高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何

一、直线与圆

1.斜率公式 2121

y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

112121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

3.两条直线的平行和垂直

(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212||,l l k k b b ⇔=≠;

②12121l l k k ⊥⇔=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222

||A B C l l A B C ⇔

=≠； < ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；

4.点到直线的距离

d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径r=2

422F E D -+. 6.点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: .

若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 7.直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;

0=∆⇔⇔=相切r d ;

0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22B A C

Bb Aa d +++=.

8.两圆位置关系的判定方法

#

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;

条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;

条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;

条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;

无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .

$

二、圆锥曲线

1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；

(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．

2．圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质

&

(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ

=⎧⎨=⎩.长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2=b 2+c 2，顶点为（a,0）,(0,b),焦点为（c,0）,离心率e=a

c ，准线c a 2

±=x (X 型). (2)双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2+b 2=c 2，顶点为（a,0）,焦点为（c,0）,离心率e=a c （e>1）,渐近线为x a

b y ±=. 4.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a

b y ±=. (2)共轭双曲线： 12222=-b y a

x 与1-22

22=a x b y 渐近线一样. (3)等轴双曲线：若双曲线与12222=-b

y a x 中a=b ，（e=2,渐近线为y=x ±）. 5.抛物线px y 22=的焦半径公式

抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+

.准线：x=2p ,离心率为e=1.（点到焦点的距离等于点到准线的距离）.