ ）象限 A ．第一、二、三 B ．第一、二、四 C ．第一、三、四 D ．第二、三、四【答案】C【解析】将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及y 轴上的截距的正负判断直线经过的象限.【详解】0ax by c 等价于a cy x b b=--，根据题意0,ab <∴0ab->，故直线必经过第一、三象限； 又因为0,bc >∴0cb-<，故直线必经过第三、四象限，故直线必经过第一、三、四象限. 故选：C.【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.2．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（ ） A ．OA OB OC OP ++=- B ．OA OB OC OP ++= C ．2OA OB OC OP ++= D ．3OA OB OC OP ++=【答案】D【分析】要使空间中的P 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=即可.【详解】对于A 选项，OP OA OB OC =---，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面； 对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选：D.3．若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y 恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可【详解】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3) ，曲线2:1C y x =-为以(0,0) 为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)- 时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+- ，解得32k . 当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0) 到直线:3(1)l y k x -=-的距离2311k d k -==+ ，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤ 时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点(,)P x y ，定义[]||||OP x y =+.对于下列两个命题：①设点P 是直线1()y kx k =+∈R 上任意一点，则“使得[]OP 最小的点P 有无数个”的充要条件是“1k =±”；②设点P 是椭圆2214x y +=上任意一点，则max []5OP =则下列判断正确的是（ ） A ．①真②真 B ．①真②假C ．①假②真D ．①假②假【答案】A【分析】对于①，根据x y x y +≥±，把1y kx =+代入得到当[]OP 最小时的点P 有无数个时，1k =±；而1k =±时，推导出[]OP 最小的点P 有无数个，即可证明；对于②，P 的坐标用参数形式表示，然后利用三角函数的辅助角公式化简可求得[]OP 的最大值.【详解】对于①，先证充分性：由[]()111OP x y x y x kx k x =+≥+=++=++，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意； 又[]()(1)11OP x y x y x kx k x =+≥-=-+=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意. 再证必要性：不难得到，当1k =±时，直线1y x =±+上使得[]OP 最小的点P 有无数个； 所以“使得[]OP 最小的点P 有无数个”的充要条件是“1k =±”，即①是真命题；对于②，因为点P 是椭圆2214x y +=上任意一点，则可设2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，所以[]()2cos sin OP x y θθθϕ=+=++（0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，tan 2ϕ=且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），则当2πθϕ+=时，[]max OP ②是真命题；故选：A.二、填空题5．设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________. 【答案】1【分析】利用直线的斜率公式求解.【详解】解：因为直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +， 所以直线l 的斜率是3211k a a-==+-，故答案为：16．直线1:260l x y ++=与2:10l x y -+=夹角的余弦值是___________.【分析】分别设12,l l 的倾斜角为,αβ，再根据斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式与正切和余弦的关系求解即可【详解】设12,l l 的倾斜角为,αβ，12,l l 的夹角为θ ，则tan 2α，tan 1β=，故()()21tan tan 3121θαβ--=-==+-⨯ ，故12,l l 夹角的余弦值cos θ===7．若直线l 经过点(1,3)，且与圆2210x y +=相切，则直线l 的方程是___________. 【答案】3100x y +-=【分析】分析可得点(1,3)在圆2210x y +=上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l垂直即可求得直线l 的斜率，进而求得方程【详解】因为221310+=，故点(1,3)在圆2210x y +=上，又圆心()0,0到()1,3的斜率为30310-=-， 故直线l 的斜率13k =-，故直线l 的方程是()1313y x -=--，化简可得3100x y +-=故答案为：3100x y +-=8．直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_________. 【答案】1-【解析】根据两直线平行得出实数a 满足的等式与不等式，解出即可.【详解】由于直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则()()23262a a a a ⎧-=⎪⎨≠-⎪⎩，解得1a =-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 9．已知方程2212x y t t +=-表示双曲线，则实数t 的取值范围是___________.【答案】(0,2)【分析】根据题意得()20t t -<，即可求解.【详解】根据题意得，要使2212x y t t +=-表示双曲线，只需要()20t t -<即可， 解得02t <<，所以实数t 的取值范围是(0,2). 故答案为：(0,2).10．如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =___________.【答案】1231122e e e +-【分析】先求出()12AE AB AC =+，再由DE DA AE =+求解即可.【详解】在ABC 中，因为E 是BC 的中点，所以()()121122AE AB AC e e +=+=， 所以1231122DE DA AE e e e =+=+-.故答案为：1231122e e e +-.11．设1F ､2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，且满足120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=___________.【答案】32【分析】根据椭圆的定义得到1210PF PF +=，由120PF PF ⋅=，得到221236PF PF +=，结合()2221212122PF PF PF PF PFPF +=+-，即可求解.【详解】由题意，椭圆22:12516x y C +=，可得5,4a b ==，则3c =，根据椭圆的定义，可得1210PF PF +=，又由120PF PF ⋅=，可得12PF PF ⊥，所以22212436PF PF c +==， 因为()2221212121221002PF PF PF PF PFPF PF PF +=+-=-，即12100236PF PF -=，解得1232PF PF =. 故答案为：32.12．已知圆222450x y x y ++--=与22210x y x ++-=相交于A B ､两点，则公共弦AB 的长是___________. 【答案】2【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【详解】解：由题意AB 所在的直线方程为：()()2222245210x y x y x y x ++---++-=，即1y =-，因为圆22210x y x ++-=的圆心()1,0O -，半径为r = 所以，圆心()1,0O -到直线1y =-的距离为1，所以2AB ==. 故答案为：213．已知向量1(1,0,0)u =，1(0,0,1)v =，它们分别在平面xOy 和yOz 上绕坐标原点旋转α得到向量2u ､2v ，其中(0,2)απ∈，若220u v ⋅=，则α=___________.【答案】π【分析】依题意可得()1cos0,sin 0,0u =，10,cos ,sin 22v ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义及诱导公式得到2u ､2v ，最后根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为()1(1,0,0)cos0,sin 0,0u ==，()10,0,10,cos ,sin 22v ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭将()1cos0,sin 0,0u =在平面xOy 上绕坐标原点旋转()()0,παα∈得到()2cos ,sin ,0u αα=，同理可得()20,cos ,sin 0,sin ,cos 22v ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以222sin 0u v ⋅=-α=，所以sin 0α=，又(0,2)απ∈，所以απ=； 故答案为：π14．设m ∈R ，已知直线1:(1)20l m x my m +++-=，过点(1,2)作直线2l ，且1l //2l ，则直线1l 与2l 之间距离的最大值是___________.【分析】由直线()()121(2:1)00l m x my m m x y x +-+++-++⇒==，可得1l 过定点()2,1-，又知2l 过定点(1,2)，且12//l l ，则两直线之间距离的最大值等于两定点之间的距离.【详解】由直线1:(1)20l m x my m +++-=，得()()120m x y x +-++=；令1020x y x ++=⎧⎨+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，则直线1l 过定点()2,1-；又12//l l ，且2l 过点()1,2，则直线1l 与2l 之间距离的最大值d.15．已知()2,0A ､()8,0B ､()4,2C ，且动点P 满足12PA PB =，则2PC PB +取得最小值时，点P 的坐标是___________.【答案】)1【分析】设(),P x y ，由214PA PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得P 点轨迹为2216x y +=；由()22PC PB PC PA +=+可知当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时取得最小值，联立圆的方程和直线AC 方程即可求得结果.【详解】设(),P x y ，则()()222222148PA x y PB x y ⎛⎫-+== ⎪ ⎪-+⎝⎭，整理可得：2216x y +=；()2222PC PB PC PA PC PA +=+=+，∴当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时，2PC PB +取得最小值，又直线AC 方程为：240224y x --=--，即2y x =-， 由22162x y y x ⎧+=⎨=-⎩得：7171x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或1717x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩又P 在线段AC 上，)771P ∴.故答案为：)771+.16．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M ､N 是椭圆22142x y +=上的两个动点，动点P 满足：2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为12-，若点(0,1)A ，则||PA 的最大值是___________. 22【分析】设11(,)M x y 、22(,)N x y ，根据直线OM 与直线ON 斜率之积为12-，得到121220x x y y +=，根据2OP OM ON =-得到1212(2,2)P x x y y --，根据两点间的距离公式以及2211142x y +=，2222142x y +=，121220x x y y +=，得到||PA =()2122122y y --++据二次函数知识可得结果.【详解】设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则2211142x y +=，2222142x y +=， 因为直线OM 与直线ON 斜率之积为12-，所以121212y y x x ⋅=-，即121220x x y y +=，因为2OP OM ON =-1212(2,2)x x y y =--，所以1212(2,2)P x x y y --， 所以221212||(2)(21)PA x x y y =-+--222212121212124441442x x x x y y y y y y =+-+++--+222212*********(42)424(2)41442y y y y y y y y y y =-+---+++--+22121212444221y y y y y y =--+-++21212(2)2(2)21y y y y =----+ ()2122122y y =--++，因为122y -≤≤，所以122222y -≤≤， 因为222y -≤≤，所以222y -≤-≤， 所以1232232y y -≤-≤，所以当1221y y -=-时，||PA 取得最大值22. 故答案为：22. 三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.(1)求直线1BC 与平面11CC D 所成的角的大小； (2)求直线1BC 到平面1ACD 的距离.【答案】(1)π4(2)23【分析】（1）说明BC ⊥ 平面11CC D ，则1BC C ∠ 即为直线1BC 与平面11CC D 所成的角，解直角三角形，可得答案;（2）证明1BC ∥平面1ACD ，即说明点B 到平面1ACD 的距离即为直线1BC 到平面1ACD 的距离，根据等体积法求得答案.【详解】(1)在长方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥ 平面11CC D D , 即BC ⊥ 平面11CC D ，则1BC C ∠ 即为直线1BC 与平面11CC D 所成的角， 由于1BC AD ==，111CC A A ==，故1π4BC C ∠=， 即直线1BC 与平面11CC D 所成的角为π4；(2)在长方体1111ABCD A B C D -中，由于1111,AB D C AB D C =∥ ,故四边形11ABC D 是平行四边形， 故11BC AD ∥，而1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，故1BC ∥平面1ACD ，则点B 到平面1ACD 的距离即为直线1BC 到平面1ACD 的距离.； 而11415,2,5AC AD CD +===, 故1212325()222ACD S=-= , 设点B 到平面1ACD 的距离为h ，则11B ACD D ACB V V --=,即13112113232h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ,则23h =， 即直线1BC 到平面1ACD 的距离为23.18．在平面直角坐标系内，已知点P 及线段l ，Q 是线段l 上的任意一点，线段PQ 长度的最小值称为“点P 到线段l 的距离”，记为(,)d P l .(1)设点(2,0)P ，线段:(02)l y x x =≤≤，求(,)d P l ；(2)设(0,0)A ､(1,1)B ､(2,1)C ，线段1l AB =，线段2l AC =，若点(,)P x y 是2l 上的动点，请将1(),d P l 表示成x 的函数. 【答案】(2)()140,3,4,23x d P l x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据“点P 到线段l 的距离”的定义结合两点的距离公式即可得出答案； （2）分别求出线段AB 所在直线和线段AC 所在直线的方程，然后求出过点B 且垂直于线段AB 的直线方程，与线段AC 所在直线的方程联立，求出交点坐标，再由交点横坐标分情况讨论，从而可得出答案. 【详解】(1)解：可设(),,02Q a a a ≤≤， 则PQ =当1a =时，min PQ所以(,)d P l =(2)解：线段AB 所在直线的方程为0x y -=， 线段AC 所在直线的方程为20x y -=，过点B 且垂直于线段AB 的直线方程为()11y x -=--，即20x y +-=，联立2020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得4323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点(,)P x y 是2l 上的动点，所以12y x =， 当40,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，点(,)P x y 到线段AB 的最短距离即为点P 到线段AB 所在直线的距离，此时1(,)d P l =当4,23x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，点(,)P x y 到线段AB 的最短距离即为点B 到线段AC 上的点的最短距离，此时1(,)d P l =综上所述，1224,0,43(,)5432,,243x x d P l x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩.19．我国计划发射火星探测器天问一号，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34R =百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点），A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里.(1)请求出天问一号运行轨道的椭圆标准方程；(2)假定该探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O ab 时进行变轨，其中a ､b 分别为椭圆的长半轴､短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）. 【答案】(1)22119184435028x y += (2)187百公里【分析】（1）设椭圆方程为：22221x y a b+=，由80034,834+=+-=+a c a c 求解；（2）设变轨时，探测器位置为()00,P x y ，由220x yab +=和2200119184435028x y +=求解.【详解】(1)解：设椭圆方程为：22221x y a b+=，由题意得80034,834+=+-=+a c a c ， 解得438,396==a c ，则22235028b a c =-=， 所以椭圆方程为：22119184435028x y +=； (2)设变轨时，探测器位置为()00,P x y ， 则220081975.1x y ab +==，又2200119184435028x y +=，解得00239.7,156.7x y ==， 所以()2200187xc y R -+-≈.20．如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，M ､N 是线段PB ､DC 上的点，满足BM DNMP NC==λ.(1)若1λ=，求证：直线MN //平面PDA ；(2)是否存在实数λ，使直线MN 同时垂直于直线PB ，直线DC ？如果有请求出λ的值，否则请说明理由；(3)若1λ=，求直线MN 与直线PD 所成角的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析； (3)最大值为22arccos3. 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置关系进行判断即可； （3）根据异面直线所成的角的定义，结合余弦定理、换元法、配方法进行求解即可. 【详解】(1)取AP 的中点Q ，连接,QM QD ， 因为1λ=，所以M 是线段PB 上的中点，因此有1//,2QM AB MQ AB =， 因为ABCD 是矩形，N 是线段DC 上的中点， 所以1//,2DN AB DN AB =， 因此有//,DN MQ DN QM =，所以四边形DNMQ 是平行四边形，所以有//NM QD ，而NM ⊄平面PDA ，QD ⊂平面PDA ，所以直线MN //平面PDA ； (2)假设存在实数λ，使直线MN 同时垂直于直线PB ，直线DC ， 因为四边形ABCD 是矩形，所以//CD AB ， 即,MN PB MN AB ⊥⊥，而=,,PB AB B PB AB ⊂平面ABP ，所以MN ⊥平面ABP ，因为ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AD ⊥，而=,,PA AB A PA AB ⊂平面ABP ，所以AD ⊥平面ABP ，因此//MN AD ，显然不可能，所以假设不成立， 因此不存在实数λ，使直线MN 同时垂直于直线PB ，直线DC ； (3)当1λ=时，由（2）可知：//MN DQ ，所以PDQ ∠是直线MN 与直线PD 所成角，设(0)AD a a =>， 由（2）可知PA AD ⊥，所以PD DQ = 在PDQ 中，由余弦定理可知：222222cos 2PD DQ PQ PDQ PD DQ +-∠==⋅ 令22(2)a t t +=>，所以1102t <<，于是有cos PDQ ∠==当114t =时，cos PDQ ∠， 所以PDQ ∠有最大值，最大值为21．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆相似.如图，椭圆1C 、2C 是两个相似的椭圆，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的长半轴长是4，短半轴长是2，且1C 的左､右焦点1F 、2F 都在椭圆22222:1(0)m n x y C m n +=>>上.(1)求1C 、2C 的方程；(2)在1C 上是否存在点P 满足，线段1PF 的中点在2C 上，如有请求出P 的坐标，否则请说明理由；(3)如图，若Q 是2C 上异于1F 、2F 的任意一点，直线1QF 与1C 交于A ､B 两点，直线2QF 与1C 交于D ､E 两点，求证：||||AB DE +为定值. 【答案】(1)221:1164x y C +=，222:1123x y C += (2)存在，5369P ⎛ ⎝⎭ (3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的基本量求解即可；（2）设()11,P x y，进而得到12y Q ⎫⎪⎪⎝⎭，再分别代入对应的方程，联立求解即可； （3）先证明1214F Q F Q k k ⋅=-，再设AB的方程为x ty =-1C 的方程，根据弦长公式可得AB 关于t 的表达式，同理可得DE 的表达式，再化简求得定值即可【详解】(1)由题，4,2a b ==，故221:1164x y C +=，又22212m a b =-=，且1C 、2C 相似，故2222a m b n=，故23n =，故222:1123x y C +=(2)由题，()1F -，设()11,P x y ，1PF中点12y Q ⎫⎪⎪⎝⎭，故2211221116421123x y y ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩即(2211221111643164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，故(221132x x --=，解得1x =1y =，故P ⎛ ⎝⎭ (3)设()00,Q x y，则12202012F Q F Qy k k x ⋅==-，又22001123x y +=，故2200412x y +=，故122020144F Q F Qy k k y ⋅==--. 显然直线AB 斜率不为0，设AB的方程为x ty =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立221164x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22440t y +--=，故1212244y y y y t -+==+，又()2122814t AB y t +=-=+，又1214F Q F Qk k ⋅=-，故 12114F Q F Qk k ⋅=-，故有()2222481216444t t DE t t ⎡⎤-⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故()()2222228121610401044||||4t t t t t t AB DE ++++==++++=，即||||AB DE +为定值10【点睛】本题主要考查了椭圆中设点，根据椭圆的方程化简求解的方法，同时也考查了椭圆中的定值问题，包括弦长公式等化简，属于难题。