2023年高考数学(文科)一轮复习——不等式的性质与一元二次不等式

第1节不等式的性质与一元二次不等式

考试要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

1.实数大小比较的依据

(1)a>b⇔a－b>0；

(2)a＝b⇔a－b＝0；

(3)a

2.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac

(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒n a＞n b n∈N，n≥2).

3.三个“二次”间的关系

判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞

0)的图象

ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞

0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝

x 2＝－b

2a

没有实数根

ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞

0)的解集 {x |x ＞x 2

或x ＜x 1}

⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2a

R

ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞

0)的解集

{x |x 1＜x ＜x 2}

4.分式不等式与整式不等式

(1)f （x ）

g （x ）＞0(＜0)⇔f (x )·g (x )＞0(＜0). (2)

f （x ）

g （x ）

≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.

1.有关分式的性质

(1)若a >b >0，m >0，则b a b －m

a －m (

b －m >0).

(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1

b .

2.绝对值不等式|x |＞a (a ＞0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |＜a (a ＞0)的解集为(－a ，a ).

记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.

3.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形.

4.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是

，要注意区别.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()

(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.()

(4)x－a

x－b

≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ ac2＞bc2.

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为.

(4)x－a

x－b

≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x－b≠0.

2.已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝()

A.(－2，3)

B.(1，3)

C.(3，4)

D.(－2，4)

答案 B

解析由题意知A＝{x|1

3.(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()

A.a

d＞

b

c B.

a

d＜

b

c

C.a

c＞

b

d D.

a

c＜

b

d

答案 B

解析因为c＜d＜0，所以0＞1

c

＞1

d

，两边同乘－1，得－1

d

＞－1

c

＞0，又a＞b＞0，

故由不等式的性质可知－a

d ＞－b

c

＞0.两边同乘－1，得a

d

＜b

c.

4.(2021·烟台月考)不等式1－x

2＋x

≥0的解集为()

A.[－2，1]

B.(－2，1]

C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 答案 B

解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，

2＋x ≠0，

即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，

解得－2＜x ≤1. 5.(2022·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则ab 的值为( ) A.1 B.－14

C.4

D.－12

答案 B

解析 因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝1a ，所以a ＝－1

2，b ＝12，所以ab ＝－14.

6.(易错题)若关于x 的不等式kx 2－kx <1的解集是全体实数，则实数k 的取值范围是________. 答案 (－4，0]

解析 当k ＝0时，0<1恒成立，

当k ≠0时，要使kx 2－kx －1<0的解集是全体实数， 只需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0，解得－4

综上可知，－4

考点一 不等式的性质及应用

1.设a ＞b ＞0，c ≠0，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a ＞1

b

B.ac 2＞bc 2