正弦余弦函数图像性质总结
正弦、余弦、正切函数图象及其性质
函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。
当ω＜0时，要特别注意。
如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正弦函数和余弦函数的图像与性质
10
18
(2) 因为
π ＜ 2 π ＜ 3 π ＜π ，
23
4
且
y ＝sin x
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
y
1
-2 - o 2 3
-1
4 x
定义域
R
值域
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
最
值
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
2
ymin= 1
y= 0 x k (k Z)
R [1,1]
x 2k (k Z) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
cos15 / 8>_ cos14 / 9
cos515 >_ cos530
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数余弦函数的图象和性质
3 2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ 2 ,
3 2
]的简图：
3 22
x
cosx sinx
0
2
0 2
2 0 -1
3 2
0 1 1 0 y 向左平移 个单位长度 2 2
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
1 3、y 2 sin( 2 x 6 )
x∈R
解：令 z x
1 2
6
，那么x∈R必须并且只要
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
1 1 于 z 2 x 2 ( x 4 ) 。所以自变量z只 2 6 2 6
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1
( ,-1)
x
正弦、余弦函数的图象
例1 画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
sinx 1+sinx
y 2
0 0 1
2
0 1
3 2
1 2
-1 0
2 步骤： 0 1.列表 1 2.描点 3.连线
y=1+sinx，x[0, 2] 1
例４、
求下列函数的周期：
1：y=3cosx x ∈R
解：因为余弦函数的周期是2π，所 以自变量x只要并且至少需要增长到 x+2π，余弦函数的值才会重复取得， 函数y=3cosx的值才能重复取得， 所以T=2π。
正弦函数、余弦函数的图像和性质
1 2
x
y
0
3
3 2
6
2
2 3
3 2
5 6
1 2
0
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
0
1
1 2
3 2
1 23
1 2
0
(2) 描点
y 10
2
-
-
-
-
3 2
2
x
(3) 连线
1 -
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦曲线
y
1-
6
-
4
-
2
-
o-1
-
-
( 2 ,1)
图象的最高点 与x轴的交点
1-
(0,1) (2 ,1)
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
3 ( , 0 ) ( x 2 2 2 ,0) 图象的最低点 ( ,1)
-
下面请同学们练习应用“五点法”作 图。 练习：P --课后习题
55
正弦函数、余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 1.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法 作三角函数图象 . . . . x的正弦线，巧妙地 , sin x),连线. 描点法 : 查三角函数表得三角函数值,描点(x 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角
如 : x 3 查表 y sin 3 0.8660 移动到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx). ( 描点 ,0.8660) y 3 1
余弦函数和正切函数的图像及性质
正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x 图像的?
尝试:用正切线作正切函数图像:
y
3 8 4 8O
O1
A
x
8
4
3 8
2
探究:
正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x tan x f x ∵ f x tan x cos x cos x
∴ y tan x 是周期函数， 是它的一个周期．
画出函数 y tan x
π ， x R,x kπ 2
的图像:
y tan x 的图像是利用平移正切线得到的，当获得 2 ， 2
上的图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
y 1
y 1
k , (k Z ) 4 2 x (2) y 5 tan , x (2k 1) , (k Z ) 2
(1) T
(2) T 2
作业：课本P37 题1（2）（3） （书上）； P38题8、9、10、11 B组2
周期为T=2π 奇 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
周期性
奇偶性 单调性
π
对称中心 对称轴
π
2
(kπ+ π ,0) 2 x = kπ
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是减函数 。
正弦函数、余弦函数的图象和性质
描点作图
2 2
1
0 2 0
0 -1 1 1
10
3 32 2
00
00 1-1
2 2
yy
2-
1 1oo 1 - 1
2
y 1 sin x, x [0,2 ] y cos x, x [0,2 ]
2
3 3 2
请说明y=－cosx与y=cosx之间 有什么联系？
y sin x, x [0,2 ]
2
2 2
xx
y cos x, x [0,2 ]
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
总结提炼
1。本节课介绍了四种作函数图象的方 法，其中五点作图法最常用，要牢记五 个关键点的选取特点。
平移 个单位长度而得到． 2
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
在作函数 y cos x, x [0,2 ] 的图像中起关键作用的点有哪些？
y
-
图象的最高点 (0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
3 ( , 0 ) ( 2 2 ,0)
1-
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
能否利用正弦线作出正弦函数的图像？
图像动画演示1
图像动画演示2
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质 在作函数y sin x, x [0,2 ] 的图像中起关键作用的点有
y
1-
哪些？
五点作图法
(完整版)正弦和余弦函数的图像及性质
y=
cosx
=
cos(-x)
=
sin[
2
-(-x)]
=
sin(x+
2
)
y 从 向图 左像平中移我 们个看单到位co后sx得由到sinx
2
1
-
-
4
2
o
-
2
-
4
-
x
-
-
－1
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象
y=
1
2 sinx+
3 2
cosx
=
sinxcos
3
+
cosxsin
3
= sin(x+ 3 )
X+ 3
x
y
0
2
－
3
6
0
1
换元法
3 2
2
2
7
5
3
6
3
0 －1 0
y=sin(x+
3
)图像如下所示
y
最大值为 1，最小值为－1
-
2 1 o- -
12
-
-
2
-
-
2
-
-
x
3
3
-
想一想?
正弦曲线、余弦曲线，它们图象有何特征？
-1 -
y
简图作法 (五点作图法)
图象的最低点(
3 2,
1)
(y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点( ) 正弦y 函数.余弦函数的图象和性质 6
正弦、余弦函数的图像与性质
正弦与余弦函数的图像与性质（内部使用）姓名： 日期：¤ 梳理知识★透视规律 ¤一、函数的周期性1、定义： 。
二、正弦与余弦函数的图像1、正弦函数的图像由单位圆中的正弦线的变化，推出sin y x =的图像：单位圆在[]0,2π上的图像推广到R 上的图像2、正弦函数的图像由单位圆中的余弦线的变化，推出cos y x =的图像：单位圆在[]0,2π上的图像推广到R 上的图像3、五点作图法：（1）概念： 。
（2） 步骤： → → 。
三、正弦与余弦函数的性质函数y sin x =y cos x =图像定义域 值域 周期性 奇偶性（对称性）单调性注：（1） ；（2） 。
¤ 拓展★提高 ¤一、正弦型函数sin y A x M =+()0A M ⋅≠的性质：（1）A 的作用：对最值的影响： ；正负对单调区间的影响： 。
（2）M 的作用：。
¤ 他山之石★可以攻玉 ¤【例1】用“五点法”画出下列函数的图像：（1）[]2sin ,0,2y x x π=-+∈；（2）[]2cos ,0,2y x x π=+∈。
【变式】用“五点法”画函数[]12sin ,0,2y x x π=-∈的图像。
我来记两笔：【例1】解下列不等式：（1）1sin 2x >； （2）3cos 2x ≤-。
【变式1】求函数2sin 1y x =+的定义域。
【变式2】求函数1lg 1cos y x=-的定义域。
题型一 “五点法”作图 题型二 利用正、余线函数图像解简单三角不等式我来记两笔：【例1】求下列函数的值域：（1）y sin sin x x =+； （2）cos 2y cos 1x x -=+。
【变式】求下列函数的值域：（1）y 2sin 2,,366x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）[]2cos sin 2,0,y x x x π=++∈。
我来记两笔：【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）()()sin f x x x π=+； （2）()3cos 12f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭。
正弦函数、余弦函数的图像和性质
正弦函数、余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tanα的几何意义. 想一想?
y
1
P
T
正弦线MP
o
M
1
ALeabharlann x余弦线OM 正切线AT
三角问题
几何问题
正弦函数、余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
y sin x, x 0,2
y
P
3
0
2
-
-
-
2
3 2
x
1 1 x
O
M
几何法： 作三角函数线得三角函数值，描点 ( x, sin x),连线 如: x 3 作 3 的正弦线 MP, 平移定点 ( x, MP)
正弦函数、余弦函数的图象和性质
2.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
2
-
4
-
6
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
-
正弦函数、余弦函数的图象和性质
55
正弦函数、余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 1.函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法 作三角函数图象 . . . . x的正弦线，巧妙地 , sin x),连线. 描点法 : 查三角函数表得三角函数值,描点(x 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角
如 : x 3 查表 y sin 3 0.8660 移动到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx). ( 描点 ,0.8660) y 3 1
三角函数图像性质总结
三角函数图像性质总结三角函数是数学中十分重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像具有一些独特的性质，下面将对这些性质进行总结。
首先，我们来讨论正弦函数的图像性质。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在区间[-π/2, π/2]上取得最大值1，在区间[π/2, 3π/2]上取得最小值-1。
它在原点(0, 0)处有一个零点，并且在整个数轴上是周期性的，即f(x) = sin(x + 2kπ) (k为整数)。
正弦函数的图像关于y轴对称，且具有奇函数的性质，即f(x) = -f(-x)。
此外，我们还可以通过调整正弦函数的振幅和周期来改变图像的形状和密度。
接下来，我们来探讨余弦函数的图像特点。
余弦函数的图像也是一条波浪线，但与正弦函数相比，其整体位置上移了π/2个单位。
余弦函数在区间[0,π]上取得最大值1，在区间[π,2π]上取得最小值-1。
它在横坐标为奇数倍π/2的点上有一个零点，并且在整个数轴上也是周期性的，即f(x) = cos(x + 2kπ) (k为整数)。
余弦函数的图像关于y轴对称，但不具备奇偶性质。
与正弦函数一样，通过改变振幅和周期可以改变图像的形状和密度。
最后，讨论正切函数的图像性质。
正切函数的图像是一条有无穷多个渐近线的曲线，具有无穷多个周期。
正切函数在横坐标为奇数倍π/2的点上没有定义，即在这些点上有一个垂直渐近线。
在其定义域内，正切函数的图像在区间(-π/2, π/2)和(3π/2, 5π/2)...上呈现单调递增的趋势。
由于正切函数为一个奇函数，其图像具有关于原点对称的性质。
除了上述基本的图像性质外，三角函数的图像还有一些相关的性质需要注意。
首先是相位角的概念。
正弦函数和余弦函数的图像都可以表示为f(x) = A*sin(x + φ)或f(x) = A*cos(x + φ)的形式，其中A表示振幅，φ表示相位角。
相位角的改变可以导致整个图像在横坐标方向的平移。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当 为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？ 周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数，那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？