两个平面的平行与垂直

由于B a，则a和B确定一个平 面 γ ，平面 γ∩ 平面 β=l ，可知 l 惟一存 在，且l∥a.
4.若l、m、n是互不相同的空间直线，α、 β 是不重合的平面，则下列命题中为真 命题的是( ) A A.若l⊥α，l∥β，则α⊥β B.若α⊥β，l D.若α∥β，l α ，则l⊥β α ，n β，则 l∥n
• 第九单元 • 直线、平面、简单几 何体和空间向量
第62讲
两个平面的平行与垂直
1. 能识别平面与平面的位置关系， 理解面面平行和垂直的定义. 2. 掌握面面平行、面面垂直的判 定定理和性质定理，并能灵活应用. 3. 进一步培养推理论证能力和空 间想象能力.
1. 若不共线的三点到平面 α 的距离相等， 则由这三点确定的平面 β与α的位置关 系是( ) D A.平行 C.异面 B.相交 D.平行或相交都有可能
在△ACN中，由余弦定理得
AN= AC2 CN 2 2 AC CN cos120 = 3 , AN 在Rt△AMN中, MN =tan∠AMN, 则MN= 3 × 3 =1,
3 3 在Rt△CNH中,NH=CN· sin∠NCH=1× = , 2 2 1 MN 2 3 3 在Rt△MNH中,tan∠MHN= NH = = . 3 2 21 3
例1如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
(1) 连接 PQ 、 AP. 因为 P 、 Q 为 DD1 、 CC1的中点， 所以PQ CD AB， 所以AP∥BQ，
所以AP∥平面D1BQ.
又O为底面ABCD的中点，即O为BD的中点.
又P为DD1的中点，所以PO∥BD1，
所以PO∥平面D1BQ.
线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
性质定理：如果两个平行平面同时与第三 个平面相交，那么它们的交线② 平行 .
2.平面与平面垂直 定义：平面 α 与平面 β 相交，如果所成 的二面角是直二面角，则称α与β互相垂直， 记作α⊥β.
判定定理：如果一个平面经过另一个 平面的一条③ 垂线 ，那么这两个平面互 相垂直.
所以，cos∠MHN=
7
.
故二面角M-AC-B的余弦值为
21 7
.
(3)由（2）知,PCMN为正方形. 所以VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN = =
1 3 1 × 2 3 . 12
AC· CN· sin120°· MN
点评 (Biblioteka Baidu)本例属面面垂直的判定及应用，
，而应用面面垂直则联 .
当三点在平面 α 同侧时，两平 面平行，当三点分别在平面 α 异侧时， 两平面垂直.
2.平行α∥平面β的一个充分条件是( A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊥α，a⊥β C.存在两条直线a、b，a α，b b∥ α
) B
β，a∥β，
D.存在一个平面γ，α⊥γ，β⊥γ
3.若平面α∥平面β,直线a α ，点B∈β,则在 β内过点B的所有直线中( ) D A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数多条与a平行的直线 D.存在惟一一条与a平行的直线
(2) 面面平行问题常转化为线面平行， 而线面平行又可转化为线线平行，需要注 意其中转化思想的应用.
点评 (1)证明两个平面平行的方法有：①
题型二 面面垂直的判定与应用
∠ PCB ＝ 90°， PM∥BC ， PM=1 ， BC=2, 又 AC=1 ， ∠ ACB=120° ， AB⊥PC, 直 线 AM与直线PC所成的角为60°. （1）求证：平面 PMBC⊥平面ABC; （2）求二面角M-AC-B 的余弦值; （3）求三棱锥P-MAC的体积.
性质定理：如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 ④ 垂直于另一个平面.
典例精讲
题型一 两个平面平行的判定与应用
O是底面ABCD的中心，P、Q分别是DD1、 CC1的中点，M是BD1上一点. (1)证明：平面D1BQ∥平 面PAO； (2)点M位于BD1的什么位 置时,QM⊥BD?
例2 如 图 ， 四 边 形 PCBM 是 直 角 梯 形 ，
(1) 因 为 PC⊥AB ， PC⊥BC ， 且 AB∩BC=B, 所以 PC⊥ 平面 ABC, 又因为 PC 平面PMBC,所以平面PMBC⊥平面ABC. (2) 取 BC 的中点 N ，则 CN=1 ，连接 AN ， MN ， 则PM CN，MN PC,由(1)知，MN⊥平 面ABC. 作NH⊥AC,交AC的延长 线于H,连接MH,则可 证得AC⊥MH,从而∠MHN 为二面角 M-AC-B的平面角，因为直线 A与 直线PC所成的角为60°,所以∠AMN=60°,
又PO∩AP=P，所以平面D1BQ∥平面PAO.
(2)当M位于BD1的中点时，QM⊥BD. 连接A1C1、A1C， 则平面A1C1CA∩平面BD1Q=QM，
平面A1C1CA∩平面ADO=AO.
由(1)知，平面D1BQ∥平面PAO，
所以QM∥AO.
又AO⊥BD，所以QM⊥BD.
用定义，此类题目常用反证法来完成证明； ②用判定定理或推论，通过线面平行来完 成证明；③根据“垂直于同一条直线的两 个平面平行”这一性质进行证明；④借助 于“传递性”来完成；⑤可以用向量法来 证明直线和平面平行.
C.若l⊥n，m⊥n，则l∥m
对于选项A，过l作平面γ∩β=l′,由于 l∥β ，则 l′∥l. 又 l⊥α ，可知 l′⊥α ，而 l′ β，故α⊥β； 对于选项B,l若是α与β的交线，则l β ； 对于选项C，l与m可平行,可相交,可异面; 对于选项D,l与n可平行，可异面.故选A.
1.平面与平面平行 定义：若平面 α与平面β没有公共点，则称 平面α与平面β平行，记作α∥β. 判定定理:如果一个平面内有① 两条相交直
(2) 二面角是研究面面相交位置关系 的，其大小是由在二面角的棱上取一点， 在二面角的二个面内垂直于棱的两直线 所成的角（二面角的平面角）的大小反 映的.
题型三 平行与垂直位置关系的探究
例3 在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩