高二数学9月月考试题实验班 试题
2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线tan120x =︒的倾斜角是（ ） A ．60° B ．90°C ．120°D ．不存在【答案】B【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：因为直线tan120x =︒= 所以直线的倾斜角是90°， 故选：B2．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为()1,0,1a =，()0,1,1b =，则斜线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由题意结合线面角的概念可得a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可得解. 【详解】由题意a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角， 因为11cos ,,,[0,]2||||2a b a b a b a b π⋅<>===<>∈⋅⨯， 所以,60a b <>=，所以斜线l 与平面α所成的角为60°. 故选：C.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理求解.【详解】因为12()23MN ON OM OB OC OA =-=+-，211322a b c =-++，所以23x =-，12y =，12z =.故选：B.4．下列条件使M 与A ､B ､C 一定共面的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-+ B ．0OM OA OB OC +++= C ．121532OM OA OB OC =++D ．0MA MB MC ++=【答案】D【分析】利用共面向量定理判断.【详解】A 选项：MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-，30OA OB OC OM =++-≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；B 选项：由0OM OA OB OC +++=，得()OM OA OB OC =-++，系数和不为1， ∴M ，A ，B ，C 四点不共面；C 选项：1211532++≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；D 选项：0MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-=， 即()13OM OA OB OC =++， 所以能使M 与A ､B ､C 一定共面.故选：D.5．直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； ②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1=α2. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】①若l 1∥l 2，则分当斜率存在时、当斜率不存在时两种情况，判断命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，判断命题②正确；③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，判断命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，判断命题④正确即可得到答案.【详解】解：直线l 1与l 2为两条不重合的直线：①若l 1∥l 2，当斜率存在时，则斜率k 1=k 2，当斜率不存在时，两条直线都垂直与x 轴，所以命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，所以命题②正确； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，所以命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，所以命题④正确，所以正确的命题个数共3个. 故选：C.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，是基础题.6．经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．260x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=【答案】C【分析】由于所求直线与直线250x y +-=垂直，从而可求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】因为直线250x y +-=的斜率为2-， 所以与直线250x y +-=垂直的直线的斜率为12，因为所求直线经过点()3,0B ，所以所求直线方程为1(3)2y x =-，即230x y --=，故选：C7．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行可知：12120A B B A +=求出a ，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-， 当2a =，两直线重合，舍去； 当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C8．下列说法正确的是（ ）A ．斜率和倾斜角具有一一对应的关系B ．直线的截距式方程适合于不过原点的所有直线C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=D ．()()()()121121y y x x x x y y --=--表示经过()11,P x y ，()22,Q x y 的直线方程 【答案】D【分析】根据倾斜角和斜率的定义，以及两点式和截距式的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A ，倾斜角为90时，没有对应斜率，故A 错误；对于B ，直线的截距式方程适合于不过原点，不垂直于x 轴，不垂直于y 轴的所有直线，故B 错误； 对于C ，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线，还包括y x =这条直线，故C 错误； 对于D ，根据两点式的定义，选项D 明显正确； 故选：D9．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为A ．2B ．12C D ．【答案】A【分析】将点带入直线可得212a b+=，利用均值不等式“1”的活用即可求解． 【详解】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+= 当且仅当4b aa b=，即2a b =时取等号 所以斜率2ab=，故选 A 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．10．已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量23p a b c =++，{},,a b a b c +-是空间的另一个基底，向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ） A ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设()()p x a b y a b zc =++-+，根据空间向量基本定理建立关于,,x y z 的方程，解之即可得解.【详解】解：设()()p x a b y a b zc =++-+()()23c a b y a x c x y b z =++-+=++，所以123x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得32123x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论不正确的是（ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【答案】C【分析】对于A ，根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质以及线面垂直的性质定理，可得答案；对于B ，根据三棱锥的体积公式，证明底面11AC D 上的高为定值，利用线面平行判定以及性质定理，可得答案；对于C ，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D ，由题意，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，根据公式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】对于A ，连接11B D ，记1111AC B D E =，如下图：在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，在正方形1111D C B A 中，1111AC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理可得：11DC BD ⊥，1111AC DC C ⋂=，111,A C DC ⊂平面11AC D ，1BD ∴⊥平面11AC D ，故A 正确；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CB DA ，1DA ⊂平面11AC D ，1CB ⊄平面11AC D ，1//CB ∴平面11AC D ，则1P CB ∀∈，P 到平面11AC D 的距离相同，即三棱锥11P AC D -中底面11AC D 上的高为一个定值，故B 正确； 对于C ，连接1AB ，AC ，AP ，作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1ACB 为等边三角形，则1π3APC AB C ∠≥∠=， 11//DA CB ，APC ∴∠为异面直线1DA 与AP 所成角或者补角，则异面直线1DA 与AP 所成角的取值范围ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：设该正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()10,2,2C ，设()1,01CP CB λλ=≤≤，且(),,P x y z ，则()12,0,2CB =，(),2,CP x y z =-，即2202x y z λλλ=⎧⎪-=⋅⎨⎪=⎩，可得()2,2,2P λλ，则()12,0,22C P λλ=-，由A 可知1BD ⊥平面11AC D ，则平面11AC D 的一个法向量为()12,2,2BD =--， 设直线CP 与平面11AC D 所成角为θ，则12221404444sin 88412432211143222BD CP BD CPλλθλλλλλ⋅-++-====⋅-+⋅⋅-+⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭， 由[]0,1λ∈，则当12λ=时，sin θ取得最大值为63，故D 正确. 故选：C.12．如图，在三棱锥-P ABC 中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且15AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）A 2B 3C ．25D 5【答案】D【分析】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最大值.【详解】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，5AB AC ==，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，6BC =，则3BD CD ==，224AD AB BD ∴=-=，同理可得4PD =，PD BC ⊥，PDAD D =，BC ∴⊥平面PAD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，因为4PA PD AD ===，所以，PAD 为等边三角形，故O 为AD 的中点，BC ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥，PO AD ⊥，AD BC D =，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为PAD 是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 6023OP PA == 则()0,2,0A -、()3,2,0B 、()3,2,0C -、(0,0,23P ， 由于点M 在平面PBC 内，可设(()()3,2,236,0,036,2,23BM mBP nBC m n m n m m =+=--+-=---， 其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，从而()()()3,4,036,2,23336,42,23AM AB BM m n m m m n m m =+=+---=---， 因为15AM =()()222336421215m n m m --+-+=， 所以，()()22233616161423m n m m m --=-+-=--+， 故当12m =时，216161m m -+-有最大值3，即()23633m n +-≤， 故33633m n -+-363m n +-3 所以，()6336635cos cos ,615615AM BC m n AM BC AM BCα⋅--=<>==≤=⋅. 故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.二、填空题13．若()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则与a b +反方向的单位向量是______．【答案】0,⎛ ⎝⎭【分析】由与a b +反方向的单位向量为||a ba b +-+代入可得结果. 【详解】∵(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-∴(0,1,2)a b +=，2||01a b +=+=∴a b +反方向的单位向量为(0,1,2)(0,||a b a b +-=-=+故答案为：(0,. 14．有一光线从点()3,5A -射到x 轴以后，再反射到点()2,15B ，则这条光线的入射光线所在直线的方程为______． 【答案】4+70x y +=【分析】根据对称性可知：点()2,15B 关于x 轴对称的点在入射光线所在的直线上，求出点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标即可求解.【详解】因为点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标为()2,15B '-，由直线的对称性可知：这条光线的入射光线经过点()3,5A -和()2,15B '-， 所以条光线的入射光线所在直线的方程为51515(2)32y x ++=---， 也即4+70x y +=， 故答案为：4+70x y +=.15．若直线10ax y +-=与连接()()2,3,3,2A B -的线段总有公共点，则a 的取值范围是______.【答案】(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤，从而可求得答案【详解】得直线10ax y +-=的斜率为a -，且过定点()0,1P ，则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤， 11,3PA PB k k ==-，1a -≥或13a -≤-，1a ∴≤-或13a ≥. 故答案为：(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭16．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是__.【答案】[﹣12，0]【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为（x ，y ，z ），则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1，计算PA •1PC =x 2﹣x ，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【详解】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A （1，0，0），C 1（0，1，1），设点P 的坐标为（x ，y ，z ），由题意可得 0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1； ∴PA =（1﹣x ，﹣y ，﹣1），1PC =（﹣x ，1﹣y ，0），∴PA •1PC =-x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0＝x 2﹣x +y 2﹣y 22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当x ＝y 12=时，PA •1PC 取得最小值为12-；当x ＝0或1，且y ＝0或1时，PA •1PC 取得最大值为0， 则PA •1PC 的取值范围是[12-，0]．故答案为：[12-，0]．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.(1)试用,,a b c 表示向量BM ； (2)求BM 的长.【答案】(1)111222b ac -+6【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【详解】（1）()1122BM BC CM AD CP AD CB BA AP =+=+=+++111111222222AD AD AB AP b a c =--+=-+ （2）22222111111111222444222BM b a c b a c a b c b a c ⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭11111131021214422222=++-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以62BM =BM18．已知ABC 的三个顶点(,)A m n ､(2,1)B ､(2,3)C -. (1)求BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，BC 边上高线AE 过原点，求点A 的坐标. 【答案】(1)240x y +-=(2)3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）由题意可得2360-+=m n ，求出BC 边上高线AE 的方程，将点(,)A m n 代入AE 的方程，解关于,m n 的方程组即可求解.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -可得311222BC k -==---， 所以BC 边所在直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=. （2）因为BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=， 所以点(,)A m n 在直线2360x y -+=上，可得2360-+=m n ， 因为12BC k =-，所以BC 边上高线AE 的斜率2AE k =，因为BC 边上高线AE 过原点，所以AE 的方程为2y x =，可得2n m =， 由23602m n n m -+=⎧⎨=⎩可得：323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点A 的坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭.19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故26sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知直线l ：5530ax y a --+=．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，求a 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1a =±或3【分析】（1）将直线l 的方程化为点斜式，求出直线所过定点，即可证明结论成立；（2）直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，分三种情况讨论：①横截距和纵截距为0，②横截距和纵截距相反，③横截距和纵截距相等，分别求出此时a 的值即可. 【详解】（1）解：直线l 的方程可整理为：3155y a x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 则l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，∵13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． （2）解：由（1）知，直线过定点1355A ⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线过原点时，此时，3a =；当直线截距相反且不过原点时，1k =，此时1a =； 当直线截距相等且不过原点时，1k =-，此时1a =-； 综上所述，1a =±或3．21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求点B 到平面P AM 的距离． 【答案】(1)2 (2)77【分析】（1）建立空间直角坐标系，设2BC a =，写出各点坐标，利用0PB AM ⋅=列出方程，求出22a =，从而得到BC 的长； （2）求出平面P AM 的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，∵PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得2a = 故22BC a ==；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x =，可得()2,1,2m =，()0,1,0AB =，∴点B 到平面P AM 的距离177AB m d m⋅===22．如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===.将ADC △沿AC 折起，使得AD BC ⊥，如图②.（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.【分析】（1）先证明AC BC ⊥，再由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面ADC ，由面面垂直的判定定理即可证明；（2）以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后用坐标法求解即可【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===， ∴由平面几何知识易得π3ABC ∠=， ∴在ACB △中，222π21221cos 33AC =+-⨯⨯⨯=. 又222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. 在题图②中，∵AD BC ⊥，ADAC A =，∴BC ⊥平面ADC .又BC ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4. 以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由平面ADC ⊥平面ABC ，ADC △是顶角为2π3的等腰三角形，知z 轴与ADC △底边上的中线平行，又由（1）易得3AC =∴()0,0,0C ，()3,0,0A，()0,1,0B ，312D ⎫⎪⎪⎝⎭，∴()3,0,0CA =，112,23BD ⎛⎫⎪ ⎪⎝=⎭-. 令()01BE tBD t =≤≤，则,,12t E t ⎫⎝-⎪⎪⎭， ∴3,1,22t CE t =-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则00CA m CE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0102t t y z =+-+=， ∴()0210x t y tz =⎧⎨-+=⎩，令y t =，则()21z t =-，∴()()0,,21m t t =-. 由（1）知，平面ADC 的一个法向量为()0,1,0n =.要使二面角E AC D --的平面角的大小为π4，则2πcos 4m n m n t ⋅=== 解得23t =或2t =（舍去）. ∴在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4，此时点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.。
上海市2022高二数学上学期9月月考试题(含解析)
（2）若 ，求 与 .（用反三角函数表示）
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，根据 及力的夹角，即可求得 、 的大小。
（2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据三角函数，即可表示出 与 的值。
【详解】因为关于 的方程 在区间 上有三个解，且函数 的最小正周期为 ，再由三角函数的对称性可知：方程 在区间 上的解的最小值与最大值分别为 和 ；
又它们的和为 ，所以中间的解为 ，
所以有 ，即 ，故 ，
又 ，所以 或 .
故答案为 或
【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.
由 ， ， 三点共线可得
即 ,所以
又因为
所以
即
当 时， ,此时
当 与 (或 )点重合时,此时 ,此时
所以
由基本不等式 ,可得
当 或 时,
当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则
即
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于中档题。
二、选择题
13.已知函数 的图象是由函数 的图象经过如下变换得到：先将 的图象向右平移 个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 的图象的一条对称轴方程为（）
综上, 实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题.
11.设 ，若关于 的方程 在区间 上有三个解，且它们的和为 ，则 ________
【答案】 或
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．以下事件是随机事件的是（ ）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根2．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品D ．至少两件正品3．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．164．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．565．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===u u u r u u u r u u u u r r r r ，则1A B =u u u r（ ）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r6．已知空间向量0a b c ++=r r r r，2a =r ，3b =r ，4c =r ，则cos ,a b =r r （ ） A ．12B ．13C ．12-D ．147．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．5960B ．35C ．12D ．1608．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ） A ．4.33%B ．3.33%C ．3.44%D ．4.44%二、多选题9．在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（ ） A ．(2,1,3) B ．(2,1,3)-- C ．(4,2,6)-D ．(4,2,6)-10．下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11．已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-u u u ru u ur u u u ru u u r（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n = C ．12m =-，1n =- D ．32m =，1n =三、填空题12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．13．已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA u u u r ，DC u u ur ，1DD u u u u r 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =u u u u r，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为．四、解答题15．（1）已知2,3a b ==r r ，且a b ⊥r r求2a b a b +⋅r r r r （）（-） （2）已知a b a b +=-r r r r ，求a b ⋅r r16．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．18．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.19．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．(1)求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．。
2022-2023学年广西玉林市北流市实验中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年广西玉林市北流市实验中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线220x y -+=在x 轴上的截距是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2【答案】A【分析】根据截距的概念运算求解.【详解】令0y =，则2020x -+=，解得1x =- ∴直线220x y -+=在x 轴上的截距是1- 故选：A.2．过点(2,3)A 且平行于直线250x y +-=的直线的方程为（ ） A ．240x y -+= B ．270x y +-= C ．280x y +-= D ．4250x y +-=【答案】B【分析】根据平行设直线方程为20x y C ++=，代入点计算得到答案.【详解】设直线方程为20x y C ++=，将点(2,3)A 代入直线方程得到430C ++=，解得7C =-.故直线方程为：270x y +-=. 故选：B.3．“2a =”是“直线1l ：2430ax y ++=与直线2l ：()2150x a y ---=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】若12l l ⊥，则()22410a a --=，解得2a =或12a =. 所以由2a =可以得到12l l ⊥，反之则不然，故“2a =”是“12 l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A.4．已知直线l 的方向向量(1,2,1)a =-，平面α的法向量(2,2,2)b =--，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．以上选项都不对 【答案】D【分析】计算得到0a b ⋅=，得到a b ⊥，即直线l 与平面α的位置关系是l α∥或l α⊂，得到答案.【详解】(1,2,1)a =-，(2,2,2)b =--，则2420a b ⋅=-+=，故a b ⊥， 故直线l 与平面α的位置关系是l α∥或l α⊂. 故选：D.5．已知平面α，β的法向量分别为()2,3,a λ=和()4,,2b μ=-（其中,R λμ∈），若//αβ，则λμ+的值为（ ） A ．52-B ．-5C ．52D ．5【答案】D【分析】根据平面平行得到//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，计算得到答案.【详解】//αβ，则//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，即2432kk kμλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得61μλ=⎧⎨=-⎩. 故5λμ+=. 故选：D .【点睛】本题考查了法向量的平行问题，意在考查学生的计算能力. 6．直线3460x y +-=关于y 轴对称的直线方程是（ ） A ．3x -4y -6=0 B ．4x -3y -6=0 C ．3x -4y +6=0 D ．4x -3y +6=0【答案】C【分析】求出直线3460x y +-=与y 轴的交点，并求出直线3460x y +-=的斜率，由此可得出所求直线的方程.【详解】直线3460x y +-=交y 轴于点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，且直线3460x y +-=的斜率为34k =-， 故所求直线的斜率为34，故所求直线的方程为3324y x -=，即3460x y -+=. 故选：C.7．在空间中，已知()2,4,0AB =，()1,3,0BC =-，则ABC ∠的大小为（ ） A ．135︒B ．90C ．120 D ．45【答案】A【分析】结合向量夹角公式计算出ABC ∠的大小. 【详解】()()2,4,0,1,3,0BA BC =--=-， 212102cos 241619102BA BC ABC BA BC⋅--∠====-+⋅+⋅，由于0180ABC ︒≤∠≤︒，所以135ABC ∠=︒. 故选：A8．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ， 所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=， 所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥， 设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B === 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D二、多选题9．在以下命题中，不正确的命题有（ ） A ．a b a b -=+是,a b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若223OP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】AB【分析】利用a b a b -≤+等号成立的条件可判断A ；利用0与任意向量共线可判断B ；利用共面定理可判断C ；利用基底的概念可判断D【详解】对于A ：向量,a b 同向时，a b a b -≠+，故A 错误； 对于B ：需要强调0b ≠，故B 错误；对于C ：因为2231+-=，则由共面定理知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确； 对于D ：{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++也不共面， 所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确； 故选：AB10．已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)20l ax a y a --+-=，则（ ）A ．2l 始终过定点12(,)33B ．若2l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则1a =C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．若12l l //，则1a =或3-【答案】AC【分析】结合直线所过定点的求法、直线的截距、直线平行和垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】2:(23)20l ax a y a --+-=化为(21)320a x y y -++-=， 由210x y -+=且320y -=解得12,33x y ==，即直线2l 恒过定点12(,)33，故A 正确；若2l 在x 轴和y 轴上截距相等，则2l 过原点或其斜率为1-，则2a =或()1123aa a -=-⇒=--，故B 错误；若12l l ⊥，则1(32)0a a a ⨯+⨯-=解得0a =或2，故C 正确； 若12l l //，则先由1(32)a a a ⨯-=⨯解得1a =或3-， 再检验当1a =时12,l l 重合，故D 错误. 故选：AC11．下列各命题正确的是（ ）A ．点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3B ．点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．点()2,1,3-到平面yOz 的距离为1D ．设{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若324m i j k =-+，则()3,2,4m =- 【答案】ABD【分析】利用空间直角坐标系中的点的对称关系、距离、坐标分析判断 【详解】对于A ，点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3，所以A 正确， 对于B ，点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，点()2,1,3-到平面yOz 的距离为2，所以C 错误，对于D ，由于{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且324m i j k =-+，所以，所以D 正确，故选：ABD12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90B ．直线1BC 与平面1ACDC ．1BD ⊥平面1ACDD ．点1B 到平面1ACD【答案】ABC【分析】如图建立空间直角坐标系，求出1B C 和1AD 的坐标，由110AD BC ⋅=可判断A ；证明10AC B D ⋅=，110AD B D ⋅=可得1AC B D ⊥，11AD B D ⊥，由线面垂直的判定定理可判断C ；计算11cos ,B D B C 的值可得线面角的正弦值，再由同角三角函数基本关系求出夹角的余弦值可判断B ；利用向量求出点1B 到平面1ACD 的距离可判断D ，进而可得正确选项.【详解】如图以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ， 对于A ：()11,0,1B C =--，()11,0,1AD =-，因为()()()111100110B AD C =⋅-⨯-+⨯+-⨯=，所以11AD BC ⊥，即11B C AD ⊥，直线1B C 与直线1AD 所成的角为90，故选项A 正确；对于C ：因为 ()1,1,0AC =-，()11,0,1AD =-，()11,1,1B D =---，所以11100AC B D ⋅=-+=，111010AD B D ⋅=+-=，所以1AC B D ⊥，11AD B D ⊥， 因为1ACAD A =，所以1B D ⊥平面1ACD ，故选项C 正确；对于B ：由选项C 知：1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，因为()11,0,1B C =--，所以111111cos ,3B D B C B D B C B DB C⋅===即直线1B C 与平面1ACD，所以直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为=B 正确； 对于D ：因为()11,0,1B C =--，平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，所以点1B 到平面1ACD 的距离为11123332B D B C d B D⋅===，故选项D 不正确 故选：ABC.三、填空题13．直线l 3320x y +-=的倾斜角是______ 【答案】56π【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.【详解】3320x y +-=得：323y x =+， 所以直线的斜率为[]30k θπ=∈，， ∴直线的倾斜角为56π. 故答案为：56π. 14．过原点且方向向量为()1,2a =-的直线方程为______． 【答案】20x y +=【分析】利用直线的方向向量可得直线的斜率，进而得出直线的方程． 【详解】解：过原点且方向向量为(1,2)a =-的直线的斜率为221-=-， 故方程为：2y x =-，即20x y +=. 故答案为：20x y +=．15．函数()2225618f x x x x x -+-+________．【答案】29【解析】根据题意，其几何意义为点(),0P x 到点()1,2A ，()3,3B 两点的距离之和，故y PA PB PC PB BC =+=+≥，再根据距离公式求解即可.【详解】解：因为()()()2222256181439f x x x x x x x =-++-+=-++-+，几何意义为点(),0P x 到点()1,2A ，()3,3B 两点的距离之和，()1,2A 关于x 轴的对称点()1,2C -，()()22313229y PA PB PC PB BC =+=+≥=-++=，当且仅当,,B P C 三点共线时y 的值最小为29BC = 故答案为：29【点睛】本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属基础题. 16．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为______．2【解析】以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得11,,122O ⎛⎫⎪⎝⎭,()()11,0,0,.0,0,1A D()()10,1,0,1,0,1AB AD ==-,设平面11ABC D 的法向量为(),,n x y z =, 1·0·0AB n y AD n x z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩,令1x =,则()1,0,1n =，11,,122AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,O ∴到平面11ABC D 的距离11·2242AO n d n -+===, 故答案为：24.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，常用的方法有等体积法，垂线法，空间向量方法，利用空间向量方法求解是比较方便的方法.四、解答题17．已知点(1,1)(2,4)、-A B . (1)求直线AB 的倾斜角(2)过点(1,0)P 的直线m 与过(1,1)(2,4)、-A B 两点的线段有公共点，求直线m 斜率的取值范围.【答案】(1)4πα=(2)[)14,2，-⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线AB 的倾斜角； （2）求出直线PA 与直线PB 的斜率，从而可得结果. 【详解】(1)由已知得：直线AB 的斜率()41121k -==--tan 1,α∴=又[)0,,4παπα∈∴=(2)直线PA 的斜率101112-==---PA k 直线PB 的斜率40421-==-PB k 过点直线m 与过AB 、两点的线段有公共点，∴直线m 斜率的取值范围为[)14,2，-⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦18．已知直线11:42m l y x =-+与直线22:55nl y x =+垂直，垂足为()1,H p ，求过点H ，且斜率为m pm n++的直线方程. 【答案】42y x =-+【分析】根据垂直关系得到10m =，结合垂足在直线上得到H (1，-2)及12n =-，从而可得直线方程.【详解】解：∵12l l ⊥∴2145m -⨯=-解得10m =，∴直线l 1的方程为5122y x =-+.又∵点()1,H p 在直线l 1上，∴511222p =-⨯+=-，即H (1，-2).又∵点H (1，-2)在直线l 2上，22155n-=⨯+.解得12n =-，∴所求直线的斜率为4m pm n+=-+，其方程为()241y x +=--，即42y x =-+ 19．已知点(3,5)A -和(2,15)B ，P 为直线10x y -+=上的动点. (1)求(3,5)A -关于直线10x y -+=的对称点0(A x '，0)y ， (2)求PA PB +的最小值. 【答案】(1)(4,2)- 293【分析】（1）根据点,A A '的中点在直线10x y -+=上，直线AA '和直线10x y -+=垂直，列出方程，解方程即可得出答案；（2）PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当,,P A B '三点共线时，取等号，即可求出PA PB +的最小值为A B '，代入即可得出答案.【详解】(1)(3,5)A -关于直线10x y -+=的对称点设为0(A x '，0)y ，则0000351022513x y y x -++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，解得04x =，02y =-， 所以A '的坐标为(4,2)-.(2)由（1）及已知得：PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当,,P A B '三点共线时，取等号， 则PA PB +的最小值为：||A B '20．已知(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥.（1）求实数x ，y ，z 的值；（2）求a c +与b c +夹角的余弦值.【答案】（1）x =2，y =-4，z =2；（2）219-. 【分析】（1）直接利用向量平行和向量垂直即可求出x ，y ，z 的值；（2）先求出()5,2,3,a c += ()1,6,1b c +=-利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥. 所以()()41,232021x y z y ==-⨯+⨯--=--， 解得：x =2，y =-4，z =2.（2）由（1）知：(2,4,1)a =，(2,4,1)b =---，(3,2,2)c =-，所以()5,2,3,a c += ()1,6,1b c +=-.设a c +与b c +夹角为θ[]()0,θπ∈，则2cos 19θ==-即a c +与b c +夹角的余弦值为219-. 21．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D1的底面是菱形，AA1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C1DE ；（2）求点C 到平面C1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2）41717. 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥， 根据题意有3DE =，117C E =， 因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以113172DEC S ∆=⨯⨯， 设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有11113171343232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得44171717d ==， 所以点C 到平面1C DE 的距离为41717. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容. 22．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明DC ⊥平面P AD ，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面PCD ；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC 和平面BMC 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案【详解】(1)∵PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，∴PA DC ⊥,又由题设知AD DC ⊥，且直线P A 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD .(2)∵PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，∴以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ,10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 10,1,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1,1,0)AC =, 设平面AMC 的法向量为()1,,n x y z =，则由1100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2z y x y =-⎧⎨=-⎩， 令1y =，得()11,1,2n =--为平面AMC 的一个法向量. 由10,1,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 设平面BMC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则2200n BM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102b c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1a = ,可得平面BMC 的一个法向量为()21,1,2n =. ∴1212122cos ,3n n n n n n ⋅==-,2 3.故所求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值为。
山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案
济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。
2019-2020学年高二上(实验班)9月月考数学试题含解析
2019-2020学年高二上（实验班）9月月考数学试题含解析高二数学试题选择题1. 将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确一组是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】略2. 用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C............考点：算法的应用.3. 计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )A. 1,3B. 4,1C. 0,0D. 6,0【答案】B【解析】因为a=1+3=4,b=4-3=1.所以输出的a,b值分别为4,1.4. 设计一个计算1×2×3×…×10的值的算法时，下面说法正确的是( )A. 只需一个累乘变量和一个计数变量B. 累乘变量初始值设为0C. 计数变量的值不能为1D. 画程序框图只需循环结构即可【答案】A【解析】因为，，，所以两个圆的位置关系是外切，应选答案A。
5. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为( )A. 1B. 0C. 1D. 3【答案】B【解析】试题分析：当时，第一次进入循环,，第二次进入循环，,，第三次进入循环，,，第四次进入循环，,退出循环，输出,故选B.考点：循环结构6. 当x＝5，y＝－20时，下面程序运行后输出的结果为( )A. 22，－22B. 22,22C. 12，－12D. －12,12【答案】A【解析】因为，，，所以两个圆的位置关系是外切，应选答案A。
7. 某程序框图如右图所示，若输出的S＝57，则判断框内为 ( )．A. k＞4?B. k＞5?C. k＞6?D. k＞7?【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为，故选C.考点：程序框图.8. 用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝( ) .A. 18B. 19C. 6D. 54【答案】B【解析】因为，，，所以两个圆的位置关系是外切，应选答案A。
高二年级9月份月考试题及答案
高二年级第一学期9月月考考试数 学 试 题一、选择题（每小题5分，共60分）1、直线013=++y x 的倾斜角是（ ）A6π B 3πC 32πD 65π2、在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线B A 1与C B 1所成角的大小是（ ）A6π B 4π C 3πD 以上都不对 3、执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的P 是（ ）A 120B 720C 1440D 50404、某单位200名职工，现要从中取出40名职工做样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1——200编号，并按编号顺序平均分为40组（1——5号，6——10号，…196——200号），如果第5组抽出的号码为23，则第10组抽出的号码是（ ） A 48 B 47 C 49 D 435、正方体1111D C B A ABCD -中，给出下列向量表达式 ① AB A A D A --)(111 ② 111)(C D BB BC -+ ③12)(DD -- ④ 1111)(DD A D B ++ 其中能够化简为向量1BD 的是（ ）A ③ ④B ② ③C ① ②D ① ④6、已知直线024=-+y ax 与052=+-b y x 互相垂直，垂足为),1(c ，则c b a ++的值为（ ）A 4-B 20C 0D 247、某校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其中频率分布直方图如图所示，其中支出在)60,50[元的同学有30人，则=n （）A 120B 100C 90D 808、一束光线从点)1,1(-A 出发，经x 轴反射到⊙C ：1)3()2(22=-+-y x ，则光线走过的最短路程为（ ）A 3B 4C 62D 59、如图，二面角βα--l 为060，α⊆AC ,β⊆BD ,l AC ⊥于A ,l BD ⊥于B ,5,4,3===BD AB AC ,则CD 的值为（ ）A85 B65 C35 D 5310、甲、乙两名学生六次数学测验成绩（百分制），如图所示①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数 ②甲同学的平均分比乙同学高③甲同学的成绩方差小于乙同学成绩的方差 上面说法正确的是（ ）A ③B ① ②C ②D ① ③11、若直线023=++n y x 与圆222n y x =+相切，其中*N n ∈，则n 的值等于（ ）A 1B 2C 4D 1或212、在空间四边形ABCD 中，∙+∙+∙的值为（ ）A 1 B23C 1-D 0 二、填空题（每小题5分，共20分）13、设)3,2,1(=a ，)10,4,2(=b ，)21//()(b a b a ++λ，则=λ14、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是15、已知n m ,是两条不重合的直线，γβα,,是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若ααββ⊂⊂n m n m ,,//,//，则βα// ；②若γβαγβγα⊂=⋂⊥⊥n m ,,,，则n m ⊥； ③若n m m //,,βαα⊥⊥，则β//n ； ④若m n n =⋂βαβα,//,//，则n m //其中正确命题序号是16、已知{}241),(x y y x A -+==，{}4)2(),(+-==x k y y x B ，当集合B A ⋂有4个子集时，则实数k 的取值范围是 。
武清区天和城实验中学2020_2021学年高二数学上学期9月月考试题含解析
【答案】 或
【解析】
【分析】
分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.
【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等。此时设直线方程为 ，则 ，故 ,化简得 .
当截距不为0时,设直线方程为 ,则 .故 ，化简可得 .
故答案为： 或 。
【详解】
所以 ，所以 。
【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理,把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.
三、解答题
16。 （1）当 为何值时,直线 : 与直线 ： 平行？
（2）当 为何值时，直线 ： 与直线 : 垂直？
【答案】（1） ；（2） 。
【解析】
【分析】
（1）先求出两直线的斜率,再根据两直线平行，则斜率相等且在y轴上的截距不相等求解.
将方程整理为一般式,即可根据斜率以及 轴上的截距判断直线经过的象限。
【详解】 等价于 ，
根据题意 ,故直线必经过第一、三象限;
又因为 ，故直线必经过第三、四象限，
故直线必经过第一、三、四象限.
故选：C。
【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限,属基础题.
5. 直线 与 (其中 ， ， ），在同一坐标系中的图象是下图中的（ ）
【详解】因为所求直线垂直于直线 ,又直线 的斜率为 ，
所以所求直线的斜率 ，
所以直线方程为 ，即 。
故选：A
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属基础题。
4。 已知 , ,则直线 通过( ）
A. 第一、二、三象限B。 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
2022-2023学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知向量()0,1,1a =-与()20,2,b k k =-共线，则实数k =（ ）A ．0B ．1C ．1-或2D ．2-或1【答案】D【分析】根据空间共线向量的坐标表示可得2112k k-=-，即可求出k 的值. 【详解】因为()()20,1,10,2,a b k k =-=-、共线，所以2112k k-=-， 解得2k =-或1. 故选：D2．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A3．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C4．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y + A 5B 10C ．25D ．10【答案】A【详解】 22x y +(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+22x y +5 A. 5．直线()24y k x =-+与曲线214y x 有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦D ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】解：因为曲线y ＝124x -(|x|≤2)与直线y ＝k(x －2)＋4有两个交点时，那么结合图像可知参数k 的取值范围是53(,]124，选A6．经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为A ．x +2y ﹣6=0B ．2x +y ﹣6=0C ．x ﹣2y +7=0D ．x ﹣2y ﹣7=0【答案】B【详解】试题分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P （1，4）的坐标代入得a 与b 的等式关系，把截距的和a +b 变形后使用基本不等式求出它的最小值． 解：设直线的方程为1x y a b +==1（a ＞0，b ＞0），则有141a b+=，∴a +b =（a +b ）×1=（a +b ）×（14a b +）=5+4b aa b+≥5+4=9， 当且仅当14a b=，即a =3，b =6时取=． ∴直线方程为2x +y ﹣6=0． 故选B ．【解析】直线的斜截式方程．7．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )．A ．23B ．33C ．23D ．53【答案】C【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23. 8．点()2,1P --到直线()():131225l x y λλλ+++=+的距离为d ，则d 的取值范围是（ ）A ．0d ≤<B ．0d ≤≤C ．dD ．d ≥【答案】A【分析】显然直线过定点，先求出定点A ，当直线过点P 时，d 有最小值，当直线与AP 垂直时d 有最大值，一定要注意要去验证最值能否取到.【详解】()()131225x y λλλ+++=+，化简得()()23250x y x y λ+-++-=，所以当203250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩时，()()23250x y x y λ+-++-=恒成立，所以直线l 过定点()1,1A ，所以点当直线l 过点()2,1P --时，d 有最小值为0，此时513λ=-；d 的最大值为()1,1A 和点()2,1P --l 与AP 垂直，因为112123AP k +==+，所以直线l 的斜率32k =-，又因为()():131225l x y λλλ+++=+，所以有133122λλ+-=-+，化简得23=，故此时λ无解；所以d0d ≤<故选：A9．已知A ，B 两点都在以PC 为直径的球O 的球面上，AB BC ⊥，4AB BC ==，若球O 的体积为36π，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】B【分析】由题意，根据球的性质，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，根据夹角公式，可得答案.【详解】由题意，取AC 的中点为E ，连接,OE BE ，在ABC 中，4AB BC ==，且AB BC ⊥，则BE AC ⊥，AE EC BE ===，即E 为ABC 外接圆圆心，在球O 中，易知OE ⊥平面ABC ，以E 为原点，分别以,,EB EC EO 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，作图如下：在Rt CEO △中，12cos 12ACCE ACACP CO PCCP ∠===，则//PA OE ，即PA ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，球O 的体积3413632V PC ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，解得6PC =， 在Rt ACP 中，222PA PC AC =-=，则()0,22,0A -，()22,0,0B ，()0,22,0C ，()0,22,2P -， 即()0,42,0AC =，()22,22,2PB =-， 1610cos ,542884AC PB AC PB AC PB⋅===⨯++⋅， 异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为105. 故选：B.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1AN NA =，11A M MD =，11B E B C λ=， 当直线1DD 与平面MNE 所成的角最大时，λ=（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则()()()()1111,0,1,1,0,,0,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,122M N C B D D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()111,0,1B E B C λλ==--，()1,1,1E λλ--，111,0,,,1,222MN ME λλ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面MNE 的法向量为(),,m x y z =，则()00,,m MN m ME x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11022102x z x y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令1x =，可得11,2,12m λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()10,0,1DD =，设直线1DD 与平面MNE 所成的角为α，则11221sin cos ,11224224m DD m DD m DD αλλ⋅===⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当14λ=时，sin α有最大值，即直线1DD 与平面MNE 所成的角最大. 故选：C.11．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．42B ．32C 322D ．2【答案】B【解析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m ,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.12．如图所示，圆柱1OO 中，EF 是底面直径，点M 是O 上一点，90EOM ∠=︒，点H 是母线FG 上一点，点K 是上底面的一动点，4EF =，3FG =，2FH =，则（ ）A ．存在点K ，使得5EK HK +=B ．存在唯一的点K ，使得90EKH ∠=︒C ．满足MK EH ⊥的点K 的轨迹长度是32D ．当90EKH ∠=︒时，三棱锥K EMH -外接球的表面积是20π 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法判断选项A ，B ，C 的对错，再通过确定三棱锥K EMH -外接球的球心及半径判断D.【详解】由圆锥的性质可得1O O ⊥平面EFM ，OM EF ⊥如图以O 为原点，1,,OM OF OO 为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系，设1(02)KO G θθπ∠=≤<，1KO r =(02)r ≤≤，则(0,2,0)E -，(0,2,2)H ，(sin ,cos ,3)K r r θθ，(2,0,0)M ， 设H 关于点G 的对称点为N ，因为KG HN ⊥，HG GN =，所以KH KN =， 所以EK HK EK KN NE +=+≥， 又(0,2,4)N ，所以2220(22)4425EK HK +≥+++=>，A 错误， 又(sin ,cos 2,3)EK r r θθ=+，(sin ,cos 2,1)HK r r θθ=- 因为90EKH ∠=︒，所以0EK HK ⋅=， 所以2222cos sin 430r r θθ+-+=，所以1r =， 所以满足90EKH ∠=︒的点K 的轨迹为圆，B 错误， 因为MK EH ⊥，(sin 2,cos ,3)MK r r θθ=-，(0,4,2)EH =， 所以4cos 60r θ+=，所以3cos 2r θ=-，故3(sin ,,3)2K r θ-，所以满足MK EH ⊥的点K 的轨迹为线段PQ ， 所以2232272PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，C 错误，因为222222EM =+=，2223MH OM OH =+=,2225EH EF HF =+=,所以EMH 为直角三角形，取EH 的中点为C , 又EKH 为直角三角形，所以CE CH CK CM ===,故C 为三棱锥K EMH -外接球的球心，故外接球的半径为5， 所以三棱锥K EMH -的外接球的表面积为20π，D 正确， 故选：D.二、填空题13．P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中2AB =，6PA 1B 到平面PAD 的距离为________【答案】655【分析】以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的法向量，1B A 的坐标，利用距离公式，即可得到结论.【详解】解：以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =， (0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴由00m AD m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020y x y z =⎧⎨++=⎩ 取1z =得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离1||655||B A m d m ⋅==. 65【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.14．己知圆22 : 42150C x y x y +---=上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距5k 的取值范围是______.【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题意知，足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，解方程即可得出答案.【详解】圆22 : 42150C x y x y +---=化为标准方程为()()22: 2120C x y -+-=， 所以圆心()2,1,25C r =，若圆C 上有四个不同的点到直线():76l y k x =-+的距离等于5， 必须满足圆心()2,1C 到直线():76l y k x =-+的距离5d <，所以2217651k k k --+<+，化简得：22250k k +-<，解得：122k <<. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域为229{(,)|}4x y x y +≤，河岸线所在直线方程为3100x y +-=.假定将军从点(2,1)P 处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_____________.【答案】72【分析】求出点P 关于直线的对称点(3,4)P '，根据对称性，原问题转化成求P '到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解.【详解】设点(2,1)P 关于直线3100x y +-=的对称点(,)P a b '，13221310022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+⨯-=⎪⎩解得34a b =⎧⎨=⎩，所以(3,4)P '，将军从P 出发到达直线上点A 再到营区，PA P A '=， 所以本题问题转化为求点(3,4)P '到营区的最短距离， 根据圆的几何性质可得最短距离为3375222P O '-=-=.故答案为：72【点睛】此题以中国传统文化为背景考查求点关于直线的对称点，解决圆上的点到圆外一点的最短距离，考查对圆的几何性质的应用.16．矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，现将ACD 沿对角线AC 向上翻折，设二面角D AC B --的平面角为θ，当θ在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，BD 的范围为______.【答案】71022⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，根据DB DE EF FB =++，计算275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】如图1，分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，垂足分别为F ，E ， 则在四面体ABCD 中也满足BF AC DE AC ⊥⊥，． 因为3AB =，1BC =，所以2AC =，13322DE BF ⨯===， 则12AE CF ==，1EF =．在四面体ABCD 中，DB DE EF FB =++，因为二面角D AC B --的平面角为θ，且BF AC DE AC ⊥⊥，， 所以DE 和FB 的夹角为πθ-， 所以()222222DB DE EF FBDE EF FB DE FB =++=+++⋅()2233335312cos πcos 22θθ=+++-=-⎝⎭⎝⎭因为ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72DB ⎡∈⎢⎣⎦．故答案为：⎣⎦三、解答题17．已知两直线1:2(3)10l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=，当m 为何值时，1l 和2l （1）平行； （2）垂直？【答案】（1）32m =-；（2）0m =或5m =.【分析】(1)根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=平行的条件12210A B A B -=且12210B C B C -≠列式可解得.(2) 根据1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=垂直的条件12120A A B B +=列式可得.【详解】(1)因为12l l //,所以22(3)20m m m ⨯--⨯=,解得32m =-或1m =,当1m =时,两条直线重合,不合题意舍去. 所以32m =-.(2)因为12l l ⊥,所以22(3)20m m m ⨯+-⨯=,解得0m =或5m =. 【点睛】本题考查了两条直线平行或垂直的条件,属于基础题. 若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++= 则12l l //⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠; 12l l ⊥⇔ 12120A A B B +=.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠=．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）24. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点H ，连接HE ，可证//HE PB ，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面积的正弦值； 【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ，AB CD =，四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点， //HE PB ，又HE ⊂平面ACE ，PB ⊂/平面ACE直线//PB 平面 ACE（2）AB ⊥平面PAD ，作Ax AP ⊥，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ︒∠= 得(0,0,2)B ，(0,2,0)P ，(3,1,0)D -，(3,1,2)C -()0,2,2PB =- ， (3,3,0)PD =- ，(0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =0n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 20330z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，不妨取()3,1,0n =22cos ,4222PB n PB n PB n⋅--∴===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为24【点睛】本题考查线面平行的证明，以及空间向量法求线面角，属于中档题.19．已知圆22:4240C x y x y ++--=.(1)过点(1,5)M 作圆C 的切线l ，求切线l 的方程；(2)设过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线m 与圆C 交于AB 两点，若点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线m 得方程.【答案】(1)7241130x y -+=或1x =； (2)6850x y -+=或68110x y +-=【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径求解，注意分斜率存在与不存在两种情况； （2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】(1)由22:4240C x y x y ++--=可得22(2)(1)9x y ++-=，即圆心为(2,1)C -，半径3r =，显然当直线斜率不存在时，1x =是圆的切线，当直线斜率存在时，设直线为5(1)y k x -=-，即50kx y k -+-=， 由圆心到直线的距离2|215|31k k d k --+-==+，解得724k =，故切线为7241130x y -+=或1x =.(2)因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠=︒, 所以30CAB ∠=︒，故圆心到直线的距离322r d ==， 直线斜率不存在时，由13(2)22--≠知，不符合题意，当直线斜率存在时，设直线方程为11()2y k x -=-，则圆心到直线的距离25||3221k k =+，解得34k =±， 故直线方程为6850x y -+=或68110x y +-=.20．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2正方形，22,4SA SC ==，AC 与BD 交于点O ，点E 在线段SD 上.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)若//OE 平面SAB ，求二面角S AC E --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 25【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AB ⊥平面SAD ，进而证明SA AB ⊥，再根据集合关系证明SA AC ⊥即可证明结论；（2）根据题意，E 为SD 的中点，进而以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【详解】(1)证明：因为平面SAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ， 又AB ⊂平面ABCD 且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面SAD ， 又SA ⊂平面SAD ，所以SA AB ⊥.因为ABCD 是边长为2正方形，所以22AC =，又22,4SA SC ==， 所以222SA AC SC +=，即SA AC ⊥，又因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥平面ABCD . (2)解：因为OE ∥平面SAB ，OE ⊂平面SBD ，平面SBD 平面SAB SB =， 所以OE SB ∥，因为O 为BD 的中点，所以E 为SD 的中点，以,,AB AD AS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则有()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,22,0,1,2A B C D S E ， 易得平面SAC 的一个法向量为()2,2,0n DB ==-， 设平面EAC 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m AE m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩20220y z x y ⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩，取1z =，则()2,2,1m =-， 设平面SAC 与平面EAC 所成夹角为θ，则4225cos 5225m n m nθ⋅===⋅⋅， 所以平面SAC 与平面EAC 所成夹角的余弦值为255.21．长方形ABCD 中，2=22=AB AD ，M 是DC 中点（图1）.将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --的余弦值为55，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=, 所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM , 所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-, 平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, 即()222525λλλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --的余弦值为55. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.22．已知线段AB 的端点B 的坐标是()65，，端点A 在圆()()221:434C x y -+-=上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值． 【答案】(1)22(5)(4)1x y -+-=. 14. (3)523.【分析】（1）设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，利用点P 是线段AB 的中点，求出026x x =-，025y y =-，通过点A 在圆1C 上运动，转化求解中点P 的轨迹2C 的方程即可；（2）将圆1C 与圆2C 的方程相减得22190x y +-=，求出圆2C 的圆心到直线22190x y +-=的距离d ，即可求解||MN ；（3）由题可得1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，可得13QC QC =，即323QA QC QC QC +≥+-2333C C -=，即可求解AQ CQ+的最小值.【详解】(1)解：设点P 的坐标为()x y ，，点A 的坐标为()00x y ，，由于点B 的坐标为()65，，且点P 是线段AB 的中点，所以062x x +=， 052y y +=， 于是有 002625x x y y =-⎧⎨=-⎩①， 因为点A 在圆221:(4)(3)4C x y -+-=上运动，即： 2200(4)(3)4x y -+-=②， 把①代入②，得22(264)(253)4x y --+--=，整理，得22(5)(4)1x y -+-=， 所以点P 的轨迹2C 的方程为22(5)(4)1x y -+-=．(2)解：将圆()()221:434C x y -+-=与圆()()222:541C x y -+-=的方程相减得： 22190x y +-=，由圆()()222:541C x y -+-=的圆心为()54，，半径为1，且()54，到直线22190xy +-=的距离d==，则||MN == (3)解：圆()()221:434C x y -+-=是以()143C ，为圆心，半径12r =的圆，圆2C 是以()254C ，为圆心，半径21r =的圆， 所以1122123QA QC QC r QC r QC QC +≥-+-=+-①，当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号．设()343C -，为()143C ，关于x 轴的对称点，则13QC QC =，代入①式得： 323QA QC QC QC +≥+-233523C C -=，当且仅当23C Q C ，，共线时，取等号．所以AQ CQ +的最小值为523．。
天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D102． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-3． 函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（ ）4． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 5． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A ．124+B ．124- C. 34 D ．0 6． 已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）7． 设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ） A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 8． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
ABC D9． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．3 C.1 D ．410．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- .则几何体的体积为（ ）34意在考查学生空间想象能力和计算能 ） ,m m γ=,//m βα⊥,γαβ⊥⊥二、填空题（本大题共分.把答案填写在横线上）a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．((2))f g = ， [()]f g x 的值域为 ．. 15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.三、解答题（本大共6小题，共70分。
高二数学9月月考试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校第八二零二零—二零二壹高二数学9月月考试题理〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，一共12题〕020:(0,log p x x ∃∈+∞≥，那么p ⌝为()A.∀2xB.∀＜log 2xC.∃x 0log 2x 0D.∃x 0log 2x 0【答案】B 【解析】 【分析】020:(0,log p x x ∃∈+∞≥〞的否认“2:(0,log p x x ⌝∀∈+∞<〞，应选B 。
2.A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，假设A ，B 两人的平均成绩分别是A x ，B x ，观察茎叶图，以下结论正确的选项是() A.A B x x <，B 比A 成绩稳定 B.A B x x >，B 比A 成绩稳定 C.A B x x <，A 比B 成绩稳定 D.A B x x >，A 比B 成绩稳定【答案】A 【解析】 【分析】根据茎叶图看出 A 和B 的五次成绩离散程度，计算出A 和B 的平均数，比较大小即可 【详解】A 的成绩为969192103128，，，，，A 的平均数为9691921031281025A X ++++==B 的成绩为99108107114112B ，，，，，的平均数为991081071141121065B X ++++== 从茎叶图上看出B 的数据比A 的数据集中，B 比A 成绩稳定 应选A【点睛】此题考察了茎叶图的应用问题，考察了平均数的求法，解题时应该观察茎叶图中的数据，根据数据解答问题，属于根底题。
3.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,那么事件“甲分得红牌〞与“乙分得红牌〞是() A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.必然事件【答案】B 【解析】试题分析：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌〞与“乙分得红牌〞不可能同时发生，是互斥事件，但除了事件“甲分得红牌〞与“乙分得红牌〞还有“丙分得红牌〞，所以这两者不是对立事件，答案为B. 考点：互斥与对立事件.4.某程序框图如下列图，该程序运行后输出的k 的值是〔〕 A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A 【解析】 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，应选A.【点睛】此题主要考察了程序框图，循环构造，属于中档题.1，x 2，…，x 10的HY 差为8，那么数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的HY 差为()A.8B.15C.16D.32【答案】C 【解析】 【分析】根据HY 差与方差的关系，先求出样本数据对应的方差，然后结合变量之间的方差关系，即可求解，得到答案。
2021年高二数学9月月考(含解析)
2021年高二数学9月月考（含解析）第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知数列是公比为2的等比数列，若，则= （）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】试题分析：数列是公比为2的等比数列，若，，即16，解得考点：等比数列的通项公式2．已知各项均为正数的等比数列{a n}中, a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= （）A．5 B．7 C．6 D．4【答案】A【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．3．复数的模为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：因为复数，则考点：复数的模的求法4．二项式的展开式中的系数是（）A．84 B．-84 C．126 D．-126【答案】B【解析】试题分析：：由于二项式的通项公式为令9-2r=3，解得 r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3•故答案为-84．．考点：二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数5．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=10，S20 =30，则S30 = （）A．50 B．60 C．80 D．90【答案】D【解析】试题分析：等差数列{a n}中，也成等差数列，易得S30 =90考点：等差数列性质6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：在锐角中，,由正弦定理得，又因为,所以是等边三角形，考点：正弦定理与三角形面积公式7．若则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】试题分析：;;,所以考点：定积分8．．函数在区间上的最大值和最小值分别为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：令则，当，，当比较三个数的大小，最大的是最大值，最小的是最小值，所以答案为A考点：函数的导数与最值9．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．648 C．328 D．360【答案】C【解析】试题分析：首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有=9×8=72（个）,当0不排在个位时,有=4×8×8=256（个）,于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328（个）．考点：排列组合知识10．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（）A．35种 B．16种 C．20种 D．25种【答案】D【解析】试题分析：学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有种方法，二是选甲，共有种方法，三是选乙，共有种方法，把这3个数相加可得结果为25考点：排列组合公式11．若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是（）A．a2+b2>2ab B．a+b≥2 C．+> D．+≥2【答案】D【解析】试题分析：答案A，时可取等号，答案B均为负数时不成立，答案C，均为负数时不成立答案D对，也可用特殊值法考点：基本不等式成立条件12．已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（）A．4 B．5 C． D．【答案】C【解析】试题分析：观察给出的各个不等式，不难得到，，，从而第4个不等式为，所以当时，正数，选C．考点：寻找规律，归纳推理13．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法为（）A．72 B．36 C．52 D．24【答案】B【解析】试题分析：当丙在第一或第五位置时,有2=24（种）方法;当丙在第二或第四位置时,有2=8（种）方法;当丙在第三位置时,有=4（种）方法,则不同的排法种数为24+8+4=36．考点：排列组合知识14．用数学归纳法证明“42n-1＋3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n=k＋1时为了使用归纳假设，对42k+1＋3k+2变形正确的是（）A．16（42k-1＋3k+1）-13×3k+1B．4×42k＋9×3kC．（42k-1＋3k+1）＋15×42k-1＋2×3k+1D．3（42k-1＋3k+1）-13×42k-1【答案】A【解析】试题分析：假设当，能被13整除，当应化成形式，所以答案为A考点：数学归纳法15．．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）> 0，且g（－3）＝0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（）A．（－3,0）∪（3，＋∞）B．（－3,0）∪（0,3）C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（0,3）【答案】D【解析】试题分析：解：令h（x）=f（x）g（x），则h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h （x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（-3）=f（-3）g（-3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），∴x＜-3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=-h（-3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．故答案为（-∞，-3）∪（0，3）．．考点：构造函数，函数的奇偶性单调性第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）16．a，b∈R，a＋bi＝（1＋2i）（1－i）（i为虚数单位），则a＋b的值为．【答案】4【解析】试题分析：因为a，b∈R，a＋bi＝（1＋2i）（1－i）（i为虚数单位），所以a＋bi=3+i,所以,所以a+b=4考点：复数的乘法及复数相等的条件17．的展开式中的第四项是________．【答案】－【解析】试题分析：根据二项展开式的通项公式考点：二项展开式的通项公式18．若dx＝6，则b＝________．【答案】【解析】试题分析：=2|=2,解得考点：定积分19．设f（n）＝1＋（n∈N*），则f（k＋1）－f（k）＝________．【答案】【解析】试题分析：,,所以，考点：寻求规律，数学归纳法20．在等比数列中，，则数列的通项公式_____________，设，则数列的前项和_____________．【答案】，【解析】试题分析：设等比数列{a n}的公比q，解得q=2，∴a n=a1q n-1=2×2n-1=2n，∴b n=log2a n=log22n=n，∴b1=1，∵b n=n是首项为1，公差为1的等差数列，考点：等差数列和等比数列的性质和求和公式三、解答题（题型注释）21．（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）= ． （2）用数学归纳法证明不等式． 【答案】见解析 【解析】试题分析：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n 0时命题成立，第二步假设当n=k 时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立 试题解析：证明：（1）①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边= 左边=右边．②假设n=k 时等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=+（k+4） =等式成立．综上1+2+3+…+（n+3）= 成立．（2）证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立． ②假设当n=k （k≥2）时成立，即 那么当n=k+1时，左边=11211131211++<++++++k k k k∵4k 2+4k ＜4k 2+4k+1，可得 ， 即：1212211211121122+=++<+++=+++=++k k k k k k k k k k k．这就是说n=k+1时不等式也成立．综上①②可知不等式对所有的n ∈N *考点：数学归纳法证明不等式 22．（1）设，求证: （2）已知正数．．x 、y 满足2x+y=1，求的最小值及对应的x 、y 值．（3）已知实数满足， 的最大值及对应的x 、y 、z 值． 【答案】（1）见解析； （2），时有最小值为。
高二数学9月月考试题实验班,含解析 试题
第一中学2021-2021学年高二数学9月月考试题〔实验班，含解析〕创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日 创作编者：聂明景一：选择题。
1.设x ∈R ，那么“38x >〞是“2x 〞 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >， 求解绝对值不等式2x可得2x >或者2x <-，据此可知：“38x >〞是“||2x >〞 的充分而不必要条件. 此题选择A 选项.点睛：此题主要考察绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.2.从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从00到99，假设第一组中抽到的号码是03，那么第三组中抽到的号码是( )A. 22B. 23C. 32D. 33【答案】B 【解析】 【分析】先由题中条件，确定分组间隔，再由第一组抽到的号码，即可得出结果.【详解】因为从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表， 所以分组间隔为1001010=， 又第一组中抽到的号码是03，所以第三组中抽到的号码是321023+⨯=. 应选B【点睛】此题主要考察系统抽样，熟记系统抽样的特征即可，属于常考题型.3.设l 是直线，α，β是两个不同的平面〔 〕 A. 假设l α，l β∥，那么αβ∥ B. 假设l α，l β⊥，那么αβ⊥ C. 假设αβ⊥，l α⊥，那么l β∥ D. 假设αβ⊥，l α，那么l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】利用线面平行,垂直和面面平行和垂直的性质和断定定理对四个命题分别分析进展选择. 【详解】对于A ．假设l∥α，l∥β，那么α∥β或者α，β相交，故A 错；对于B ．假设l∥α，l⊥β，那么由线面平行的性质定理，得过l 的平面γ∩α＝m ，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的断定定理，得α⊥β，故B 对；对于C ．假设α⊥β，l⊥α，那么l∥β或者l⊂β，故C错；对于D．假设α⊥β，l∥α，假设l平行于α，β的交线，那么l∥β，故D错．应选:B．【点睛】此题考察命题真假的判断，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察空间想象才能，是中档题．4.某调查机构对全国互联网行业进展调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，那么以下结论中不一定正确的选项是〔〕年之间出生，80前指1979年及以前出注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989生．A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】结合两图对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A, 互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确； 对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%56%=22.176%⨯,超过总人数的20%，所以该选项正确；对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%⨯=，比80前多，所以该选项正确.对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%⨯=，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确. 应选：D【点睛】此题主要考察饼状图和条形图，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.5.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，以下结论不正确的选项是〔 〕A. 异面直线1A D 与1AB 所成的角为60B. 直线1A D 与1BC 垂直C. 直线1A D 与1BD 平行D. 三棱锥1CD A A -的体积为316a 【答案】C 【解析】【分析】如下图，建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出．【详解】如下图，建立空间直角坐标系．A ．A 1〔a ，0，a 〕，D 〔0，0，0〕，A 〔a ，0，0〕，B 1〔a ，a ，a 〕．∴1A D =〔﹣a ，0，﹣a 〕，1AB =〔0，a ，a 〕， ∴21111111222A D AB a cos A D AB a aA D AB ⋅-===-⋅＜，＞，∴异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60°．B ．C 1〔0，a ，a 〕，B 〔a ，a ，0〕．11A D BC ⋅=〔﹣a ，0，﹣a 〕•〔﹣a ，0，a 〕＝a 2﹣a 2＝0．∴直线A 1D 与BC 1垂直．C ．D 1〔0，0，a 〕．∵11A D BD ⋅=〔﹣a ，0，﹣a 〕•〔﹣a ，﹣a ，a 〕＝a 2﹣a 2＝0，∴直线A 1D 与BD 1垂直，不平行；D ．三棱锥A ﹣A 1CD 的体积123111326C A AD V a a a -==⨯⋅=． 综上可知：只有C 不正确． 应选：C ．【点睛】此题考察了正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．6.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1,2,3,4,5,6表示下雨，从以下随机数表的第1行第3列的1开场读取，直到读取了10组数据，18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 1055 23 64 05 05 26 62 38 97 75 34 16 07 44 99 83 11 46 32 24据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为〔〕A. 35B.25C.12D.710【答案】B【解析】【分析】由题意知模拟三天恰有两天下雨的结果，观察经随机模拟产生的数据，用列举法找出表示三天中恰有两天下雨的数据，再由古典概型的概率公式即可求解.【详解】由题意知模拟三天恰有两天下雨的结果，观察经随机模拟产生的数据可得，表示三天中恰有两天下雨的数据有：4 17，3 86，19 6，2 06，一共4组数据，所以这三天中恰有两天下雨的概率42P105 ==.【点睛】此题主要考察模拟方法估计概率，属于根底题型.7.点A〔2，-3〕，B〔-3，-2〕，直线l方程为mx+y-m-1=0，且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围为〔〕A. 34k ≥或者4k ≤- B. 3144k k ≥≤-或C. 344k -≤≤D.344k ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出PA 、PB 的斜率，从而得出l 的斜率k 的取值范围．【详解】解：∵直线l 的方程mx+y-m-1=0可化为 m 〔x-1〕+y-1=0，∴直线l 过定点P 〔1，1〕，且与线段AB 相交，如下图； 那么直线PA 的斜率是k PA =-4，直线PB 的斜率是k PB =34， 那么直线l 与线段AB 相交时，它的斜率k 的取值范围是k≤-4或者k≥34． 应选：A ．【点睛】此题考察了直线方程的应用问题，也考察了数形结合的应用问题，是根底题目．8.从点()2,1P -向圆2222mx 20x y y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值是〔 〕 A. 1- B. 0C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】确定圆心与半径，利用切线长最短时，CP 最小，可得结论．【详解】设圆心为C ，圆x 2+y 2﹣2mx ﹣2y +m 2＝0，可化为圆〔x ﹣m 〕2+〔y ﹣1〕2＝1，圆心C 〔m ，1〕，半径为1，切线长最短时，CP 最小，CP 2(2)4m =-+， ∴m ＝2时，CP 最小，切线长最短． 应选：C ．【点睛】此题考察圆的切线，考察学生的计算才能，利用切线长最短时，CP 最小是关键．()1,1A -出发，经x 轴反射到圆()()22:231C x y -+-=上的最短路程是A. 321-B. 26C. 4D. 5【答案】C 【解析】试题分析：由反射定律得点A 〔-1，1〕关于x 轴的对称点B 〔-1，-1〕在反射光线上，当反射光线过圆心〔2，3〕时，最短间隔 为|BC|-R=故光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为4． 应选C ．考点：直线与圆的位置关系．10.三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，且2AB BC CA PC ====，那么该三棱锥的外接球的外表积是〔 〕A.3π B. 4π C.163πD.283π【答案】D 【解析】作ABC ∆的外接圆，过点C 作外接圆的直径CM ，连接PM ，那么PM 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，如下图; ∵2AB BC CA === ∴24sin 603CM ==︒又 PC ⊥平面ABC ∴ PC CM ⊥∴ 2221628433PM PC CM =+=+=，即22(2)PM R = ∴ 22843S R ππ==,应选D.ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设2cos cos 1cos cos B B A C +=-，那么〔 〕A. ,,a b c 成等差数列B. ,,a b c 成等比数列C. ,2,3a b c 成等差数列D. ,2,3a b c 成等比数列【答案】B 【解析】试题分析：由2cos cos 1cos cos B B A C +=-得2cos cos cos 1cos B A C B +=-，所以2cos()cos cos sin A C A C B -++=，即2sin sin sin A C B =，由正弦定理得2ac b =．应选B ．考点：两角和与差的正弦公式，正弦定理，等比数列的判断．12.菱形ABCD 的边长为4，6ABC π∠=，假设在菱形内取一点，那么该点到菱形的四个顶点的间隔 均大于1的概率为〔 〕 A.4π B. 14π-C.8π D. 18π-【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进展求解即可． 【详解】分别以A ，B ，C ，D 为圆心，1为半径作圆， 那么概率对应的面积为阴影局部，那么四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π，那么对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S ＝π×12＝π， ∵S 菱形ABCD ＝AB •BC sin6π=4×412⨯=8， ∴S 阴影＝S 菱形ABCD ﹣S 空白＝8﹣π×12＝8﹣π． 因此，该点到四个顶点的间隔 大于1的概率P 8188S S ππ-===-阴影菱形，应选：D．【点睛】此题主要考察几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决此题的关键．二、填空题。
高二数学9月月考试题衔接班,含解析 试题
第一中学2021-2021学年高二数学9月月考试题〔衔接班，含解析〕一：选择题。
1.为了研究某班学生的脚长x 〔单位厘米〕和身高y 〔单位厘米〕的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为〔 〕 A. 160 B. 163C. 166D. 170【答案】C 【解析】由22.5,160,160422.570,42470166ˆx y ay ==∴=-⨯==⨯+= ,选C. 【名师点睛】〔1〕判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：〔1〕利用散点图直观判断；〔2〕将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进展判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．2.如图茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩(单位：分).甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为105.4,那么x ,y 的值分别为〔 〕A. 5,7B. 6,8C. 6,9D. 8,8【答案】B 【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，即可求出x、y的值．【详解】根据茎叶图中的数据，得；∵甲组数据的中位数为106，∴x＝6；又∵乙组数据的平均数为，∴() 891061001091155y+++++=，解得y＝8；综上，x、y的值分别为6、8．应选：B．【点睛】此题考察了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是根底题．3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么以下对立的两个事件是〔〕A. “至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞B. 恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞C. “至少1名男生〞与“全是男生〞D. “至少1名男生〞与“全是女生〞【答案】D【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，“至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞不互斥；“恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞是互斥不对立事件；“至少1名男生〞与“全是男生〞不互斥； “至少1名男生〞与“全是女生〞是对立事件； 应选：D 4.21()2'(2016)2016ln 2f x x xf x =+-，那么'(2016)f =〔 〕 A. 2021 B. ﹣2015C. 2021D. ﹣2021【答案】B 【解析】 【分析】将函数求导后，令2016x =代入导函数，可求得所求的结果. 【详解】对函数求导得()()201622016f x x f x+-'='，令2016x =代入得()()20162016220161f f ='+-'，解得()20162015f =-'，应选B.【点睛】本小题主要考察导数的运算公式，考察运算求解才能.属于根底题.主要考点是()()'af x af x ⎡⎤=⎣⎦'.5.(2021·二检)p ：k q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切．那么p ⌝是q ⌝的( ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝11=，解得k ＝q ：k ＝因为p ：k⌝p ：k⌝q ：k≠⌝p 是⌝q 的必要不充分条件．6.有5支彩笔〔除颜色外无差异〕，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，那么取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A.45B.35C.25D.15【答案】C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 此题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握根本领件的种数和符合要求的事件种数，根本领件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，此题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.7.直线20xsin y α++=的倾斜角的取值范围是〔 〕 A. [)0,πB. ][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 042πππ⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，， 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围． 【详解】直线x sinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π〕 应选：B ．【点睛】此题考察直线的斜率与倾斜角的关系，属根底题．8.函数1()ln 1f x x x =--，那么=()y f x 的图象大致为〔 〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值，对函数图像进展排除，由此得出正确选项.【详解】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >()10010020101f e e =>-，排除D 选项.应选A. 【点睛】本小题主要考察详细函数的解析式，判断函数的图像，属于根底题.9.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，⋯，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，那么抽到的32人中，编号落入区间[]200,480的人数为 A. 7 B. 9 C. 10 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的定义，可知抽到的号码数可组成一个以301=-n a n 为通项公式的等差数列，令*200301480,≤-≤∈n n N ，解不等式可得结果。
海南省乐东高中高二(上)9月月考数学试卷(理科)(实验班)
2016-2017学年海南省乐东高中高二（上）9月月考数学试卷（理科）（实验班）一、选择题1．已知集合M={x|x+1≥0}，N={x|x2＜4}，则M∩N=（）A．（﹣∞，﹣1﹣1，2）C．（﹣1，2时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．76．如图框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．7 B．8 C．10 D．117．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣22，+∞）8．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，）B．hslx3y3h，）C．（，）D．hslx3y3h，）9．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．，k∈z B．，k∈zC．，k∈z D．，k∈z10．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0） C．（0，1）D．（1，+∞）11．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2） D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）12．数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）+1A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830二、填空题13．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是．14．过点（2，3）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为．15．已知y与x之间具有很强的线性相关关系，现观测得到（x，y）的四组观测值并制作了如下的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为=x+60，其中的值没有写上．当x等于﹣5时，预测y的值为．x181310﹣1y2434386416．若sin（π+x）+sin（+x）=，则sin2x=．17．若向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为．三、解答题18．已知函数，其中，，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1（1）求角A；（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．19．某工厂有工人1000人，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样的方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处的生产能力指一天加工的零件数）．（1）A类工人和B类工人中各抽查多少工人？（2）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．表1生产能力分组hslx3y3h100，110）hslx3y3h110，120）hslx3y3h120，130）hslx3y3h130，140）hslx3y3h140，150）人数48x53表2生产能力分组hslx3y3h110，120）hslx3y3h120，130）hslx3y3h130，140）hslx3y3h140，150）人数6y3618①求x，y，再完成下列频率分布直方图；②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20．已知直线l：2x+y+2=0及圆C：x2+y2=2y．（1）求垂直于直线l且与圆C相切的直线l′的方程；（2）过直线l上的动点P作圆C的一条切线，设切点为T，求PT的最小值．21．设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈（0，）．（1）若||=||，求x的值；（2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值．22．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=，H是BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：AB⊥平面BCF；（3）求五面体ABCDEF的体积．23．已知等比数列{a n}满足：a1=2，a2•a4=a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列b n=，求该数列{b n}的前n项和S n．2016-2017学年海南省乐东高中高二（上）9月月考数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合M={x|x+1≥0}，N={x|x2＜4}，则M∩N=（）A．（﹣∞，﹣1﹣1，2）C．（﹣1，2时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【分析】先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=log5x的图象，结合图象当x＞6时，y=log6x＞1此时与函数y=f（x）无交点，即可判定函数函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数．【解答】解：根据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象当x=6时log66=1，∴当x＞6时y=log5x此时与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有5个交点，则函数g（x）=f（x）﹣log6x的零点个数为5，故选B．6．如图框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．7 B．8 C．10 D．11【考点】选择结构．【分析】从程序框图中得到求p的解析式；列出方程，求出x3的值．【解答】解：∵∴解得x3=8故选B7．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣22，+∞）【考点】函数的值域．【分析】先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．【解答】解：；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为，）C．（，）D．hslx3y3h，）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据已知条件，由单调递增函数的定义便得到函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以由f（2x﹣1）＜f（）得：2x﹣1，解不等式即得x的取值范围．【解答】解：由（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，知：x2﹣x1与f（x2）﹣f（x1）同号；∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；∴解原不等式得：，解得；∴x的取值范围是．故：C．9．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．，k∈z B．，k∈zC．，k∈z D．，k∈z【考点】正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，根据题意求得周期，进而求得ω，函数的解析式可得，最后利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间．【解答】解：f（x）=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+），依题意知函数的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是（k∈Z），故选A．10．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0） C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．【解答】解：∵f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）即整理可得，∴1﹣a•2x=a﹣2x∴a=1，∴f（x）=∵f（x））=＞3∴﹣3=＞0，整理可得，，∴1＜2x＜2解可得，0＜x＜1故选：C11．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2） D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选C12．数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）+1A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，+1故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830故选D．二、填空题13．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，平移直线y=3x，结合图象求出目标函数的最大值和最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，3），由z=3x﹣y得：y=3x﹣z，平移直线y=3x，显然直线过A（，3）时，z最小，z的最小值是﹣，过B（2，0）时，z最大，z的最大值是6，故答案为：．14．过点（2，3）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为3x﹣2y=0，x+y ﹣5=0，x﹣y+1=0．．【考点】直线的一般式方程；直线的截距式方程．【分析】通过对截距的讨论利用直线的截距式即可求出．【解答】解：①若此直线经过原点，则斜率k=，∴要求的直线方程为3x﹣2y=0；②当直线不经过原点时，由题意是直线的方程为x±y=a，把（2，3）代入上述直线的方程得2±3=a，解得a=5或﹣1．∴直线的方程为x+y﹣5=0，x﹣y+1=0．综上可知：要求的直线方程为3x﹣2y=0，x+y﹣5=0，x﹣y+1=0．故答案为：3x﹣2y=0，x+y﹣5=0，x﹣y+1=0．15．已知y与x之间具有很强的线性相关关系，现观测得到（x，y）的四组观测值并制作了如下的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为=x+60，其中的值没有写上．当x等于﹣5时，预测y的值为70．x181310﹣1y24343864【考点】线性回归方程．【分析】样本点的中心为（10，40），代入回归直线方程，求出，再由x等于﹣5时，预测y的值．【解答】解：由题意，=（18+13+10﹣1）=10，=（24+34+38+64）=40，∵线性回归直线方程为=x+60，∵40=10+60，∴=﹣2，∴x等于﹣5时，预测y的值为（﹣2）×（﹣5）+60=70．故答案为：70．16．若sin（π+x）+sin（+x）=，则sin2x=﹣．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件可得sinx﹣cosx=，平方可得1+sin2x=，由此求得sin2x的值．【解答】解：∵sin（π+x）+sin（+x）=﹣sinx﹣cosx=，平方可得1+sin2x=，由此求得sin2x=﹣，故答案为：﹣．17．若向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】可得所求为=，代入已知数据，计算可得．【解答】解：由题意可得在方向上的投影为：====故答案为：三、解答题18．已知函数，其中，，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1（1）求角A；（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．【考点】解三角形；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用向量数量积公式，结合辅助角公式化简函数，利用f（A）=1，结合A的范围，可得结论；（2）先利用余弦定理，结合条件可求bc的值，从而可求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，，，∴f（x）=cos2x+=2sin（2x+）∵f（A）=1，∴2sin（2A+）=1，∵＜2A+＜，∴2A+=，∴A=；（2）由余弦定理知cosA==∵，∴b2+c2﹣bc=3∵b+c=3∴bc=2∴=．19．某工厂有工人1000人，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样的方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处的生产能力指一天加工的零件数）．（1）A类工人和B类工人中各抽查多少工人？（2）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．表1生产能力分组hslx3y3h100，110）hslx3y3h110，120）hslx3y3h120，130）hslx3y3h130，140）hslx3y3h140，150）人数48x53表2生产能力分组hslx3y3h110，120）hslx3y3h120，130）hslx3y3h130，140）hslx3y3h140，150）人数6y3618①求x，y，再完成下列频率分布直方图；②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据分层抽样的特征是各层所抽取的样本数比例相等，计算出A、B类工人应抽查的人数；（2）①根据样本容量计算出x、y的值并补充完整频率分布直方图；②计算出A类工人和B类工人生产能力的平均数，并由此估计该工厂工人的生产能力的平均数即可．【解答】解：（1）A类工人应抽查的人数是100×=25；B类工人应抽查的人数是100×=75．（2）①根据题意，由4+8+x+5+3=25，得x=5，由6+y+36+18=75，得y=15．补充完整频率分布直方图如下：，；②∵=×105+×115+×125+×135+×145=123，=×115+×125+×135+×145=133.8，∴=×123+×133.8=131.1；∴A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及该工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8，131.1．20．已知直线l：2x+y+2=0及圆C：x2+y2=2y．（1）求垂直于直线l且与圆C相切的直线l′的方程；（2）过直线l上的动点P作圆C的一条切线，设切点为T，求PT的最小值．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】第（1）问由直线l′与直线l垂直可得其斜率，再利用待定系数法结合直线与圆相切的条件列出关于待定系数的方程求解；第（2）问利用切线的性质，即切线长平方加上半径的平方等于P点到圆心距离的平方，从而把求PT的最小值转化为求动点P到圆心的距离的最小值，显然就是圆心到直线的距离最小．【解答】解：∵l：2x+y+2=0及圆C：x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），r=1，（1）∵l′⊥l，∴，设l′的方程为，即x﹣2y+2b=0，则由l′与圆C相切得，解得，所以切线方程为或．（2）如图所示，设切点为T，P是直线上任一点，则由切线的性质可知PC2=PT2+1，所以要使PT最小，只需PC最小，则当PC⊥l时，PC最小，此时PC表示C到直线l的距离，∴PC==，．21．设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈（0，）．（1）若||=||，求x的值；（2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据||=||，建立方程关系，利用三角函数的公式即可求x的值；（2）利用数量积的定义求出函数f（x）=的表达式，利用三角函数的图象和性质求f（x）的最大值．【解答】解：（1）由|a|2=（sin x）2+（sin x）2=4sin2 x，|b|2=（cos x）2+（sin x）2=1．及|a|=|b|，得4sin2 x=1．又x∈（0，），从而sin x=，∴x=．（2）f（x）==sin x•cos x+sin2x=sin 2x﹣cos 2x+=sin（2x﹣）+，当x=∈（0，）时，sin（2x﹣）取最大值1．∴f（x）的最大值为．22．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=，H是BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：AB⊥平面BCF；（3）求五面体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC与BD交于点O，则点O是AC的中点，连接OH，EO，通过证明四边形EOHF是平行四边形，证明FH∥平面EDB；（2）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EM∥FB，EM=FB．进而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根据边长推断出AM2+EM2=3=AE2，进而证明出AM⊥EM．然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推断出AB⊥BC．最后通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面BCF；（3）求出四棱锥E﹣ABCD的体积为V1═，三棱锥E﹣BCF的体积为=，即可求出五面体ABCDEF的体积．【解答】（1）证明：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，连接OH，EO，∵H是BC的中点，∴OH∥AB，．…∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，∴EF∥AB．…∵EF=1，∴OH∥EF，OH=EF．∴四边形EOHF是平行四边形．∴EO∥FH，EO=FH．…∵EO⊂平面BDE，FH⊄平面BDE，∴FH∥平面BDE．…（2）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，由（1）知，EF∥MB，且EF=MB，∴四边形EMBF是平行四边形．∴EM∥FB，EM=FB．…在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得．∴．…在△AME中，，AM=1，，∴AM2+EM2=3=AE2．∴AM⊥EM．…∴AM⊥FB，即AB⊥FB．∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC．…∵FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AB⊥平面BCF．…（3）解：连接EC，在Rt△BFC中，，∴EO=FH=1．由（2）知AB⊥平面BCF，且EF∥AB，∴EF⊥平面BCF．…∵FH⊥平面ABCD，EO∥FH，∴EO⊥平面ABCD．…∴四棱锥E﹣ABCD的体积为V1═．…∴三棱锥E ﹣BCF 的体积为=．…∴五面体ABCDEF 的体积为．…23．已知等比数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 4=a 6． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记数列b n =，求该数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，根据等比数列的通项公式和条件，列出关于q 的方程求出q ，再代入化简即可；（2）由（1）求出a 2n ﹣1、a 2n +1的表达式，代入化简后裂项，代入数列{b n }的前n 项和S n ，利用裂项相消法进行化简． 【解答】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 1=2，a 2•a 4=a 6得，（2q ）（2q 3）=2q 5， 解得q=2， 则=2n ，（2）由（1）得，，，∴==，则S n =b 1+b 2+b 3+…+b n=（1﹣==2017年2月11日。
2023年湖北武汉华中科技大学附属中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
华科附中2022-2023学年上学期9月月考高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足(1i)i z −=，则下列说法正确的是（ ） A. z 的虚部为1i 2B. z 的共轭复数为11i 22z =−+ C. z 对应的点在第二象限 D. 1z =【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由(1i)i z −=，得()()()i 1i i 1i11i 1i 1i 1i 222z ×+−+====−+−−×+， 对于A ，复数z 的虚部为12，故A 不正确；对于B ，复数z 共轭复数为11i 22z =−−，故B 不正确；对于C ，复数z 对应的点为12 −，所以复数z 对应的点在第二象限，故C 正确； 对于D，z =D 不正确. 故选：C.2. 在下列条件中，一定能使空间中的四点,,,M A B C 共面的是（ ）A. 2OM OA OB OC −−B. 111532OM OA OB OC =++C. 20MA MB MC ++=D. 0OM OA OB OC +++=【答案】C 【解析】【分析】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=，由此可判断出答案. 的【详解】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=， 由此可得A ，B ，D 不正确，选项C ：2MA MB MC −=−，所以,,,M A B C 四点共面， 故选：C.3. 已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A −在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A −，(1,2,2)P所以(2,0,1)PA =−− ，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离||||PA n d n ⋅=.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题4. 已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+ ，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.5. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 0,0,,1,2c b C B b a π−=∈，则ABC 的面积为（）A.或14 B.或14C.D.或34 【答案】C 【解析】B ，然后利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可. 【详解】因为2sin 0c bC −=，由正弦定理sin 2sin sin 0C B C −=， 因为0,,sin 02C C π∈≠，所以1sin 2B =，因为0,2B π∈，所以6B π=，根据余弦定理得2222cos b c a c a B +−⋅⋅，得1c =或2c =，所以11222ABC S =×=或11122ABC S =×= ， 故选：C.6. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ） 甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4 丙：平均数为8，方差小于2 A. 甲 B. 乙C. 丙D. 无法确定【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为825<，但丙组不符合“优秀小组”的概念. 故选：A.7. 如图，已知电路中有5个开关，开关5S 闭合的概率为13，其它开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A. 78B.1516 C. 2324D. 45【答案】A 【解析】【分析】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，则事件灯不亮可表示为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅，由已知12341()()()()2P A P A P A P A ====，51()3P A =， ∴ 1234511121()(1)42238P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=−×××=， ∴ 事件灯亮的概率78P =， 故选：A.8. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为3，点P 在11A C B △的内部及其边界上运动，且DP =，则点P 的轨迹长度为( )A.B. 2πC.D. 3π【答案】A 【解析】【分析】连接1B D 、11B D 、BD ，1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，证明1B D ⊥平面11A C B 得DO ⊥OP ，求出OP 长度，确定O 的位置，确定P 的轨迹形状，从而可求P 的轨迹长度． 【详解】连接1B D 、11B D 、BD ，则1111AC B D ⊥，111A C DD ⊥，1111B D DD D = ， ∴11A C ⊥平面11B DD ，∴111A C B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． 设1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，由△BOD ∽△1EOB 且BD =12B E 可知OD =12B O ，则123OD B D ==，连接OP ，则OD OP ⊥，∴OP可得点P 的轨迹为以点O 为半径的圆在11A C B △内部及其边界上的部分，OB =2OE ，E 为11A C 中点，及△11A BC 为等边三角形可知O 为△11A BC 中心， OE=1133BE =<OF =，OE =，πcos 6OE EOF EOF OF ∠∠==， 则∠OFE =∠1A =π3，∴OF ∥1A B ，同理易知OG ∥11A C ， 故四边形1A FOG 是菱形，则π.3FOG ∠=∴ FG长度为π3，故点P的轨迹长度为3π． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. PM 2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM 2.5日均值在335/m g µ以下，空气质量为一级：PM 2.5日均值在335~75/m g µ，空气质量为二级：PM 2.5日均值超过375/m g µ为超标.如图是某地12月1日至10日PM 2.5的日均值（单位：3/m g µ）变化的折线图，关于PM 2.5日均值说法正确的是（ ）的A. 这10天的日均值的80%分位数为60B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C. 这10天的日均值的中位数为41D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】BD 【解析】【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案. 【详解】10个数据为：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，100.88×=，故80%分位数为6078692+=，A 选项错误. 5天的日均值的极差为413011−=，后5天的日均值的极差为804535−=，B 选项正确. 中位数是4145432+=，C 选项错误. 根据折线图可知，前5天数据波动性小于后5天数据波动性，所以D 选项正确. 故选：BD10. 下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()()P A B P A P B =+ ；③若事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，1()4P AB =，则A ，B 相互独立；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件．其中错误的命题是（ ） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答. 【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确；对于②：若A ，B 为两个随机事件，则()()()()P A B P A P B P A B =+− ，②错误； 对于③：由()()()113434P AB P A P B ==×=，得A ，B 相互独立，③正确； 对于④：记事件A 为抛一枚硬币正面朝上，事件B 为掷一枚骰子出现偶数点，则()0.5P A =，()0.5P B =，满足()()1P A P B +=，显然事件A 与B 可以同时发生，它们不是对立事件，④错误.故选：BD11. 已知空间四点()0,0,0O ，()0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则下列说法正确的是（ ）A. 2OA OB ⋅=−B. 以OA ，OBC. 点O 到直线BCD. O ，A ，B ，C 四点共面 【答案】AC 【解析】【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，判定A 、B 、C 、D 的结论即可．【详解】空间四点()0,0,0O ，)0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，所以OA =，OB = ，对于A ：2OA OB ⋅=−，故A 正确；对于B ：2cos ,5OA OB OA OB OA OB ⋅==−，所以sin AOB ∠=，所以以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积sin SOA OB AOB ∠=，故B 错误；对于C ：由于()2,0,1OB =−，()1,2,2BC = ，所以0OB BC ⋅=，故OB BC ⊥ ，所以点O 到直线BC 的距离||d OB ==，故C 正确；对于D ：根据已知的条件求出：()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，()3,2,1OC =，假设,,OA OB OC 共面，则存在实数λ和µ使得OC OA OB λµ=+，所以3=22=1=2µλλµ−，无解，故,,OA OB OC 不共面，故D 错误； 故选：AC ．12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. PE PF ⋅的最小值为148B. 若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98C. PF 与底面ABCD 所成的角的取值范围为0,4πD. 若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是23π【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤ ，得()1,1,P λλλ−−，利用空间向量法求得数量积PE PF ⋅，计算最小值判断A ；由线面平行得线线平行确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积判断B ；过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角.设=PQ x ，运用余弦定理求出QF ，由tan PQPFQ FQ∠=，计算判断C ；结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ． 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz −.由正方体棱长为1，则11,1,22E，()1,1,0B ，()10,0,1D ，10,,12F ，()1,0,0A .对于A ，()11,1,1BD =−−，设()1,,BP BD λλλλ==−− ，()01λ≤≤，所以()1,1,P λλλ−−，11,,22PE λλλ =−− ，11,,12PF λλλ =−−−， ()()211171113()2221248PE PF λλλλλλλ⋅=−−+−+−−=−−， 所以712λ=时，1()48min PE PF ⋅=− ，故A 错误； 对于B ，12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112,,333P，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12,,033G，120,,33PG =−.显然PG与平面11CDD C 的法向量()1,0,0DA = 垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行， 作//CM PG 交11D C 于点M ，设()0,,1M k ，则()0,1,1CMk =− ，由//CM PG ，可得()21133k −−=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11D A 中点N ，易得//NF AC ， 所以截面为ACFN ，且为等腰梯形，AC =NF =，AN CF ==梯形的高为h ，截面面积为1928S =，故B 正确； 对于C ，过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角．设=PQ x，则1D Q =，由余弦定理知，222111222424FQ x x x =+−⋅=−+. 因为P 为线段1BD 上的动点，所以01x ≤≤.当=0x时，tan 0PQPFQ FQ∠==.tan PQPFQ FQ∠=， 当01x <≤时，，11x≥， 所以tan 1PFQ ∠≤，故0,4PFQ π∠∈，C 正确；对于D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()1,1,0AC =−，()11,1,1BD =−−，则11100AC BD ⋅=−+=，1AC BD ∴⊥ ，同理11AB BD ⊥ . 所以1BD是平面1ACB 一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则1111123AO C B O C AO B π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1||||1===ABAD AA ，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是_______．的【解析】【分析】利用11AC AB AD AA =++，即可求解． 【详解】 11AC AB AD AA =++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++++111111211()211()211222=+++×××−+×××−+×××2=，1AC ∴．【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14. 已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{},,a b a b c +− 是空间的另一个基底，一向量P在基底{}a b c ，，下的坐标为()1,2,3，则向量P在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为__________．【答案】31,,322 −【解析】【分析】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+，可得 123x y x y z +=−== ，所以解出x ，y ，z 即可．【详解】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+；123x y x y z +=∴−= =，解得：31,,322x y z ==−=；p ∴ 在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为：31,,322 −．故答案为：31,,322 −． 15. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||5a b −≥”的概率为_______． 【答案】415【解析】【分析】根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.【详解】依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a ，b 的不同结果是：(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，事件“||5a b −≥”记为M ，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，于是得4()15P M =， 所以事件“||5a b −≥”的概率为415. 故答案为：41516. 设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a满足对任意的,,x y a xi y j −− 的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．【答案】1 【解析】【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i = ，()0,1,0j = ，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则a xi y j −−=，当,r x s y ==时a xi y j −−的最小值是2， 2t ∴=± 取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5. 取(),,2ax y =− 则()3,,1a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1. 故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17. 已知()3,2,1a =− ，()2,1,2b = ． （1）求a 与b夹角的余弦值；（2）当()()ka b a kb +⊥−时，求实数k 的值．【答案】（1（2）32k或23k =− 【解析】【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.（2）根据()()ka b a kb +⊥−列方程，从而求得k 的值.【小问1详解】cos ,a b a ba b⋅==⋅【小问2详解】由于()()ka b a kb +⊥− ，所以()()0ka b a kb +⋅−=， 所以()22210ka k a b kb +−⋅−= ，()22146190,6560k k k k k +−−=−−=， 解得32k或23k =−. 18. 袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是12，得到黄球或绿球的概率是23，试求： （1）从中任取一球，得到黑球．黄球．绿球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】（1）111,,362；（2）1115【解析】【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率．（2）黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率．【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知得()()()11()()22()()3P A P B P C P A P B P B P C++=+=+=，解得1()31()61()2P A P B P C===，∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是111,,362；（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为1315154+=， 则得到的两个球颜色不相同的概率是41111515−=． 19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5 （2）10 【解析】【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ，进而根据方差公式，代入计算即可得答案. 【小问1详解】设这20人的平均年龄为x ，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x =×+×+×+×+×=.设第80百分位数为a ，由50.02(40)0.040.2a ×+−×=，解得37.5a =. 【小问2详解】由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ， 则437x =，543x =，2452s =，251s =， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s . 则4542396x x z+=，()(){}222224545142106s s x z s x z =×+−+×+−= ， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. 20. 已知函数()2sin cos x x f x x +−（1）若123f α = ，且π0,2α ∈，求sin α的值； （2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若122C f=−，求a b 的取值范围． 【答案】（1；（2a b <<【解析】【分析】（1）化简()f x 解析式，由123f α = 得到1sin 3π3α−= ，从而求得cos 3πα −，进而求得sin α.（2）由122C f=−求得C ，利用正弦定理化简a b ，通过tan B 取值范围，求得a b 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin cos x x f x x +1cos 21πsin 2sin 2223x x x −+−=−， 的由123f α = ，得1sin 3π3α −= ，因π0,2α ∈，所以ππ36π3α−<−<，所以πcos 3α−所以ππsin sin 33αα =−+ππππsin cos cos sin 3333αα=−+−1132=×=． （2）由π1sin 232C f C =−=−，因为π0,2C∈ ，所以πππ336C −<−<， 所以ππ36C −=−，即π6C =． 由正弦定理sin sin a bA B=，可得，5πsin sin cos 6sin sin 2sin B a A B b B B B− ===+．因为ABC 是锐角三角形，所以π025ππ062B B <<<−<，即ππ32B <<．所以cos 12sin 2tan aB b B B =+ 由ππ32B <<，得tan B >a b << 21. 如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=°，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD −，连结MN ．为（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，利用面面平行的判定证明平面//MNE 平面PAD ，再利用面面平行的性质即可证明；（2）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】在四棱锥P ABCD −中，取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC ，则ME PA //，//EN AD ，因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ，则//ME 平面PAD ，同理可得，//EN 平面PAD ， 又ME EN E ∩=，ME ，EN ⊂平面MNE ，故平面//MNE 平面PAD ，因为MN ⊂平面MNE ， 故//MN 平面PAD ； 【小问2详解】因为在等腰直角三角形PAD 中，90∠=°，//AD BC ， 所以BCPA ⊥，则在四棱锥P ABCD −中，BC PB ⊥，BC AB ⊥，因为//AD BC ，则AD PB ⊥，AD AB ⊥，又PB AB B ∩=，,PB AB ⊂平面PAB ， 故AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，故PA AD ⊥，因为8AD =，3AB =，4PA =，则5PB =，所以222AB PA PB +=，故PA AB ⊥． 以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：(3,0,0)B ，()0,0,4P ，(0,8,0)D ，(3,5,0)C ，故(3,0,4),(3,5,4),(0,8,4)PB PC PD =−=−=−，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则3403540n PB x z n PC x y z ⋅=−= ⋅=+−= ， 令4x =，则3z =，故(4,0,3)n = ；设平面PCD 的法向量为(,,)m a b c = ，则8403540m PD b c m PC a b c ⋅=−= ⋅=+−= ， 令1b =，则1a =，2c =，故(1,1,2)m = ，所以|||cos ,|||||m n m n m n ⋅== ， 故平面PBC 与平面PCD． 22. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E，若存在，求出CM CA 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理解得1BC =1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ； （2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E，可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+−×°，解得1BC =22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥ 侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥． 又AB BC B ∩= ，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A，1(B −，12E，1(2)A −，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z = ，11(0,0,2)A B =−，13,22A E =−， 11100m A B m A E ⋅= ⋅=，203202z x y z −= ∴ −=，令y =1x =，m ∴= ， 假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈， (1,,)(1,0,2)x y z λ∴−=−，(1,0,2)M λλ∴−，1,22EM λλ ∴=−利用平面11A B E的一个法向量为m =，2693850λλ−+=．即(31)(235)0λλ−−=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.。
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第一中学2021-2021学年高二数学9月月考试题〔实验班〕时间：2022.4.12 单位：……*** 创编者：十乙州一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60分〕1.设x∈R，那么“x3＞8〞是“|x|＞2〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从00到99，假设第一组中抽到的号码是03，那么第三组中抽到的号码是〔〕A. 22B. 23C. 32D. 333.设l是直线，,是两个不同的平面，以下命题正确的选项是〔〕A. 假设,,那么B. 假设,,那么C. 假设,,那么D. 假设,,那么4.某调查机构对全国互联网行业进展调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业岗位分布条形图，那么以下结论中不一定正确的选项是〔〕5.注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．6.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7.如图正方体的棱长为a，以下结论不正确的选项是8.A. 异面直线与所成的角为B. 直线与垂直C. 直线与平行D. 三棱锥的体积为9.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4，5，6表示下雨，从以下随机数表的第1行第3列的1开场读取，直到读取了10组数据，10.18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 0676 50 03 1011.55 23 64 05 05 26 62 38 97 75 34 16 07 44 99 8311 46 32 2412.据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为〔〕A. B. C. D.13.点A〔2，-3〕，B〔-3，-2〕，直线l方程为kx+y-k-1=0，且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围为〔〕A. 或者B.C.D.14.从点向圆作切线，当切线长最短时的值是〔〕A. B. 0 C. 2 D. 115.一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路程是( )A. B. C. 4 D. 516.三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=PC=2，那么该三棱锥的外接球的外表积是〔〕A. B. C. D.17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设cos2B＋cos B＝1－cos A cos C那么A. a,b,c成等差数列B. a,b,c成等比数列C. a, 2b, 3c成等差数列D. a, 2b, 3c成等比数列18.菱形ABCD的边长为4，，假设在菱形内取一点，那么该点到菱形的四个顶点的间隔均大于1的概率为〔〕A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20分〕19.给出以下命题：20.①命题“假设x2=1，那么x=1〞的否命题为“假设x2=1，那么x≠1〞；21.②“x=-1〞是“x2-5x-6=0〞的必要不充分条件；22.③命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0〞的否认是：“∀x∈R，均有x2+x-1＞0〞；23.④命题“假设x=y，那么sin x=sin y〞的逆否命题为真命题．24.其中所有正确命题的序号是______ ．25.在某次飞镖集训中，甲、乙、丙三人10次飞镖成绩的条形图如下所示，那么他们三人中成绩最稳定的是______．226.27.一个口袋内装有大小一样的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或者白球的概率为，摸出红球或者黑球的概率为，那么摸出红球的概率为______ ．28.某电视台每天11:30—12:00播放“中国梦〞主题的纪录片，在此期间会随机播放一次4分钟完好的有关中国梦的歌曲，小张从11:43开场观看该电视台的这档节目，那么他听到完好的有关中国梦歌曲的概率为________.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分〕此题满分是10分29.节能减排以来，100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．30.31.求直方图中x的值；32.求月平均用电量的众数和中位数；33.估计用电量落在中的概率是多少？34.此题满分是12分35.命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．36.假设p为真命题，务实数m的取值范围；37.假设为真命题，为假命题，务实数m的取值范围．38.39.40.41.42.43.此题满分是12分44.如图，四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．45.〔1〕求证：CD⊥AP；46.〔2〕假设CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．47.此题满分是12分48.圆C过P〔2，6〕，Q〔-2，2〕两点，且圆心C在直线3x+y=0上．49.〔1〕求圆C的方程．50.〔2〕假设直线l过点P〔0，5〕且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．此题满分是12分51.S n为数列{a n}的前n项和，a n>0 ，.〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设，求数列{b n}的前n项和.此题满分是12分52.扇形AOB中心角为60°，所在圆半径为，它按如下〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕两种方式有内接矩形CDEF．53.〔Ⅰ〕矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设∠EOB=θ；54.〔Ⅱ〕点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设∠EOM=φ；55.试研究〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？56.答案和解析1.【答案】A BBDC BACCD BD13.④ 14.丙 15.0.2 16..17.【答案】解：〔1〕依题意，20×〔0.002+0.0095+0.011+0.0125+x〕=1，解得x；… 3分’〔2〕由图可知，最高矩形的数据组为[220，240〕，∴众数为=230，∵[160，220〕的频率之和为〔〕，∴依题意，设中位数为y，∴0.45+〔y-220〕．解得y=224，∴中位数为224；… 7分〔3〕月平均用电量在[220，300〕中的概率是p=1-〔〕．… 10分18.【答案】解：〔1〕假设p为真命题，那么应有△=8-4m＞0，解得m＜2．… 4分〔2〕假设q为真命题，那么有m+1＜2，即m＜1，因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么p，q应一真一假．①当p真q假时，有，得1≤m＜2；… 8分②当p假q真时，有，无解．综上，m的取值范围是[1，2〕．… 12分19.【答案】证明：〔1〕因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．…〔2分〕又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…〔4分〕因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．…〔6分〕〔2〕因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…〔8分〕因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…〔10分〕由①②得CD∥AB，…因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…〔12分〕20.【答案】解：〔1〕方法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有，…3分解得，故所求圆的方程为x2+y2+4x-12y+24=0．…6分〔2〕如下图，|AB|=4，设D是线段AB的中点，那么CD⊥AB，∴|AD|=2，|AC|=4．在Rt△ACD中，可得|CD|=2．…9分当直线l的斜率不存在时，满足题意，此时方程为x=0．当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，那么直线l的方程为：y-5=kx，即kx-y+5=0．由点C到直线AB的间隔公式：=2，得k=，此时直线l的方程为3x-4y+20=0．∴所求直线l的方程为x=0或者3x-4y+20=0．…12分21.【答案】解：〔Ⅰ〕a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，n≥2时，+2a n-1=4S n-1+3，相减可得：a n2+2a n-〔+2a n-1〕=4a n，…2分化为：〔a n+a n-1〕〔a n-a n-1-2〕=0，∵a n＞0，∴a n-a n-1-2=0，即a n-a n-1=2，…4分又=4a1+3，a1＞0，解得a1=3．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n=3+2〔n-1〕=2n+1．…6分〔Ⅱ〕b n===，∴数列{b n}的前n项和=+…+==．…12分22.【答案】解：如图，在Rt△OD中，设∠EOD=θ，那么OD=cosθ，ED=sinθ又CD=OD-OC==，∴S CDEF=ED•CD=sinθ〔cosθ-sinθ〕=3sinθcosθ-sin2θ=sin2θ-=sin〔2θ+〕-．当2θ+=，即时，S最大=．…6分〔Ⅱ〕令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，那么EN=sinφ，于是ED=2sinφ，又CD=PN=ON-OP=cosφ-=φ-3sinφ，∴S CDEF=ED•CD=2sinφ〔〕=3sin2φ-3〔1-cos2φ〕=6sin〔2φ+〕-3．当22φ+=，即φ=时，y获得最大值为：6-3．∵6-3，〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕两种方式下矩形面积的最大值为方式〔Ⅰ〕．…12分。