古希腊三大几何难题
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古希腊三大作图难题
北京化工大学 殷光中
概述：
尺规作图，即只用直尺和圆规作几何图形，其来源于《几何原本》，以后在一个时期内成为数学中的重要研究课题[1]。
古希腊三大作图难题：1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。到此，这一问题才告一段落。期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等[2]。
人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……
1、三等分任意角
科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 1.1.1 n 倍角的正切值展开通式
tan1α=t tan2α=
2
12t t
- tan3α=2
3
313t t t --
tan4α=4
23
6144t
t t t +-- tan5α=425
35101105t t t t t +-+-
tan6α=6
425
3151516206t t t t t t -+-+- tan7α=6
427
5373521121357t t t t t t t -+--+-
tan8α=8
6427
532870281856568t t t t t t t t +-+--+-
…… 有如下特征：
① 分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t 的奇次幂，分母上为t 的偶次幂。
② 我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系： 若
tann α=...
1......
8
463422194735231++-+-++-+-t m t m t m t m t n t n t n t n nt ; 则有，
tan(n+1) α=
...
)()(1...)()()1(42121522311-+++--+++-+t m n t m n t m n t m n t n .
即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数 。
③分子以 “nt ”开头 ，分母以“1”；若从第一项开始每两项为一对，
分子上：
奇数对的基数项（简称奇对奇项）以“”结尾，奇对偶项以“n
”结尾；偶对奇项以“-”结尾，偶对偶项以“- n
”结
尾；
分母上：
奇对奇项以“n ”结尾，奇对偶项以“-”结尾；偶对奇项
以“-n
”结尾；偶对偶项以“”结尾。
注意：奇数项中分子、分母的项数相同，偶数项中分母项数比分子项数多一项。
综合以上特征和八个式子的系数关系，我们不难发现：
tan(4k+0) =
n n n
n n n
n n
n
n n n n n n
t
t
t t t t t t t C C
C C C
C C C C +-+-+--+-+-----224422001
1
553311............
tan(4k+1)= 11220033
11............--+-+-+-+-n n n
n n n
n
n n n t
t t t t t C C C C C C tan(4k+2)=
n n n
n n n
n
n
n n n n
n
t
t t t t t t C C C C C C C -+-+-+-+-----2222001
13311............ tan(4k+3)
=
1
1442200553311............---+-+--+-+-n n n
n
n
n
n n n
n n n t
t t t t t t t C C C C C C C C
我们将分子、分母上的正项、负项分别合并，得
tan(4k+0)=
2142142042040240240140140
040043
143143
043041
241241
14114104104......
...+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--+++--+++t
t
t
t
t
t
t
t
t
C
C
C
C
C
t
C C C C C n
n
n
n
n
n n
n
n n
同理，
tan(4k+1)=
2
142142042040240240140140
040043
143143043041
241241
14114104104......
...+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--+++-
-+++t
t
t
t
t
t t
t
t
C C
C
C
C
t C C C C C n
n
n
n
n
n
n
n
n n
tan(4k+2)=
2142142042040240240140140
040043
143143
043041
241241
14114104104......
...+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--+++--+++t
t
t
t
t
t
t
t
t
C
C
C
C
C
t
C C C C C n
n
n
n
n
n
n
n
n n