平方根、算术平方根和立方根

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《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练

《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练算术平方根、平方根、立方根易错题训练1. 算术平方根的定义和计算方法在数学中，算术平方根指的是一个数的平方等于给定数的平方根。

如果我们要计算16的算术平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于16。

在这个例子中，16的算术平方根是4，因为4的平方等于16。

在实际计算中，我们可以使用开方符号√来表示算术平方根，即√16=4。

但在实际运用中，很多学生容易将算术平方根和平方根搞混，导致错题。

掌握算术平方根的定义和计算方法非常重要。

2. 平方根的概念和应用与算术平方根类似，平方根也是一个数的平方等于给定数的根。

但与算术平方根不同的是，平方根更常用于几何和物理问题中。

在计算一个矩形的对角线长度时，我们就需要使用平方根来计算。

平方根通常用来求解两边边长已知的等腰三角形的高、直角三角形斜边等问题。

然而，很多学生在高中数学学习中，由于对平方根的概念和应用理解不够深入，容易在相关题目中出错。

理解平方根的概念及其应用也是十分重要的。

3. 立方根的特点和求解方法立方根是一个数的立方等于给定数的根。

27的立方根是3，因为3的立方等于27。

立方根在几何和物理问题中同样有广泛的应用，如求解立方体的体积、长方体的对角线长度等。

虽然立方根的概念和求解方法比较直观，但在实际运用时，一些立方根的运算和问题求解可能会让学生感到困惑，容易出错。

熟练掌握立方根的特点和求解方法对于学生来说也是必不可少的。

4. 总结和回顾通过本篇文章的训练，我们可以得出结论：学生需要深入理解算术平方根、平方根、立方根的定义和计算方法，避免混淆和错题。

学生需要在实际问题中灵活应用平方根和立方根的知识，加深对概念和应用的理解。

学生可以通过练习题目加深对这些数学概念的掌握，并避免在考试中出现低级错误。

5. 个人观点和理解在我看来，数学中的算术平方根、平方根、立方根是非常基础但又非常重要的知识点。

它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且还是建立数学思维和逻辑推理能力的重要基础。

平方根_算术平方根_立方根

平方根、算术平方根、立方根区别1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根），记作：，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为，例如16的算术平方根是，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。

2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。

联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。

3. 立方根的定义与性质如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根），记作：。

立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

二、解题中常见的错误剖析例1. 求的平方根。

错解：的平方根是剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。

例2. 求的算术平方根。

错解：的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。

，而3的算术平方根为，故的算术平方根应为。

仿此你能给出的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。

分析：由算术平方根及立方根的意义可知联立<1><2>解方程组，得：代入已知条件得：所以故M＋N的平方根是±。

例4. 已知，求的算术平方根与立方根。

分析：由已知得联立<1><2>解方程组，得：所以因而的算术平方根与立方根分别为。

(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型

“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。

2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

30a ≥0。

4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.23(2)0y z -++=，求xyz 的值。

12.1复习算术平方根、平方根、立方根

12.1.1复习算术平方根、平方根、立方根【温馨寄语】学贵有恒，行成于思【使用说明】复习教材2—7页，独立思考和小组合作相结合。

【学习目标】1、理解算术平方根、平方根、立方根的定义和性质。

2、会求一个数的算术平方根、平方根、立方根。

3、会运用a 2=a （a ）2=a 3a =a (3a )2 =a 来解决问题。

【教学重点】会求一个数的算术平方根、平方根、立方根。

【教学难点】 a 2=a （a ）2=a 3a =a (3a )2=a 来解决问题。

【学法指导】自主探究与小组合作交流一、夯实双基（一）、算术平方根的定义及性质的运用1、算术平方根的定义是。

2、下列各数有无算术平方根，若有，请指出。

①16 ②2514 ③ 0 ④ -83、计算：－52＝ ()112-=（二）、平方根的定义及性质的运用 1、平方根的定义是。

2、求出下列各数的平方根① 25 ② 0.0081 ③ 169144 ④ -243、计算：（－36）2 = （3 ）2=（三）、立方根的定义及性质的运用 1、立方根的定义是。

2、求出下列各数的立方根 ① 27 ② －6427 ③ 0 ④ -64 3、计算：364= 327-= －3125216= (33-)2=二、综合运用（一）、计算：① 16 ② ±25 ③ 38- ④ ()332-（二）、判断下列式子有无意义①33- ② 3 ③ -0三、拓展延伸1、2m-4与3m-1是同一个数的两个平方根，求m 的值。

2、求符合下列条件的x 的值① 2x 2-21=0 ② (x-2)3=-27四、课堂小结请说说本节课你的收获是：五、课堂检测1、100的平方根是； 81的立方根是；平方根是它本身的数是立方根是它本身的数是2、()22= ； ()332010-= 3、16的平方根为。

4、计算： ① ±001.0 ② 38125- ③ 52教学反思：。

第二章平方根、算术平方根和立方根

第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。

2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。

②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。

③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。

④写法不同。

在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2）联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。

②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有（ a ）2＝ a 2 。

3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42．（2014 。

东营）的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港）计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。

厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下列说法中，正确的是（） A. 一个有理数的平方根有两个，B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州）若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。

算术平方根、平方根、立方根之间区别联系(课堂PPT)

做二次方根）。记为“ a ”读作“正、负
根号a”
2
立方根的定义. 一般地，如果一个数的立方等于a，这个
数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根.
数a的立方根用符号“3 a ”表示,读作“三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省略).
算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2
=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ 做被开方数
a
”，读作“ 根号 a ”。a叫
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
1
平方根定义
一般的，如果一个数X的平方等于a，即
x2=a那么这个数X叫做a的平方根（也叫
3
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
开方是本身
a ≠ a
a≥ 0
a≥ 0
3a a是任何数
正数（一个）互为相反数（两个）正数（一个）
0 没有
0 没有
0 负数（一个）
求一个数的平方根求一个数的立方根
的运算叫开平方的运算叫开立方
10
3.说出下列各式的值：
（1） - 81 9 （4） 3 125 5
（2）（-25）2 2 5 （5）-3 0.027 0 .3
（ 3） 25 36
5 （6） - 3 125 5
6
82
11
不要遗漏哦！

七年级数学专题06 平方根、立方根知识讲解(解析版)

专题06 平方根、立方根知识讲解知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（）A 3=-B ．2=C 8=D 3=【答案】D.3， ∴选项A 错误；∵±2， ∴选项B 错误；4， ∴选项C 错误；3，∴选项D 正确．故答案为：D ．【例1－2】（2021·河北邯郸期末）） A ．0.2的平方根 B ．0.2-的算术平方根 C ．0.2的负的平方根 D ．0.2-的平方根【答案】C.【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为：，其中为0.2的负的平方根故答案为：C ．【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（） A ．9的平方根是3 B ．25-的平方根是5-C ．任何一个非负数的平方根都是非负数D ．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数【答案】D.【解析】解：A 、9的平方根是±3，错误； B 、−25的没有平方根，错误；C 、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；D 、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确．故答案为：D ．【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________．【答案】5.【解析】解：∵b 的算术平方根为4， ∴b=16， ∴16=a 3-109 ∴a =5．故答案为：5．【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（） A ．非负数才有平方根B ．非负数的算术平方根是非负数C ．任何数都有两个平方根D ．负数没有平方根【答案】C.【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确； B. 非负数的算术平方根是非负数，正确； C. 0只有1个平方根，错误； D. 负数没有平方根，正确．故答案为：C ．【变式1－2】（2020·山东济南期中）若30a ++=，则+a b 的立方根是______．【答案】－1.【解析】解：∵30a ++=， ∴3+a=0， 2-b=0， ∴a=-3，b=2 ∴a+b=-1∴a+b 的立方根-1．故答案为：-1．【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为364m ，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m ，则它的棱长需要增加__________m ．【答案】1.【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a ， ∵体积为64m 3，∴=4m ；设体积达到125m 3的棱长为b ，则=5m ， ∴b-a=5-4=1（m ）．故答案为：1．【变式1－4】对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（2与的值互为相反数，求1- 【答案】见解析.【解析】解：（1）答案不唯一.0=， 8与﹣8互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x ）+（x +5）＝0，解得x ＝8，∴1=1﹣4＝﹣3．【变式1－5】（2020·________，2________．【答案】32．，9的算术平方根为33.22，故答案为：32．【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知a 的整数，31a b +-的平方根是4±， (1)求,a b 的值； (2)求2+a b 的平方根．【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.<<，且a 的整数， ∴a=5∵3a+b-1的平方根是±4， ∴3a+b-1=16 ∴b=2（2）当a=5，b=2时，a+2b=9 ∴a+2b 的平方根为：±3．知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x 的两个不同的平方根是23a +与15a -，则x 的值是（） A ．11 B ．121C ．4D ．11±【答案】B.【解析】解：由题意得：2a+3+a-15=0 解得：a=4当a=4时，2a+3=11 则x=112=121. 故答案为：B ．【变式2－1】已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ．（1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？【答案】（1）121；（2）2.【解析】解：（1）由正数m 的平方根互为相反数，得： 2n +1+4﹣3n ＝0， ∴n ＝5， ∴2n +1＝11， ∴m ＝112＝121；（2）∵|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0， ∴a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5， ∴a +b +c ＝3+0+5＝8， ∴a +b +c 的立方根是2．【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数a 的两个不同平方根分别是22x -和63x -，则a =______．【答案】36.【解析】解：由题意得： 2x-2+6-3x=0，解得x=4，a=62=36 故答案为：36.【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x ，y 为实数，且20x +=，则2021x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B.【解析】解：由题意得： x+2=0，y-2=0 ∴x=-2，y=2∴2021202122x y ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-1故答案为：B.【例2－3】﹣2x ﹣1＝0，则x ＝_____．【答案】0或﹣1或﹣12.﹣2x ﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12．故答案为：0或﹣1或﹣12．知识点三：综合题型【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x 的值（1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16， x+1=4或x+1=-4（2）（2x-1）3=-27 2x-1=-3 x=-1【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x ． (1)24120x -= (2)()216281x -= 【答案】见解析. 【解析】解：(1)4x 2=12 x 2=3(2)（x-2）2=8116 x-2=94或x-2=-94x=174或x=-14【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m 3=8，n 2=9，且mn ＜0，求m 2-2mn+n 2的值．（2）已知a =5，b 2=9，（c-1）2=4，且ab ＞0，bc ＜0，求式子ab-bc-ca 的值．【答案】（1）25；（2）23或39. 【解析】解：（1）由m 3=8，得m=2，由n 2=9，得n=±3，由mn ＜0，得：m=2，n=-3 当m=2，n=-3时， m 2-2mn+n 2=4+12+9=25 （2）由题意知a=±5，由b 2=9得：b=±3，由（c-1）2=4，得：c=3或-1 ∵ab ＞0，bc ＜0 ∴a 、b 同号，b 、c 异号当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23 当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39．【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知20c d -+=，求d +c 的平方根．【答案】（1）x =5，169或x=-21，1521；（2）±3. 【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x-18=0，解得：x=5这个数是（2×5+3）2=169. ②2x+3=x-18，解得x=-21 这个数是（-21-18）2=1521；（2）由题意得：2c -d =0，d 2-36=0，解得：d=±6，c=±3．当d =-6，c =-3时，d +c =-9（没有平方根），当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3．【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A ，B ，C ，D 的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B ，C ，A ，D 的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a 经过D ，C ，A ，B 的顺序运算后，结果是55，a 是多少？【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11．【解析】解：（1）①()23256-⨯--+⎡⎤⎣⎦ =(-6+5)2+6=1+7 =7②()25526--⨯+⎡⎤⎣⎦， =(5+5)2×2+6 =100×2+6 =206（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55，整理得：（a+6）2=25， a+6=5或a+6=-5 ∴a=-1或a=-11.【变式4－1】已知2x +1的算术平方根是0=4，z 是﹣27的立方根，求2x +y +z 的值．【答案】12.【解析】解：∵2x +1的算术平方根是0， ∴2x +1＝0， ∴2x ＝﹣1，=4，∴y ＝16，∵z 是﹣27的立方根， ∴z ＝﹣3，∴2x +y +z ＝﹣1+16﹣3＝12.【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x 值为64时，输出的y 值是（）A ．4BC ．2D 【答案】B.，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2 故答案为：B ．【例5－1】（2020·浙江期中），（） A ．287.2 B ．28.72 C ．13.33 D ．133.3【答案】C.1.3331013.33==≈⨯=．故答案为：C ．【例5－2】（2020· 2.449≈7.746≈≈______．【答案】0.07746.7.746=0.0774*******≈ 故答案为：0.07746．【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：①31000100==，又1000593191000000<<，10100∴<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．==，1000＜195112＜1000000【解析】解：（1100∴<100，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，83=512，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<，<<，∴56<<，可得5060由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.===，则【变式5－1】（2020·0.5325______________________．【答案】11.47【解析】解：=1.147，===⨯=1.1471011.47故答案为: 11.47．【变式5－2】（2019· 1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A．B．10）C．D【答案】B.1之后，扩大10倍即可实现，故答案为：B.【变式5－3】（2020·山西大同月考）观察下表，回答问题：（1）表格中x=_________________，y=_________________；（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；（3）根据你发现的规律填空：≈≈≈，2.714=_________________；②58.48≈，则a=_________________．【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（3）①0.2714；②200000.【解析】解：（1）根据题意，立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；∴x=0.1，y=10；故答案为：0.1；10．（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；==≈；（30.2714≈，0.5848∴1001000.584858.48≈⨯=，≈，58.48≈=100∴a=200000；故答案为：①0.2714；②200000．【例6－1】（2020·成都双流月考）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[＝﹣2，按此规定，[1﹣＝_____．【答案】-4．∴4＜5，∴﹣4＞﹣5，∴﹣3＞1﹣4，故，[1﹣＝﹣4．故答案为：﹣4．【例6－2】（2020·x的所有整数x的和是_____．【答案】2.【解析】解：∵﹣21，2＜3，x的所有整数有﹣1，0，1，2，∴﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．【例6－3】（2020·太原市月考）比较大小______0.5 ．（填“>”，“<”或“= ”）【答案】＞.1>1故答案为：＞．【例6－4】对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，如==-=-，现对85进行如下操作：[5]5,1,[ 3.5]4第1次第2次第3次，这样对85只需3次操作后−−−→=−−−→=−−−→=85931就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．【答案】255.=，x为正整数，则1≤，【解析】解：设1∴1≤y<4，即最大正整数是3；=，y为正整数，则3≤，设3∴9≤y<16，即最大正整数是15；=，z为正整数，则15≤，设15∴225≤z<256，即最大正整数是255．∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为：255．【例7－1】（2020·舟山普陀区期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以-1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′，现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．（1）若点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =_________，若点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =_________；（2）在（1）的条件下，求代数式x -4y 算术平方根．【答案】（1）x=1，y=-2；（2）3.【解析】解：(1) 设P 点表示的数为x ，P′表示的数为-x+2，点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =-1+2=1，点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =4×(-1)+2=-4+2=-2，故答案为：x=1；y=-2，(2)由(1)求出，x=1,y=-2，代数式x －4y 的值为=1-4×（-2）=9，代数式x －4y 算术平方根为3．【例7－2】（2019·河北保定期中）先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）.【解析】解：(1)14−141+=1120，=1120(2)=1+1 n−1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数). 【变式7－1】（2019·北京昌平期中）如图，是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x 为16时，y 值为_____；(2)是否存在输入有意义的x 值后，却始终输不出y 值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；(3)如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况；(4)当输出的y x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【答案】（1）（2）存在，当x=0，1时，始终输不出y值；（3）x＜0；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【解析】解：（1）当x=16，则（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【例8－1】（2020·湖北黄冈期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系2t=0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）【答案】1.3.【解析】解：把l=0.4m代入关系式2t=得，∴12=0.45tπππ=⨯≈1.3（秒）．【变式8－1】（2020·陕西宝鸡月考）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t2.有一学生不慎让一个足球从19.6m高的楼上自由落下，刚好另有一学生站在与下落的足球在同一直线的地面上，在足球下落的同时，楼上的学生惊叫一声，若楼下的学生听到惊叫后开始躲．问：这时楼下的学生听到惊叫后能躲开下落的足球吗？(声音的速度为340m/s)【答案】能躲开．【解析】解：足球下落的时间：，学生的声音传播到楼下的时间：t=19.6340=0.06s由2>0.06所以楼下的学生能躲开．【变式8－2】（汉中南郑区期中）如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a为阴影正方形边长的小数部分，b的整数部分，求+a b的值．【答案】（1）13（2）1，2，3；（3【解析】解：（1）阴影部分面积为：1554232512132⨯-⨯⨯⨯=-=，∵阴影部分是一个正方形，故答案为：13（21，2，3．（3）∵34<，∴3a =，∵34<< ∴b=3∴33+=【例9－1】（2020·四川月考）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简a b a ++-的结果为（）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b【答案】A.【解析】解：由图可知：a<0<b ，a+b<0，原式=-a-b+（-a ）+b =-2a故答案为：A ．【变式9－1】（2020·江苏徐州月考）如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c |-|a c【答案】2a-c.【解析】解：由数轴得a<b<0<c ， ∴a-c<0，a+b<0，原式=-b-（c-a ）+(a+b) =-b-c+a+a+b =2a-c.。

(完整版)平方根与立方根典型题

(完整版)平方根与立方根典型题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN平方根算术平方根立方根三说一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质2=），那么这个数x就叫做a的平方根（或二如果一个数x的平方等于a（即x a=±，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即a≥0；例次方根），记作：x a如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为()a a≥0，例如16的算术平方=，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①a≥0；②根是164a≥0。

联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。

3. 立方根的定义与性质3=），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次如果一个数x的立方等于a（即x a=3。

方根），记作：x a立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

二、解题中常见的错误剖析例1.求()-32的平方根。

2错解：()-=39()∴-32的平方根是-32是一个正数，故它的剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而()-=39平方根应有两个即±3。

例2. 求9的算术平方根。

2=错解： 39∴9的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题9就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。

93=，而3的算术平方根为3，故9的算术平方根应为3。

第二章平方根、算术平方根和立方根

第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。

2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。

②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。

③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。

④写法不同。

②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有（ a ）2＝ a 2 。

3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42．（2014 。

东营）的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港）计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。

探讨平方根、算术平方根、立方根的联系与区别

少米？
解：由题意得AC＝5.5米， BC＝4.5米，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB2=AC2-BC2=-4.52=10
AB= 10 米所以帐篷支撑竿的高是 10 米
做一做：
2、求x的值
3 x 12 363 解： x 12 121
x 1 121
x 1 11 或 x 1 11
平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
只有非负数才有平方根和算术平方根.
2.平方根、算术平方根、立方根的联系：
0的平方根是0 0的算术平方根是0 0的立方根是0
区别 1. 定义不同：
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根.
一般地，如果一个数x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个数x 叫做a 的平方根（也叫做二次方根).
6.等于它本身的数不同：
算术平方根等于它本身的数是0、1 平方根等于它本身的数是0 立方根等于它本身的数是0、1、-1
7.探索发现的公式不同：
灵活运用公式：
a2 | a|
( a)2 a
, 3
3a a
3 a3 a, 3 a 3 a；
解决问题：
1、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子 AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多
北师大版数学八年级上册
探讨算术平方根、平方根、立方根的联系与区别
问题引入：
1、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，
则帐篷支撑竿的高是多少米？

平方根算术平方根和立方根

4.已知2a ? 1和3a ? 6是一个正数的两个平方根.试求出a的值以及这个正数 .
5.已知 x ? 4? | y ? 7 |? 0，试求代数式 2x ? 3 y ? xy的值.
立方根
1.定义：如果一个数的立方等于 a ,那么这个数叫做 a的立方根；
表示方法：3 a 立方根的特性：一个正数有一个正的立
平方根和算术平方根
定义： 1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么
这个数叫做a的平方根；表示方法：? a
2. 算术平方根：正数的正平方根和0 的平方根，叫做算术平方根；
表示方法： a
平方根和算术平方根的区别与联系
平方根
算术平方根
个数
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0.负数没有平方根.
方根小.( ) (4).若x的立方根是它本身，则 x的值
? 1或0.( )
方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是 0；
典型例题
1.求下列各数的立方根：
8
- 27
0 （- 8）2
-8
8 -
125Leabharlann 2.计算下列各式的值 3 - 64 ? 64 3 27 - 9
3.判断正误
(1).有理数一定有立方根 .( ) (2). ? 27的立方根是 ? 3.( ) (3).一个数的立方根总比这个数的平
正数的算术平方根是正数； 0的算术平方根是0.负数
没有算术平方根.
表示方法
?a
a
联系
被开方数都必须是非负数；
典型例题
1.求下列各数的平方根和算术平方根
2.计算下列各式
? 36
49
(? 5)2 ? (? 7)2 ? 121

(完整版)平方根与立方根典型题

平方根算术平方根立方根三说一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数x 的平方等于a （即x a 2=），那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根），记作：x a =±，这里a 是x 的平方数，故a 必是一个非负数即a ≥0；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。

正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，表示为()a a ≥0，例如16的算术平方根是164=，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0。

联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。

3. 立方根的定义与性质如果一个数x 的立方等于a （即x a 3=），那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根），记作：x a =3。

立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

二、解题中常见的错误剖析例1. 求()-32的平方根。

错解：()Θ-=392 ()∴-32的平方根是-3剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而()-=392是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。

例2. 求9的算术平方根。

错解：Θ392=∴9的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题9就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。

Θ93=，而3的算术平方根为3，故9的算术平方根应为3。

仿此你能给出64的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例3. 已知：M a a b =++-82是a +8算数平方根，N b a b =--+324是b -3立方根，求M N+的平方根。

平方根与算术平方根立方根无理数

什么叫开平方？
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 开平方与平方是什么关系？
指数
根号互为
平方运算
x a
2
底数
逆运算
x a
被开方数
开平方运算求幂
已知幂和指数求底数
自学并讨论？
例2 . 求下列各数的平方根： 16 （1）81；（2）；（3）0.49; 25 解：(1)∵ (±9)2=81， ∴81的平方根为±9．
(4) -0.064
(5)0
通过对以上问题的解答，你能总结出立方根有什么样的性质？
立方根的性质：
正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;零的立方根是0.
说明:立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性,即一个数的立方根是唯一的.
思考：平方根与立方根的区别和联系
平方根与立方根的区别和联系
3 B. 5
C.0
D. √— 3
2.下列各组数中，互为相反数的一组是（ D ）
1 B. -3 与 3 2 D. -3与 √ （-3） —的点表示的数 3.在数轴上与原点距离等于√ 7 ±√— ）是（ 7
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探究一
3 = 3.0 9 ～ 0.81 ～ 11 3 = -0.6 5
质疑点拨
47 = 5.875 8
5～～ 0.5 9
使用计算器，把下列有理数化成小数的形式：
11 ～～ 0.12 90
任何一个有理数都能写成有限小数或无限循环小数的形式反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数；
、 2
5的平方根表示为： 5，
25 的平方根表示为： 25 25 5 36 36 36 6

七年级：平方根与立方根

七年级：平方根与立方根1.平方根(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，记为“±√a”, 读作“正负根号a”, 如下：b²=a→±√a=b其中把a称之为被开方数。

(2)特性：正数有两个平方根，且互为相反数；负数没有平方根；0的平方根还是0。

2.算术平方根(1)定义：非负数的非负平方根称为算术平方根，一个数a(a≥0)的算术平方根记作√a, 读作“根号a”。

0 的算术平方根为0。

(2)算术平方根的双重非负性：被开方数a是一个非负数，其结果“√a” 也是一个非负数.3.平方根与算术平方根的联系与区别1)联系：(1)算术平方根是平方根中的一部分，是取了一个数a的平方根土√a中的非负部分；(2)平方根和算术平方根的被开方数必须是非负数，负数没有平方根和算术平方根；(3)0的平方根和算术平方根都是0。

2)区别：(1)个数上：正数的平方根有两个，且互为相反数，必有一正一负。

而算术平方根只有一个，取它的正平方根。

(2)表示方法：±√a表示平方根，前面的“±”表示其值有正负；√a表示算术平方根.特别注意的是：±√a≠ √a.4.立方根(1)定义：一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根3”,读作“三次根号a”.即可以表示如下：，记为“√a3=bb3=a⇒√a其中a，是被开方数，3是根指数。

(2)特性：每个数都有一个立方根，且正数有且仅有一个正的立方根，负数有且仅有一个负的立方根，0的立方根是0。

推广：一个数的奇次方根有且只有一个。

(3)与平方根的主要区别：表示方法的不同；负数也有立方根，但是没有平方根。

5. 几个关于平方根、立方根的记忆点(1)一个数的平方根是本身，这个数是0；(2)一个数的算术平方根是本身，这个数是0,1；(3)一个数的立方根是本身，这个数是一1,0,1。

平方根、算术平方根和立方根

唯一性
对于非负实数$a$，其算术平方根是唯一的。
递增性
随着$a$的增大， $sqrt{a}$也增大。
算术平方根的运算规则
乘法运算
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$b geq 0$）。
加法运算
$sqrt{a} + sqrt{b} = sqrt{(a + b)^2 - ab}$（$a geq 0$，$b geq 0$）。
能够正确计算各种平方根、算术平方根和立方根的值。
02 平方根的概念和性质
平方根的定义
平方根
如果一个数的平方等于给定的数，则这个数称为给定数的平方根。
算术平方根
非负数的平方根称为算术平方根，表示为√。
立方根
如果一个数的立方等于给定的数，则这个数称为给定数的立方根。
平方根的性质
01
02
03
平方根、算术平方根和立方根
目录
• 引言 • 平方根的概念和性质 • 算术平方根的概念和性质 • 立方根的概念和性质 • 平方根、算术平方根和立方根的应用 • 总结与回顾
01 引言
主题简介
平方根
平方根是数学中的一个概念，它表示一个数的平方等于给定值。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和-2^2=4。
例如
如果 $a^3 = b$，则 $a$ 是 $b$ 的立方根。
立方根的性质
非负性
01
一个数的立方根总是非负的。
奇偶性
02
如果一个数是奇数，那么它的立方根也是奇数；如果一个数是
偶数，那么它的立方根也是偶数。
连续性
03
在实数范围内，任何两个不相等的实数都有唯一的介于它们之