中考数学几何最值问题分类

最值问题

最值问题是考试的热点问题，经久不衰，种类繁多。接下来就对常见的类型进行分类讲解 两个基本原理：①两点之间，线段最短；②点和直线的连线中，垂线段最短

类型一：将军饮马问题（两定一动和最小），这是最常见也是最简单的一类动点，经过了多

年的发展现在有了各种变式，难度也有所提高。

例1、如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．

A B

C

D

M

N

分析：本题是经典的两点一动问题，首先完成作图，找到点M 的位置。首先确定两定点（B 、N ）和动点所在直线（AD ）。易得点B 关于AD 的对称点即为点C ，接下来连接CN 即可确定点M 的位置。BM+MN 的最小值即为CN 。最后就是求CN 长度了，考虑到等边三角形60°角的特殊性，构造直角三角形必可解。从点N 作BC 或AC 垂线均可。

小结：两定一动是本地区的最值问题的高频考法，难度不大，遇到此类问题首先要找出两定点动点所在的直线。下一步就是构图运算了。

1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( )

E A

F

C

D

B

A ．3

B ．4

C ．33

D ．23

例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足

1

3

PAB ABCD S S

∆

=

矩形

，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为()

D C

B

A

P

A．213B．210C ．35D．41

分析：此题也属于两定一动问题，但问题是直线在哪？如何作对称点？从面积关系切入。可得△PAB中AB边上的高为2，故点P在与AB平行且距AB距离为2的线段上运动。线已显形，下面就是将军饮马问题了。

3、如图，矩形ABCD中，4

AB=，6

BC=，点P是矩形ABCD内一动点，且∆∆

=

PAB PCD

S S，则PC PD

+的最小值为_____．

例3、如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）

A．0 B．4 C．6 D．8

分析：初看此题，似乎与最值无关。实则不然，仔细分析发现仍是典型的将军饮马问题，不妨先求出PE+PF的最小值，然后再比较最小值与9的关系，从而得出答案。

类型二、两定一动线段之差最大

例4、（47中期考）如图，抛物线y＝x2-2x-3与y 轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，

AM 最大时，点M的坐标是（）点M是对称轴上的一个动点，连接AM，BM，当BM

A．（1，4）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（1，﹣6）

总结：两定一动问题，无论是线段之和最小还是线段之差最大，都是三点共线时。和最小，动点在两定点之间；差最大，动点在两定点之外。

4、如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，

△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）

A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm

定长动线段四边形周长最小（平移后再将军饮马）

例5、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，

①若连结AP、PE，则PE+AP最小值为；

②连结P A、QE，若PQ＝6，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．

分析：第①问将军饮马，不再赘述，同学们自行完成。下面就第二问做详细分析。首先把目光聚集在A、P、E、Q这四点。A、E两点固定，则AE长度定，而PQ虽为动点，但其长度为定值。要使得四边形APQE周长最小，只需AP+EQ最小。去掉多余的干扰后，就类似将军饮马问题了。

5、如图已知点A（3，4），点B（﹣1，1）．在x轴上另取两点E，F，且EF＝1．线段EF

在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

两动一定

例6、如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )

A

B ．2 C

．

D ．4

分析：本题有两个动点，由于BD 是角平分线，所以点N 关于直线BD 的对称点必在AB 上。之前学习过了角平分线的处理策略。选择在BA 上截取BE=BN ，连接EM ，得全等，EM=MN 。此时就把折线转化到BD 两侧，由三边关系可知，CM+MN≥CE 。但是由于题目中的点N 是动点，所以对称点E 也是动点，还要进一步寻求CE 的最小值。由垂线段最短可得，当CE ⊥AB 时，CE 最短，计算就比较容易了。

总结：两动一定，方法和两定一动类似，可把同侧的动点看做定点转化到直线的两侧。然后利用直＜折的思想，由于转化的点，是个“假”的定点，再利用垂线段最短，即垂＜斜。

6、如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )

A ．6

B ．

C ．

D ．4.5

一定两动（定点在角内部，两动点在角两边），常以三角形周长最小的形式出现。 例7、如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．

P O

B

A

M

N

E

P

D

C

B

A

M

N

M

D

C

B

A