第五讲 ASA全等三角形的判定

A B C A ’
B ’
C ’
A B
C A ’
B ’
C ’
第四讲 全等三角形的判定（三）
（一）知识要点
1、三角形全等的判定三、四：ASA 及AAS
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）。

书写格式：、
在△ABC 和△A ’B ’C ’中，
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠''''B B B A AB A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（ASA ） 知识延伸：“ASA ”中的“S ”必须是两个“A ”所夹的边。

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）。

书写格式：
在△ABC 和△A ’B ’C ’中，
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠''''C A AC B B A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（AAS ） 知识延伸：“AAS ”可以看成是“ASA ”的推论。

规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。

无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。

(二)例题讲解：
例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE
例2.如图，AB ⊥BC, AD ⊥DC, ∠1=∠2. 求证：AB=AD
练习：如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥DF ，AC ∥DE ，AC =DE ，FC 与BE 相等吗？请说明理由.
A B C D A ’
B ’
C ’
D ’ 例3．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，C
E ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点
F ，求证：BE =CD ．
例4：如图，已知△ABC ≌△A ’B ’C ’，AD ，A ’D ’分别是△ABC 和△A ’B ’C ’的边BC 和B ’C ’上的高。

求证：AD=A ’D ’
例5．如图，点E 在AC 上，∠
1=∠2，∠3=∠4.试证明BE= DE.
（三）练习
1．如图，已知AB= DC ，AD =BC ，E ，F 是DB 上的两点，且
BE=DF.若∠AEB=100º，∠ADB= 30º．则∠BCF= 。

2．如图，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，∠
1=∠2，则图中的全等三角形共有 对．
3．如图，AC 与BD 相交于点O ，∠1=∠4，∠2=∠3．△ABC
的周长为25cm ，△AOD 的周长为 17cm ，则AB= .
4．（海南）在△ABC 和△111A C B 中，AB =A 1B 1，∠A= ∠A 1，要使△ABC≌△A 1B
1C 1，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
5．如图，∠E =F=∠90º．∠B= ∠C ，AE= AF.给出下列结论：①∠l=∠2；②BE= CF;③△ACN ≌△ABM；④CD= DN.其中正确的结论是____（注：将你认为正确的结论都填上）．
A
C B D
E F
A B
C
A ’
B ’
C ’
6．下列结论：(1)一个锐角与斜边对应相等的两个直角三角形全等；(2)-腰对应相等的两个等腰直角三角形全等；(3)三个角对应相等的两个三角形全等；(4)顶角与一腰对应相等的两个等腰三角形全等，其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C.3个 D.4个 7．（成都）如图，在△ABC 与△DEF 中，已知AB=DE ，要使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )
8．下列条件中，能判定两个三角形全等的是( ) A ．有两边及一角对应相等 B ．有三个角对应相等 C ．有两角及一边对应相等 D ．有两条边对应相等
9．如图，已知△ABC 的面积为36，将△ABC 沿BC 平移可得到△A′B ′C ′，点B ′和C 重合，连接AC ′交A ′C 于D ，则△C′DC 的面积为( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．
18
10.如图所示，在LAOB 的两边上截取AO= BO ，CO =DO ，连接AD ，BC 交于点P ．有下列结论①△AOD≌△BOC;②△APC ≌△BPD ；③点P 在∠AOB 的平分线上．其中正确的是( ) A ．只有① B．只有② C ．①② D．①②③
第五讲 全等三角形的判定（四）
（一）知识要点
1、直角三角形全等的判定方法：HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 书写格式：
在Rt △ABC 和Rt △A ’B ’C ’中， ∵⎩
⎨⎧==''''C B BC B A AB
∴Rt △ABC ≌Rt △A ’B ’C ’（HL ）
规律方法小结：证明两个直角三角形全等的方法：除了证明一般三角形全等的方法SSS ，SAS ，ASA ，AAS 以外，还有一个特殊的证明方法：HL （斜边、直角边），从表面上看，SSS ，SAS ，ASA ，AAS 都是三个条件，其实，HL 也是三个条件，除了直角边、斜边对应相等这两个条件以外，还有“必须在Rt △”中才能用这种方法。

A
B
C
D
E
(二)经典例题
例1：如图，在Rt △ABC 中，∠A=900，点D 为斜边BC 上一点，且BD=BA ，过点D 作BC 的垂线，交AC 于点E 。

求证：AE=ED
例2：已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ， 求证：① △BEC ≌△DAE ；
②DF ⊥BC ．
例3．如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC.求证：
OB= OC.
例4.如图，∠ACB ∠=ADB= 90º．AC= AD ，点E 是AB 上任意一点．求证：
CE= DE.
例5.如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上的一点， BE 交AD 于F ，且有BF =AC ，FD= CD ． (1)求证：BE ⊥AC ；
(2)若把条件BF =AC 和结论BE ⊥AC 互换，那么这个命题成立吗？证明你的论断．
（三）练习
1．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，再添加一个条件 （只需填一个），就可以判 定△ABD≌△ACD.
B
C D
E
F
A
2．如图，AB= CD，AE⊥BC于E ，DF⊥BC于F．若BE= CF，则△ABE≌△，其依据是 .
3．已知AB =5,BC =4,AC =3,则的周长是，面积是，斜边上的高为_____．
4．如图，在分别过B，C作经过A点的直线的垂线BD，CE.若BD =3cm．CE =4cm，则DE= 。

5．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE= 。

6．两个直角三角形全等的条件是( )
A．一锐角对应相等 B．一条边对应相等
C．两锐角对应相等 D．两条边对应相等
7．如图，已知AB= CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE= CF，则图中全等的三角形有( )
A.l对 B．2对 C．3对 D．4对
8．下列命题中，正确的有( )
①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
⑤一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图所示，∠C= 90º，DE⊥AB于点D，BD=BC，如果AC =6cm，则AE +DE=( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
10.如图所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC= BD，那么下列结论：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；
③∠DAC∠=CBD;④OC= OD．其中正确的是( )．
A．①②⑤④ B．①②③
C．①② D．②③。