数论知识点之整除与余数

整除
一、常见数字的整除判定方法
1.一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除；
一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除；一个
数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除；
2.一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；
一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；
3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这
个数能被 11 整除.
4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那
么这个数能被 7、11 或 13 整除.
5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位
则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定是 99 的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质 1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．
性质 2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么 c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质 3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．
性质 4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质 5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非 0 整数）；
性质 6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a ，且 d｜c ，那么 bd｜ac；
余数
一、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a 与
b 的和除以
c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余
数。

例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19＝42 除以 5 的余数等于
3+4=7 除以 5 的余数为 2
2.余数的减法定理
a 与
b 的差除以
c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。

例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23－16＝7 除以 5 的余数等于
2，两个余数差 3－1＝2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14 除以 5 的余数分别是 3 和 4，23－14＝9 除以 5 的余数等于 4，两
个余数差为 3＋5－4＝4
3.余数的乘法定理
a 与
b 的乘积除以
c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以
c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以 23×16 除以5的余数等于 3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23×19 除以5的余数等于 3×4 除以5的余数，即 2.
乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么 a n与 b n除以m的余数也相同．
二、同余定理
1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(mod m)，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：
（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除例如：17 与11除以 3 的余数都是2，所以（17 11）能被 3 整除．
（2）用式子表示为：如果有a≡b(mod m)，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．
⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；
⑷ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加 11 的倍数再减）；
⑹ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，
奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被 7，11 或 13 除的余数就是原数被 7，11 或 13 除的余数．
奇偶
一、奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
二、两个实用的推论
推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶
性。

推论 2：对于任意 2 个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶
位值原理
一、位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示 2 个一，写在百位上，就表示 2 个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

二、位值原理的表达形式：以六位数为例： abcdef =
a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

三、解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式
（2）利用十进制的展开形式，列等式解答
（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答
进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于 1 的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

3.k 进制：
一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，，（k -1）共k个数码组成，且“逢k进一”．（kk>1）进位制计数单位是k0，k1，k2，．如二进位制的计数单位
是20， 21， 22，，八进位制的计数单位是 80， 81， 82，．
4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
）= a ⨯ k n+ a ⨯ k n-1+ + a ⨯ k + a
（a a a a
n n -1 1 0 kn n-1 1 0
十进制表示形式： N = a 10n+ a 10n -1 + + a 100；
n n-1 0
二进制表示形式： N = a 2n+ a 2n-1+ +a 20 ；
n n-1 0
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上 k ，表示是 k 进位制的数
如：（352），（1010），（3145）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
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5.k 进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

6.进制间的转换：
一般地，十进制整数化为 k 进制数的方法是：除以 k 取余数，一直除到被除数小于 k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为 k 进制数．反过来， k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将 k 进制数按 k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．。