三点共线的充要条件

(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

专题：利用三点共线结论解平面向量问题——高三数学二轮专题复习

专题：利用三点共线结论解平面向量知识梳理：三点共线定理 OC →＝ (1－t )OA →＋tOB →的证明：若OA →＝a ，OB →＝b 是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC →＝c ，存在一对实数λ，μ使c ＝λa ＋μb .证明A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：（必要性）若A ，B ，C 三点共线，则存在实数t ，使得AC →＝tAB →，即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)所以OC →＝ (1－t )OA →＋tOB → 令λ＝1－t ，μ＝t ，则有c ＝λa ＋t b ，即λ＋μ＝1.（充分性）若λ＋μ＝1，则c ＝λa ＋(1－λ)b 即c －b ＝λ(a －b ) 即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)即BC →＝λBA →.所以A 、B 、C 三点共线．(思考：当t=21时，会发现A,B,C 是什么情况？)典型例题：例1：（全国高考）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝－43AB →－13AC →例2：已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A ．λ＝μB ．|λ|＝|μ|C ．λ＝－μD ．λ＝1－μ例3：如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.例4：如图，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M,N ，若N nA C A M mA B A==,,则m+n 的值为_______．练习：1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 13＝________．2、［2021•江苏卷，10］设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3、（2021华美）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为4、(2021·郑州质检)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且A P →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+112m AB →＋211B C →，则实数m 的值为________.5、（2021华美）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是__________.专题：利用三点共线结论解平面向量例1：[解析] 由BC →＝3CD →知，B 、C 、D 三点共线，从四个选项知系数和为1的仅有A ，故选A.例2：解析 A ，P ，B 三点共线，即存在一个实数m ，使得AP →＝mAB →，∵AP →＝λOA →＋μOB →，∴mAB →＝λOA →＋μOB →，即m (OB →－OA →)＝λOA →＋μOB →，∴(m －μ)OB →＝(m ＋λ)OA →，∵A ，B ，O 三点不共线，∴m －μ＝0，m ＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m ，∴A ，B ，P 三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A ，B ，P 三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B. 例3：解析由于B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.例4：解析解法一：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.解法二：MN 绕O 旋转，当N 与C 重合时，M 与B 重合，此时m ＝n ＝1，∴m ＋n ＝2.练习：1、[解析] 由3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，得OA →＝a 53OB →＋a 93OC →因为A ，B ，C 三点共线，所以a 53＋a 93＝1，即a 5＋a 9＝3，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 5＋a 9）2＝392.所以S 13＝3922、解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.（提示，过A 作DE 平行线交BC 延长线于点F,利用B,C,F 共线）3、答案1/34、解析设BP →＝λBN →＝λ(AN →－AB →)＝λ⎝⎛⎭⎫13 AC →－AB →＝－λAB →＋λ3 AC →(0≤λ≤1)， ∴A P →＝AB →＋B P →＝(1－λ) AB →＋λ3AC →. 又A P →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211 BC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211(AC →－AB →)＝mAB →＋211AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，∴m ＝511.5、【答案】(1，＋∞) [设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1。

平面向量中三点共线

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数，使b a由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v且OP xOA yOB u u u v u v u u u v 。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y当点P 在线段AB 之外时，0xy典例剖析例1、已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则yx 41 的最小值是分析：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P,C 三点共线AP xAB yAC u u u r u u u r u u u rQ 1x y 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x yQ x>0,y>040,0y x x y由基本不等式可知：4424y x y xx y x y，取等号时4y xx y224y x 2y x 0,0x y Q 2y x 1x y Q 12,33x y ，符合所以yx 41 的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例2、在△ABC 中，13AN NC u u u r u u u r ，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211分析：,,B P NQ 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB ANu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 8111m311m ，故选C例3、在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的的两点M 、N ，若AB u u u r＝值为．：Q 因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC u u u r u u u r u u u rm AB AM u u u r u u u u r Q ＝，AC nAN u u ur u u u r1()2AO mAM nAN u u u r u u u u r u u u r22m n AO AM AN u u u r u u u u r u u u r又,,M O N Q 三点共线，由平面内三点共线定理可得：122m n2m n变式、直线l 过Y ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB的延长线交于点M 。

平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。

点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

共线向量基本定理三点共线

共线向量基本定理三点共线
三点共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

证明过程：
AC=OC-OA=λOA+μOB-OA=μOB+（λ-1）OA=μ（OB-OA）。

而AB=OB-OA，即AB=μAC，故A、B、C三点共线。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上。

所以称为共线向量。

共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b 与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

平面向量中“三点共线定理”妙用

2、已知是的边上的任一点，且满足，则
的最小值是
3、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。已知 ,则（）
A． B． C． D．
4、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则＝()
A． B. C. D.
解：三点共线，又
，故选C
例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m ，＝n ，则m＋n的值为．
解：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：
，
又三点共线，
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=（）
A．100B．101C．200D．201
解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,∴ ,故选A。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
8、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若
则有：（）
变式：如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，若
则有：（）
A． B. C. D.
分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得

平面向量中三点共线定理的应用

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明：因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。

平面向量中“三点共线定理”妙用讲解学习

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

平面向量中三点共线

知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且OP xOA yOB =+。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >>当点P 在线段AB 之外时，0xy <典例剖析例1、已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是分析：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.例2、在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211分析：,,B P N三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+8111m ∴+=311m ∴=，故选C例3、在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为．：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+ 又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=变式、直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M 。

三点共线向量表示形式的应用举例

三点共线向量表示形式的应用举例作者：祁荣香来源：《读写算》2012年第79期三点共线的充要条件：已知O、A、B是不共线的三点，且存在实数x，v使得OP=xOA+yOB，则A、B、P三点共线的充要条件是x+y=1。

这是三点共线的一个充要条件，主要以向量形式表述，用其来解决一些与三点共线有关的问题，显得非常简便和巧妙。

举例如下：一、解决与三点共线有关的求值问题如图中△ABC，AN=13AC，P是BN上的一点，若AP=mAB+211AC，则m的值为.解：∵AN=13AC，∴AP=mAB+211AC=mAB+611AN又B、P、N三点共线，∵m+611=1∴m=511本题直接利用三点共线的向量式中x+y=1来解决.2.△ABC中，O点是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N。

若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=.解：∵AO=12AB+12AC又AB=mAM，AC=nAN∴AO=m2AM+n2AN又O、M、N三点共线，∴m2+N2=1即m+n=23.变式：△ABC中，点O是BC的中点，K为AO上一点，且AO=2AK.过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N。

若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=.解：∵AO=12AB+12ACAB=mAM，AC=nAN∴AO=m2AM+n2AN，又AO=2AK∴2AK=m2AM+n2AN∴AK=m4AM+n4AN又K、M、N三点共线，∴m4+n4=1即m+n=4以上两题实质都是以AO为桥梁，利用三点共线的充要条件整体求值，体现了三点共线的向量式x+y=1中在求值问题（尤其是整体求值）中的重要作用.二、在向量的表示中的应用4.△ABC中，点E在AB边上，F在边AC上，且AE=2EB，AF=13FC，BF与CE交于点M，设AM=xAE+yAF，则x+y=.解法一：∵E、M、C三点共线，∴设AM=mAE+（1-m）AC又AC=4AF∴AM=mAE+4（1-m）AF①∵B、M、F三点共线∴设AM=nAB+（1-n）AF又AB=32AE∴AM=32nAE=（1-n）AF②又AE，AF又不共线，∴32n=m1-n=4（1-m）解得m=910n=35，∴AM=910AE+410AF∴x+y=1310此种解法主要通过两组三点共线的向量式设定系数，用同一组基底来表示向量AM，再结合平面向量基本定理求解系数。

专题07 三点共线与四点共面充要条件(解析版)

）
A． 1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【详解】解：依题意可得 A 、 B 、 D 三点共线，所以 OD OA 1 OB ，
又 A 关于点 O 的对称点为 C ，所以 OC OA ，
又 OD xOB yOC ，所以 OD xOB yOA ，
所以 y ， x 1 ，则 x y 1 1 .
如图空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 (x, y) ，使 AP x AB y AC ．
或者等价于：对空间任意一点 O ，空间一点 P 位于平面 ABC 内（ P, A, B,C 四点共面）的充要条件是存在
有序实数对 (x, y) ，使 OP OA x AB y AC ，该式称为空间平面 ABC 的向量表示式，由此可知，空间中
该平面外一点且
PA
5
PB
x PC
1
PD
，则实数
x
的值为（
）
3
3
A． 4 3
B． 1 3
C． 1 3
D． 4 3
【答案】C
【详解】解：因为空间 A ， B ， C ， D 四点共面，但任意三点不共线，
则可设 AB mAC nAD ，
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又点 P 在平面外，则 PB PA m(PC PA) n(PD PA) ，
2
3
3
33
所以 1 2 xy
1 (2x 6
y)
1
x
2 y
1 6
2
2
y x
4x y
1 6
2
2
2
y4x xy
4 3
，
当且仅当 x 3 ， y 3 时等号成立. 2

三个点共线的向量条件 -回复

三个点共线的向量条件-回复【三个点共线的向量条件】在数学几何中，特别是涉及到向量分析时，判断三个点是否共线是一个基本且重要的问题。

所谓“三个点共线”，直观上理解就是这三点位于同一直线上。

从向量的角度来解析这个问题，我们可以借助向量的概念、线性关系以及相关的定理进行精确描述和判断。

一、引言在二维或三维空间中，任何一点都可以用一个有序数组（坐标）表示，同时也可以用一个向量来表达该点与原点之间的位置关系。

对于空间中的任意两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间可以通过定义向量AB = <x2-x1, y2-y1, z2-z1>来刻画。

二、向量的基本性质与运算首先，我们需要回顾一下向量的基本性质和运算。

两个向量如果平行或者重合，则意味着这两个向量方向相同或相反，或者其中一个可以是另一个的倍数。

这是因为根据向量的线性组合原理，若存在非零实数λ使得向量AB = λ向量AC，那么点A、B、C就可能共线。

三、三个点共线的向量条件基于上述向量的基本性质，我们就可以得出三个点共线的向量条件：假设在三维空间中有三个点A、B、C，其坐标分别为A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，对应的向量为向量AB=<x2-x1, y2-y1, z2-z1>，向量BC=<x3-x2, y3-y2, z3-z2>。

则这三个点共线的充要条件是：存在非零实数λ，使得向量AB = λ向量BC，即：<x2-x1, y2-y1, z2-z1> = λ< x3-x2, y3-y2, z3-z2>进一步展开并整理得到以下方程组：x2 - x1 = λ(x3 - x2)y2 - y1 = λ(y3 - y2)z2 - z1 = λ(z3 - z2)只有当这个方程组有非零解时，才表明点A、B、C共线。

四、特殊情况及应用在二维空间中，情况会简化为只有两个坐标变量，上述条件也相应简化。

三点在同一条直线上的充要条件

三点在同一条直线上的充要条件三点在同一条直线上的充要条件，听起来好像很高深，但其实完全可以用生活中的小例子来解释。

你想啊，三个人站在一起，居然还能同时在同一条直线上走？这可不是科幻电影的情节，而是数学里很简单的一个小道理。

好像你跟两个朋友一起走路，咱们站成一条线，大家一左一右地排好，岂不是三个人一线的事儿？嘿，三个人站在一起的条件其实并不复杂，但如果不理解其中的道理，也许就会像老虎扑空一样，摸不到头脑。

要搞清楚三点在同一条直线上的意思。

咱们先想象自己在操场上，身边有两位同学，站成一排。

如果你和两位同学站成一直线，那你们就是同一条直线上的点。

如果其中有一个人偏了，就不算在同一条直线了。

看似简单对吧？但如果这两个人不是随便站的，而是基于一个数学上的条件，那问题就来了。

三点在一条直线上的“充要条件”，说白了就是三点必须满足特定的关系才能在同一条直线上。

三点在同一条直线上的条件是这样来的：这三点要么是共线的，要么能通过直线上的斜率来判断。

听着有点抽象对吧？那我给你举个例子。

假设你在一块大黑板上画了两条点连线，这两条连线是直的，如果你第三个点也画在这条直线上，那这三点就肯定共线，能在同一条直线上走。

就像你做个游戏，把两个点连起来，然后第三个点不偏不倚也在那条线上，完美接轨！更简单点来说，咱们数学上常说的“斜率”，它能帮助我们判断三点是否共线。

斜率就是两点之间的坡度，直白点说，就是线条的倾斜程度。

举个例子，你看一根电线杆，电线杆顶端和底端之间的斜率越大，电线的坡度也就越大。

如果三点都站在这根电线上，那么这三点之间的斜率就会相等。

说白了，三点都在同一条直线上的充要条件就是它们之间的斜率得相等。

大家都知道，斜率是“上升的距离除以下降的距离”，如果这三点都满足这个条件，它们自然就能在一条直线上了。

换句话说，假如你在做一道几何题，题目让你判断三点是否在同一条直线上的时候，你就可以通过计算这三点之间的斜率，看看它们的斜率是不是相等。

三点共线的充要条件

AD ABC 的中线，点34AM AB =，AN AC λ=，则λB ．58OB OA OC λμ=+，且λ本题中先证明出结论：若P 、Q 、R 三点共线，且计算得出1134AG AM AC =+，由题意得出1AC AN λ=，以此可得出1134AG AM AN λ=+，利用三点共线的结论得出11λ=，进而可求得实数针对训练*举一反三．在三角形ABC 中，E ､F 分别为AC ､AB 上的点，BE 与交于点Q 且2AE EC →=于点D ，AQ QD λ→→=，则λ20OA aOB bOC --=，则aA ．222+B ．222-C ．22-D ．223．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设AB a =，AC b =，则FM =（）A ．171515a b - B ．171515a b + C ．241515a b -D ．241515a b +4．已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是( ),A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上5．（多选题）如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1-12020OB a OA a OC=+（向量OA、OC不平行）参考答案ABC 的中线，点34AM AB =，AN AC λ=，则λB ．581624【答案】A【详解】先证明：若P 、Q 、R 三点共线，且O 为直线PQ 外一点，OR mOP nOQ =+，则1m n +=. 证明：由题意可知，//PR PQ ，则存在x ∈R 使得PR xPQ =，即()OR OP x OQ OP -=-，()1OR x OP xOQ ∴=-+，OR mOP nOQ =+，则1m x =-，n x =，1m n ∴+=.如下图所示，因为G 为AD 的中点，所以()1124AG AD AB AC ==+．又34AM AB =，所以43AB AM =，所以1134AG AM AC =+．因为AN AC λ=，所以1AC AN λ=，所以1134AG AM AN λ=+．因为G 、M 、N 三点共线，所以11134λ+=，解得38λ=，本题考查利用三点共线求参数，考查了结论“若A 、B 、C 三点在一条直线上，点O 在直线外，则存在实数λ、μ，使得OB OA OC λμ=+，且1λμ+=”的应用，考查推理能力与计算能力，属于中.本题中先证明出结论：若P 、Q 、R 三点共线，且计算得出1134AG AM AC =+，由题意得出1AC AN λ=，以此可得出1134AG AM AN λ=+，利用三点共线的结论得出11λ=，进而可求得实数针对训练*举一反三．在三角形ABC 中，E ､F 分别为AC ､AB 上的点，BE 与交于点Q 且2AE EC →=于点D ，AQ QD λ→→=，则λ20OA aOB bOC --=，则a D ．22202OA aOB bOC OA aOB bOC --=∴=+，因为点1,0,0b a b +=>>，222122a b a a b b a b a ∴+=++++)22()22222222a b a b a b a bb a b a b a b+++++-≥⨯-=++++ABC 中，AC b =，则FM =（A ．171515a b -B ．171515a b + C ．241515a b -D ．241515a b +【答案】A 【分析】根据共线定理由E ，M ，A 三点共线，设()1FM FE FA λλ=+-，则21233FM AB AC λλ--=+，同理由D ，M ，C 三点共线，可得()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，建立方程组求解．【详解】连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-，由题意知()1133FE CB AB AC ==-，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--，所以21233FM AB AC λλ--=+.同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-． 4．已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是( ),A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【解析】由()AC AB R λλ=∈，()AD AB R μμ=∈，可得：,,,A B C D 四点共线，对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则12AC AB =，则1,02λμ==，不满足112uλ+=，即选项A 错误；对于选项B ，若D 是线段AB 的中点，则12AD AB =，则10,2λμ==，不满足112uλ+=，即选B 错误；对于选项C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01,01λμ<<<<，则112u λ+>，不满足112uλ+=，即选项C 错误；对于选项D ，假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则 1,1λμ>>，则112u λ+<，则不满足112uλ+=，即假设不成立，即C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，即选项D 正确；故选：D.5．（多选题）如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错，当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对，x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确6．已知A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ∉，若正实数x 、y 满足42OP xOA yOB =+，则11x y+的最小值为_______. 【答案】32+42【分析】根据共起点的三个向量共线的结论得到124x y+=，再根据基本不等式可求得最小值. 【详解】∵A 、B 、P 是直线上三个相异的点，42OP xOA yOB =+，即24x y OP OA OB =+，所以124x y+=，111124x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3442y x x y =++32442y x x y ≥+⋅3242=+，当且仅当42y x x y =，即422x =-，424y =-时取等号，7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．【答案】1010 【分析】AB 、AC 共线，可设AB AC λ=，所以，()1OB OA OC λλ=-+，又OB mOA nOC =+，则()1m n λλ+=-+=（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a +⨯===.。

平面向量中三点共线

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理（一）、对平面任意的两个向量a,b（b O）,a〃b的充要条件是：存在唯一的实数使a b由该定理可以得到平面三点共线定理:（二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面uuv uv uuv任意一点的0 ,存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB且uuv u uuvOP xOA yOB。

特别地有：当点P在线段AB上时，x 0,y 0当点P在线段AB之外时，xy 0典例剖析例1、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足AP xAB yAC,x.y——的最小值是______x y分析：Q点P落在VABC的边BC上B，P,C三点共线uuu uuu uuurQ AP xAB yAC x y 1 且x>0,y>0—4(——) —(——) (x y) 1 V 44 5 y 4x y x y x y x y x yQ x>0,y>0 y c 4x 小0, 0 由基本不等式可知：y 4x 2“4x 4，取等号x y x y ■ x y时y 4x 2 2y 4x y 2xQ x 0, y 0 y 2xQ x y 11x - ,y22，符x y 3 3合所以—4的最小值为9x yR，则例3、在△ ABC 中，点0是BC 的中点，过点0的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若 m + n 的值uuuAB = m AM ， AC = n AN ，则点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功例2、在△ ABC 中， uuur AN1 uuir-NC ，点P 是BC 上的一点 3，若 uuu uuu AP mAB2 uuurAC ， 11则实数m 的值为（ )r木A . —B.-C. 3D.-11 1111110 \B _ \分析：Q B ,P, N二占八、共线，又uuu uuu 2 uuur uuu 2 uuur uuu 8 uuir8APmAB ACmAB 4AN mABANm -111111111m3 —，故选C11:Q 因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知： uuir AO 1 uuu — (AB 2uiurAC)uuu uuu u uuir uuurQ AB = m AM ，AC nAN为 ________变式、直线I过Y ABCD的两条对角线AC与BD的交点O ,与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。