数理方程知识点总结
方程主要知识点总结
方程主要知识点总结一、方程的定义在代数学中，方程是指含有一个或多个未知数的等式，通常用字母表示未知数。
方程的一般形式为：$a_1x^n + a_2x^{n-1} + ... + a_nx + a_{n+1} = 0$，其中$x$为未知数，$a_1,a_2, ..., a_{n+1}$为已知的常数，n为方程的次数。
方程的解即是使等式成立的未知数的值。
二、方程的类型1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，一般有形式：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知的常数，$x$为未知数。
2. 一元二次方程：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般有形式：$ax^2+ bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$为已知的常数，$x$为未知数。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般有形式：$ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
4. 二元二次方程：二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，一般有形式：$ \begin{cases} ax^2 + by^2 = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
5. 多元线性方程组：多元线性方程组是指含有多个未知数的一次方程组，一般有形式：$\begin{cases} a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n =b_2 \\ \cdots \\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m \end{cases}$，其中$a_{ij}$和$b_i$为已知的常数，$x_i$为未知数，$i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m$。
数理方程概念汇总
1、什么是泛定方程？以及解的稳定性物理规律，用数学的语言“翻译”出来，不过是物理量u在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
正是这种联系使我们有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点（x，y，z）和任意时刻 t 的值u（x，y，z，t）。
而物理的联系总是取的值之间的关系式。
这种邻近地点、邻近时刻之间的关系式往往是偏微分方程。
物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程。
数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程2、什么是定解条件？答：给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程。
如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或者在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件。
表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到的约束的条件称为边界条件。
3、什么是定解问题？答：给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题为定解问题。
根据不同定解条件，定解问题分为三类：1）初值问题只有初始条件和没有边界条件的定解问题为初值问题或者柯西问题；2）边界问题只有边值条件而没有初值条件的定解问题称为边值问题。
3）混合问题既有边界条件也有初值条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）4、什么是定解问题的解？答：设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给定初值的超平面或者趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中要求的u及它的倒数的极限处处存在而且满足相应定解条件，就称u为定解问题的解。
5、什么是解的稳定性？答：如果定解条件的微小变化只引起定解问题解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在这连续依赖关系，那么称定解问题的解是稳定的。
6、什么是定解问题的适应性？如果定解问题的解存在与唯一并且关于定解条件的稳定的，就说定解问题的提法是稳定的。
关于方程的知识点总结
方程的知识点总结在初中数学中，有关于方程的知识点都有哪些呢？以下是小编收集的知识点总结，仅供大家阅读参考!一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
（无理方程又叫根式方程）3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的.根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒（1）去分母时漏乘整数项；（2）去分母时弄错符号；（3）换元出错；（4）忘记验根。
八年级数学简单代数第一节方程最全笔记
八年级数学简单代数第一节方程最全笔记一、方程的定义方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数。
我们需要找到未知数的值，使得等式成立。
二、方程求解的基本步骤1. 针对方程进行整理，将未知数移到等式的一侧，常数项移到另一侧。
2. 利用运算法则简化等式。
3. 利用逆运算将未知数消去，得到方程的解。
4. 检验解是否满足原方程。
三、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式，其一般表示为：$ax + b = 0$。
其中，$a$ 和 $b$ 是已知的常数，$x$ 是未知数。
求解一元一次方程的步骤：1. 将方程整理为标准形式。
2. 将方程中的 $x$ 项系数移至等式的右侧。
3. 将方程的常数项移到等式的左侧。
4. 用已知的运算法则进行简化。
5. 通过除法，消去 $x$ 的系数，得到 $x$ 的值。
6. 检验解是否满足原方程。
四、方程的应用场景方程作为数学中的基础概念，广泛应用于各个领域中，包括但不限于以下场景：- 物理学中，方程用于描述物体的运动、力学等。
- 经济学中，方程用于描述供需模型、投资回报等。
- 工程学中，方程用于计算机模拟、电路设计等。
- 生物学中，方程用于描述生物体的生命周期、遗传规律等。
方程的应用涉及众多领域，帮助我们解决实际问题，探索自然和人类社会的规律。
五、方程求解技巧在求解方程时，可以运用一些技巧，帮助简化计算并快速找到解：- 利用因式分解将方程转化为简单的乘法形式。
- 使用消元法解决方程组，将多个方程合并求解。
- 利用变量代换将复杂方程转化为简单方程。
掌握这些技巧能够提高我们解决方程的效率，更轻松地理解和运用数学知识。
以上是八年级数学简单代数第一节方程的最全笔记，希望对你的学习有所帮助！。
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
2015/10/13
15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
数理方程总结复习及练习要点-V1
数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。
在学习数学时，数理方程是必修课程之一。
但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。
下面我们一起来总结复习及练习中的要点。
一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。
数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。
二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。
这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。
三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。
例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。
2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。
3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。
四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。
例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。
2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。
3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。
五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。
2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。
3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。
总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。
只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。
数学物理方程公式总结
无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解:()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()22222222200,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t tx y z u x y z u x y z t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩无界三维空间自由振动的泊松公式21()1()(,)44M M atrS S M M u M t dS dS a tra rϕψππ''∂=+∂⎰⎰⎰⎰, r at =.()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t rππϕθθψθθθθππ∂++++=+∂--⎰⎰⎰⎰三个Green 公式 Gauss 公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：VSV SP Q R FdV F dSdV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂∇=⇔++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导， 则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导， 则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：()014M Mv M r π=-000011111()44M M M M M M S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：Laplace 方程混合边值问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz S S S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ Poisson 方程的混合边值问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续） 的解为：011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足: (1) 在VS 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆=称u 为V 上的调和函数. 2、调和函数的性质。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
(完整版)认识方程知识点总结
解方程的方法方程：含有未知数的等式叫做方程。
如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。
如上式解得x=6解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
解方程的依据：方程就是一架天平，“=”两边是平衡的，一样重！1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；（2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。
2. 加减乘除法的变形：(1) 加法：a + b = 和则 a = 和－b b = 和－a例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4(2) 减法：被减数a –减数b = 差则：被减数a = 差＋减数b 被减数a－差= 减数b 例：12-4=8则有：12=8+4 12-8=4(3) 乘法：乘数a ×乘数b = 积则：乘数a = 积÷乘数b 乘数b= 积÷乘数a 例：3×7=21则有：3=21÷7 7=21÷3(4) 除法：被除数a ÷除数b = 商则：被除数a= 商×除数b 除数b=被除数a ÷商例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9解方程的步骤：1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是“＋”，去掉括号不变号。
2、符号过墙魔法，越过“=”时，加减号互变，乘除号互变。
注意两点：（1）带未知数的放左边，不带未知数的放右边。
3、带未知数的要合并（如2x＋4x=6x）；不带未知数的直接加减计算。
4、验算：将原方程中的未知数换成求出来的数，检查等号两边是否相等！注意：（1）做题开始要写“解：”（2）上下“=”要始终对齐四年级认识方程练习题姓名：成绩：一、按要求写式子。
1、四年级有X人，三年级比四年级少15人，三年级有（）人。
2、长方形的长30米，宽ⅹ米，面积是600㎡。
方程意义知识点归纳总结
方程意义知识点归纳总结一、方程的基本概念1. 定义方程是指含有一个或多个未知数和表示它们的关系的符号的等式。
在方程中，常数和未知数之间用运算符号连接，通过求解方程，可以确定未知数的取值，从而得到问题的解。
2. 未知数未知数是指在方程中代表未知量的符号或变量，通常用字母表示。
求解方程的过程就是确定未知数的值。
3. 等式等式是指包含有“=”符号的数学式子，它表明了两个数或者算式相等的关系。
方程就是一种特殊的等式，其中包含未知数。
4. 解对于一个方程，找到能满足方程成立的未知数值就叫做方程的解。
解的个数可以有一个，多个，也可能没有解。
5. 系数方程中的常数或未知数前的系数是指这些常数或未知数前面的数字，它们用来表示未知数与其他数的乘积的关系。
6. 相等制方程的本质是一种物质守恒原理，也就是物质在反应前后的质量是相等的。
因此方程也可以理解为一种物质守恒表示。
7. 同解式具有相同根的两个方程称为同解式。
同解式是找到方程解的一种特殊方法。
二、方程的分类1. 一元一次方程一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a和b是已知的常数，x是未知数。
一元一次方程的解可以通过移项变换和因式分解的方法求得。
2. 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是已知的常数，x是未知数。
求解一元二次方程的方法包括配方法、公式法和图像法等。
3. 线性方程组线性方程组是指形如a1x1+a2x2+⋯+anxn=b1a1x1+a2x2+⋯+anxn=b2⋮a1x1+a2x2+⋯+anxn=bn的方程组。
通过消元法、代入法、反代法和克莱姆法则等可以求解线性方程组。
4. 非线性方程非线性方程是指未知数的次数大于等于2次的方程。
非线性方程的求解方法因其种类而异，包括直接法、换元法和图像法等。
5. 参数方程参数方程是以参数的形式表示出来的函数，可以用来描述一些复杂的曲线或者曲面。
通过参数方程，可以将曲线、曲面的性质进行简单的表达。
数学物理方程必备知识梳理
数学物理方程必备知识梳理数学物理方程是数学系本科的后继课程,相当于是偏微分方程的简单版本.原则上认为,只要学生拥有数学分析的基础就可以学习数学物理方程课程.实际上,数学物理方程中涉及到大量散度和梯度等微积分的基本概念,而这些概念在很多数学分析教学中得到了一定程度上的删改.表面上这种做法减轻了数学系学生的学习负担,至少从短期来看这种做法似乎是在"照顾"学生,但是从长期来看这对学生后续学习造成极大的不利影响.本该在前面基础课程中应当掌握的概念,却放在后续课程中花费大量时间弥补,这本身就是一件不太合理的事情(普遍后似乎就合理了?!).出于这样的考虑,笔者去年研究生入学后便开始在Word文档中整理了这部分基础内容,主要原因是笔者得花时间查缺补漏.尽管这些对熟知它们的人而言是trivial的,但是这并不妨碍我们重新看待它们.学习数学时常遇到的一个尴尬处境是:学完一遍后往往不知道学了什么,更不知为何而学.当遇到别人提问时,我们经常采取的策略是:将脑海中记住的定义和定理结论原封不动地重复一遍.然而,表面上这样的做法可以"骗"得了非(数学)专业人士,但当面临专业人士时自然会原形毕露.殊不知,对方早已从你的答复中揣测出你的真实水平.★安安心心学数学,踏踏实实学做人,实实在在学做事!”Definition1 梯度（gradient）：是用数量函数所定义的向量函数而且我们规定梯度的方向是使得达到最大值的方向，梯度的大小就是在这个方向上的方向导数。
Remark1 由梯度给出的向量场，称为梯度场。
Definition2 哈密顿算符：我们称为哈密顿算符，其中. 则我们可以得到Property(梯度基本性质 )（1）若是数量函数,则.（2）若是数量函数,则.特别地，我们令上面的，则.Definition3 散度（divergence）：设为空间区域上的向量函数，对于上每一点，定义数量函数称它为向量函数在(x,y,z)处的散度，记作.Remark（1）由向量场的散度所构成的数量场，称为散度场。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程总结复习及练习要点报告
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数理方程基本知识
➢ 我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条 件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量 发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周 围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物 理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什 么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义 从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理 量研究初始时的状况，即初始条件。
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的 物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的 共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生 的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
3
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述 ，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方 程。
➢ 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
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数理方程基本知识
➢ 由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的 问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定 定解条件下求解数学物理方程。
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 不含有研究函数的非零项 －偏微分方程的线性与非线性
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数理方程基本知识
➢ Gauss定理
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对于一般的矢量场 a P(M )i Q(M ) j R(M )k
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数理方程-总结复习及练习要点(1)
数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。
在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。
下面是数理方程的总结复习及练习要点。
一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。
二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。
三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。
因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。
数理方程公式总结
数理方程公式总结数理方程是描述自然界中各种物理现象的数学模型。
它在物理学、工程学、经济学等领域中起着重要作用。
数理方程的研究内容包括方程的分类、解析方法、数值方法等。
在实际应用中，我们经常遇到各种各样的数理方程，比如常微分方程、偏微分方程、积分方程等。
本文将总结几个常见的数理方程，并介绍它们的一些解析方法和数值方法。
1. 常微分方程常微分方程是描述一个未知函数与其导数之间的关系的方程。
根据方程中的未知函数的个数和导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等。
常见的解析方法包括分离变量法、常系数线性微分方程的特征方程法、变系数线性微分方程的待定系数法等。
数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。
2. 偏微分方程偏微分方程是描述未知函数与其偏导数之间关系的方程。
它的求解通常需要给出适当的边界条件和初值条件。
根据方程的类型和性质，偏微分方程可以分为椭圆型、双曲型、抛物型等。
常见的解析方法包括分离变量法、变量替换法、特征线法等。
数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
3. 积分方程积分方程是未知函数与其积分之间的关系的方程。
它可以看作是微分方程的一种推广。
积分方程能够描述一些涉及积分的物理问题，如电磁场问题、弹性力学问题等。
常见的解析方法包括变量分离法、奇异积分方程的分析法、积分变换法等。
数值方法包括数值逼近法、数值积分法、有限元法等。
总之，数理方程是对自然界中各种物理现象进行数学建模的有效工具。
在实际应用中，我们需要根据问题的具体性质选择适当的数理方程，并采用相应的解析方法或数值方法进行求解。
解析方法能够给出精确解，但对于复杂问题往往难以求解；数值方法能够给出近似解，并且在计算机上容易实现，但对于精度要求较高的问题需要选用更精细的网格或更高阶的方法。
因此，在实际应用中，我们需要权衡解析方法和数值方法的优劣，选择适当的方法求解数理方程。
数理方程总结(球函数)
球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。
得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。
P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解 作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0） 证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。
方程知识点总结整理
方程知识点总结整理一、方程的基本概念1. 代数式与方程式代数式是由数字、字母、符号和常数通过加、减、乘、除等数学运算符号组成的数学表达式。
在代数式中，字母通常代表未知数，可以表示未知数之间的关系。
而方程式是指两个代数式之间相等的关系，通常用符号“=”连接。
2. 方程的种类根据方程中未知数的次数和方程的类型, 方程可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、二元二次方程、多元多次方程等。
3. 等式、同解与方程在数学中，等式是两个表达式相等的关系，即左边的表达式和右边的表达式代表相同的数值。
而同解则是在某一条件下，两个方程的解相同。
通常通过联立方程组的方法来求解同解。
二、一元一次方程1. 一元一次方程的基本表达式一元一次方程是指只有一个未知数，且未知数的最高次数为一的方程。
一般形式为ax + b = c，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
2. 一元一次方程的求解方法解一元一次方程的基本方法是通过变形和化简逐步求解出未知数的值。
常用的方法有等式两边同时加减同一个数，等式两边同时乘除同一个数等。
3. 一元一次方程的应用一元一次方程可以用来描述很多实际问题，如物品的购买、人员的分配、距离的计算等。
通过建立方程模型，可以将实际问题转化为数学问题进行求解。
三、一元二次方程1. 一元二次方程的基本表达式一元二次方程是指只有一个未知数，且未知数的最高次数为二的方程。
一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
2. 一元二次方程的求解方法解一元二次方程的基本方法是通过配方法、公式法、因式分解等方法进行求解。
对于无理方程，可以通过图像法进行求解。
3. 一元二次方程的应用一元二次方程在物理、经济、工程等领域有着广泛的应用。
如抛物线的运动规律、质点运动的轨迹、炮弹的飞行轨迹等都可以用一元二次方程来表示。
四、二元一次方程1. 二元一次方程的基本表达式二元一次方程是指有两个未知数，且未知数的次数为一的方程。
数理方程
1. 基本概念偏微分方程： 含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数； 方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的； 方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数； 特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。
2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程； 二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为 221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k kk L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dxxT T g ds ds u uuT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。
数学解方程知识点大全总结
数学解方程知识点大全总结一、一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
一般形式为：ax+b=0，其中a≠0，a为系数，b为常数。
2. 一元一次方程的解法(1) 直接相减法对于方程ax+b=0，可以通过将b移到等号的另一侧，再将a约分来求得未知数的值。
(2) 换元法当遇到系数a较大或不便化简的情况时，可以通过引入新的未知数来简化方程的解法。
(3) 代入法可以通过将一个已知的值代入方程中来求解未知数的值。
(4) 图形法通过画出方程对应的直线图形，在图上找到方程的解。
(5) 相等系数法当两个或多个未知数满足同一个方程时，可以将其系数都等式化，然后联立求解。
3. 一元一次方程的实际应用一元一次方程可以应用在日常生活中的各种问题当中，例如物品的购买、运输时间的计算、工程建设的规划等等，都可以通过建立一元一次方程来进行求解。
4. 一元一次方程的解的判定一元一次方程存在唯一解的条件是系数a不为零。
当a=0时，如果b=0，方程有无穷多解；如果b≠0，方程无解。
二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。
一般形式为：ax^2+bx+c=0，其中a≠0，a、b、c分别为系数。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法可以通过将一元二次方程进行因式分解，得到两个一元一次方程，再分别求解，得到方程的解。
(2) 完全平方公式当一元二次方程为完全平方公式的形式时，可以直接应用完全平方公式进行求解。
(3) 公式法通过一元二次方程的求根公式(即二次方程的根公式)进行求解。
(4) 完全平方差公式当一元二次方程为完全平方差公式的形式时，可以直接应用完全平方差公式进行求解。
3. 一元二次方程的实际应用一元二次方程可以应用在各种实际问题当中，例如抛物线运动的轨迹、图形的面积计算、物质的变化规律等，都可以通过建立一元二次方程来进行求解。
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数理方程知识点总结
数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程
1、一元n次多项式方程
形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,
x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：
（1）牛顿迭代法
牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：
• 任选一个随机数$x_0$作为初值；
• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；
• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；
• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；
• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法
二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：
• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；
• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；
• 如果$f(c) = 0$，即找到根；
• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；
• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；
• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度
足够小时停止。
（3）Newton-Raphson法
Newton-Raphson法是一种高效的求解非线性方程的方法，其基
本思想是：寻找函数$f(x)$在零点处的切线，然后将这条切线与
$x$轴的交点作为新的零点逐渐逼近原函数的零点。
具体算法如下：
• 在零点$x_0$处估计切线，即$f(x)$在$x_0$处的导数$f'(x_0)$；
• 计算切线截距$x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$，将其更新为新的零点
$x_1$；
• 将$x_1$作为新零点，重复上述过程。
该算法的优点是迭代速度快，但其需要求导数，具有一定的局
限性。
2、一元高次多项式方程
一元高次多项式方程是指阶数大于2的多项式方程。
解决高次
多项式方程的方法有以下几种：
（1）根式求解法
当多项式方程阶数不超过4时，可以通过求式子的根得到方程
的解。
（2）因式分解法
当多项式可以分解成两个一次多项式的乘积时，就可以将其转
化为一元一次方程。
（3）计算解析式法
高次多项式方程的求解可以通过一些复杂的算法得到其解析式，但其过程相当冗长。
（4）数值解法
常用的数值解法有牛顿迭代法、二分法、二次割线法等。
二、二元一次方程
二元一次方程是指方程中只涉及两个未知量，并且这两个未知
量的最高次数都是一次的方程。
其通用形式为：$ax+by=c,
dx+ey=f$。
二元一次方程的解法包括以下几种：
（1）化为同比例式
这种方法的基本思想是通过方程的系数和次数进行变形，将方程变成同一式子，然后将其合并，求出变量的值。
（2）消元法
消元法是一种将一个未知量表示为另一个未知量的函数，然后将其代入方程中求解的方法。
这种方法通常要求配备满足某些条件的系数。
（3）高斯消元法
高斯消元法是一种常用的解二元一次方程组的方法，通过逐个消除系数的方法从而得到系数的值。
三、二次方程
二次方程是指能化为标准二次形式：$ax^2+bx+c=0$的二元多项式方程。
具体方法为：将方程化为标准二次形式，判断
$\Delta=b^2-4ac$的值，当$\Delta>0$时，方程有两个不同的实根；当$\Delta=0$时，方程有一个实根；当$\Delta<0$时，方程没有实数解。
四、其他方程
除了上述几种基本的方程类型外，数理方程的类型还有很多，如三元一次方程、高阶非线性方程、偏微分方程等。
这些类型的方程需要根据其特定形式进行分析和求解。
总结
数理方程是数学理论中的一个重要分支，其研究的对象类型多样，求解方法也是千差万别。
本文对数理方程的基本类型进行了总结，并对其求解方法进行了简单的介绍，对于学习数理方程的人来说，应有助于提高解决数理方程的能力和技巧。