《创新设计》2020届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第九篇 第8讲 曲线与方程

第8讲曲线与方程

A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．动点P(x，y)满足5(x－1)2＋(y－2)2＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线

C．抛物线D．直线

解析设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝(x－1)2＋(y－2)2，

点P到直线l的距离d＝|3x＋4y－11|

5.

由已知得|PF|

d＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选

D.

答案 D

2．(2013·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．

答案 D

3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．

A.4x2

21－

4y2

25＝1 B.

4x2

21＋

4y2

25＝1

C.4x2

25－

4y2

21＝1 D.

4x2

25＋

4y2

21＝1

解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 2

21＝1. 答案 D

4．(2013·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0

D ．2x －y ＋5＝0

解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0. 答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2013·泰州月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a >0)，

且满足条件sin C －sin B ＝1

2sin A ，则动点A 的轨迹方程是________． 解析 由正弦定理，得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |

2R ， ∴|AB |－|AC |＝1

2|BC |，且为双曲线右支． 答案 16x 2a 2－16y 2

3a 2＝1(x >0且y ≠0)

6. 如图，点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴

上运动，N 为动点，且PM →·PF →＝0，PM →＋PN →

＝0，则点N 的轨迹方程为________．

解析 由题意，知PM ⊥PF 且P 为线段MN 的中点，连接FN ，延长FP 至点Q 使P 恰为QF 之中点；连接

QM ，QN ，则四边形FNQM 为菱形，且点Q 恒在直线l ：x ＝－a 上，故点N 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，其方程为：y 2＝4ax . 答案 y 2＝4ax

三、解答题(共25分)

7．(12分)已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP

→＝22PB →，求点P 的轨迹C 的方程．

解 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP

→＝22PB →，

又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝2

2(y 0－y )， 得x 0＝⎝

⎛⎭⎪⎫

1＋22x ，y 0＝(1＋2)y .

因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2

，

所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，

化简得x 22＋y 2

＝1.

∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2

＝1.

8．(13分)设椭圆方程为x 2＋y

24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O

为坐标原点，点P 满足OP

→＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求： (1)动点P 的轨迹方程； (2)|NP

→|的最大值，最小值．

解 (1)直线l 过定点M (0,1)，当其斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝kx ＋1，x 2＋y 2

4＝1.消

去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k

4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k 2

.

P (x ，y )是AB 的中点，

则由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1

2(x 1＋x 2)＝－k 4＋k 2，y ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋1＋kx 2

＋1)＝4

4＋k 2；

消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.

当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.

(2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1

4

，∴－14≤x ≤14

而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －122＋1－16x 2

4

＝－3⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋162＋712，

∴当x ＝－16时，|NP

→|取得最大值216， 当x ＝14时，|NP →

|取得最小值14.

B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2019·全国)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝3

7.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为

( )．

A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为AB 的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.